4.3利用導(dǎo)數(shù)求極值最值（精練）（提升版）

題組一無參函數(shù)的極值（點(diǎn)）

1.（2022?山東?巨野縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)）已知函數(shù)，=/（x）的定義域?yàn)椋ā?）），導(dǎo)函數(shù)），=/'"）在內(nèi)的圖像如圖

所示，則函數(shù)在（a切內(nèi)的極小值有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2022?天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)）下列函數(shù)中存在極值點(diǎn)的是（）

A.y=-B.y=x-ex

x

C.y=2D.y=x3

3.（2022?福建省連城縣第一中學(xué)）函數(shù)/（x）=g/+inx-2x的極值點(diǎn)的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.無數(shù)個

4.（2022?全國?哈師大附中）己知小是函數(shù)〃x）=g.L2sinxcosA?的一個極值點(diǎn)，則lai%的值是（）

5.（2022?遼寧?鞍山市華育高級中學(xué)）已知函數(shù)/（司的導(dǎo)函數(shù)/'（力的圖像如圖所示，則下列判斷止確的是

A.在區(qū)間(TJ)上，/(x)是增函數(shù)B.在區(qū)間(-3,-2)上，〃力是減函數(shù)

C.-2為/(力的極小值點(diǎn)D.2為/(%)的極大值點(diǎn)

6.(2022?湖北?南漳縣第一中學(xué))函數(shù))，=x+,(x<。)的極大值為()

X

A.-2B.2C.D.不存在

7(2022?天津河北)設(shè)f(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù),若函數(shù)/(X)的圖象如圖所示，則卜列說法錯誤的是

()

A.當(dāng)I<xv4時，/r(x)>0B.當(dāng)x<l或x>4時，/(x)<0

C.當(dāng)x=l或x=4時，/'("=0D.函數(shù)f(x)在x=4處取得極小值

題組二已知極值(點(diǎn))求參數(shù)

1.(2022?山東濰坊)已知函數(shù)/(X)=F-3X的圖像與直線丁=，"有3個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)小的取值范圍

是()

A.I,-2,-Ko)B.(-2,2)C.(-8,2)D.(-2)1J(2,-KO)

2.(2022?重慶?萬州純陽中學(xué)校)若函數(shù)〃工)=丁+2&+奴-1在(0,1)上存在唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍為()

3.(2022?四川省成都市新都一中)已知/.(力=-；.，+(1-〃?)/-]+2沒有極值，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為

()

A.|0,2)B.(-^,0)kJ(l,+=o)

C.|0,2]D.(-co,0]u[2,+cc)

4.(2022?湖北)函數(shù)〃幻=；/+ar、2x+5在％e(l,2)內(nèi)存在極值點(diǎn)，則()

A.--<?<—B.--<?<—C.n<--D.a<-->—

22222222

5.(2022?河南)已知函數(shù)/(x)="ni-ad有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(

A.oc,0)B.fo,—J

c.(OJ)D.(0,+x))

6.(2022?安徽,蒙城第一中學(xué))已知，〃為常數(shù)，函數(shù)/(耳=#11%-2,姓二有兩個極值點(diǎn)，其中一個極值點(diǎn)飛滿

足與＞1，則/(%)的取值范圍是()

A.(y)，。)B.(O,y)C.jD.f—

7(2022?陜西?長安一中)已知在.J8C中，三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，方，。，若函數(shù)

./"(工)=3/+加2+(/+。2-。。1+3無極值點(diǎn)，則角8的最大值是()

A.mB.衛(wèi)C.工D.工

5432

8.(2022?四川?綿陽中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校)若函數(shù)〃"=丁-依2_加+/在x=l處有極值10,則〃-/)=()

A.6B.-15C.-6或15D.6或-”

9.(2022請海?大通回族土族自治縣教學(xué)研究室二模(理))設(shè)函數(shù)/("=心始工+85乩則下列不是函數(shù)/(“

極大值點(diǎn)的是()

A.土B.苧C./D.-史

2222

10.12022?全國?高三專題練習(xí))己知，和，+3是函數(shù)/(刈=/+加+6+。的零點(diǎn)，且1+3也是函數(shù)/⑴的

極小值點(diǎn)，則/(%)的極大值為()

