學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精皰工巧解牛知識(shí)?巧學(xué)一、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象1。利用單位圓中正弦線表示正弦值的方法,作出點(diǎn)(α，sinα），α∈［0,2π].由單位圓中的正弦線，可知只要能作出角α,就能利用幾何法作出對(duì)應(yīng)的正弦值sinα.如圖1-4—1，當(dāng)0≤α≤2π時(shí)，在單位圓中對(duì)任意的角α,它的弧度數(shù)恰好等于角α所對(duì)的弧長(zhǎng)AP，我們可設(shè)想把單位圓的圓周拉直到x軸上，使A點(diǎn)與原點(diǎn)重合,這時(shí)點(diǎn)P就落到x軸上的（α，0)點(diǎn)，由于sinα=MP，所以平移MP至此，就可得到一點(diǎn)(α，sinα）.也就是說(shuō)，要畫出點(diǎn)P（α，sinα），只需把角α的正弦線MP向右平移，使M點(diǎn)與x軸上表示數(shù)α的點(diǎn)M1重合，得到線段M1P1,由于點(diǎn)P和P1的縱坐標(biāo)相同，都等于sinα，所以點(diǎn)P1(α,sinα)是以弧AP的長(zhǎng)為橫坐標(biāo),正弦線MP的數(shù)量為縱坐標(biāo)的點(diǎn).圖12.正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π］的圖象（1)利用單位圓中的正弦線作y=sinx，x∈［0，2π］的圖象.如圖1—4—2，在直角坐標(biāo)系的x軸的負(fù)半軸上任取一點(diǎn)O1，以O(shè)1為圓心作單位圓，從圓O1與x軸的交點(diǎn)A起把圓弧分成12等份，過(guò)圓O1上各分點(diǎn)分別作x軸的垂線，得到對(duì)應(yīng)于角0，，，，…，2π等分點(diǎn)的正弦線.相應(yīng)地，再把x軸上從0到2π這一段分成12等份,再把角x所對(duì)應(yīng)的正弦線向右平移,使它的起點(diǎn)與x軸上表示數(shù)x的點(diǎn)重合,最后用光滑曲線把這些正弦線的終點(diǎn)連接起來(lái),就得到了函數(shù)y=sinx,x∈［0，2π］的圖象。圖1—4—2（2）正弦曲線根據(jù)誘導(dǎo)公式一，終邊相同的角的三角函數(shù)值相等,可知對(duì)于長(zhǎng)度為2π的函數(shù)y=sinx，x∈[2kπ，2（k+1)π］，k∈Z且k≠0的圖象，與函數(shù)y=sinx，x∈［0，2π]的圖象的形狀完全一致，只是位置不同.我們只需把y=sinx，x∈[0，2π]的圖象左、右平移(每次2π個(gè)單位），就可得到正弦函數(shù)y=sinx，x∈R的圖象（如圖1—4-3).圖1—4-3正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線。(3）余弦曲線根據(jù)誘導(dǎo)公式y(tǒng)=cosx=sin（x+)，可知y=cosx與y=sin（x+）是同一函數(shù)，而y=sin(x+)的圖象可由y=sinx的圖象向左平移個(gè)單位得到，即余弦函數(shù)的圖象是由正弦函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位而得到的。如圖1—4—4.圖1-4—4余弦函數(shù)的圖象叫做余弦曲線。事實(shí)上，y=cosx=sin(x—）,可知余弦函數(shù)y=cosx，x∈R與函數(shù)y=sin(x-）也是同一函數(shù),余弦函數(shù)的圖象也可以通過(guò)將正弦曲線向右平移個(gè)單位而得到。學(xué)法一得作圖象時(shí)，函數(shù)的自變量要用弧度制，只有自變量與函數(shù)值均為實(shí)數(shù)(即x軸、y軸上的單位統(tǒng)一）,作出的圖象才正規(guī),且利于應(yīng)用.利用正弦線為端點(diǎn)連線作函數(shù)圖象時(shí)，份數(shù)越多，圖象越精確，取6的倍數(shù)最為適宜,它既保證了點(diǎn)的個(gè)數(shù)足夠多,又取到了圖象上關(guān)鍵的最值點(diǎn)和圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。由y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=cosx的圖象，平移的量是不唯一的,平移的方向也是可左可右的。二、“五點(diǎn)法”作草圖通過(guò)正弦曲線、余弦曲線可以發(fā)現(xiàn)，這些曲線可以按照閉區(qū)間…，［—4π,—2π］,［—2π,0］，［0,2π］，［2π,4π］，…分段，這些閉區(qū)間的長(zhǎng)度都等于2π個(gè)單位長(zhǎng)度，并且在每一個(gè)閉區(qū)間上曲線的形狀完全一致。因此,要研究曲線的形狀，只需選一個(gè)閉區(qū)間，在這里,我們不妨選擇［0，2π]，顯然,有五個(gè)點(diǎn)在確定其對(duì)應(yīng)圖象的形狀時(shí)起著關(guān)鍵作用。對(duì)于正弦曲線，它們是（0，0)，(，1）,（π，0），（，—1)，(2π，0)；對(duì)于余弦曲線，它們是（0，1），(，0），(π，-1）,（，0)，(2π,1）.因此，在精確度要求不太高時(shí),可先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再用光滑的曲線將它們連接起來(lái)，就得到相應(yīng)函數(shù)的簡(jiǎn)圖.這種方法稱為“五點(diǎn)法”.學(xué)法一得“五點(diǎn)法”作圖中的“五點(diǎn)"是指函數(shù)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)以及圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).