學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精皰工巧解牛知識(shí)?巧學(xué)一、平面向量的基本定理平面向量的基本定理:如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.其中不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.誤區(qū)警示(1）定理中的e1、e2是兩個(gè)不共線向量;(2)a是平面內(nèi)任一向量，且實(shí)數(shù)對(duì)λ1、λ2是唯一的；（3）平面內(nèi)的任意兩個(gè)不共線向量都可以作為一組基底.二、向量的夾角1。已知兩個(gè)非零向量a和b，在平面上任取一點(diǎn)O，作=a,=b，則∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做a與b的夾角。學(xué)法一得(1)當(dāng)向量a與b不共線時(shí)，a與b的夾角θ是指從同一點(diǎn)出發(fā)的向量a與b所成的角，θ∈(0°,180°）。(2)當(dāng)向量a與b共線時(shí)，若同向，則θ=0°；若反向，則θ=180°。綜合可知：向量a與b的夾角θ∈［0°，180°］。2。a與b的夾角是90°，我們說a與b垂直,記作a⊥b。典題?熱題知識(shí)點(diǎn)一平面向量的基本定理例1如圖2—3—3,ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M，且=a，=b，用a、b表示、、和。圖2—3—3思路分析：若在平面中選中一組基底，則該平面中的任一向量都可以與之建立聯(lián)系.以該基底為紐帶，可溝通不同向量之間的聯(lián)系.解:在ABCD中,∵=+=a+b,=-=a-b，∴==(a+b）=a—b，==(a—b）=a-b,==a+b，=—=a+b.方法歸納由平面向量基本定理可知，一個(gè)平面內(nèi)所有向量都可表示為選定基底的線性組合，在用向量法證明幾何問題時(shí)，可先把已知和結(jié)論表示成向量形式，再通過向量的運(yùn)算，有時(shí)就能夠很容易地證明幾何命題.例2如圖2—3-4，OADB是以向量=a,=b為邊的平行四邊形.又BM=BC，CN=CD,試用a、b表示、、.圖2解：∵=-=a—b，===a-b,∴=+=b+a-b=a+b。又∵=a+b，得==a+b.∴=-=a—b。例3已知梯形ABCD，AB∥CD，M、N是DA、BC的中點(diǎn)，設(shè)=e1、=e2，以e1、e2為基底表示、、.思路分析：本題考查平面向量的基本定理，關(guān)鍵是找到、、與、之間的關(guān)系.解：(1)∵∥，∴存在唯一的實(shí)數(shù)k,使=k·，即=ke2(0＜k＜1)。圖23-5（2)由圖2-3—5,可知=—=e1—e2而=+=e1-e2+ke2=e1+(k-1)e2(0＜k＜1)。（3)=（+)=(e2+ke2)=(k+1)e2(0＜k＜1）.知識(shí)點(diǎn)二判定動(dòng)點(diǎn)P在定直線AB上例4設(shè)、、OP是三個(gè)有共同起點(diǎn)的不共線向量,求證:它們的終點(diǎn)A、B、P共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)m、n使m+n=1且=+.證明：（1)由三點(diǎn)共線m、n滿足的條件.若A、B、P三點(diǎn)共線，則與共線,由向量共線的條件知存在實(shí)數(shù)λ使=λ，即—=λ(-)，∴=（1-λ)+λ。令m=1—λ，n=λ，則=m+n且m+n=1。（2)由m、n滿足m+n=1A、B、P三點(diǎn)共線。若=m+n且m+n=1，則=m+（1-m)，則-=m（-），即=m.∴與共線。∴A、B、P三點(diǎn)共線.由（1）（2)可知，原命題是成立的.思考一下,若m=n=時(shí)，如何表示?P點(diǎn)在什么位置？方法歸納由上題證明可知:對(duì)直線AB上任意一點(diǎn)P，一定存在唯一的實(shí)數(shù)t滿足向量等式=（1-t)+t（*)，反之，對(duì)每一個(gè)數(shù)值t，在直線AB上都有唯一的一個(gè)點(diǎn)P與之對(duì)應(yīng)；向量式（*)叫做直線AB的向量參數(shù)方程式,其中實(shí)數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。此結(jié)論為我們提供了判定動(dòng)點(diǎn)P在定直線AB上的一種方法。當(dāng)t=時(shí)，=(+）,此時(shí)P為線段AB的中點(diǎn)，這個(gè)公式就是線段AB的中點(diǎn)的向量表達(dá)式。知識(shí)點(diǎn)三向量的夾角例5試指出圖2-圖2答案:（1）∠AOB=θ為兩向量的夾角；(2)與的夾角為0°，兩向量同向共線;（3)與的夾角為180°，兩向量異向共線；（4)兩向量的夾角為θ。知識(shí)點(diǎn)四利用向量證明三點(diǎn)共線例6設(shè)兩非零向量e1和e2不共線。（1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1，—e2)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k,使ke1+e2和e1+ke2共線。思路分析：要證明A、B、D三點(diǎn)共線，需證存在λ，使=λ(e1+e2）即可.而若ke1+e2與e1+ke2共線，則一定存在λ，使ke1+e2=λ(e1+ke2）。解：(1）∵=e1+e2，=+=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5，∴、共線.又因兩向量有公共點(diǎn)B，∴A、B、D三點(diǎn)共線。(2）∵ke1+e2與e1+ke2共線，∴存在λ使ke1+e2=λ（e1+ke2），則（k-λ)e1=(λk-1)e2.由于e1與e2不共線，只能有則k=±1。方法歸納證明三點(diǎn)共線，可結(jié)合題目條件,把e1與e2看作一組基底，從三點(diǎn)中任選兩點(diǎn)組成的向量,用e1與e2表示出來,依據(jù)向量共線的條件判定向量共線，又因?yàn)檫@兩個(gè)向量有共同點(diǎn)，所以可證三點(diǎn)共線.問題?探究方案設(shè)計(jì)探究問題平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的向量都可以用一有序?qū)崝?shù)對(duì)唯一表示,這使我們想到可以用向量作為解析幾何的研究工具.探究過程：如圖2-3—7，設(shè)直線l的傾斜角為α（α≠90°).在l上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)P1（x1，y1），P2(x2,y2)，不妨設(shè)向量的方向是向上的,那么向量的坐標(biāo)是（x2—x1,y2—y1）.過原點(diǎn)作向量=，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x2—x1,y2—y1）,而且直線的傾斜角也是α，根據(jù)正切函數(shù)的定義，得tanα=。圖2探究結(jié)論：k=tanα=就是《數(shù)學(xué)2》中已經(jīng)得到的斜率公式，上述推導(dǎo)過程比《數(shù)學(xué)2》中的推導(dǎo)過程簡捷的多，由此可見向量作為工具是非常有用的.交流討論探究問題我們本節(jié)學(xué)習(xí)了基底的定義，你認(rèn)為人民幣中的元、角、分可以作為基底嗎?探究思路:學(xué)生甲：基,是事物發(fā)展的根本或起點(diǎn),被看作一個(gè)單位的對(duì)象一般叫做基；底，即事情的起源.基底是可以表達(dá)全部事物中任一事物的數(shù)量最少的單位對(duì)象的集合.在我們的生活中,人民幣的計(jì)數(shù)單位有元、角、分，表示任意幣值的基底是“元”，如10萬元,2億元等.學(xué)生乙：這些不能用“角”作為基底來表示嗎？學(xué)生甲：當(dāng)然也可以是“角”,更可以是“分”，但由于元、角、分之間存在著換算關(guān)系“1元=10