44

A.1B.4C.-D.一

39

11.12022?廣西?高三階段練習(xí)(理))已知函數(shù)/(同=電詈在其定義域的一個子區(qū)間(e,e)上有極值，則

實(shí)數(shù)。的取值范用是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(0,2)

12.(2022?安徽?合肥市第八中學(xué))己知函數(shù)/")="-?)(%-8)。,在X=〃處取極小值，且/("的極大值為

4,則力=()

A.-1B.2C.-3D.4

13.(2022?河北承德)已知x=-l是函數(shù)/(.1)=〃*3+2/+3^的極值點(diǎn)，則/(x)的極大值為.

14.（2022?北京?101中學(xué)）設(shè)不士是函數(shù)/（%）=V-2公2+4%的兩個極值點(diǎn)，若為＜2＜與，則實(shí)數(shù)”的取

值范圍是,

15.（2022?浙江宇波）已知函數(shù)/*）=￡+?：+1門｝

若x=l是函數(shù)"刈的唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值

范圍是,

題組三無參函數(shù)的最值

1.（2022?海南華僑中學(xué)）已知函數(shù)+下列說法正確的是（）

A.函數(shù)在（1,2）上遞增B.函數(shù)無極小值

C.函數(shù)只有一個極大值?1QD.函數(shù)在［0,3］上最大值為3

2.(2022?湖北?模擬預(yù)測)/(.v)=|ln(ax)-2|+at,/("的最小值為

3.（2022?江蘇?南京市江寧高級中學(xué)模擬預(yù)測）若函數(shù)〃刈=2/-62_］（〃￡用在（＜,0）內(nèi)有且只有一個

零點(diǎn)，則/（“在上的最大值與最小值的和為.

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足上產(chǎn)=個=］,則（“-4+（＞-dp的最小值

為.

5.（2022?四川省成都市新都一中）函數(shù)〃x）=x-2hix在區(qū)間［1目上的最大值為.

6.（2022?天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)）函數(shù)/（x）=；V-4x+4在區(qū)間［0,3］上的最小值為.

7.（2022?四川?威遠(yuǎn)中學(xué)校）對任意awR,存在〃?0,收），使得e“-ln〃=】，則方-。的最小值為.

8.（2022?河南開封）已知/（4）是奇函數(shù)，當(dāng)xw（0,2）時,f（x）=\nx-x,則當(dāng)xw（-2,0）時，/（x）的最小值

為.

題組四已知最值求參數(shù)

1.（2022?江西萍鄉(xiāng)?三模）已知定義在R上的函數(shù)/⑶，對任意eR,當(dāng)x尸工時，都有四二3>0,

若存在XW,使不等式/（X8sx）2/（a-sinx）成立，則實(shí)數(shù)。的最大值為（）

A.-4B.1C.4D.6

2.（2022?遼寧?鞍山市華育高級中學(xué)）已知"x）=lnx,g（x）=e\若〃s）=g"）,則當(dāng)$-￡取得最小值時,

g（f）所在區(qū)間是（）

4匿）B.（*）C.（In2,l）卜（同

3.（2022?河南?模擬預(yù)測（理））己知函數(shù)/（*=2優(yōu)'-6"至多有2個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的最大值為

（）.

A.0B.1C.2D.e

4.（2022?遼寧?遼師大附中）設(shè)函數(shù)4（x）=，+2（l-幻"5為正整數(shù)），則Z,。）在［0,1］上的最大值為（）

A.0B.￡C.（1--—）n+2D.用與2

2n+2〃+2〃+2

5.（2022?河南安陽）已知函數(shù)/（x）=-3（lnx）2+aj若xe［l,e［時，/。）在x=l處取得最大值，則實(shí)數(shù)〃

的取值范圍是（）

A.卜85B.（-cc,0］C.（0,捺）D-（7-e）

6.（2022?江西）設(shè)兩個實(shí)數(shù)小〃滿足：/>0,a>l,f-l

?,則正整數(shù)〃的最大值為（）.（參考

數(shù)據(jù)：ln4.5al.51)

