工程力學

1桿件的應力與強度

6.1材料在拉伸、壓縮時的力學性能6.2拉（壓）桿的應力與強度計算6.3平面彎曲梁的應力與強度計算6.4梁的合理強度設計本章學習內容

A=10mm2A=100mm210kN10kN100kN100kN哪根桿先破壞?6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能6.1.1應力的概念當面積ΔA趨于零時，分布內力的大小將趨于一定極限(即總應力)，得到mnFM點

F微內力

A微面積mnFM點p總應力6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能6.1.1應力的概念總應力p

通常分解成:

垂直于截面的分量σ－－正應力平行于截面的分量τ－－切應力mnFp總應力

應力的單位是帕斯卡，簡稱為帕，符號為“Pa”1kPa=103Pa，1MPa=106Pa，1GPa=109Pa6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能6.1.2材料拉伸時的應力-應變曲線試驗條件（1）常溫:室內溫度；（2）靜載:以緩慢平穩的方式加載；（3）標準試件：采用國家標準統一規定的試件。6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能試驗設備（1）微機控制電子萬能試驗機（2）游標卡尺

6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能拉伸試樣先在試樣中間等直部分上劃兩條橫線這一段桿稱為工作長度l（也稱為標距）。

dl標距長試件：l=10d

或短試件：l=5d

6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能1.低碳鋼拉伸時的應力-應變曲線

低碳鋼是指其含碳量不超過0.25%的碳素結構鋼，是塑性材料的典型代表。abcef拉伸圖(F-

l

曲線)應力-應變圖（σ-ε圖）6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能2.脆性材料拉伸時的應力-應變曲線

鑄鐵可做為脆性材料的代表，其試驗方法與上述低碳鋼的試驗方法相同。應力-應變圖（σ-ε圖）6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能6.1.3塑性材料拉伸時的力學性能仍以低碳鋼做為塑性材料的代表，其變形可分為四個階段。——強度極限——屈服極限a——比例極限b——彈性極限卸載后變形完全恢復①彈性階段：c屈服或流動②屈服階段：e③強化階段：恢復抵抗變形的能力f④局部變形階段：頸縮現象6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能①彈性階段ob(oa+ab)aboa段為直線，表明

與

成線性關系：E—E=tanα，彈性模量，低碳鋼的彈性模量大概為200GPa。比例極限

p——對應點a胡克定律6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能ab段為微彎的曲線，但仍然是彈性的，b點是彈性階段的最高點。

a和b很接近，

因此通常取

e=

p

。ab比例極限

p彈性極限

e—對應點a—對應點b6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能此階段應變顯著增加，但應力基本不變——屈服現象。（流動）產生的變形主要是塑性的。屈服極限——對應點c屈服極限上屈服極限下屈服極限abc——對應點c’’c’’②屈服階段bc’6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能此階段材料內部的纖維受力而重新排列，抵抗變形的能力有所增強。應力升高，變形隨之增長。強度極限

b

——對應點e,是材料拉斷前所能

承受的最大應力。abce③強化階段c’e6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能過e點后，試樣在某一段內的橫截面面積顯著地收縮，出現頸縮現象，一直到試樣被拉斷。abcef④局部変形階段ef6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能試樣拉斷后，彈性變形消失，塑性變形保留，試樣的長度由l變為l1，橫截面積原為A

，斷口處的最小橫截面積為A1。

截面收縮率

伸長率

≧5%的材料，稱作塑性材料

<5%的材料，稱作脆性材料⑤材料的塑性指標（δ

和

ψ

）低碳鋼的伸長率平均值約為δ=20%～30%，截面收縮率ψ=60%~70%，說明低碳鋼是很好的塑性材料。6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能在常溫下把材料預拉到強化階段然后卸載,當再次加載時,試樣在線彈性范圍內所能承受的最大荷載將增大。

