3.2.1函數的性質（一）（精講）（提升版）

酚儺器09

對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值九.X2,

增函數一當X1＜X2時都有fGiXfGz）

對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值XI.&,

減函數_當時都f（X］）＞f（X2）

「（1）任意性

概

有大小，即

念（2）Xi＜X2（X1＞XZ）

呼（3）是同居于一個單調區間，三缺一不可

注意1單調區間只能用區間表示，不能用不等式表示.

事器有多個單調區間應用“逗號”或“和”連接，

不能用符號“U”、“或”連接，

對象一般用毛抽象函數，其他情況比較少用

單正'解法:取值、作差/作商、變形、定號、結論

調

對象―有解析式且鮮國數絕q值的函數

性

導效法」（增區間n/（x）＞o

|解法〔減區何n/（x）＜0

圖對象一般適用含有絕對值的函數

解法去絕時值二二?段函數二一畫出圖像

常見|f（x）|（1）5±＞f（x）’海折＞將\軸下方的圖像向'軸上方翻折

方類型r

法--Hf⑴式子中部分x加絕對值分段函數-＞畫出分段函數圖像

對象

6種基本函數及其加減形式

性

質

一次函數'=kx-b>k>0t,k<0l反比例函數y上>k>01,k<0t

法

指數函數y=a*->?>1t,O<a<U?lS(3S!y=log,i->a>l*,0<a<lI

法

解曷醐y=x"(第一象限)na>ota<OY二次的S5y=ax,bx+c(a,O)z>JHJ^^

形如f[g(x)]

（1）確定函數的定義域.（2）將復合函數分解成基本初等函數

（3）分別確定這兩個函數的單調區間.（4）口訣：同增異堿求區間

按單調性中方法進行求解

求單調區間（或單調性）

類鱉一：指數.對數混合暨

思路：苴出范朋,FREHift點相陛1個單位對數與盛1比較.指數與3比較

類型二：指故耳型y=att大小

同底異指n按報數函故比”1卡。<*<1]

思路同指異底q按百砌比:a>0t；a<0l

（i值按苴苑圉

異底異底

（II）構造新函數：一個函數取底數一個用數取指數再根據同底異指，蹄舁底t曲

單

類隹：對數型函數

調

性

同庇導自口對數的數比:a>11:0<i<11

常

思路同真異底n對數倒效比n值數±的原對數小

考

G753：與0、1、2,等比

題異底異真n

換底公式

比

型

大說明：底=>觸，指n指數，真n門數

小

求定義域一/斷單調性一兩南兩邊一瓚有負號考慮奇偶性

解不等式/注意：出區耐應注意自變量在區間的范圍

______________定義域（給出區間不求）--判斷單調性--求最值

最值（值域）K參考求值域方法

每段函數的單調性符合題意，

分段函數的單調性—自變量分界點的函數的大小關系

求參數3復合函數求參數;矗要滿足定義域要求

偶函數_如果對毛函數f(x)的越域內任意fx都有f(二x)二￡(力

襄(奇函數如果對于函數fG)的定義域內任意一個x都有f(-x)=-fG)

定(1)定義域是否關于原點對稱(左右端點同時(不)取到且成相反數)

義［否:三法琲偶函散

法j是:r(x)=f(x)奇的助f(X>=f(X)偶函數f(X)工r(X徘明口禺

g(1)定義域關于原點對稱

翟(2)奇函數：圖像關于原點對稱;偶函數：圖像關于、期稱同時滿足

如果一個奇函數f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有

f(0)=0

免函數在兩隹好原點對稱的鳥間上具有相同的單調性

偶函數在兩個關于原點對稱的區間上具有相反的單調性

奇偶的數十偶曲數=偶的數、奇曲數十奇曲數W奇的數

偶低的效X供晶效=偶而效、奇禹斂X寺屬斂=偶而敷同性加滋得同性,

性奇函數X偶晶數=寺房數、偶的數■偶內數二偶的數異性乘除為匈，

常同性秉除為偶

見專函數?奇島數=工函數、與函數?偶函數=奇而數

結

論常見哥、偶函數面握定義域關于原點對稱)

