專題09數(shù)列求和方法之裂項相消法

一、單選題

+則數(shù)列

1.已知數(shù)列｛q｝的前〃項和s“滿足S”

2

A10

-IB-C.

【答案】c

【分析】

111

首先根據(jù)工=〃（〃+”得到q=〃，設(shè)瓦=------=再利用裂項求和即可得到答案.

2凡凡+1〃〃+1

【詳解】

當(dāng)〃=I時，4=E=I,

_〃(〃+】)〃(〃一1)_”

當(dāng)”之2時,an=Sn-S/r-1.

22

檢驗4=1=S],所以a”=n

,1111

設(shè)2=

1MH〃(〃+1)前〃項和為5,

1111,110

貝U=1-1+=]———

2)123(10111111

故選:C

2.談祥柏先生是我國著名的數(shù)學(xué)科普作家，在他的《好玩的數(shù)學(xué)》一書中，有一篇文章《五分鐘挑出埃及

分?jǐn)?shù)》，文章告訴我們，古埃及人喜歡贊用分子為1的分?jǐn)?shù)（稱為埃及分?jǐn)?shù)）.則下列埃及分?jǐn)?shù)有，—

----,…，------------的和是()

5x72019x2021

20201010

A.----B.----

20212021

-1009、2018

C.----D.----

20192019

【答案】B

【分析】

根據(jù)裂項相消法即可求和.

【詳解】

1If1\}

因為〃(〃+2)―5(彳一^71,

1111

---------1------------1------------FH-----------------------

1x33x55x72019x2021

212021J

1010

-20211

故選：B

211I

3.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S.,且SL；S5,S6=21,若孑？+不不++3不＜久恒成立，則義

3八1八2八”

的最小值為()

A.1B.2

C.3D.4

【答案】A

【分析】

由S,ujSs，求得q=d,又由§6=21,求得4="=1,求得'=〃+"(；=得到

11I111,1

—=--------進(jìn)而求得”十k+…+^r=l——;，結(jié)合題意，即可求解.

2Snnn+\2sl2S22Snn+\

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的公差為〃，

24x32(5x4、

因為S4=§Ss，所以4q+《一dJ,

整理得124+184=104+204,即g=d,

6x5

由S?=21,可得6q+《-4=21,即6q+l5d=21,所以4=4=1,

n(/i-1)〃(〃+l)I111

所以S“=〃+所以----=---------=---------

222S?〃(〃+1)n〃+1

1111111=1--彳＜1,

所以---+----++---=1-14

“2sl2s22S”23nn+\〃+1

111

因為-----1------H---<-2恒成立，所以aNl,故尤的最小值為1.

25,2邑2S.

故選:A.

【點睛】

若把一個數(shù)列的通項拆成兩項之差，在去和時中間的一些項可以相互抵消，從而取得前〃和,

其中常見裂項的技巧:

1111

①；②）；

+n7Z4-1n(n+2)2nn+2

(2”l)1(2〃+l)%2〃1-12〃1+1

③)；(1)-7=-1^==4n+\-4n；

7n+5/〃+1

i11

⑤).

欣〃+1)(〃+2)+D(〃+1)(〃+2)

n,.1

4.定義〃+〃++〃為〃個正數(shù)〃2,…，凡的“均倒數(shù)”，若已知數(shù)列｛q｝的前〃項的“均倒數(shù)”為工，

all1

又包=U，則B++…+K=（）

2姑2以

8109

A.—B.—C.—D.—

17212319

【答案】D

【分析】

由題意結(jié)合新定義的概念求得數(shù)列的前〃項和，然后利用前〃項和求解通項公式，最后裂項求和即可求得最

終結(jié)果.