A.7B.8C.9D.10

題組五最值極值的綜合運(yùn)用

1.(2022?浙江?寧波市李惠利中學(xué))(多選)對于函數(shù)/(.r)=5g,下列選項(xiàng)正確的是(〉

A.函數(shù)極小值為j極大值為千

B.函數(shù)/(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(Yo,-e]u[e,+8),單調(diào)遞增區(qū)為[-e,0)u(0,e]

C.函數(shù)/(x)最小值為為-e,最大值e

D.函數(shù)/(x)存在兩個零點(diǎn)1和-1

2

2.(2022?福建泉州)(多選)函數(shù)/*)=加-(“+3)/+標(biāo)在處取得極大值，則a的值可以是()

A.-1B.0C.3D.4

3.(2022?黑龍江?哈爾濱市第六中學(xué)校)(多選)已知函數(shù)/(x)=f-加-2-下列命題正確的是()

A.若＜=1是函數(shù)“X)的極值點(diǎn)，則

B.若x=l是函數(shù)“X)的極值點(diǎn)，則在1W0,2]上的最小值為

C.若/(%)在(1,2)上單調(diào)遞減，則

D.若■inxNf(x)在xe[l,2]上恒成立,則aNT

4.(2022?河南?三模)已知函數(shù)/(x)=lnx+￡-x.

⑴討論/(x)極值點(diǎn)的個數(shù)：

472-2-

(2)證明：e"+>/(“?

5.(2022?湖南?臨澧縣第一中學(xué)二模)已知函數(shù)〃x)=lnx+g-x.

⑴當(dāng)〃=-2時，若/(X)在(0.而)上存在垠大值，求小的取值范圍:

(2)討論/(”極值點(diǎn)的個數(shù).

6.(2022?江西?上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=ex-a(x-l)(awR).

⑴當(dāng)。=」時，求函數(shù)丁=/卜)的極值:

⑵若函數(shù)g(x)=/(?+ln.Le在(1,+8)無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

7.(2022?北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí))已知函數(shù)/(力=(工-1卜爾-1心2+(〃-1)

⑴當(dāng)”=1時，求曲線)，=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

(2)判斷函數(shù)/(力的極值點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由.

8.(2022?四川省峨眉第二中學(xué)校)已知acR,函數(shù)/(x)=ar—1—In》.

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)。=1時，若對Dxe(0,go)J(x)士加-2恒成立，求實(shí)數(shù)。的最大值.

9(2022?江蘇?華羅庚中學(xué)三模)已知函數(shù)〃x)=?-2e'+3(awR),g(x)=lnx+.W(e為自然對數(shù)的底

25

數(shù),e<y).

(1)求函數(shù)/(力的單調(diào)區(qū)間；

(2)若〃=T,/Z(A)=/(A)+J?(A),當(dāng)xe時，/心)e(〃4〃),(〃&〃wZ),求〃一，”的最小值.

10.(2022?天津市新華中學(xué))已知函數(shù)/(刈=0?+”2_。\.,其中旦。工。

⑴當(dāng)4=1時,求函數(shù)“X)的極值：

⑵求函數(shù)8(町=犯-3加.1的單調(diào)區(qū)間：

xa

⑶若存在ac(e，T]，使函數(shù)Mx)=/(x)+r(x),xw[—1,同(〃>—1)在x=—l處取得最小值，試求6的最大

值.

4.3利用導(dǎo)數(shù)求極值最值（精練）（提升版）

題組一無參函數(shù)的極值（點(diǎn)）

1.（2022?山東?巨野縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)）已知函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)椋ā雹椋瑢?dǎo)函數(shù)丁=f（x）在（“與

內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)），=/"）在（外勿內(nèi)的極小值有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【解析】由導(dǎo)函數(shù)/'（力在區(qū)間內(nèi)的圖像可知，

函數(shù)rW在（“/）內(nèi)的圖像與x軸有四個公共點(diǎn)，

在從左到右第一個點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，在從左到右第二個點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左負(fù)右正，

在從左到右第三個點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右正，在從左到右第四個點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，

所以函數(shù)/"）在開區(qū)間（《與內(nèi)的極小值有1個，故選：A.

