試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁江西省九江市2025屆高三上學期第一次高考模擬統一考試數學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合A=x||x|<3,x∈Z,B=x3A．?2,?1,0 B．?2,?1,0,1 C．0,1,2 D．?1,0,1,2【答案】C【分析】解絕對值不等式和一元二次不等式求出集合A和B，再由交集定義求解即得.【詳解】因A=x||x|<3,x∈Z則A=?2,?1,0,1,2,故A∩B=0,1,2故選：C．2．若復數z=52+i，則z?A．2 B．4 C．5 D．5【答案】A【分析】應用復數除法求復數，再求共軛復數，進而求復數的模.【詳解】∵z=5∴z=2+i故選：A3．已知角α的終邊在直線2x?y=0上，則tan2α=（

A．?43 B．43 C．?【答案】A【分析】由正切的定義及正切二倍角公式即可求解；【詳解】解：依題意，在直線上任取一點m,2m（m≠0），可得tanα=2,∴故選：A．4．新華社北京2024年9月8日電，中共中央黨史和文獻研究院編輯的習近平同志《論教育》，由中央文獻出版社出版，在全國發行．這部專題文集，收入習近平同志關于教育的重要文稿47篇．九江市教育局準備了9個相關問題（含問題A）到某校調研教職員工的學習情況，從該校隨機抽取了6名教師，每名教師相互獨立地隨機抽取3個問題并作答，且每個問題被抽取的可能性相等．記X表示抽到問題A的教師人數，則EX=（A．43 B．4 C．23【答案】D【分析】確定X服從二項分布，由二項分布期望公式即可求解；【詳解】解：∵每名教師抽到問題A的概率為C8由題意可知X～B6,13故選：D．5．已知向量a,b滿足a?b=3，且a=A．?433a B．433【答案】B【分析】計算出bcosa,【詳解】由題意得bcos∴b在a上的投影向量為b故選：B．6．將函數fx=sinωx+π3的圖象向左平移π6A．5 B．8 C．11 D．13【答案】D【分析】根據左加右減得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求出ω=6k+1,k∈Z，得到答案.【詳解】依題意，得gx則ωπ6+當k=2時，ω=13，D正確，其他選項均不正確.故選：D．7．在棱長為3的正方體ABCD?AB1C1D1中，點P在正方體內（包含邊界）運動．若直線A1P與A．π4 B．π2 C．3π【答案】B【分析】根據直線A1P與DC所成角為π6，得直線A1P與直線A【詳解】解：如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，即直線A1P與直線A1B1所成角為π母線長為2的圓錐側面的四分之一．即動點P所圍成的圖形的面積為14故選：B．8．定義在R上的函數fx滿足：①對任意x∈R，都有f2+x=f1?f?x；②fA．fx+2是奇函數 B．fC．f?12【答案】C【分析】根據對稱性可得fx的圖象關于1,0對稱，直線x=2【詳解】令x=?1，得f2?1=f1?f1=0，即又∵f2x的圖象關于直線x=1對稱，故f2x=f22?xfx=f4?x對于A，fx+2的圖象是將fx的圖象向左平移2個單位，故fx+2的圖象關于y對于B，fx+1的圖象是將fx的圖象向左平移1個單位，故fx+1對于C，由f2+x+f?x=0，得f?∴f?對于D，依題意，得f12=?22故選：C．二、多選題9．某校高三年級第一次聯考后，為分析該年級1200名學生的物理學習情況，通過分層抽樣的方法對該年級200名學生的物理成績進行統計，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．則（