e——彈性應變

p——塑性應變

abcdefOd′gh

e

p⑥冷作硬化6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能錳鋼沒有屈服和局部變形階段強鋁、退火球墨鑄鐵沒有明顯屈服階段共同點：d5%，屬塑性材料其他金屬材料在拉伸時的力學性能6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能沒有明顯屈服階段的塑性材料，一般規定以產生0.2%的塑性變形時所對應的應力值作為屈服極限，并稱名義屈服極限，用σ0.2表示。其他金屬材料在拉伸時的力學性能6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能鑄鐵在拉伸時的s—e曲線特點：s—e曲線從很低應力水平開始就是曲線；采用割線彈性模量。沒有屈服、強化、局部變形階段，只有唯一拉伸強度指標sb。伸長率非常小（0.4%～0.5%），拉伸強度sb基本上就是試件拉斷時橫截面上的真實應力。不宜作為受拉試件。6.1.4脆性材料拉伸時的力學性能鑄鐵是一種典型的脆性材料。6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能根據《金屬材料室溫壓縮試驗方法》(GB/T7314-2017)dLbbL一般L/d=2.5~3.5一般L/b=2.5~3.56.1.5材料壓縮時的力學性能金屬材料的壓縮試驗，通常做成很短的圓柱，以免試驗時壓彎。6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能壓縮拉伸特點：低碳鋼拉、壓時的ss以及彈性模量E基本相同。壓縮時由于橫截面面積不斷增加，試樣橫截面上的應力很難達到材料的強度極限，因而不會發生斷裂。低碳鋼壓縮時s—e的曲線6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能特點：

壓縮時的sb

和d均比拉伸時大得多，適合做受壓構件；壓縮時的彈性模量和拉伸時近似相等;試件最終沿著與橫截面大致成45

的斜截面發生錯動而破壞。鑄鐵壓縮時s—e的曲線6.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能構件工作時容許承受的最大應力。以大于1的因數除極限應力，所得結果稱為許用應力，用[

]表示。2、許用應力與安全系數1、極限應力

n—安全因數材料喪失工作能力時的應力稱作極限應力，用

0

表示。塑性材料

0=

s，脆性材料

0

=

b。6.1.6材料的強度指標塑性材料

脆性材料ns取1.4~2.2nb取2.5~5.06.1

材料在拉伸、壓縮時的力學性能軸向拉伸軸向壓縮FFFF112211221

1

2

2

1

1

2

2

觀察發現：①縱向線發生伸長，且伸長量相等；②橫向線11、22發生相對平移，平移后仍與軸線正交。平面假設：變形前為平面的橫截面，變形后仍為平面，僅沿軸向

產生了相對平移。6.2

拉（壓）桿的應力與強度計算6.2.1拉（壓）桿的應力1.橫截面上的應力由此可推斷出：橫截面上各點的變形程度相同，受力相同；即軸力在橫截面上均勻分布。由材料均勻性假設可得如下結論：軸向拉壓桿橫截面上各點的應力大小相等，方向垂直于橫截面。FN

F即橫截面上的正應力計算式為：σ

的正負號與軸力一致，拉應力為正，壓應力為負。常用單位為Pa、MPa。6.2

拉（壓）桿的應力與強度計算2.應力均勻分布假設的適用條件和應力集中應用這個公式時必須注意它的適用條件：1）桿橫截面上正應力σ是均勻分布的規律，只是在桿上離力作用點較遠部分才是正確的。2）外力的作用線必須與桿的軸線重合。3）桿必須是等截面的直桿。6.2

拉（壓）桿的應力與強度計算FFFFxFσα--斜截面上的正應力

τα--斜截面上的切應力αF3.拉（壓）桿斜截面上的應力6.2

拉（壓）桿的應力與強度計算符號規定a：斜截面外法線與x軸的夾角。x

軸逆時針轉到n軸，則a規定為正值；x

軸順時針轉到n

軸，則a規定為負值。σα：拉應力為正，壓應力為負。τα：在保留段內任取一點，如果τα

對保留段內任一點之矩

為順時針方向規定為正值，反之為負值。Fα（+）（+）（+）±6.2

拉（壓）桿的應力與強度計算在橫截面上。

在45°斜截面上。鑄鐵軸向受壓時在45°斜截面上發生破壞。斜截面上最大應力值的確定Fα6.2

拉（壓）桿的應力與強度計算【例6-1】有一受軸向拉力F=100kN的拉桿，它的橫截面積A=1000mm2，試分別計算α=0°、

α=90°、

α=45°各截面上的σα和τα的數值。6.2

拉（壓）桿的應力與強度計算6.2.2強度計算1．強度條件

桿內的最大工作應力不超過材料的許用應力：對于等直桿，由于橫截面面積相同，強度條件可寫為：6.2

拉（壓）桿的應力與強度計算6.2.2強度計算2．強度條件的應用①強度校核②設計截面尺寸③確定許可荷載6.2

拉（壓）桿的應力與強度計算【例6-2】圖示木構架，懸掛的重物為G=60kN。AB的橫截面為正方形，橫截面變長為200mm，許用應力[σ]

