學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2.3數學歸納法知識梳理一般地，對于某些與正整數有關的數學命題，用數學歸納法證明分兩步：(1)_______________________________________;(2)_______________________________________.知識導學與自然數n有關的命題，我們無法對所有的自然數逐一驗證，可用數學歸納法證明,對于數學歸納法要求的兩步缺一不可，第一步是基礎，第二步是循環遞增，直至無窮,學習時要正確理解，特別是在前步的基礎上，下一步如何成立，是不是證明了這兩步就對所有的自然數都成立？結合例子來理解.疑難突破為什么證明（1）(2）兩步就能說明對于所有的n≥n0都成立呢?剖析：這是因為第一步首先驗證了n取第一個值n0，這樣假設就有了存在的基礎，至少k=n0成立，根據假設和合情推理，證明n=k+1時也成立，這實質上是證明了一種循環，如驗證了n0=1成立，又證明了n=k+1成立，這就一定有n=2時成立，n=2成立,則n=3成立,n=3成立,則n=4也成立,如此反復，以至無窮,對所有n≥n0的整數就都成立了.數學歸納法用兩步就可以巧妙地解決了無限問題，這就是數學方法的神奇.數學歸納法這兩步缺一不可，只完成步驟（1)而缺少步驟(2)，就作出判斷得出不正確的結論，因為單靠步驟（1)無法遞推下去，即n取n0以后的數時命題是否正確，我們無法判定，同樣,只有步驟（2)而缺少步驟(1)，也可能得出不正確的結論，缺少步驟(1）這個基礎，假設就失去了成立的前提，步驟（2）也就沒有意義了.用數學歸納法證明有關問題的關鍵，在于第二步，即n=k+1時成立是利用假設n=k時成立，根據有關的定理、定義、公式、性質等數學結論,推證出n=k+1時成立,而不是直接代入，否則n=k+1時也成假設了，命題并沒有得到證明.典題精講【例1】證明12-22+32—42+…+（2n—1）2-（2n）2=-n（2n+1).思路分析：用數學歸納法證明等式時要注意等式兩邊的項數隨n怎樣變化,即由n=k到n=k+1時,左右兩邊各增添哪些項。證明：（1）當n=1時,左邊=12-22=—3右邊=—1×(2×1+1)=—3，∴左邊=右邊,等式成立。(2）假設當n=k時等式成立，即12-22+32-42+…+（2k-1)2—（2k)2=-k(2k+1)成立.則當n=k+1時,左邊=12-22+32—42+…+(2k-1）2-（2k)2+［2(k+1)-1］2+［2(k+1)］2=-k（2k+1)+(2k+1)2—(2k+2）2=（2k+1）（k+1）-4(k+1)2=(k+1)［2k+1—4(k+1）］=(k+1)(—2k-3）=—（k+1)［2(k+1)+1]=右邊，∴當n=k+1時，等式成立.由（1）（2)可知對于任意正整數n，等式都成立。綠色通道：可用數學歸納法來證明關于自然數n的恒等式，證明時兩步缺一不可，第一步必須驗證，證明n=k+1時，必須用假設n=k成立的結論證明.變式訓練：用數學歸納法證明.證明：(1）當n=1時，左邊=，右邊=,左邊=右邊,等式成立.(2)假設當n=k時，等式成立，即=成立。則當n=k+1時，左邊====右邊.∴當n=k+1時等式成立.由(1）(2）可知等式恒成立。【例2】數列｛an｝滿足a1=，前n項和Sn=an。（1)寫出a2、a3、a4；（2）猜出an的表達式，并用數學歸納法證明.思路分析：研究數列問題，可先由前n項歸納猜想，再證明.解：(1）令n=2，∵a1=,∴S2=a2,即a1+a2=3a2.∴a2=。令n=3,得S3=a3,即a1+a2+a3=6a3,∴a3=.令n=4,得S4=a4，即a1+a2+a3+a4=10a4,∴a4=。(2)猜想an=,下面用數學歸納法給出證明.①當n=1時，a1=結論成立。②假設當n=k時，結論成立，即ak=，則當n=k+1時，Sk=ak=,Sk+1=，即Sk+ak+1=。∴.∴ak+1=。∴當n=k+1時結論成立.由①②可知，對一切n∈N＊都有an=成立.綠色通道:由遞推關系或前n項和公式求通項可求出前n項，再歸納猜想，用數學歸納法證明數列的通項公式.變式訓練：對于數列{an｝，若an+1=an2—nan+1，n∈N*，當a1=2時,求a2、a3、a4并猜想an的一個通項公式。解：a2=a12-1×a1+1=22-1×2+1=3,a3=a22—2×a2+1=32-2×3+1=4,a4=a32-2a3+1=42-3×4+1=5,猜想an=n+1（n∈N＊）.證明：(1）當n=1時，a1=1+1=2成立.(2)假設當n=k時,ak=k+1成立,則當n=k+1時,ak+1=ak2—kak+1=(k+1)2-k(k+1）+1=k+2。∴當n=k+1時結論成立.由（1)（2）可知，an=n+1(n∈N＊）成立.【例3】試用數學歸納法證明n3-3n2+8n-6能被6整除。思路分析：與自然數n有關的命題都可以用數學歸納法證明。證明：(1）當n=1時,13—3×12+8×1-6=0能被6整除。（2）假設當n=k時結論正確，即k3-3k2+8k-6能被6整除，則當n=k+1時，(k+1)3—3（k+1）2+8（k+1）-6=（k3—3k2+8k-6)+3k(k+1）+6.∵3k(k+1)和6都能被6整除,∴當n=k+1時結論正確。由（1)(2)可知命題成立.綠色通道：用數學歸納法證明整除性問題時，注意構造出歸納假設來，用上假設證明出.變式訓練：求證:n3+(n+1）3+(n+2）3（n∈N*)能被9整除。證明:(1）當n=1時,13+（1+1）3+(1+2)3=36能被9整除。（2)假設當n=k時命題成立,即k3+(k+1)3+(k+2）3能被9整除,則當n=k+1時，(k+1)3+（k+2）3+(k+3)3=k3+（k+1）3+(k+2)3+9k2+27k+27=[k3+(k+1)3+（k+2)3］+9［k2+3k+3］能被9整除。由(1）（2)可知命題成立.問題探究問題：是否存在常數a、b,使等式對于一切n∈N＊都成立。導思：存在性問題先假設存在，然后求出符合條件的量.本題求a、b兩個量只需兩個等式即可,而已知條件是對于一切n∈N＊都成立，即有無數個等式，只需取兩特定n值即可求出。求出得到的a、b對于一切n∈N＊是否成立，需用數學歸納法證明.像這種存在性問題可由特殊求出a、b，即不完全歸納法得出結論，再用數學歸納法加以證明對所有的n∈N＊都成立.探究：假設