學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精皰工巧解牛知識?巧學一、平面向量的數量積與投影1。平面向量數量積的定義已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，我們把數量|a｜｜b｜cosθ叫做a與b的數量積(或內積），記作a·b，即a·b=|a｜|b｜cosθ。根據定義，若a=0，則0·b=0.所以規定：零向量與任一向量的數量積為0,即0·b=0.誤區警示兩個向量的數量積是兩向量之間的一種新的乘法,與實數的乘法是有區別的,注意區分以下幾點：①兩向量的數量積是個數量，而不是向量,它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定.②兩個向量的數量積稱為內積，應寫成a·b，不能寫成a×b(兩向量的外積)，它與代數中數a、b的乘積ab(或a·b）是不同的.③在實數中，若a≠0，且ab=0，則b=0；但是在數量積中，當a≠0時，由a·b=0不能推出b一定是零向量。因為其中cosθ有可能為0，即任一與a垂直的非零向量b，都有a·b=0。④已知實數a、b、c(b≠0），則ab=bca=c；但對于向量，該推理就是不正確的，即a·b=b·ca=c.⑤對于實數a、b、c有（ab)c=a(bc)，但對于向量a、b、c，(a·b)c=a（b·c)未必成立，這是因為（a·b）c表示一個與c共線的向量，而a(b·c）表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線，所以(a·b）c=a(b·c）不一定成立。2.向量a在b方向(或b在a方向）上的投影圖2-4-2如圖2-4—2，已知=a，=b，過B作BB1垂直于直線，垂足為B1，則OB1=|b｜cosθ.|b｜cosθ叫做向量b在向量a方向上的投影，同理，|a|cosθ叫做a在b方向上的投影。a·b的幾何意義是：數量積a·b等于a的長度|a｜與b在a方向上的投影｜b|cosθ的乘積，或b的長度｜b|與a在b方向上的投影｜a｜cosθ的乘積。二、兩個向量的數量積的性質設a、b都是非零向量，1.a⊥ba·b=0.證明：若a⊥b，則a與b的夾角θ=90°，所以a·b=｜a||b｜cos90°=0；反過來，a·b=|a｜|b|cosθ=0,因｜a|≠0，|b｜≠0，所以cosθ=0,所以θ=90°，則a⊥b。學法一得數量積的這條性質是解決代數、幾何問題中的垂直關系的基本方法.2。當a與b同向時，a·b=|a||b｜;當a與b反向時，a·b=-｜a｜｜b|。特別地,a·a=a2=｜a|2,或|a｜=.學法一得該條性質實現了實數與向量的聯系，我們在求向量模時，往往先求模的平方，借助向量的數量積運算進行。3。｜a·b|≤|a｜|b|。由數量積的定義a·b=｜a||b｜cosθ可知｜a·b｜=｜a｜|b｜|cosθ|.∵0≤θ≤180°，∴|cosθ｜≤1。∴｜a·b｜=|a｜|b||cosθ｜≤|a｜|b｜.學法一得由1、2、3這三條性質可知，向量的數量積可以用來處理有關長度、角度、垂直的問題。三、平面向量數量積的運算律已知向量a、b、c和實數λ。1。a·b=b·a。證明:設a與b的夾角為θ，則a·b=|a||b｜cosθ，b·a=｜b｜｜a｜cosθ,∴a·b=b·a。2.（λa)·b=λ(a·b)=a·（λb)。證明:若λ>0,（λa)·b=λ|a||b|cosθ，λ(a·b）=λ｜a|｜b|cosθ，a·(λb)=|a｜|λb|cosθ=｜a｜|λ｜|b｜cosθ=λ｜a｜|b｜cosθ，∴(λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）.若λ〈0，(λa）·b=｜λa|｜b|cos（π-θ)=-λ|a｜|b|(-cosθ）=λ|a｜|b|cosθ，λ（a·b)=λ｜a||b|cosθ，a·（λb)=|a|｜λb｜cos(π-θ）=—λ|a|｜b｜（—cosθ)=λ|a|｜b|cosθ。∴（λa）·b=λ（a·b)=a·（λb）。3.（a+b）·c=a·c+b·c。學法一得要推證向量數量積的運算律，要利用數量積的定義表示出左邊與右邊，因為實數的運算律是已知的，從而借助已有的實數的運算律來論證向量數量積的運算律。把未知的問題轉化為已知的問題來解決,體現了化歸思想的運用。典題?熱題知識點一平面向量數量積的定義例1判斷下列各題正確與否:①若a=0，則對任一向量b，有a·b=0；②若a≠0，則對任一非零向量b，有a·b≠0;③若a≠0，a·b=0，則b=0；④若a·b=0，則a、b至少有一個為零向量;⑤若a≠0，a·b=a·c，則b=c;⑥若a·b=a·c，則b=c當且僅當a≠0時成立。