=10MPa。試校核AB支柱的強度。6.2

拉（壓）桿的應力與強度計算【例6-3】三角架由AB和BC兩根材料相同的圓截面桿構成。材料的許用應力[σ]

=100MPa，荷載F=10kN。試設計兩桿的直徑。6.2

拉（壓）桿的應力與強度計算【例6-4】圖示支架，AB桿的許用應力[σ1]

=100MPa，BC桿的許用應力[σ2]

=160MPa，兩桿橫截面面積均為A=150mm2，試求此結構的許用荷載F。6.2

拉（壓）桿的應力與強度計算6.3.1平面彎曲的概念

以軸線變彎為主要特征的變形稱為彎曲變形。以彎曲變形為主的桿件通常稱之為梁。6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算工程中的梁，其橫截面通常多采用對稱形狀，如矩形、工字形、T字形、圓形等。6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算梁變形后的軸線所在平面與外力所在平面相重合，這樣的彎曲變形稱為平面彎曲。平面彎曲是變形中最簡單和最基本的情況。6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算6.3.2梁的正應力及其應用

1.試驗觀察與分析l當發生純彎曲時Fs圖M圖梁受力彎曲后，如其橫截面上只有彎矩而無剪力，這種彎曲稱為純彎曲。純彎曲6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算1）變形前:①縱向直線互相平行；②橫向直線與縱向線垂直。梁的純彎曲實驗2）變形后:①縱向直線變成弧線，且上邊纖維縮短、下邊纖維伸長；②橫向線變形后仍為直線，且與彎曲了的縱向線正交；③但兩條橫向線間相對轉動了一個角度。發生怎樣的變形縱向線橫向線6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算根據以上實驗現象，可作出如下分析和假設：1）平面假設：①變形前桿件的橫截面變形后仍為平面；②距中性軸等高處，變形相等。2）單向受力假設：根據平面假設和現象，將梁看成是由一層層的縱向纖維所組成，各纖維只受到軸向拉伸或壓縮，不相互擠壓。即梁在變形后，同一層的縱向纖維長度的伸縮相同。3）中性層及中性軸：①中性層：梁彎曲時從變長的一層到變短的一層，中間必有一層縱向無長度改變的過渡層；②中性軸：中性層與橫截面的交線——O1O2。中性軸中性層O1O26.3

