國(guó)內(nèi)外經(jīng)典教材名師講堂程守洙《普通物理學(xué)》第十章機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩主講老師：宋鋼第十章機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩

學(xué)習(xí)指導(dǎo)

（1）簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征應(yīng)為振動(dòng)部分的重點(diǎn)，通過(guò)單擺、彈簧振子和扭擺給出動(dòng)力學(xué)特征。

（2）阻尼振動(dòng)中應(yīng)著重分析阻尼力引入后所起的作用。不管欠阻尼、過(guò)阻尼和臨界阻尼，均使系統(tǒng)最后處于靜止；欠阻尼情況的周期也被延長(zhǎng)。受迫振動(dòng)重在穩(wěn)定振動(dòng)情況。

一、諧振動(dòng)

1．簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式

簡(jiǎn)諧振動(dòng)：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)規(guī)律隨時(shí)間變化。

彈簧振子：連接在一起的一個(gè)忽略了質(zhì)量的彈簧和一個(gè)不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)。

回復(fù)力：作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)

點(diǎn)所受的沿位移方向的合外力,

該力與位移成正比且反向。

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征:

據(jù)牛頓第二定律，得

運(yùn)動(dòng)學(xué)特征位移x之解可寫(xiě)為：

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征:

物體的加速度與位移成正比而方向相反，物體的位移按余弦規(guī)律變化。

常量和的確定

根據(jù)初始條件：時(shí)，,，得

在到之間，存在兩個(gè)值，可根據(jù)

確定

2．描述諧振動(dòng)的特征量

1）振幅:物體離開(kāi)平衡位置的最大位移的絕對(duì)值。

2）周期和頻率

周期：物體作一次完全運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。

頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)物體所作完全運(yùn)動(dòng)的次數(shù)。

角頻率:物體在秒內(nèi)所作的完全運(yùn)動(dòng)的次

數(shù)。

對(duì)于彈簧振子，因有

利用上述關(guān)系式，得諧振動(dòng)表達(dá)式：

3）相位和初相

相位：決定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。

初相位：t=0時(shí)的相位。

相位概念可用于比較兩個(gè)諧振動(dòng)之間在振動(dòng)步調(diào)上的差異。

設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，表達(dá)式分別為：

相位差為：

(a)當(dāng)時(shí)，稱兩個(gè)振動(dòng)為同相；

(b)當(dāng)時(shí)，稱兩個(gè)振動(dòng)為反相；

(c)當(dāng)時(shí)，稱第二個(gè)振動(dòng)超前第一個(gè)

(d)當(dāng)時(shí)，稱第二個(gè)振動(dòng)落后第一個(gè)相位可以用來(lái)比較不同物理量變化的步調(diào)，

對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移、速度和加速度，存在:

速度的相位比位移的相位超前π/2，加速度的相位比位移的相位超前π。

3．諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖示法

旋轉(zhuǎn)矢量:一長(zhǎng)度等于振幅A的矢量在紙平面，內(nèi)繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其角速度與諧振動(dòng)的角頻率相等，這個(gè)矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。可直觀地領(lǐng)會(huì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式中各個(gè)物理量的意義。

的長(zhǎng)度為振幅

旋轉(zhuǎn)的角度速為振動(dòng)圓頻率ω

旋轉(zhuǎn)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?/p>

與參考方向X夾角為振動(dòng)相位

M點(diǎn)在X

軸上投影(P點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

4．幾種常見(jiàn)的諧振動(dòng)

1)單擺

一根不會(huì)伸長(zhǎng)的細(xì)線，上端固

定，下端懸掛一個(gè)很小重物，重物

略加移動(dòng)就可以在豎直平面內(nèi)來(lái)回

擺動(dòng)。

根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可得：

單擺在擺角很小時(shí)，在平衡位置附近作角諧振動(dòng)，周期

轉(zhuǎn)角θ的表達(dá)式可寫(xiě)為：

角振幅和初相由初始條件求得。

當(dāng)θ不是很小，物體不再作諧振動(dòng)，而單擺周期T與角振幅的關(guān)系為：

為很小時(shí)的周期。根據(jù)上述周期的級(jí)數(shù)公式，可以將周期計(jì)算到所要求的任何精度。

2)復(fù)擺

一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺(物理

擺)。

剛體的質(zhì)心為C,對(duì)過(guò)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

量為J,O、C

兩點(diǎn)間距離的距離為h。

據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得

θ是很小時(shí)，

5．簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量

以水平彈簧振子為例討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量。

動(dòng)能

勢(shì)能

系統(tǒng)總的機(jī)械能：

諧振系統(tǒng)在振動(dòng)過(guò)程中的動(dòng)能和勢(shì)能雖然分別隨時(shí)間而變化，但總機(jī)械能在振動(dòng)過(guò)程中卻是常量。諧振動(dòng)系統(tǒng)的總能量和振幅的平方成正比,這一結(jié)論對(duì)于任一諧振系統(tǒng)都是正確的。

2．阻尼振動(dòng)

