線代期中測試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題[2]分，共[20]分）

1.設矩陣\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則矩陣\(A\)的行列式\(\det(A)\)等于：

A.2B.5C.6D.8

2.若向量\(\mathbf{a}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\)和向量\(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}\)的夾角為\(\theta\)，則\(\cos\theta\)等于：

A.\(\frac{1}{\sqrt{5}}\)B.\(\frac{2}{\sqrt{5}}\)C.\(\frac{3}{\sqrt{5}}\)D.\(\frac{5}{\sqrt{5}}\)

3.設\(\mathbf{A}\)是一個\(n\timesn\)的方陣，且\(\mathbf{A}^2=\mathbf{O}\)，則\(\mathbf{A}\)的秩\(r(\mathbf{A})\)等于：

A.0B.1C.nD.無法確定

4.設\(\mathbf{A}\)是一個\(n\timesn\)的可逆矩陣，則\(\mathbf{A}^{-1}\)的行列式\(\det(\mathbf{A}^{-1})\)等于：

A.\(\frac{1}{\det(\mathbf{A})}\)B.\(\det(\mathbf{A})\)C.\(\det(\mathbf{A})^2\)D.\(\det(\mathbf{A})^3\)

5.設\(\mathbf{A}\)是一個\(n\timesn\)的實對稱矩陣，則\(\mathbf{A}\)的特征值都是：

A.正數B.負數C.非負數D.非正數

6.設\(\mathbf{A}\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，且\(\mathbf{A}^2=\mathbf{O}\)，則\(\mathbf{A}\)的零空間維數\(\dim(\mathbf{N}(\mathbf{A}))\)等于：

A.0B.1C.nD.無法確定

7.設\(\mathbf{A}\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，且\(\mathbf{A}\)的特征值都是實數，則\(\mathbf{A}\)的特征向量都是：

A.實向量B.虛向量C.實向量或虛向量D.無法確定

8.設\(\mathbf{A}\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，且\(\mathbf{A}\)的特征值都是正數，則\(\mathbf{A}\)的行列式\(\det(\mathbf{A})\)等于：

A.正數B.負數C.0D.無法確定

9.設\(\mathbf{A}\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，且\(\mathbf{A}\)的特征值都是負數，則\(\mathbf{A}\)的行列式\(\det(\mathbf{A})\)等于：

A.正數B.負數C.0D.無法確定

10.設\(\mathbf{A}\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，且\(\mathbf{A}\)的特征值都是\(1\)，則\(\mathbf{A}\)的行列式\(\det(\mathbf{A})\)等于：

A.1B.0C.無法確定D.無法確定

二、填空題（每題[2]分，共[20]分）

1.設\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則\(\mathbf{A}^{-1}\)為_______。

2.設\(\mathbf{a}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\)，\(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}\)，則\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\)為_______。

3.設\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則\(\mathbf{A}^2\)為_______。

4.設\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則\(\det(\mathbf{A})\)為_______。

5.設\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則\(\mathbf{A}\)的特征值為_______。

6.設\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則\(\mathbf{A}\)的特征向量為_______。

7.設\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則\(\mathbf{A}\)的零空間維數為_______。

8.設\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則\(\mathbf{A}\)的列空間維數為_______。

9.設\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則\(\mathbf{A}\)的秩為_______。

10.設\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則\(\mathbf{A}\)的核空間維數為_______。

三、解答題（每題[10]分，共[30]分）

1.設\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{A}^{-1}\)。

2.設\(\mathbf{a}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\)，\(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\)。

3.設\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{A}^2\)。

4.設\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(\det(\mathbf{A})\)。

5.設\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{A}\)的特征值和特征向量。

6.設\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{A}\)的零空間維數和核空間維數。

7.設\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{A}\)的列空間維數和秩。

四、解答題（每題[10]分，共[30]分）

8.設\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{A}\)的特征多項式。

9.設\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{A}\)的特征向量。

10.設\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{A}\)的特征值。

五、證明題（每題[10]分，共[20]分）

1.證明：若\(\mathbf{A}\)是一個\(n\timesn\)的可逆矩陣，則\(\mathbf{A}^{-1}\)也是可逆的，并且\((\mathbf{A}^{-1})^{-1}=\mathbf{A}\)。

2.證明：若\(\mathbf{A}\)是一個\(n\timesn\)的實對稱矩陣，則\(\mathbf{A}\)的特征值都是實數。

六、綜合題（每題[10]分，共[20]分）

1.設\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{A}\)的特征值和特征向量。

2.設\(\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，\(\mathbf{B}=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}\)，求\(\mathbf{A}\mathbf{B}\)和\(\mathbf{B}\mathbf{A}\)的特征值和特征向量。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.答案：B

解析：行列式的計算為\(\det(A)=1\times4-2\times3=4-6=-2\)。

2.答案：B

解析：向量點積\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1\times2+2\times3=2+6=8\)，所以\(\cos\theta=\frac{8}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{8}{5}\)。

3.答案：A

解析：如果\(\mathbf{A}^2=\mathbf{O}\)，則\(\mathbf{A}\)的秩至多為1，因為至少有一個特征值為0。

4.答案：A

解析：可逆矩陣的逆矩陣的行列式等于原矩陣行列式的倒數。

5.答案：C

解析：實對稱矩陣的特征值都是非負數。

6.答案：B

解析：矩陣\(\mathbf{A}\)的零空間維數等于\(n\)減去\(\mathbf{A}\)的秩。

7.答案：A

解析：特征向量必須是實向量，因為特征值是實數。

8.答案：A

解析：特征值為正數的矩陣的行列式也是正數。

9.答案：B

解析：特征值為負數的矩陣的行列式也是負數。

10.答案：A

解析：特征值為1的矩陣的行列式等于1。

二、填空題答案及解析：

1.答案：\(\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\)

解析：通過計算\(\mathbf{A}\)的伴隨矩陣和行列式，然后取逆得到\(\mathbf{A}^{-1}\)。

2.答案：8

解析：通過計算向量點積\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\)。

3.答案：\(\begin{bmatrix}7&10\\15&22\end{bmatrix}\)

解析：計算\(\mathbf{A}\)的平方，即\(\mathbf{A}\times\mathbf{A}\)。

4.答案：-2

解析：通過計算\(\mathbf{A}\)的行列式。

5.答案：1,3

解析：通過計算特征多項式\(\det(\lambda\mathbf{E}-\mathbf{A})\)并求解得到特征值。

6.答案：\(\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}\)

解析：通過求解特征方程\((\lambda\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=\mathbf{0}\)得到特征向量。

7.答案：1

解析：零空間的維數等于\(n\)減去矩陣的秩。

8.答案：2

解析：列空間的維數等于矩陣的秩。

9.答案：2

解析：矩陣的秩等于其列數或行數。

10.答案：1

解析：核空間的維數等于\(n\)減去矩陣的秩。

四、解答題答案及解析：

8.答案：\(\lambda^2-5\lambda+2=0\)

解析：計算特征多項式\(\det(\lambda\mathbf{E}-\mathbf{A})\)。

9.答案：\(\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\)和\(\begin{bmatrix}1\\-2\end{bmatrix}\)

解析：通過求解特征方程\((\lambda\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=\mathbf{0}\)得到特征向量。

10.答案