平面彎曲梁的應力與強度計算dx圖（b）yzxO直梁純彎曲時縱向纖維的應變與它到中性層的距離成正比圖（a）dx（1）幾何變形規律圖（c）yρzyxO’O’b’b’ybbOO2.正應力公式的推導基本思路：先找線應變ε的變化規律，通過胡克定律σ=Eε，把線應變與正應力聯系起來，再通過靜力平衡條件把應力與內力聯系起來，從而導出正應力的計算公式。6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算（2）應力與應變的物理關系應力分布規律：直梁純彎曲時橫截面上任意一點的正應力，與它到中性軸的距離成正比。待解決問題：中性軸的位置；中性層的曲率半徑ρ。MyzOx6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算內力與外力相平衡可得（1）（2）（3）（3）靜力平衡關系橫截面上內力系為垂直于橫截面的空間平行力系，這一力系簡化得到三個內力分量yzxOMdAzyσdAFNMzMy6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算將應力表達式代入（1）式，得將應力表達式代入（2）式，得將應力表達式代入(3)式，得中性軸通過橫截面形心自然滿足6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算將代入得到純彎曲時橫截面上正應力的計算公式:M為梁橫截面上的彎矩；y為梁橫截面上任意一點到中性軸的距離；Iz為梁橫截面對中性軸的慣性矩。梁橫截面上任一點的正應力σ與橫截面上的彎矩M和該點到中性軸的距離y成反比。正應力沿截面高度成直線分布。中性軸上的應力為零。根據梁變形的情況判斷σ的正負號。以中性軸為界，梁變形后凸出邊的應力為拉應力，凹入邊的應力為壓應力。6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算3.正應力公式的使用條件1）適用于梁的最大正應力不超過材料的比例極限。2）基于純彎曲條件推導而來，但實際工程中的梁，其截面上大多同時存在著彎矩和剪力，研究分析可知，剪力對正應力分布規律的影響很小。因此，對剪力彎矩的情況該式仍然適用。3）是由矩形截面梁推導出來的，但它仍然適用于所有橫截面有縱向對稱軸的梁，如圓形、圓環形、工字形、T形截面的梁。6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算【例6-5】長為L的矩形截面梁如圖所示。已知h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，q=2kN/m，計算C截面上m點的正應力。6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算【例6-6】長為l的圓形截面梁如圖所示。已知F=4kN，l=6m，圓形截面半徑R=100mm。試求：（1）C截面上a、b兩點處的正應力。（2）梁的最大正應力σmax及其位置。6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算【例6-7】截面為No.32a工字鋼的外伸梁受力如圖所示。求C截面上a、b兩點處的正應力。6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算6.3.3梁的彎曲切應力梁在橫向外力作用下，截面上同時存在彎矩和剪力，因此，在梁橫截面上不僅有正應力σ，還有切應力τ。1.矩形截面梁的切應力兩個假設：1）橫截面上各點的切應力的方向與剪力FS的方向一致。2）橫截面上的切應力沿截面寬度均勻分布，即沿截面同一高度的切應力相等。b矩型截面的寬度。yz整個橫截面對中性軸的慣性矩。距中性軸為y的橫線以外部分橫截面面積對中性軸的靜矩（面積矩）。（2）切應力沿截面高度的變化規律矩形截面梁橫截面上的切應力沿截面高度按二次拋物線規律變化。y=±h/2（即在橫截面上距中性軸最遠處），τ=0y=0（即在中性軸上各點處），切應力達到最大值6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算2.工字形截面梁的切應力切應力沿腹板高度按二次拋物線變化，最大切應力發生在中性軸上，其值為Sz*——中性軸以上（或以下）截面面積對中性軸的靜矩，工字形鋼從型鋼表中查得。6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算3.圓形截面梁的最大切應力假設：與中性軸等遠的截面寬度線上各點的切應力的方向與該截面的剪力FS的方向相同，且與剪力FS平行的豎向分量沿截面寬度方向均勻分布。各點切應力的大小相等：6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算【例6-8】如圖所示的矩形截面梁，求C左截面上a、b、c三點處的切應力。C6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算【例6-9】一簡支梁受荷情況和形狀截面如圖所示。試求：C左側截面上a、b兩點處的切應力。6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算6.3.4梁的強度計算對梁的某一截面：令得：WZ——抗彎截面系數，它是一個與截面形狀尺寸有關的幾何量。

WZ反映截面形狀和尺寸對彎曲強度的影響，WZ越大，

σmax越小，從強度

角度看，就越有利。①矩形截面②圓形截面6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算1．梁的失效判別對于韌性材料制成的梁，當梁的危險截面上的最大正應力達到材料的屈服應力σS時，便認為梁發生失效；對于脆性材料制成的梁，當梁的危險截面上的最大正應力達到材料的強度極限σb時，便認為梁發生失效。韌性材料脆性材料6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算2．梁的彎曲強度計算準則梁的危險截面上的最大正應力，必須小于許用應力[σ]：

nS——屈服強度的安全因數；

nb——強度極限的安全因數。6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算上述強度條件，可以解決三類強度問題（1）強度校核。在已知量的材料和橫截面的形狀、尺寸以及所受荷載的情況下，可以檢查梁是否滿足正應力強度條件（2）選擇截面尺寸（截面設計）。當已知荷載和所用材料時，可根據強度條件，先計算出所需的抗彎截面系數（3）計算梁的許可荷載。已知梁截面尺寸，則先根據強度條件算出梁所能承受的最大彎矩6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算3.梁的彎曲強度計算步驟1）根據梁約束性質，分析梁的受力，確定約束力。2）畫出梁的彎矩圖；根據彎矩圖，確定可能的危險截面。3）根據應力分布和材料的拉伸與壓縮強度性能是否相等，確定可能的危險位置點4）應用強度條件進行強度計算6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算【例6-10】如圖所示，懸臂梁由兩個尺寸為125×80×10的角鋼組成，材料的許用應力[σ]

=160MPa，試按正應力校核梁的強度。6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算【例6-11】如圖所示，一簡支梁受兩個集中力作用，已知F1=10kN，F2=40kN。梁由兩根工字鋼組成，材料的許用應力[σ]

=170MPa，試選擇工字鋼的型號。6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算【例6-12】如圖所示，No.40a工字鋼梁，跨度l=8m，跨中點受集中力F作用。已知[σ]

=140MPa，考慮自重，求梁的許用荷載[F]。6.3

平面彎曲梁的應力與強度計算6.4

梁的合理強