2.（2022?天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)）下列函數(shù)中存在極值點(diǎn)的是（）

A.>'=-B.y=A-ex

x

C.y=2D.y=x3

【答案】B

【解析】對選項(xiàng)A,y=-4<o,故沒有極值點(diǎn)；

,V

對選項(xiàng)B,y'=\-e,則極值點(diǎn)為x=0,故正確；

對選項(xiàng)C,y=o,故沒有極值點(diǎn)；

對選項(xiàng)D,V=3/NO,故沒有極值點(diǎn)：故選：B

3.（2022?福建省連城縣第一中學(xué)）函數(shù)/（xxjY+lnx-Zx的極值點(diǎn)的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.無數(shù)個

【答案】A

【解析】由題，/，（力=%+，—2=回工20,故無極值點(diǎn)故選：A

-VX

4.（2022?全國?哈師大附中）已知不是函數(shù)〃x）=；x—2sinxcosx的一個極值點(diǎn)，則tan、。的

值是（）

A.1B.!C.-D.—

277

【答案】D

【解析】/f（x）=--2COS2A,.".COS2X=-/.2cos2-1=-,

3606

22

cos?,%=—,sin'x0=1-cosx^=—,tan.rn=」=—故選：D

1212cos*7

5.（2022?遼寧?鞍山市華育高級中學(xué)）已知函數(shù)/"）的導(dǎo)函數(shù)/（%）的圖像如圖所示，則下

列判斷正確的是（）

A.在區(qū)間（T】）上,/（x）是增函數(shù)B.在區(qū)間（-3,-2）上，/（X）是減函數(shù)

C.-2為〃力的極小值點(diǎn)D.2為“X）的極大值點(diǎn)

【答案】D

【解析】由導(dǎo)函數(shù)r（力的圖像可知,

在區(qū)間（-1,0）上為單調(diào)遞減，在區(qū)間（0,1）上為單調(diào)遞增，則選項(xiàng)A不正確：

在區(qū)間（-3,-2）上，/'&）>（）,則/（3）是增函數(shù)，則選項(xiàng)B不正確；

由圖像可知/'（-2）=0,且（-3,-2）為單調(diào)遞增區(qū)間，（-2.0）為單調(diào)遞減區(qū)間，則—2為/"）

的極大值點(diǎn)，則選項(xiàng)C小正確；由圖像可知/'（2）=0,且（1,2）為單調(diào)遞增區(qū)間，（2,3）為單

調(diào)遞減區(qū)間，則2為/（%）的極大值點(diǎn)，則選項(xiàng)D正確：故選：D.

6.（2022?湖北?南漳縣第一中學(xué)）函數(shù)），=x+’（x<0）的極大值為（）

5

A.-2B.2C.D.不存在

2

【答案】A

【解析】令y'=0得x=—l或x=l（舍）.

由于x<0,當(dāng)）/>0時，%<-I,當(dāng)y'<o時，T<x<0,

所以函數(shù)在(T>,-1)上單調(diào)遞增，在(-1.0)上單調(diào)遞減.

故函數(shù)在x=-l處取得極大值)，=-2.故選：A

7(2022?天津河北)設(shè)f(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù),若函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，則下

列說法錯誤的是()

A.當(dāng)1<尤<4時，/'(x)>0B.當(dāng)x<l或x>4時，f(x)<0

C.當(dāng)x=l或x=4時，/'(x)=0D.函數(shù)/(x)在x=4處取得極小值

【答案】D

【解析】A.由圖象知：當(dāng)l<x<4時，函數(shù)/(x)遞增，所以/(力>0,故正確：

B.由圖象知：當(dāng)x<l或x>4時，函數(shù)/(1)遞增，所以廣(同<0,故正確；

C.由圖象知：當(dāng)x=l或x=4時，函數(shù)/(X)分別取得極小值和極大值/'(耳=0,故正確;

D.由圖象知：函數(shù)/(x)在x=4處取得極大值，故錯誤：故選：D

題組二已知極值(點(diǎn))求參數(shù)