a奇數=>的函數

(0*奇函數(2)尸x"

a偶數、偶函數

⑶y-M-J奇函數y-/+獷，偶函數(4)y=log「'財=log2+'限數

1+x1-x

(5)\=log,(\/l+x2±X)寄函數日嗚-===—奇函數

1*7*

(1)求定義域(給出的區間)是否關于原點對稱,

奇雌不對稱^奇非偶；對稱看(2)

的判斷(2)用定義法或圖像法判斷

利用奇偶求哪段設x為哪段范圍，r就是已知解

性求解析式析式范圍即將r代入解析式化簡

(1)區間兩端點成相反數

型利用奇偶(2)借助上面常見形式口算參數

性求參數(3)定義法求參數

奇偶性與單調性的綜合

【一隅三反】

1.（2022?全國?高三專題練習）函數）,=2"=的單調遞增區間是（)

A.卜B.

C.D.卜1,2]

2.（2022?福建）函數〃x）=k-2|x的單調減區間是（）

A.[1,2]B.[-1,0]C.[0,2]D.[2,+co）

3.(2021?全國?高三階段練習(文))下列函數在(F-1)上是減函數的為()

A./(x)=-lnxB./(x)=--y-j-

C./(x)=|x2-3.r-4|D./(x)=p-

4.（2022?全國?高三專題練習）函數產lg（2cosx-6）的單調遞增區間為（）

A.[22)+乃，2左4+2〃)(4eZ)B.12々江+不,2r+不/eZ)

C.[2k^-^,2k7r\(kGZ)D.12〃跖2〃；7+專)仕wZ)

3

5.（2021?天津靜海區）函數/（1）=工111工一5工的單調減區間為—

考點二已知單調性求參數

【例2-1]（2022?陜西?武功縣普集高級中學）已知函數=在（y\0）,（3,內）上單調遞

增，在（L2）上單調遞減，則實數。的取值范用為（

rio51/7

A.B.（f-2]

?7N

bx+2,x>0/.

【例2-2】（2022?河南濮陽一模）“〃勺”是“函數=,岫（尹2）+/25。是在（一2，田）上的單調函

數”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【例2-3]（2022?全國?高三專題練習）若函數〃力=1嗚13-汨（穌0且。工1）在區間（一,0）內單調遞

增，則”的取值范圍是（〉

.溫馨提示

已如函數的單調性確定參數的值或范圍要注意以下幾點：

（1）若函數在區間0,3上單調，則該函數在此區間的任意子區間上也是單調的；

（2）分段函數的單調性，除注意各段的單調性外，還要注意銜接點的取值；

（3）復合函數的單調性，不僅要注意內外函數單調性對應關系，而TL要注意內外函數對應自變量取值范

【一隅三反】

ax-\x<\

1.（2022.全國,高三專題練習）若函數/*）=,y個-是R上的電調函數，則。的取值范圍（）

x*-2cix^x>1

A.|0.|lB.（0,|C.（0.1]D.（0,1）

2

2.（2021?全國?高三專題練習）已知函數/（外=」一e>0）在（L2）上單調遞減，則實數。的取值范圍是

（）

A.a<\s^a>2B.a>2C.或。=1D.a>\

3.（2022?重慶）已知函數/。）=^一好一色*-4在區間（-8,-2）,（6,+?）上都單調遞增，則實數”的取

2

值范圍是（)