典題?熱題知識(shí)點(diǎn)一“五點(diǎn)法"作圖例1用“五點(diǎn)法”畫出下列函數(shù)在區(qū)間［0，2π］上的簡(jiǎn)圖。(1)y=2sinx;（2）y=1—sinx;(3）y=cosx-1.思路分析：在區(qū)間[0，2π］上按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表、描點(diǎn)、連線,并用光滑的曲線將它們連接起來(lái)。解：(1)按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表:x0π2πsinx010—102sinx020-20描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(lái)(如圖1—4—5)。圖1—4—5方法歸納函數(shù)y=2sinx的圖象是把y=sinx圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的二倍而得到的。(2)按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：x0π2πcosx10-101cosx-10-1—2—10描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(lái)(如圖1—4-6）.圖1-4-6方法歸納y=f(x)y=f（x)+a(a＞0)，y=f（x)y=f（x)-a（a＞0），記憶的口訣是“上加下減".知識(shí)點(diǎn)二圖象的應(yīng)用例2方程sinx=lgx的實(shí)根的個(gè)數(shù)有（)A。1個(gè)B。2個(gè)C。3個(gè)D。無(wú)窮多個(gè)思路分析：如圖1-4-7，在同一直角坐標(biāo)系中作函數(shù)y=sinx與y=lgx的圖象.圖1-4-7由圖中看出兩函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)（xi，yi），其中xi∈(1，10)(i=1，2，3）是方程sinx=lgx的解，此方程再無(wú)別的解。答案：C方法歸納像這種含有三角式、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的方程叫做超越方程，用初等解方程的方法不能求它的解,通常把這類方程分解成兩個(gè)函數(shù)，把求方程的解轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題。例3寫出使sinx≥（x∈R）成立的x的取值集合。思路分析：可借助于單位圓或正弦曲線求解。圖1-4-8解：如圖1-4—8，在0≤x＜2π中滿足sinx≥的角x的集合為｛x|≤x≤}；當(dāng)x∈R時(shí)集合為{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z｝.巧解提示：由y=sinx在［0，］,(,π）兩區(qū)間中取值為正且分別是單調(diào)增與單調(diào)減函數(shù).又sinx≥，則有sinx≥sin或sinx≥sin,所有在［0，2π］中，滿足sinx≥的角的集合為｛x|≤x≤}∪{x|＜x≤｝=｛x|≤x≤｝.以下同解。方法歸納利于單位圓或正弦曲線解簡(jiǎn)單三角不等式時(shí)，可先在長(zhǎng)度為［0，2π］的區(qū)間上找到適合不等式的解，再把它擴(kuò)展到整個(gè)定義域上去。問(wèn)題?探究思想方法探究問(wèn)題三角函數(shù)最重要的特征之一就是它的周期性,推廣到一般的情況,對(duì)于函數(shù)y=f(x），如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，f（x+T）=f(x)都成立,那么就把函數(shù)y=f(x）叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。那么是否所有周期函數(shù)都有最小正周期？對(duì)于周期函數(shù)的學(xué)習(xí)還應(yīng)該注意什么問(wèn)題？探究過(guò)程：首先，周期函數(shù)的定義是對(duì)定義域中的每一個(gè)x值來(lái)說(shuō)的,只有個(gè)別的x值滿足f（x+T）=f（x）或只差個(gè)別的x值不滿足f（x+T)=f(x）都不能說(shuō)T是f(x）的周期.例如sin(+）=sin，但是sin(+)≠sin。就是說(shuō)，不能對(duì)x在定義域內(nèi)的每一個(gè)值都有sin（x+）=sinx，因此不是sinx的周期.其次,從等式f（x+T)=f（x）來(lái)看，應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是給自變量x本身加的常數(shù)才是周期，如f(2x+T)=f(2x），T不是周期,而應(yīng)寫成f(2x+T)=f[2（x+）］=f(2x),則是f(x)的周期.第三，對(duì)于周期函數(shù)來(lái)說(shuō)，如果所有的周期中存在著一個(gè)最小的正數(shù),就稱它為最小正周期.但并不是所有的周期函數(shù)都存在最小正周期。例如常數(shù)函數(shù)f(x）=x（C為常數(shù))，x∈R，當(dāng)x為定義域內(nèi)的任何值時(shí)，函數(shù)值都是C，即對(duì)于函數(shù)f（x)的定義域內(nèi)的每一個(gè)值x,都有f（x+T）=C,因此f（x)是周期函數(shù)，由于T可以是任意不為零的常數(shù)，而正數(shù)集合中沒(méi)有最小者,所以f(x）沒(méi)有最小正周期。對(duì)于周期函數(shù)還應(yīng)當(dāng)注意，“f(x+T)=f（x)”是定義域內(nèi)的恒等式，即它