1.(2022?山東濰坊)已知函數(shù)/。)=酎-31的圖像與直線y=m有3個不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)

，〃的取值范圍是()

A.(-2,+co)B.(-22)C.(一8,2)D.-2)J(2,+co)

【答案】B

【解析】對函數(shù)f(x)=d-3x求導(dǎo)得:ff(x)=3x12-3=3(x+l)(x-l),

當(dāng)x<—l或/>1時，/'"）>（）,當(dāng)T<x<l時，即/（X）住上單調(diào)

遞增，在（-11）上單調(diào)遞減，

M在*=一1處取得極大值1）=2,在*=1處取得極小值/（I）=-2,

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)/U）=x3-3x的圖像和直線丁=m,如圖，

觀察圖象知，當(dāng)-2<〃?<2時，函數(shù)/*）=/-3x的圖像與直線），=機(jī)有3個不同的交點(diǎn)，

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍是（-2,2）.故選：B

2.（2022?重慶?萬州純陽中學(xué)校）若函數(shù)/（6=/+2芯+以_1在@1）上存在唯一極值點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.B.1之,0）C.（0,1）D.（-1,0）

【答案】B

【解析】由題意知：/。）=31+4仆+0,若函數(shù)=父+2解+?_］在（o,l）上存在唯

一極值點(diǎn)，

則r（0）-r（l）<0,即a（3+5a）vO,解得aw（一|,0）.故選：B.

3.（2022?四川省成都市新都一中）己知/（.1）=-%3+（］一,〃）人2_八+2沒有極值，則實(shí)數(shù)，”的

取值范圍為（）

A.(0,2)B.(-co,0)u(l,+?)

C.[0,2]D.(-OO,0]U[2,-KC)

【答案】C

【解析】/'(力=-/+(2-方?卜-1；

'??/(x)在K上沒有極值，「.△=(2-2W)2-4<0,即4m2-8"?=4/w(w-2)<0,

解得：0W,〃W2,即實(shí)數(shù)〃，佗取值范圍為[0.2].故選：C.

4.(2022?湖北)函數(shù)/(X)=：X1OV2-2K+5在1e(l,2)內(nèi)存在極值點(diǎn)，則()

A.——<a<—B.——W—C.a<——或"一D.a<>——或“2—

22222222

【答案】A

【解析】由題意知:/'(x)=f+2數(shù)一2在xw(l,2)內(nèi)存在變號零點(diǎn)，即f+2奴-2=0在

xw(l,2)內(nèi)有解，貝|J.=_；+L易得y=—；+，在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減，值域?yàn)椤?，生，故

2x2x\L1)

I1

—<a<—.故選:A.

22

5.(2022?河南)己知函數(shù)/⑴二日1-加杓兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(y.o)(°，)

C.(0,1)D.(0,+8)

【答案】B

【解析】由題意r(x)=lnx+l—2at=lnx—2公+1=0有兩個不等實(shí)根，2〃=皿里，

x

...,、InA+1，/、l-(ln.￥+l)In.v

設(shè)-------，g(X)=------2----=----2-?

Xx~x~

當(dāng)Ovxvl時,gf(x)>0,g(>)遞增,當(dāng)x>l時，g'(x)<0,g(x)遞減,

X=1時，以1)=1為極大值也是最大值，

x>l時，ln,v>0,所以g(x)=^^>0,

X

X=0時，g(e7)=金2=o,g)與X軸只有一個交點(diǎn)，

X

所以當(dāng)0<為<1,即0<“<9寸，直線廣物與W。)的圖象有兩個交點(diǎn)，即2a=虹也有兩

2x

個不等實(shí)根.

故選：B.

6.(2022?安徽?蒙城第一中學(xué))已知〃，為常數(shù)，函數(shù)/("=外0-2的2有兩個極值點(diǎn)，其中

一個極值點(diǎn)與滿足%>1，則f(N))的取值范圍是()

A.(e,0)B.(0,4OP)C.卜8,-g)D.卜會田

【答案】D

［解析］f(x)^\nx-4mx+1,由函數(shù)f(x)=x\nx-2mx2有兩個極值點(diǎn),

則等價于廣(力=。有兩個解，即)，=Inx與)，=4/心-1有兩個交點(diǎn)，

所以如陶+1=4〃/.