答案：①√；②×；③×；④×；⑤×；⑥×.例2已知|a|=4，e為單位向量，它們的夾角為,則a在e方向上的投影是__________；e在a方向上的投影是__________。思路分析:a在e方向上的投影是｜a｜cos=4×(）=-2;e在a方向上的投影是｜e|cos=1×（）=。答案：—2知識點二兩個向量的數量積的性質例3已知|a|=|b｜=5，a與b的夾角為,求｜a+b|，｜a—b|的值。解:∵｜a+b|2=a2+2a·b+b2=25+25+2|a｜|b|cos=75，∴|a+b|=.同理|a—b｜2=a2-2a·b+b2=25+25—2|a｜|b｜cos∴|a—b|=5。方法歸納由數量積定義式a·b=｜a||b｜cosθ得cosθ=，它是一種等價形式，側重于兩向量的夾角問題。求向量的夾角或平面幾何圖形中求角的問題可考慮用這個性質來解.例4已知a、b，a·b=40，｜a｜=10，|b|=8.求a與b的夾角.解：∵a·b=｜a||b｜cosθ，θ為a、b的夾角,而a·b=40，|a|=10，｜b｜=8，∴cosθ=.∴θ=60°，即a、b夾角為60°。例5已知|a|=2，｜b｜=，a與b的夾角為45°，λb—a與a垂直，則λ=_________.思路分析:∵λb—a與a垂直,∴(λb—a)·a=0，即λa·b—a2=0.∴λ·cos45°-4=0.得λ=2.答案：2例6證明對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.思路分析:前提是平行四邊形對角線互相垂直，結論是要證其為菱形，即需證鄰邊相等.如何把對角線的關系轉化為邊的關系呢？可結合向量的加減法.解:設在平行四邊形OACB中，對角線OC和AB互相垂直，即⊥.圖2-4-3∴·=0.又=+，=—，于是，(+）·(-OA)=0，即—=0.∴｜OB｜=||.∴平行四邊形OACB是菱形.知識點三運用數量積的運算律來解題例7若a、b、c為任意向量，m∈R，則下列等式不一定成立的是（)A.（a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b）·c=a·c+b·cC.m（a+b)=ma+mbD.(a·b）c=a（b·c）思路分析：對于實數a、b、c，它們之間的運算滿足（ab)c=a(bc),但對于向量沒有這樣的運算律。答案:D知識點四公式(a+b)2=a2+2a·b+b2和(a+b）·（a-b)=a2-b例8已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60°,則｜a+3b｜等于(）A.B。C。D.4思路分析：｜a+3b｜2=｜a|2+6a·b+9｜b｜2=|a｜2+6|a|｜b｜cos60°+9｜b｜2∴｜a+3b｜=。答案:C例9已知｜a｜=13，|b|=19，且｜a+b|=24,求｜a-b|的值.思路分析：解題時要將數量積作為聯系已知條件和未知值之間的一座橋梁,利用模與數量積的性質求解。解：(a+b）2=｜a+b｜2a2+2a·b+b2=｜a+b｜即169+2a·b+361=576，2a·故|a—b|2=a2-2a·b+b2=169—46+361=484，所以|a-b例10已知a與b的夾角為30°，且|a｜=，|b|=1，求向量p=a+b,q=a-b的夾角的余弦值.思路分析：由兩向量的數量積和模求夾角的余弦。解：∵｜p｜2=|a+b｜2=a2+2a·b+b2=3+cos30°+1=7，∴｜p|=;同理可求得|q｜=1.∴cosθ=.知識點五向量數量積與垂直例11已知｜a|=3，|b｜=2,a與b的夾角為60°，c=3a+5b，d=ma—3b(1）當m為何值時,c與d垂直？（2）當m為何值時，c與d共線?思路分析：利用向量垂直、共線的充要條件構造關于m的方程求解。解：(1）由向量c與d垂直c·d=0，而c·d=(3a+5b）·(ma—3b=3ma2+(5m—9)a·b—15b2=27m+3（5m—9）-60，∴42m—87=0.∴m=，即m=時，c與d垂直。（2)由c與d共線存在實數λ，使得c=λd。∴3a+5b=λ（ma—3b即3a+5b=λma-3λb又∵a與b不共線，∴解得λ=即當m=-時，c與d共線。問題?探究材料信息探究問題關于平面向量的數量積的運算，我們學習了三個運算律:a·b=b·a（交換律）;(λa)·b=λ（a·b)=a·(λb)(數乘結合律）；(a+b）·c=a·c+b·c（分配律）。它為我們實施向量的有關運算提供了理論上的保證。對于這一點我們該如何理解？探究過程：它一方面提示了平面向量的數量積的運算規律，另一方面又融入了平面向量的加法、實數與向量的積的相關內容.因而,平面向量的運算，由原有的加減法、實數與向量積的基礎上，又注入了新的生機和活力。隨著平面向量內容的不