A.0<a^2x/3B.0<d<4

C.0<a<4y/3D.0<?<8>/3

4.（2021?重慶市）已知。>0且awl,若函數/（x）=1。吼（點-用在［3,4］上是減函數，則。的取值范圍是

【答案】4」）

考點三奇偶性的判斷

【例3】（2022?廣西）下列函數中，既是奇函數，又在定義域上單調遞增的是（）

A.J'=cosxB.y=^—C.y=ln|x|I）.y=2x-2-x

【一隅三反】

1.<2022?廣東廣州?二模）下列函數中，既是偶函數又在（0,y）上單調遞增的是（）

人」4J

B.y=\^-x2

c.y=W-iD.y=x--

X

2.（2022?河南）下列函數中，即是奇函數又是單調函數的是（）

A.y=xsinxB.y=x+sinx

C.y=xtan.vD.y=x+tanx

3.（2022?安徽）設函數/（%）,雙幻的定義域為凡且“幻是奇函數，g（x）是偶函數，則下列結論中正

確的是（）

A.f(x)g(x)是偶函數B."(x)lg(x)是奇函數

C.f。）g。）是奇函數D.f（x）g（刈是奇函數

考點四奇偶性的應用

2x

【例4-1］（2021?河南）已知/（"）為奇函數，當X40時,f（x）=x-4+mt則當x<0時，〃x）=

（）

A.r-4-A+lB.-x2-4-x-l

C."+4-1D.-x2+4~x+]

【例4-2］（2022?河南洛陽）若函數/（力=/32*-2-*）是偶函數，則。=（）

A.-1B.0C.1I）.+1

【一隅三反】

1.（2022?全國?高三專題練習）已如函數/（力=《1+合）是偶函數，則〃?的值是（）

A.-2B.-1C.1D.2

2.（2022?江西）若函數/（切=（3川-丈3-1）85怎+2x）為偶函數，則實數〃=（）

A.-9B.3C.-3D.9

3.（2。22.全國,高三專題練習）已知函數/（"）=，*：案:囁是偶函額，則〃一，的值可能是

（）

.乃乃?2兀，n

A.?=—,b=—B.ci=——?^=—

3336

2兀,5兀

C.a=g,b=J1r).a=—,b=—

3636

4.（2021婀北）已知函數/⑺是K上的奇函數，當x>0時，f（x）=/-2x,則函數的解析式為/（4）=

考點五單調性與奇偶性應用之比較大小

【例5-1］（2022?安徽?壽縣第一中學）若/（X）為定義在R上的偶函數，且在（e'°）上單調遞減，則

)

A.川n；）>/（2；）>/（3；）B./（3：）>/（ln；）>/（23

1i11i1

c./（22）>/（33）>/（ln-）D./（33）>/（22）>/（ln）

27z

【例5-2]（2022?重慶?西南大學附中模擬預測）設〃=ln&,b=孚，c=與，則a,〃，c的大小關系是（）

3e

A.c<a<bB.a<h<c

C.b<c<aD.h<a<c

【一隅三反】

1.（2022天津河北?二模）已知/"）是定義在力上的偶函數，且在區間Q+oc）單遞調減，若a=/（-log?6.1）,

〃=『（207）,c=/（3）,則a,b,。的大小關系為（）

A.c>b>cB.b>c>aC.c>b>aI）.b>a>c

2.（2022校徽?巢湖市第一中學高三期中（理））己知函數/（x）=log2（4、l）r,設〃=〃="也5）,

。=/（1%3）,則a,b,c的大小關系為（）

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

3.（2022云南德宏））已知函數/（x）是定義在R上的偶函數，對任意玉，.V2G（0,-KO）,都有

**'二’兇）>0（大=8）,?=/（log1|）,/?=/（logi）,f（5k,則（）

X[一X]3N3J'

A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a

4.（2022,湖北?荊門市龍泉中學一模）設〃=擊，〃=lnl.O3,c=e003-],則下列關系正確的是（）

A.u>b>cB.b>a>c

C.e>b>aD.c>a>b

考點六單調性與奇偶性應用之解不等式

【例6?1】（2022?安徽馬鞍山）已知倡函數“X）在（9.0]上單調遞增,且"2）=0,則不等式M*（xT）vO

的解集為()