）A．a=0.05B．估計該年級學生物理成績的均值為72C．估計該年級學生物理成績的中位數為72.5D．估計該年級物理成績在80分及以上的學生人數為240【答案】BCD【分析】A選項，根據頻率之和為1得到方程，求出a=0.005；B選項，利用中間值作代表，求出平均值；C選項，先確定學生物理成績的中位數所在區間，利用公式計算出答案；D選項，結合80分及以上的學生人數頻率，得到答案.【詳解】A選項，10×3a+5a+8a+3a+a=1，解得B選項，由頻率分布直方圖可知，估計該年級學生物理成績的均值為0.005×10×3×55+5×65+8×75+3×85+1×95C選項，∵50,70的頻率為10×50,80的頻率為10×3+5+8∴估計該年級學生物理成績的中位數為70+0.5?0.4D選項，估計該年級物理成績在80分及以上的學生人數為0.005×10×3+1故選：BCD．10．已知函數fx=cosA．fx是偶函數 B．fC．fx的最大值為1 D．fx【答案】AC【分析】根據偶函數定義判斷A，零點定義計算判斷B，根據余弦函數的有界性得出最大值判斷C，D.【詳解】∵f?x=cos由fx=0，得∵?1≤cos即?1≤fx≤1，等號成立的條件當x=?π,cosx=?1,x2+1=1故選：AC．11．天文學家在研究某行星時，發現其運行軌道與圖中曲線C極其相似．已知C過坐標原點，且C上的點到F1?1,0與F21,0兩點的距離之積為常數A．a=1B．C上點的縱坐標的最大值為1C．若雙曲線2x2?2y2=1與CD．若直線y=kx與C有三個交點，則k【答案】ABD【分析】A選項：對于已知曲線的性質求參數值的問題，通過將特殊點代入曲線所滿足的條件來求解參數.B選項：方法一：利用圓與曲線的交點性質以及三角形面積公式，結合三角函數的性質來求解曲線C上點的縱坐標的最大值.方法二：通過對y2關于x的表達式求導，分析函數的單調性來求最大值.C選項：方法一：根據雙曲線的定義和勾股定理逆定理判斷三角形的形狀，再利用三角形面積公式求解.方法二：通過聯立方程組求解交點坐標，進而求出三角形的高y，再根據三角形面積公式求解.D選項：將直線方程代入曲線方程，轉化為關于x【詳解】設C上的點為x,y，則x?12∴a=1，故A正確；∵以F1F2為直徑的圓與C必有交點M,∴存在點M設N為C上的點，則△NF1F又∵S=1∵雙曲線2x2?2y2=1的焦點為∴P∴△PF1F2為直角三角形，故∵C的方程為x?12+y將y=kx代入（*）得1+k要使得方程有三個不等的實根，則1?kB選項另解：由對稱性，不妨設C上點Px,y由（*）得y2=4則t′x=2x24由t′x<0∴tx在0,32∴txmax=tC選項另解：聯立方程組x2+y又∵2x2?2y2故選：ABD．【點睛】思路點睛：A選項：遇到求曲線中參數值的問題，優先考慮利用曲線所過的特殊點或已知條件來建立方程求解.B選項：求曲線C上點的縱坐標的最大值，可以從幾何角度（如三角形面積與曲線的關系）或代數角度（如求函數的最值）入手，根據具體情況選擇合適的方法.C選項：對于涉及雙曲線和曲線C交點以及三角形面積的問題，可以從雙曲線的定義、勾股定理等幾何性質出發，也可以通過聯立方程組求解交點坐標來解決.D選項：處理直線與曲線交點個數問題，一般將直線方程代入曲線方程，轉化為關于一個變量的方程，然后根據方程根的個數來確定參數的取值范圍.三、填空題12．已知函數fx=log1【答案】0【分析】根據分段函數先求f2，再求f【詳解】∵f2故答案為：0.13．已知拋物線E:y2=8x，⊙F:x?22+y2=1，過點F的直線l與E【答案】6【分析】拋物線E:y2=8x的焦點F2,0，則AB+【詳解】如圖，因為拋物線E:y2=8x所以AB=故AD的最小值為拋物線的通徑長8，故AB+故答案為：6.14．如圖，有一個觸屏感應燈，該燈共有9個燈區，每個燈區都處于“點亮”或“熄滅”狀態，觸按其中一個燈區，將導致該燈區及相鄰（上、下或左、右相鄰）的燈區改變狀態．假設起初所有燈區均處于“點亮”狀態，若從中隨機先后按下兩個不同燈區，則B,G燈區最終仍處于“點亮”狀態的概率為．【答案】5【分析】根據相鄰原則把9個燈區分為三類：第一類F,I燈區，第二類A,B,【詳解】從9個燈區中隨機先后按下兩個燈區，共有A9與B相鄰的燈區為A,C,E；與G相鄰的燈區為D,H，故將9個燈區分為三類：第一類F,①若先后按下的是F,I兩個燈區，則B,G燈區最終仍處于“點亮”狀態，共有A2②若先后按下的是A,B,C,③若先后按下的是D,G,H燈區中的兩個，則B,G燈區最終仍處于“點亮”狀態，共有故答案為：518四、解答題15．記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知b=1,a(1)求A；(2)若B=π4，求【答案】(1)A=(2)3?