【詳解】

設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，由題意可得：y=—,則：S.=2n：

當(dāng)〃=1時，％=S[=2,

當(dāng)〃之2時，〃“=S〃_S〃_]=4〃-2,

且q=4xl-2=2,據(jù)此可得q=4〃-2,

I_]_\_(_1_____1_、

故"吟=2〃-1，〃也+i(2/i-l)(2w+l)212〃-12/7+1；

據(jù)此有:

11

--------1----------F,??H---------

瓦瓦b力③為九

+…+

故選：D

5.己知數(shù)列｛4｝滿足4=1,。e=e],則數(shù)列｛4四川｝的前“項和7；=()

nn八2n、n

A.----B.----C.----D.----

2n-\In+12/1+14”+2

【答案】B

【分析】

利用倒數(shù)法求出數(shù)列4｝的通項公式，進(jìn)而利用裂項相消法可求得

【詳解】

已知數(shù)列｛4｝滿足q=?,

4*

a1l+2a”1r11.

在等式6+1=n兩邊同時取倒數(shù)得一=——-=—+2,------------=2,

2q+1%4anatl+lan

所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項為一二1,公差為2,則-!-=l+2(〃-1)=2〃—I,L.

[qj4%2/z-l

?_i_lf_!______!_、

：一(2/7-1)(2/Z+1)-2V2/7-1-2/7+l)

因此，＜=;111_n

2/7-12刀+J-2〃+【

故選：B.

【點睛】

使用裂項法求和時，要注意正負(fù)項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被

消去的項有前后對稱的特點，實質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的.

二、解答題

6.已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，q=2,3S”=(〃+2)a”.

(I)求｛qj的通項公式:

,n+2,、

⑵設(shè)"=—yr，求數(shù)列也｝的前〃項和q.

【答案】(1)qr=〃(〃+1)：(2)I=「(〃+；.2”?

【分析】

(1)當(dāng)〃22時，由3s“=(〃+2)勺得到3S“T=(〃+1)4T，兩式相減，然后再利用累積法求解.

口)由(1)得々=〃(；：.2T焉一品廣然后利用裂項相消法求解?

【詳解】

(1)當(dāng)〃22時，3S,I=(〃+1)?I，

則3%=3S〃-3sM=(〃+2)凡一(〃+1)*，

整理得馬〃+1

%n-\

〃+1

?—―-???—-2=〃(〃+1)(〃>2)

~~n^\n-2n-31'八’

當(dāng)?shù)?1時,4=2滿足上式,故q二〃(〃+1).

,n+2,11

(2)/??=-；-----；-----=2-------

n(n+\)-2n[n-2n(〃+l)2+i

-1-----1--1-1-----1------11

22x222x223x23++〃2+

=I---------

(7?+l)-2n.

【點睛】

方法點睛：求數(shù)列的前〃項和的方法

(1)公式法：①等差數(shù)列的前〃項和公式，S.="(4+"")=+“〃-1)和②等比數(shù)列的前〃項和公式

"212

叫,q=l

(2)分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解.

(3)裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項.

(4)倒序相加法：把數(shù)列分別正著寫和切著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣.

(5)錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項之積構(gòu)成的，則這個數(shù)列的

前〃項和用錯位相減法求解.

(6)并項求和法:一個數(shù)列的前〃項和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項求和.形如m=(-1)伏〃)類型，

可采用兩項合并求解.

7.數(shù)列｛qj各項都為正數(shù)，前〃項和為S“，4=2,%=5,當(dāng)〃23時，S,=Sf一。3).

(1)求：

(2)求數(shù)列，一!—，的前〃項和

【答案】(1)??=3/1-1；(2)—.

6〃+4

【分析】

(1)當(dāng)〃N3時，結(jié)合條件可得4+%T=；(凡一47>(4一4.1)，即可得區(qū),一。1=3(H>3),經(jīng)驗

證可得q-/_1=3(〃之2),從而數(shù)列｛4｝是首項為2公差為3的等差數(shù)列，可得出答案.

11I(11]

(2)----------=7Z—777^—77=-><-一用裂項相消可得答案.