直線,，=4爾-1過點(diǎn)(0,-1)

由y=lnx在點(diǎn)尸(1,0)處的切線為y=x-l,顯然直線產(chǎn)x-1過點(diǎn)(0，-1)

當(dāng)0<4〃?vl時，直線丁=4加”1與曲線y=lnx交于不同兩點(diǎn)(如下圖)，且苦

令g(x)="n：_I>1)，則g'(x)=殍>。(丫>1),

所以g(x)=*」(x>］)單調(diào)遞增，g(x)>^l)=_g,即〃

故選：D.

7(2022?陜西?長安一中)已知在./8C中，三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為〃，b,J

若函數(shù)〃力=3丁+區(qū)2+?)/-戊卜+3無極值點(diǎn)，則角8的最大值是()

【答案】C

【解析】因?yàn)?(》)=,丫‘+加+(4+C2-ac^X+3,所以f'(x)=x2+2hx+a2+c2-ac,

3

若/(X)無極值點(diǎn)，即r(x)=()無變號零點(diǎn)，又二次函數(shù)y=w+次+開口向上，

所以/'(刈20恒成立，等價為判別式△?(),BPA=4^-4(?2+r-?eX.O,^a2+c2-b2>ac,

所以因?yàn)椤╡(O,/r),所以3的最大值為g：故選：C.

8.(2022?四川?綿陽中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校)若函數(shù)/(x)=F-/-云-/在犬=1處有極值I。，則

a-b=()

A.6B.-15C.-6或15D.6或一15

【答案】B

【解析】***f(x)=^-ax2-bx+a2,f\x)=3x2-2ax-b

乂x=l時/Xx）有極值10

3-2a-b=0a=-4a=3

解得或，

\-a-b+a2=0b=\\b=-3

當(dāng)。=3,力=-3時，fXx)=3A2-6.v+3=3(x-1)2>0

此時"X）在％=1處無極值，不符合題意

經(jīng)檢驗(yàn)，a=-4,b=\\時滿足題意:.a—b=T5故選：B

9.（2022?青海?大通回族土族日治縣教學(xué)研究室二模（理））設(shè)函數(shù)/（x）=xsinx+cosx,則

下列不是函數(shù)極大值點(diǎn)的是（)

5〃n3乃

A.7B-TD.——

--I2

【答案】D

［解析】由題可褥/'(x)=sinx+xcosx-sinx=xcQsx,

令r(x)=。，得x=0或x=+keZ、

則當(dāng)XW時，r（x）＞。，

山（5乃3不

當(dāng)xw丁'-萬時,ra)<o,

3乃5江）叢.5兀3乃

所以函數(shù)/（X）在■y，wj上單1周遞增，在

2T,-Tg。，

（^，芳）上單調(diào)遞減，故不是函數(shù)/（”）極大值點(diǎn)的是-夸.故選：D.

10.（2022?全國?高三專題練習(xí)）己知“肘+3是函數(shù)/⑺=/+江+瓜+仁的零點(diǎn)，且f+3也

是函數(shù)“X）的極小值點(diǎn)，則/（X）的極大值為（）

44

A.1B.4C.-D.-

39

【答案】B

【解析】因函數(shù)f（x）在f+3處取得極小值0,乂/是函數(shù)“X）的另一零點(diǎn)，因此函數(shù)〃x）

只有兩個零點(diǎn)，

從而有/（X）=（XT）（XT-3）2.求導(dǎo)得：r（x）=3（A-/-l）（x-r-3）,

當(dāng)x<r+l或x>/+3時，r(x)>0,當(dāng)/+lvx<，+3時，尸(x)<0,

于是，/(X)在x=/+3處取得極小值，在x=1+l處取得極大值/?+1)=4,

所以/(X)的極大值為4.故選：B

11.(2022?廣西?高三階段練習(xí)(理))已知函數(shù)=在其定義域的一個子區(qū)間(e,e)

上有極值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(0,2)

【答案】A

【解析】r(x)=In：-a,令四勺=0,即]Tn”-a=(),解得.舊管，且0<x<e~,

/X.v)>0：x>e'-a,戶")〈0,在(0，e~)上單調(diào)遞增，在(”,內(nèi))上單調(diào)遞減，

"(X)有極大值/(ei)J：；："二尸,...e<e-ve2,.,.一1<4<0,故選：A.

