工程力學

1壓桿穩定

8.1壓桿穩定的概念8.2細長壓桿的臨界力8.3壓桿的臨界應力8.4壓桿的穩定計算8.5提高壓桿穩定性的措施本章學習內容

8.1壓桿穩定的概念

①強度

②剛度

③穩定性構件的承載能力：工程中有些細長構件具有足夠的強度、剛度，卻不一定能安全可靠地工作。例如，取一根平直的鋼鋸條，將其豎直立于桌子上，在其上方，用手指壓它，發現只使用很小的力鋼鋸條就會朝著厚度很薄的方向彎曲，從而喪失了承載能力。而若按強度條件來計算，鋼鋸條可以承受的壓力則高達1600N。因此，對于細長壓桿，除考慮強度問題外，還必須考慮穩定性問題。以下圖所示細長直桿軸心受壓為例，在大小不等的壓力F作用下，觀察壓桿直線形式的平衡狀態是否穩定。為便于觀察，對壓桿施加不大的橫向干擾力，將其推至微彎狀態。F軸壓壓彎F<Fcr恢復QF=Fcr壓彎失穩F>Fcr保持常態、穩定失去常態、失穩QQQF<FcrQ8.1壓桿穩定的概念軸向壓力較小時，桿件能保持穩定的直線平衡狀態；軸向壓力增大到某一特殊值時，直線不再是桿件唯一的平衡狀態；壓桿穩定：理想中心壓桿能夠保持穩定的（唯一的）直線平衡狀態；壓桿失穩：理想中心壓桿喪失穩定的（唯一的）直線平衡狀態；臨界力：壓桿處于臨界狀態時，兩端軸向壓力的特殊值。8.1壓桿穩定的概念除了細長壓桿會發生失穩現象外，還存在著其他結構的失穩情況。8.1壓桿穩定的概念8.2細長壓桿的臨界力8.2.1兩端鉸支時細長壓桿的臨界力推導：(1)彎矩：(2)撓曲線近似微分方程：EIFkcr=2令(3)微分方程的解：8.2.1兩端鉸支時細長壓桿的臨界力(4)確定積分常數：（n=0、1、2、3……）

臨界力Fcr是微彎下的最小壓力，故，只能取n=1，得歐拉公式8.2細長壓桿的臨界力8.2.2桿端為其他支承形式的細長壓桿的臨界力支承情況兩端鉸支一端固定另端鉸支兩端固定一端固定另端自由失穩時撓曲線形狀FcrABl臨界力Fcr歐拉公式長度系數μμ=1

μ=0.7μ=0.5μ=2FcrABFcrABl0.7ll0.5lCCC—撓曲線拐點C、D—撓曲線拐點Fcrl2l8.2細長壓桿的臨界力8.2.2桿端為其他支承形式的細長壓桿的臨界力（μ——長度因數，l——實際長度，μl——相當長度）歐拉公式（統一形式）8.2細長壓桿的臨界力【例8-1】如圖所示，細長壓桿的兩端為鉸支，彈性模量E＝200GPa，截面形狀為：（1）方鋼，截面尺寸為b×h＝50×50mm；（2）16號工字鋼。桿長為l＝2.5m，在桿的一端施加軸向力F，試求當F為多少時該桿能處于穩定平衡狀態。8.2細長壓桿的臨界力【例8-2】如圖所示壓桿在主視圖（a）所在平面內，兩端為鉸支，在俯視圖（b）所在平面內，兩端為固定，材料的彈性模量E＝210GPa。試求此壓桿的臨界力。8.2細長壓桿的臨界力8.3壓桿的臨界應力8.3.1臨界應力與柔度當壓桿在臨界力Fcr作用下處于直線臨界狀態的平衡時，其橫截面上的壓應力等于臨界力Fcr除以橫截面面積A，稱為臨界應力，用σcr表示

λ——柔度，或長細比8.3.2歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍應當是壓桿的臨界應力σcr不超過材料的比例極限σP。則λ≥λp（臨界應力對應的柔度，判別柔度）當λ≥λp時，歐拉公式才能適用，這種壓桿稱為大柔度桿或細長桿。當λ<λp時，稱為中、小柔桿或非細長桿，通過經驗公式來計算。8.3壓桿的臨界應力8.3.3臨界應力總圖lplsscrlscr=a-blscr=

ss（1）當0≦λ≦λs時，為柔度較小的短粗桿，稱為小柔度桿。這種壓桿當應力達到屈服極限

σs才破壞。（2）當λs<λ<λp時，為中柔度桿，這種壓桿臨界應力與柔度成線性關系，其值小于屈服極限大于比例極限。（3）當λ≥λp時，為大柔度桿，這種壓桿臨界應力小于比例極限。8.3壓桿的臨界應力【例8-3】如圖所示為由五根直徑d=50mm的圓形鋼桿組成邊長為a=1m的正方形結構，材料為Q235鋼，比例極限σp=200MPa，屈服應力σs=235MPa，彈性模量E=200GPa。試求該結構的許用載荷[F]。8.3壓桿的臨界應力【例8-4】某鋼材的比例極限σp=230MPa，屈服應力σs=274MPa，彈性模量E=200GPa，σcr=331-1.09λ。試求λp和λ0，并繪出臨界應力總圖（0≤λ≤150)。8.3壓桿的臨界應力8.4壓桿的穩定計算當壓桿中的應力達到（或超過）其臨界應力時，壓桿會喪失穩定。要求橫截面上的應力，不能超過壓桿的臨界應力的許用值，即穩定許用應力[σst]

式中nst為穩定安全因數φ為折減系數,是λ

的函數8.4壓桿的穩定計算當壓桿中的應力達到（或超過）其臨界應力時，壓桿會喪失穩定。要求橫截面上的應力，不能超過壓桿的臨界應力的許用值，即穩定許用應力[σst]

穩定條件穩定條件可以進行三個方面的問題計算：1、穩定校核已知壓桿的幾何尺寸、所用材料、支承條件以及承受的壓力，驗算壓桿是否滿穩定條件；2、計算穩定時的許用荷載已知壓桿的幾何尺寸、所用材料及支承條件，按穩定條件計算其能夠承受的需用荷載；3、進行截面設計(一般采用“試算法”)已知壓桿的長度、所用材料、支承條件以及承受的壓力，按照穩定條件計算壓桿所需截面尺寸。

8.4壓桿的穩定計算【例8-5】直徑為d=200mm的圓形截面木柱，長為l=4.5m，其支承條件為一端固定，一端自由。已知木材的容許應力[σ]=10MPa，試驗算當該柱承受軸向壓力F＝50kN時是否安全。8.4壓桿的穩定計算【例8-6】一圓形截面木柱，柱高2.5m，截面直徑d=100mm，其支承條件為一端固定，一端鉸支。已知木材的容許應力[σ]=10MPa，試確定該木柱所能承受的軸向壓力F。8.4壓桿的穩定計算8.5

提高壓桿穩定性的措施8.5.1增大折減系數φ值（1）減小桿件長度（2）選擇合理的截面形狀8.5.2提高材料的彈性模量提高材料的彈性模量E值也可以改善壓桿的