振動(dòng)物體不受任何阻力的影響，只在回復(fù)力

作用下所作的振動(dòng)，稱為無(wú)阻尼自由振動(dòng)。

在回復(fù)力和阻力作用下的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。

阻尼：消耗振動(dòng)系統(tǒng)能量的原因。

阻尼種類(lèi)：摩擦阻尼輻射阻尼

對(duì)在流體(液體、氣體)中運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)物

體速度較小時(shí)，阻力大小正比于速度，且方向相

反，表示為

物體的形狀、大小、和介質(zhì)的性質(zhì)決定在阻力作用下的彈簧振子

受力：

運(yùn)動(dòng)方程:

阻尼振動(dòng)不是周期性振動(dòng)，更不是簡(jiǎn)諧振

動(dòng)，因位移不是時(shí)間的周期函數(shù)。但阻尼振動(dòng)

有某種重復(fù)性。位移相繼兩次達(dá)到極大值的時(shí)間間隔叫做阻尼振動(dòng)的周期，有

顯而易見(jiàn)，由于阻尼，振動(dòng)變慢了。

阻尼振動(dòng)的振幅為：

振幅隨時(shí)間作指數(shù)衰減。阻尼β大小決定了阻尼振動(dòng)振幅的衰減程度。

阻尼振動(dòng)的三種情形：

過(guò)阻尼

欠阻尼

臨界阻尼

通過(guò)控制阻尼的大小，以滿足不同實(shí)際需要。三、受迫振動(dòng)共振

1．受迫振動(dòng)

物體在周期性外力的持續(xù)作用下發(fā)生的振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)。

物體所受驅(qū)動(dòng)力：

運(yùn)動(dòng)方程：對(duì)于阻尼較小的情形，運(yùn)動(dòng)方程之解表為:經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，

衰減項(xiàng)忽略不計(jì)，

僅考慮穩(wěn)態(tài)項(xiàng)。

穩(wěn)態(tài)時(shí)振動(dòng)物體速度

在受迫振動(dòng)中，周期性的驅(qū)動(dòng)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)提供能量，另一方面系統(tǒng)又因阻尼而消耗能量，若二者相等，則系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)。

2．共振

對(duì)于受迫振動(dòng)，當(dāng)外力幅值恒定時(shí)，穩(wěn)定態(tài)振幅隨驅(qū)動(dòng)力的頻率而變化。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的角頻率等于某個(gè)特定值時(shí)，位移振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱為位移共振。

受迫振動(dòng)速度在一定條件下發(fā)生共振的的現(xiàn)象稱為速度共振。

在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以認(rèn)為等同。

應(yīng)用與預(yù)防

增加與減少四、電磁振蕩

1．LC電路的振蕩

電路中電壓和電流的周期性變化稱為電磁振蕩。

向左合上開(kāi)關(guān)K，使電源給

電容器充電，然后將開(kāi)關(guān)K接通

LC回路，出現(xiàn)電磁振蕩效應(yīng)。

在LC電路中，電荷與電流(電場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量)隨時(shí)間作周期性變化，且不斷相互轉(zhuǎn)換。若電路中無(wú)能量損耗，這種變化將一直持續(xù)下去，這種現(xiàn)象稱為無(wú)阻尼自由振蕩。設(shè)某一時(shí)刻電容器極板上電量為q,電路中電流為i，取LC回路的順時(shí)針?lè)较驗(yàn)殡娏髡颍玫?/p>

LC回路自由振蕩角頻率

將電量表達(dá)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo),得到電流表達(dá)式：從前述分析結(jié)果可知，電量和電流都作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。而且電荷和電流的振蕩頻率相同，電流的相位比電荷的相位超前π/2。

設(shè)t時(shí)刻電容器極板上電量

為q，相應(yīng)的電場(chǎng)能量為：

此刻電流為i，則線圈中的磁場(chǎng)能量為:

將電場(chǎng)和磁場(chǎng)能量相加，并利用，得

盡管電能和磁能均隨時(shí)間變化，但總能量守恒。2．受迫振蕩電共振

LRC電路在外加周期性電動(dòng)勢(shì)持續(xù)作用下產(chǎn)生的振蕩，稱為受迫振蕩。

受迫振蕩微分方程：

穩(wěn)態(tài)解

當(dāng)電路滿足

電流振幅最大

電共振：周期性電動(dòng)勢(shì)作用下，電流振幅達(dá)到最大值。3．力電對(duì)比五、一維諧振動(dòng)的合成

1．同一直線上兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)的合成

設(shè)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與沿同一方向(x軸)的兩個(gè)獨(dú)立的同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，兩個(gè)振動(dòng)位移為：

合位移：

合振動(dòng)仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其方向和頻率與原來(lái)相同。

1）當(dāng)兩振動(dòng)同相

同相迭加，合振幅最大。

2）當(dāng)兩振動(dòng)同相

同相迭加，合振幅最大。

3）通常情況下，合振幅介于以上兩者間。2．同一直線上兩個(gè)不同頻率的諧振動(dòng)的合

成拍

當(dāng)兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率不同時(shí)，在旋轉(zhuǎn)矢量圖示法中兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度不相同，二者的相位差與時(shí)間有關(guān)，合矢量的長(zhǎng)度和角速度都將隨時(shí)間變化。

兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率和很接近時(shí)，且

兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得：x=x1