【分析】（1）根據所給的條件，結合余弦定理，可求cosA的值，再結合角A的取值范圍，可得角A（2）利用正弦定理，可求邊a，利用三角形內角和求角C，再利用三角形的面積公式求解.【詳解】（1）由a2=又∵b=1,∴∵A∈（2）由正弦定理得a=∵C=π所以sinC=sinπ3?π4∴△ABC的面積S=116．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD，E,F分別為線段PB,CD(1)求證：PB⊥平面AEF；(2)求二面角P?BF?A的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)30【分析】（1）先由線面垂直的判定定理得到面AF⊥平面PAB，再由線面垂直的判定定理證明PB⊥平面AEF即可；（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面PBF和平面BFA的法向量，代入空間二面角的余弦公式求解即可；【詳解】（1）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，知△ACD為正三角形，又F為線段CD的中點，則AF⊥CD，即∵PA⊥平面ABCD,AF?平面ABCD,∴AF⊥PA，又PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB,∴AF⊥平面PAB，又PB?平面PAB,∴PB⊥AF，∵PF=BF,E為線段PB的中點，∴PB⊥EF，又AF∩EF=F,AF,EF?平面AEF,∴PB⊥平面AEF.（2）如圖，以AB,AF,AP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則B2,0,0設n=x,y,z為平面PBF的法向量，由n令x=3，則y=2,z=3，即易知m=0,0,1為平面∴cos由圖可知二面角P?BF?A為銳二面角，故其余弦值為301017．已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0(1)求橢圓E的標準方程：(2)在x軸上是否存在一點P，使得△PBC為等邊三角形？若存在，求OP的長；若不存在，請說明理由．【答案】(1)x(2)存在，OP【分析】（1）利用四邊形AF1BF2（2）設直線BC的方程為y=kx?2k≠0聯立橢圓方程求解出點C的坐標，然后△PBC為等邊三角形的幾何關系求解出k【詳解】（1）∵四邊形AF1BF2

由對稱性可知，A,B為短軸端點．∴2b=2c=4,b=c=2,a=2∴橢圓E的標準方程為x（2）假設在x軸上存在一點P，滿足條件．由對稱性，不妨設B0,?2，設直線BC的方程為代入橢圓方程x2+2∴設線段BC中點為Mx0,∴線段BC的中垂線方程為y=?∵△PBC為等邊三角形，∴P在線段BC的中垂線上，令y=0，得x=2k1+2k2，即又∵∠PBC=π3，∴tan∴在x軸上存在一點P，使得△PBC為等邊三角形，且OP18．已知函數fx=e2x+ax(1)求a；(2)若b≥a，判斷fx(3)當x≥0時，fx≥2x【答案】(1)a=?2(2)函數在R上單調遞增(3)7?4【分析】（1）由導數的幾何意義求得斜率，再結合斜率公式列出等式求解即可；（2）通過二次求導，結合導數與單調性的關系即可判斷；（3）由x=0，得b∈R，再由x>0時，原不等式等價于b≥2x3【詳解】（1）ff12=又∵切線經過點0,解得a=?2．（2）由（1）知fx=e2x?2x當x<0時，g′x<0,f′x在?∞,0上單調遞減，當x>0∴fx在R（3）由題意得e2x?2x①當x=0時，b∈R②當x>0時，原不等式等價于b≥設?x=由（2）知，當b=?2時，e2x?2x2?2x>1∴當x∈0,12時，?′x>0，?x∴?∴b≥7?4e2，故19．已知an是由不全相同的正整數組成的有窮數列，其前n項和為Sn，a1=1．集合A=Sn∣Sn=2k?1,k∈Z，A中元素個數為m(1)若an+2=an+1(2)若an是公比為偶數的等比數列，證明：an為(3)若m～t數列an是等差數列，求t【答案】(1)1，1，2，3或1，1，2，3，5或1，1，2，3，5，8(2)證明見解析(3)2【分析】（1）由m～t數列的概念即可求解；（2）由等