4/4+1(3〃一1〉(3〃+2)313〃-13〃+2J

【詳解】

a

(1)當(dāng)〃23時,Sn=S“_2+；(4-W-I)，所以4+n-\=S“一Sn_2=-aj])，

所以。“+41=；(%—a,i)?(為-)-

因為｛4｝各項都為F數(shù),所以M+a,?>0,故應(yīng)-a—=3(w>3).

又因為4=2,a2=5,所以。2-%=3,故%-%=3(〃22),

所以數(shù)列｛〃“｝是首項為2公差為3的等差數(shù)列，

故凡=3〃-1.

11I(11)

~an-an+l(3w-1)-(3/?+2)3\3/?-13n+2)'

“丁1C1111I1fl11n

所以Tt=-X-------H----------1■…d-------------------------x-------------=-----------.

"3(25583/j-l3n+2)3(23〃+2,16〃+4

8.等差數(shù)列｛4｝各項都為正數(shù)，%=2,叼=5，

當(dāng)近3時，S〃=S”_2+;(〃：-吃一)

(1)求句:

(2)求數(shù)列,一^的前〃項和

【答案】(1)4=3〃-1：(2)—^―.

671+4

【分析】

(1)由S“=S,T+；一匕」)可得q+勺」=；(4+%)?(4,-《,一)，即可得4-=3(〃N3),

再結(jié)合q-4=3,即可得｛4｝是等差數(shù)列，進(jìn)而求得｛4｝的通項公式；

111(111

(2)利用裂項求和即可，-------=八,小加千丁二一三工?

【詳解】

⑴當(dāng)〃之3時，S,r=S“_2+*/,"a；T),

所以a“+q-=S「ST=g(d—4"),

所以仆+%=；(%+%)(4-4T)-

因為｛q｝各項都為正數(shù)，所以見+。1>0,故4一4_尸3(〃之3).

又因為4=2,g=5,所以。2-4=3,故4-%=3(〃22),

所以數(shù)列｛4｝是首項為2,公差為3的等差數(shù)列，

所以〃“二3〃-1.

I11(11、

(2)因為-------=-7~~^-77—TV=-X--,

an-an+i(3/?-1)-(3/?+2)313〃-13n+2J

一，丁1C111111<11；n

所以Tt=-X-----1------F??4------------=-X---------=------.

"3(25583/j-l3/J+2J3(23〃+2)6〃+4

【點睛】

方法點睛：數(shù)列求和的方法

(I)倒序相加法：如果一個數(shù)列卜/“｝的前.〃項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么

求這個數(shù)列的前〃項和即可以用倒序相加法

(2)錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個

數(shù)列的前〃項和即可以用錯位相減法來求：

(3)裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些項可相互抵消，從而求得其和：

(4)分組轉(zhuǎn)化法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可

用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；

(5)并項求和法：一個數(shù)列的前〃項和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和，形如勺=(-類

型，可采用兩項合并求解.

9.已知數(shù)列｛《,｝是等差數(shù)列，若4=2,且％,2%,2/一1成等比數(shù)列，數(shù)列也｝滿足

,A仇.包123

b.+—+—+L+」=—〃"+一〃.

123n22

(1)求數(shù)列｛q｝,數(shù)列也｝的通項公式;

|Q

⑵若數(shù)列｛q｝為正項等差數(shù)列，設(shè)J二二瓦,求證：數(shù)列｛%｝的前〃項和

【答案】(1)q=〃+1或4=一；〃+?,，=〃2+M〃￡N)(2)證明見解析.

【分析】

(1)｛4｝是等差數(shù)列,設(shè)公差為”,由生?2見.2q—1成等比數(shù)列,列方程解出公差，進(jìn)而得出數(shù)列｛4｝：

當(dāng)〃22時，4+%+%+L+-^-=-(7?-1)2+-(W-1),

'23n-\2V72V7

與原式作差得數(shù)列也｝:

(2)%=^~~7〈丁二--]]，利用裂項相消法計算出放縮后的數(shù)列和，即可證得不等

式成立.