A.(F,-1)J(0,3)B.(T0)U(3,+8)C.(-1.3)D.(-2,O)U(Z。)

【例6-2】(2022?安徽?)已知/(x)=log“(+1-依)是奇函數,若/(加1+咐+/(心+。)＜。恒成立,

則實數8的取值范圍是()

A.(-3,3)B.(-9,3)C.(-3,9)I).(-9,9)

【一隅三反】

1.(2022?云南昭通)若定義在R上的奇函數”。在3+8)上單調遞增，且/⑵=0,則不等式1?/G+l)W0

的解集為()

A.(-^,—3]kJ[1,+co)B.3]J[0,1]

C.[-3,-11010,1]D.[-3,-1]J[l,-^)

2.(2022?河南)已知定義在左上的函數/(6=(兇-)(X+。)為奇函數，則不等式卜-￡)/(“<0的解集

為()

A.(-L0)U(0,l)B.卜同心』)

C.(-hO)U(O,^D.(-1,0)唱1)

3.(2022?全國?高三開學考試(理D已知/(%)是定義在(24-6,幻上的奇函數，且/(x)在口。)上單調

遞減，則不等式/(3%-1)4〃1-4司的解集為()

4.(2022?貴州遵義)若奇函數/(R在(0,也)單調遞增，且/(1)=。，則滿足以立＜()的X的取值范圍是

x-2

()

A.(^o,-l)u(0,l)B.(-1,0)U(2,-KO)

C.(一1,0)51，也)I).(-l,0)U(l,2)

5.(2022?全國?高三專題練習〉已知函數則不等式/*)>e'的解集為(

1+lnx

A.(0,1)B.C.(l,e)D.(1,+c?)

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3.2.1函數的性質（一）（精講）（提升版）

哥建學0B

對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值X1.X2.

增函數當X1<X2時都有fGiXfGz）

對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值心.x2.

送函數當XI<XZ時都f（xi）>f（xz）

（1）任意性

（2）有大小，即X】<X2（X［〉X2）

特征（3）是同屬于一個單調區間，三缺一不可

單調區間只能用區間表示，不能用不等式表示.

有多個單調區間應用“逗號”或“和”連接,

不能用符號"U"、“或"連接,

、、,』對象一般用于抽象函數，其他情況比較少用

單正義法r.

-解法―取值、作差/作商、變形、定號、結論

調

對象有解析式且沒有函數絕時值的函數

性

導數法增區何=>/（、）>0

-------/⑶叫

解法［減區間=>/（x）<0

對象一般適用含有絕對值的函數

解法去絕對值一十段函數一一畫出圖像

|r（x）|"2出>f（\）0闡析>將、軸下方的圖像向,軸上方翻折

常見

類型

f⑴式子中部分X加絕對值/篇器u小>分段函數T畫出分段觥圖像

對象L6種基本函數及其加夠形式

性

質反比例函數y上>k>O4,k<Ot

法一次函數尸bb>k>0tk<0l

x

指數的數y=a*->a>lt,O<a<ll對敏麗數y=logj->a>「,0<a<ll

解法耳翻y=x"（第一象限）na>df.a<▼二次的教y二2乂、6*+。Q,0）二>開口和對新軸

形如f[g(x)]