【詳解】

(I)???數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為“，

則q.(2%_])=(2/)2,

即(2+2")?(6〃+3)=(4+24)2,解得〃=1或4=

513

故《二〃+1或a=一一n+一,

44

令〃=1,得4=2,

當(dāng)〃之2時，/>,+—+—+L+-^-=—(//-1)2+—(/?-1),

1232、72V7

與原式作差得4=〃+1,"=/+M〃N2),

n

驗證得4=2滿足通項，故"=〃2+M〃tN*).

(2)因為數(shù)列｛4｝為正項等差數(shù)列，由(1)可知/=〃+1,

111(11、

n~+2/2+1n~+2n2\nn+2)

[、

不等式得證.

n+2>

【點睛】

方法點睛：本題考查數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列的放縮與求和，考查了學(xué)生計算能力，數(shù)列求和的方法有:

I.公式法，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行計算即可:

2.裂項相消法，通過把數(shù)列的通項公式拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求出數(shù)列

的和；

3.錯位相減法，當(dāng)數(shù)列的通項公式由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積構(gòu)成時使用此方法；

4.倒序相加法，如果一個數(shù)列滿足首末兩項等距離的兩項之和相等，可以使用此方法求和.

IU.設(shè)數(shù)列口｝的前〃項和為已知/、4、5“成等差數(shù)列，且出=邑十2.

(1)求｛q｝的通項公式；

⑵若，［-------------------，也J的前〃項和為乙，求使77；<1成立的最大正整數(shù)〃的值.

iog2Cl2n+i,10g2%”+3

【答案】(1)4“=2"；(2)8.

【分析】

(1)本題首先可根據(jù)4、%、S.成等差數(shù)列得出2qr=S“+q以及2%T=S,-+4,然后兩式相減，得

出4=2al,最后根據(jù)%=S3+2求出q=2,即可求出｛aH｝的通項公式；

(2)本題可根據(jù)題意得出―上一支并將其轉(zhuǎn)化為2=丁二一丁二)，然后通過裂項相

(2〃+1)(2〃+3)212〃+12/7+3J

7〃

消法求和得出名=—,小，最后根據(jù)77；<1得出：;；；；；--<1,道過計算即可得出結(jié)果.

【詳解】

(1)因為《、勺、s“成等差數(shù)列，所以2a“=S”+4,

當(dāng)”之2,有2q_[=S“_]+4,

兩式相減，可得2見一2al=S”-S,i=an,即=2”,

由題意易知400,故｛4｝是公比為2的等比數(shù)列，S.=4（2”-1）,

因為4=4+2,所以234=4（23-1）,解得q=2,

故｛%｝的通項公式為4=2”.

]

(2)因為“=凡二2"，

|0

§2?2?+1.Qg2

______

所以'=⑵7+1)(2〃+3)212〃+12〃+3J

1___________________?Vn

*2〃+l-2〃+3廠5"2〃+3廠3(2〃+3)

因為所以誣石解得〃<9,

故7北<1成立的最大正整數(shù)〃的值為8.

【點睛】

本題考查數(shù)列通項公式的求法以及裂項相消法求和，考查等差中項以及等比數(shù)列前.〃項和公式的應(yīng)用，常見

的裂項有/一一二、J--1［、/）等,考查計算能

力，是中檔題.

11.等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為S“，己知囚=10,色為整數(shù)，且S.《S4.

（I）求｛叫的通項公式：

（2）設(shè)公二藐一，求數(shù)列｛2｝的前〃項和4.

【答案】（I）q=13-3〃，“eM：（2）T=

n10(10-3z0,

【分析】

（1）根據(jù)條件，可得數(shù)列｛4｝的公差。為整數(shù)，旦a420Ms〈。，利用等差數(shù)列通項公式，可得4，d的

關(guān)系，即可求得d的值，代入公式即可得答案;

（2）由知：勺=13-3〃，可得。的表達(dá)式，利用裂項相消法求和即可得答案.

【詳解】

（1）由4=10,%為整數(shù)知，等差數(shù)列｛〃”｝的公差d為整數(shù),

又，4s4,故420，牝工。，

即：1O+3"NO,IO+4"WO

解得：一處444-',因為d為整數(shù)，

32

所以4=-3,

所以等差數(shù)列應(yīng)｝的通項公式為：勺=13-3〃，〃wN’.

（2）由（1）知：a?=13—3n,〃eN"，

所以a----------------=一?(----------------)

(13-3〃)(10—3〃)310-3/?13-3/7

所以1=4+A+...+b(—!-------!—)]

"12"37W4710-3//13-3/1

1,11n

910-3〃一歷)-10(10-37?)

【點睛】

1If11

本題考查數(shù)列求通項，裂項相消法求前〃項和，常見的裂項技巧：（1）-7-77=7------7：（2）

〃（〃+%）k\nn+k）

尸則;⑶（2/〃+1）=；焉-備｝（4）

2”（2^-1）-（2;?-1）11

、/24\\二丁7一：^「；裂項時，容易出現(xiàn)多項或丟項的問題，需注意，

（2M-l）（2d+,-l）（2M-l）（2n+,-l）2n-\2rt+,-l

考查分析理解，il?算求值的能力，屬中檔題.

12.給出下列三個條件：①4%,3%,24成等差數(shù)列；②§3=7；.③對于V〃€N"點（〃,S〃）均在函數(shù)

），=2、-。的圖像上，其中。為常數(shù).請從這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并求解.

設(shè)｛%｝是一個公比為9（4>0,夕工1）的等比數(shù)列，且它的首項4=1,（填所選條件序號）.

（1）求數(shù)列｛〃“｝的通項公式:

⑵令a=log,a”+l（〃eN*）,設(shè)數(shù)列,丁的前〃項和為工…求Tn

也也用J

【答案】選擇見解析；（1）q,=2"T；（2）—.

n+i

【分析】

（1）若選①：解得4=2,即得數(shù)列的通項；若選②：解"）=7得公比,即得數(shù)列的通項；若選③：

"q

求出4=2,即得數(shù)列的通項：

（2）求得“=〃，再利用裂項相消求出數(shù)列4」一）的前F項和為

曲%J

【詳解】

（1）若選①：因為4%，3%,2%成等差數(shù)列，所以2x3q=4a3+2。"

又因為數(shù)列｛〃“｝是等比數(shù)列，即始-3t7+2=0解得夕=2或夕=一1（舍去）

又6=1,所以數(shù)列｛%｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，所以數(shù)列｛為｝的通項公式為二2"T

若選②：邑=7,因為｛4｝是公比為以4>0,4工1）的等比數(shù)列，

所以要二￡1=7,即夕2+夕一6=0解得“=2或9=-3（舍去）

1-4

所以數(shù)列｛q｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，所以數(shù)列｛《J的通項公式為〃“二2"T

若選③：點（〃電）均在函數(shù)），=2一0的圖像匕所以S.=2"-a,又因為4=5=2-*所以a=l,所

以邑=2"-1,所以§2=3,所以生=2,夕=2.

所以數(shù)列｛4｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，所以數(shù)列｛4｝的通項公式勺=2°T

（2）證明：因為凡二2小，所以2=log2〃“+l=〃

1111

所以7"J—=二—r=-----r

T1111111c1i

所以T,=------+-------+.......+---------=J-—+-------+?+-----------

b也b2b3bnbnA223〃"1

,1n

=1--------=-------.

/7+1n+\

【點睛】

方法點睛：數(shù)列求和常用的方法有：（I）公式法：（2）錯位相減法：（3）分組求和法：（4）裂項相消法：（5）

倒序相加法.要根據(jù)數(shù)列通項的特征，靈活選用，認(rèn)真計第:.

13.已知等差數(shù)列｛為｝的前〃項和為5“，％=18,SI0=110.