（1）確定函數的定義域.（2）將復合函數分解成基本初等函數

（3）分別確定這兩個函數的單調區間.（4）口訣：同增異域求區間

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按單調性中方法進行求解

求單調區間（或單調性）

類鱉一：指數、對數混合暨

思路：苴出血,溫點相陛1個單位對數與觸1比較.指數與皿比較

英型二：指故^型y=att大小

同底異用n按據我函故比”1T；0<■<11

思路同JW異底->按鬲的數比:a>0T；a<01

（i）K接苴苑圉

異底異底

（H）構造新函數：一個函數取底數一個函數取指數再根據同底異指，碗舁底比較

單

類生：對數型函數

調

性

同底導自n對數的數比:a>lt;O<a<ll

常

思路同真異底二>對數鼬1比n倒數±的原對數小

考

fSTSS：^0.1.2.%

題異底異真n

II換庇公式

比

型

大說明：底n翩，指n指數，口n門數

小

求定義域一⑶斷單調性-一兩函兩邊一瓚有負號考慮奇偶性

解不等式注意：出區耐應注意自變量在區間的范圍

定義域（給出區間不求）-一判斷單調性--求最值

最值（值域）（參考求值域方法

每段函數的單調性符合題意，

分段函數的單調性—自變量分界點的函數的大小關系

復合函數求參數，矗要滿足定義域要求

求參數4

偶函數_如果對于困數f(n的足X域內任意一個x都有儀二力二￡(x)

奇函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x都有f(-x)=-f(x)

定Q)定義域是否關于原點對稱(左右端點同時(不)取到且成相反數)

義［否：mH?E偶函散

法［是X)=f")奇曲&f(x)=f(x〉偶函教f(x)wf(x)工f(X徘SHN禺

判

圖

斷

像Q)定義域關于原點對稱］0**0

方

法同時滿足

法(2)奇函數：圖像關于原點對際;偶函數；圖像關于｝軸對稱

如果一個奇函數f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有

f(0)=^0

奇函數在兩逑于原點對稱的區間上具有相同的單調性

使函數在兩個關于原點對稱的區間上具有相反的單調性

奇低函數+偶而數=H函數、奇函數十號屬數二號函數

偶偶曲數X倍函數=偶函數、奇函數X奇曲數=偶曲數同性加篇得同性,

性當屬較xH晶效一今晶數、伍而效，供篙效一優品效導性重除為奇，

常同性秉除為偶

見奇函數?奇函數=偶函數、奇函數4■偶函數=專函數

結

論常見哥、偶函數面提定義域關于原點對稱)

」a奇數r奇函數

⑴一3哥函數(2)尸

a偶數^偶函數

⑴,7.奇函數，7+「偶函故⑸以。g,片數=bg若瑜數

21

(5)j-=loga(\/lI1_L、)奇函數y=logat—奇函數

x'1+x-lx

(1)求定義域(給出的區間)是否關于原點對稱,

奇偶性不對稱aE奇非偶；對稱看(2)

的判斷(2)用定義法或圖像法判斷

利用奇偶求哪段設x為哪段范圍，r就是已知解

性求解析式析式范圍即將r代入解析式化筒

C題.(1)區間兩端點成相反數

型利用奇俠(2)借助上面常見形式口算參數

性求參數_(3)定義法求參數

奇偶性與箍性的綜合

考點一求單調區間（無參）函考點四奇餞性的應用

數

的

考點二已知單調性求參數考點五單調性與奇偶性應用之比較大小

性

質

考點三奇偶性的判新考點六單調性與奇偶性應用之解小等式

例題剖析

考點一單調區間（無參）

【例1-1】（2022?費州）函數f*）=M（2x2-3x+l）的單調遞減區間為（）

A.卜0,（）B.（y’g）C.住'+8）D.（1,2）

【答案】B

【解析】在函數/。）=111（2/-3.?+1）中，由2/一3x+l>0得或x>l,則f（x）的定義

域為（-co,；）（l,+oo）,函數”=2W-3x+l在（-?,；）上單調遞減，在上單調遞增，乂

y=ln〃在〃e（0,+co）上單調遞增，于是得/"）在（V，）上單調遞減，在（L?o）上單調遞增，

所以函數/（x）的單調遞減區間為（TO,$.故選：B

【例1-2]（2022?廣東）函數〃“=,-31+2|的單調遞增區間是（）

A.T，+8）B.仁和[2,+x>）

【答案】B

x2-3x+2,x<1

—

【解析】y—|x*—3x+2|=S-X~+3x2,1<.v<2

x2-3x+2,.r>2

如圖所示：

函數的單調遞增區間是和[2,伊).故選：B.