（I）求數(shù)列｛q｝的通項公式《：

-

S-求數(shù)列低｝的前〃項和?；.

【答案】（1）4=2〃；（2）T=

n〃+1

【分析】

（1）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,根據(jù)已知條件可得出關(guān)于《、d的方程組，解出這兩個量的值，利用

等差數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列｛《；｝的通項公式;

（2）求得”=■!■-——,利用裂項相消法可求得7；.

n〃+1

【詳解】

%=6+8d=18

（1）設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為"，由?,解得q=d=2,

S10=10?,+45J=110

所以，q,=4+（〃-1）〃=2〃，故數(shù)列卜/“｝的通項公式a”=2〃：

(2)由(1)可得S“=〃2+2〃=+

2

,1111

所奶

【點睛】

方法點睛：數(shù)列求和的常用方法:

（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；

（2）對于｛《"｝型數(shù)列，其中｛4｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列,利用錯位相減法求和:

（3）對于｛4+〃｝型數(shù)列，利用分組求和法；

（4）對于?丁卜?型數(shù)列，其中｛4｝是公差為&"=（））的等差數(shù)列，利用裂項相消法.

14.已知等差數(shù)列｛凡｝的前〃項和為5”，%「%>（）,%=3,且％,%，12+生成等比數(shù)列.

（1）求。“和S”；

（2）設(shè)數(shù)列｛〃｝的前〃項和為小求證：^<7；,<1.

VJQe2

【答案】（1）4=2〃-1,S“二〃2：（2）證明見解析.

【分析】

a2=3,

（I）設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的公差為d,首項為《，由，求出q=1,[=2即可求解:

a；=%(12+%),

,iI1

(2)由S”=〃2,可得"=、晨—=----,利用裂項相消求和求出I,再利用不等式的性質(zhì)和數(shù)列

卜￡“〃〃+1

的單調(diào)性即可求證.

【詳解】

解：（I）設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為"，首項為《，

由4+1得d>0,

W=3,a.+d=3,

則4;所以4/

'［痣=。］(12+%),［(4+2d)-=4(12+6+6”).

解得q=1,d=2,

所以《=2〃-1,

I11|

（2）因為“二

S“S“”n(n+\)nn+1"

"122334n〃+1〃+1

因為北二1--L單調(diào)遞增.所以

〃+12

綜上，二W1.

2

【點睛】

方法點睛：數(shù)列求和的方法

（I）倒序相加法：如果一個數(shù)列｛斯｝的前n項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么

求這個數(shù)列的前n項和即可以用倒序相加法

（2）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之根構(gòu)成的，那么這個

數(shù)列的前n項和即可以用錯位相減法來求;

（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時.，中間的一些像可相互抵消，從而求得其和:

（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列:或可求和的數(shù)列組成，則求和時可

用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減：

（5）并項求和法：一個數(shù)列的前n項和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和，形如an=（T）nf（n）類型，可

采用兩項合并求解.

15.已知數(shù)列｛〃“｝,｛bn｝,｛c,J滿足q=4=c;=I,g=%—，%=?（：","三N*.

（1）若｛5｝為等比數(shù)列，公比夕>。，且6々+4=次，求9的值及數(shù)列伍“｝的通項公式：

（2）若｛"｝為等差數(shù)列，且瓦+4=5,證明。+。2+。3+…+%<3，nwN*.

7-42-n

【答案】（I）4=2：a=；（2）證明見解析.

3

【分析】

c|

（|）先由題設(shè)求得q,從而求得2及」包二公，然后求得、，再利用登加法求得凡即可：

（2）先由題設(shè)求得等差數(shù)列｛4｝的公差4,然后求得"及干=*，再利用累乘法求得c“，最后利用

裂項相消法求得q++…+C，即可證明結(jié)論.

⑴解：由題設(shè)知：6+夕=2八解得：q=2或4=—；（舍），.二R二2"，

b2'i1叩」j1

CnM-,C〃￡N*,C.=--c=—C，即----T,

n+1,,+,

*22“4ncn4

?.,G=1..?.C.=（；）j

??%=〃”+「/,4=1,

/.a2-a}=\t

1

4—"3=（］）2，

%-%=（；）"",幾.2,

i-（!尸

將以上式子相加可得：1=1+；+（；）2

+.?.+（4）-］-3口（4）］,〃-2,

1----

4

7-42-n

a,t=----------,幾?2,又當(dāng)〃=1時，q=1也適合，

3

7-42',,

/.a?=----------；

“3

（2）證明：=與+%=5=2Z?4,/.Z?4=—9

???4=1,...公差4=9二旦=4，

4-12

.11/1、〃+1

??〃=1+2（"D=2，

bn+1

?cn￥\"".C"一.），

%〃+3

.S±L=ZLL1

,,c.〃+3'

c,2

?一^=一

c4

c33

c25'

幺，

c3

%;2x3

將以上式子相乘可得:n..2,

q(〃+1)(〃+2)

Q)'n..2

又當(dāng)〃=1時，也適合上式,

「.%=6(；)?

n+l〃+2

//III11、//1、〃Ic

G+c,+G+…+c?=6(----1-----1?…H-----------)=6(-------)<6x-=3.

I-?”2334n+\n+22n+22

【點睛】

方法點睛：該題主要考查數(shù)列的問題，方法如下:

（I）利用疊加法求通項公式;

（2）累乘法求通項公式:

（3）裂項相消法求和.

16.已知數(shù)列｛6｝為正項等比數(shù)列，《=2,數(shù)列｛"｝滿足&=5,且

,,+,

+azb,+。也+…+altbtl=2+(2；?-1)2.

（I）求數(shù)列｛%｝和［bn］的通項公式；

（2）若｛4｝的前〃項和,，求為取值范圍.

【答案】⑴%=2","=2〃+1；⑵二,，).

156

【分析】

(1)先求出。“=2”,再得到4々+的4+%4+…+。也=2+(2〃-1)2向，當(dāng)時,

岫+a2b2+她+…+也一]=2+(2〃-3)2”,兩式相減得也,=2〃+1：

11Z11、111

(2)由題得7廠=;(=7一不工)，利用裂項相消求出〈=77(；；---)?再利用單調(diào)性求解.

b“b“+i22〃+12〃+3"232〃+3

【詳解】

(1)令〃=1,則=2+(2—1)2?=6,所以仇=3,

令〃=2,則+%&=26,所以出么=20,因為％=5,所以%=4,

設(shè)數(shù)列｛《｝的公比為心則夕=生=2,所以4:2".

4

因為+42b2+a3b3+…+a“b“=2+(2〃-1)2"”,①

當(dāng)〃之2時，afy+a2b2+a3b3+…+a71T紇_】=2+(2〃-3)2",②

由。②得。也=[2+(2〃-1)2向]-[2+(2〃-3)2”]=(2〃+1)2”,

所以"=2〃+1,當(dāng)〃=1時也成立，所以2=2〃+1,

I11,11、

’2)由⑴可知b也;二(2〃+1)(2〃+3)=[2〃+]—2〃+3'

所以毒=/q)+(M)+…+(*一七)]=/-熹)，

因為7；隨著〃的增大而增大，當(dāng)〃=1時，(=』，當(dāng)〃—+8時，]f,，

Id6

所以7；的取值范圍是[],，).

156

【點睛】

方法點睛：數(shù)列求和的方法常用的有：(1)公式法；(2)錯位相減法；(3)裂項相消法：(4)分組求和法;

(5)倒序相加法.要根據(jù)數(shù)列通項的特征，靈活選擇方法求和.

17.已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，4=g,且S〃+a“-1=。

(1)求數(shù)列｛/｝的通項公式；

(2)若包=-(〃+l〉log24"，數(shù)列，J的前〃項和為S”，求證：!<\<I.

e,j2

【答案】(1)&二最；(2)證明見解析.