【例1-3](2022.湖北)函數〃.r)=fin2x_2cosx的單調遞增區間是()

A.[2而,(2%+1)可(kwZ)B.2kn-^2kit+^(keZ)

C.[(2k-l)7T,2E](kwZ)D.2kn+^,2kn+—(keZ)

【答案】A

【解析】/(x)=-sin2x-2cos^=cos2x-2cosx-l,

i^r=cosx,則>*=/2-2/-1=(z-l)2-2,

函數/(x)=-sin2.t-2cosx是由，=cosx和y=J—2，-1=(，一if一2復合而成，

當時，。=r-2/-1=(-1)2-2是減函數;

若求/(A)=COS2A-2COSX-I的單調遞增函數，

只需求/=cosx的單調遞減區間，

當x€[2反,(2&+1)兀](&eZ)時，t=cosx為減函數，

所以函數〃x)的單調遞增區間是[2飆(2k+1聞伙wZ).

故選；A.

【例1-4](2022?山東?濟南市歷城第二中學模擬預測)函數/(；)=,在(1,川)上是減

x-a+3

函數，則實數"的范圍是.

【答案】(—2,4]

【解析】函數析幻="5定義域為xe(7>M—3)u(a-3,”)，

x-a+3

x-a+3+a+2,a+2

又j(X)=-------------=1+-------，

x-a+3x-fl+3

因為函數〃對=上二在(1,e)上是減函數，所以只需丁=上々在(1,e)上是減函數,

a+2>0

因此(解得一2<。<4.故答案為：—2vaK4

tz-3<1

【例1?5】（2021?云南昆明市）函數y=e,nA的單調增區間是

【答案】（0,+8）

【解析】要使函數y=*x有意義則x〉0,即函數定義域為（0,+8）,

又）,==x,由一次函數的單調性可知函數）,=在（0,也）上單調遞增.

【一隅三反】

1.（2022?全國?高三專題練習）函數y=2CW的單調遞增區間是（）

A.18，）B.-]

C.D.

【答案】C

【解析】令一/+1+220,解得一UW2,令/=_f+x+2，則y=〃，

?~|1I

???函數/=-3+1+2在區間-1,-上單調遞增，在區間-,2上單調遞減，），=〃在定義域

4乙

內遞增，

???根據復合函數的單調性可知，函數），=2口^的單調遞增區間是-1，（?故選：C

2.（2022?福建）函數/（x）=|工—2|A?的單調減區間是（）

A.[K2]B.[-1,0]C.[0,2]D.[2,+oo）

【答案】A

（t—2）,Yv>2

【解析】/（A-）=ro一；???尚接通過解析式，結合二次函數圖象得：（F.i）,（2,e）

遞增，在[L2]遞減，故選:A.

3.（2021?全國?高三階段練習（文））下列函數在（F-1）上是減函數的為（）

A./（x）=-lnxB./（"=一七

C./（.￥）=|^-3^-4|D./（x）=5

【答案】C

【解析】對于選項A,"x）=-lnx在上無意義，不符合題意；

對于選項B,/（力=-+在（YO,-1）上是增函數，不符合題意；

r*一3工一44>?V_r<—

對于選項C,，一:、二的大致圖象如圖所示中，由圖可知“X）在（9,-1）

-.V+3A!+4,?-^1<x<

上是減函數，符合題意：

對于選項D,=j?在（YO,-1）上是增函數，不符合題意.故選：C.

4.（2022?全國?高三專題練習）函數y=lg（2cosx-6）的單調遞增區間為（）

A.（2匕r+乃,2女4+24）（炎wZjB.（2匕r+;r,2匕r+'y■乃）（keZ）

C.（25一看,2攵乃）（攵eZ）D.（24；r,2A;r