【分析】

(1)根據(jù)5〃+%T=0得5“_|+*-1=0(〃>2)兩式作差，得出=；,再由等比數(shù)列的通項公式,

an-\/

即可求出結(jié)果；

(2)先由(1)得到％=〃(〃+1),由裂項相消的方法求出S,，進(jìn)而可得結(jié)論成立.

【詳解】

(1)

???九+%-1=。(〃22)②，

①?②得：—=\,n>2x

2

???數(shù)列｛可｝是首項和公比都為g的等比數(shù)列，于是4=96，=/，〃￡”.

/、/、111I

(2)由(|)得“=-("+|)」°母/="("+|)'，a=而可=7一；7?

011iiiiiii.i

b、b]bn1223〃"+1n+\'

又易知函數(shù)/(x)=l-擊在[L”)上是增函數(shù)，且/'(工)<1,而$=3，

所以扛S/L

【點睛】

結(jié)論點睛：

裂項相消法求數(shù)列和的常見類型：

(I)等差型-----=----------，其中｛〃”｝是公差為工。)的等差數(shù)列：

a”—(心紇4+J

1\ln+k-\/n

（2）無理型

4n+\jn+k

（3）指數(shù)型（a—1）/

(4)對數(shù)型log。乎=log”-Sg“an.

18.數(shù)列｛q｝中.4=2.—=2(〃+1)可

n

（I）求證：數(shù)列,半｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項公式;

（2）設(shè)數(shù)列｛2、也向｝的前〃項和為S”.求證：Sn<i.

【答案】（1）證明見解析，勺=〃-2"：（2）證明見解析.

【分析】

⑴由q=2（〃+1）化簡得到y(tǒng)=2?殳，根據(jù)等比數(shù)列的定義，得到數(shù)列為等比數(shù)列,

n〃+1nnJ

進(jìn)而求得見=小2".

（2）由（1）求得2"。也用結(jié)合裂項法，求得數(shù)列｛2'也也可｝的前〃項和為

2—12—1

$“二1一詞「，即可作出證明-

2—1

【詳解】

（1）由題意，數(shù)列｛〃“｝中，4=2,a.I=2（〃+”〃”,

n

可得叫加=2（〃+1）4，即也=2?2，

n+in

又由q=2,可得色=2,所以是以2為首項2為公比的等比數(shù)列，

由等比數(shù)列的通項公式，可得%=2",所以凡二小2".

n

心〃[c…2”11

（2）由（I）可得“二二工"仃，所以2%="_"2,m7）二牙二T西二T，

數(shù)列｛2"J的前〃項和為

s"=（」2'-_l__22L-l）+（」22-_i__23L-l）+（」23-l-24L-l）+'2"-_1__2_rt+1l-r）=>」2fl+,一-l

又因為“WAT,所以97>0,所以1—一~7<1，

Z-1Z-1

【點睛】

關(guān)于裂項法求和的基本策略：

I、基本步驟：

裂項：觀察數(shù)列的通項，將通項拆成兩項之差的形式；

累加：將數(shù)列裂項后的各項相加；

消項：將中間可以消去的項相互抵消，將剩余的有限項相加，得到數(shù)列的前〃項和.

2、消項的規(guī)律：

消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第匚項.

19.已知等比數(shù)列伍”｝的公比(/>0,且滿足4+%=6%,4=4a-,數(shù)列依｝的前〃項和S”=妁羅，

HGV*.

(1)求數(shù)列｛%｝和｛么｝的通項公式;

+8.4〃為奇數(shù)

(2)設(shè)c”=-，求數(shù)列｛c.｝的前2〃項和匕.

為紇1為偶數(shù)

2"-1

【答案】(1)〃"='；)，八￡N，"=〃，75

〃eN‘：⑵--

1814（2〃+1）9

【分析】

(I)根據(jù)題干已知條件可列出關(guān)于首項《與公比9