12.(2022?安徽?合肥市第八中學(xué))已知函數(shù)〃x)=(v-a)(x-b)e'在x=〃處取極小值，且

〃x)的極大值為4,則〃=()

A.-1B.2C.-3D.4

【答案】B

【解析】/(x)=(x-a)(x-Z>)ex=(^-ax-bx+ab)^,所以

/,(x)=(2.v-a-Z?)e,+(x2-av-bx+?/?)ev=e1^x2+(2-a-b)x+ab-a-b^

因?yàn)楹瘮?shù)〃"=(x-a)(x-〃)6'在x=〃處取極小值，所以

/"(4)=&'[42+(2_4_/“4+而_4_8]=?"([—力)=0,所以4=力，/(x)=(x—afe",

f,(x)=eK^x2+(2-2?)x+tr-2z/^|=e1(x-6/)|^x-(a-2)J,

令r(x)=。，得—。或x=a—2,當(dāng)a—2)時，f(x)>0,所以〃x)在(9，a-2)

單調(diào)遞增，當(dāng)％w(a—2,a)時，f(x)<0f所以在(a—2,a)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(a,+8)

時，r(A)>0,所以/(x)在m+。)單調(diào)遞增，所以/(%)在N-2處有極大值為

/(?-2)=4ea-2=4,解得a=2,所以〃=2.故選：B

13.(2022?河北承德)已知x=-l是函數(shù)/(x)=〃*+2/+3x的極值點(diǎn)，則/("的極大值

為.

【答案】0

【解析】因?yàn)?'(x)=3/加+4x+3,所以/(-1)=癡-4+3=0,得〃T，

所以r(x)=f+4x+3=(x+l)(x+3),所以當(dāng)—3<x<—I時，/'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xv-3或x>-I時，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，所以“=-3是"外的極大值點(diǎn)，則

〃-3)=0.

故答案為：0

14.(2022?北京-101中學(xué))設(shè)出百是函數(shù)/(工)=丁—2o?+/x的兩個極值點(diǎn)，若蒼<2<天，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】2<a<6

【解析】/'(x)=3/-40￥+a12=(3x-a)(x-a),

因?yàn)橹?是函數(shù)/(x)=*'-2@2+a%的兩個極值點(diǎn)，旦NV2〈.G，

所以知七是方一元二次方程/,(x)=0的兩個實(shí)根，且內(nèi)<2<占，

所以八2)<0,即(6-幻(2-〃)<0,解得2<〃<6.故答案為：2<〃<6

15.(2022?浙江寧波)已知函數(shù)/a)=W+《-+ln；］,若x=l是函數(shù)/⑶的唯一極值點(diǎn),

則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

【答案】k>-\

【解析】/⑴=三+噌+In，的定義域?yàn)?0,+8)

.(x-l)e\11、(cx+k)(x-1)

??/(X)=---；—+〃(一一7+-；=-----；----

X-x~Xx~

.x=l是函數(shù)/⑶的唯一極值點(diǎn)

.?.x=l是導(dǎo)函數(shù)/'(x)=0的唯一根

(I)e、+A=0在(0，包)無變號零點(diǎn)

令g(x)=e、+&,則gr(x)=e，>0,即g(x)在(0,E)上單調(diào)遞增

此時g(《)min=1+4之°：.k>~\

(II)當(dāng)g(x)=e'+A在(0,十功有解x=］時，此時e+&=0,解得"=-e

此時在(0,1)和(1,KO)上均單調(diào)遞增，不符合題意

故答案為：k>-\

題組三無參函數(shù)的最值

1.(2022?海南華僑中學(xué))己知函數(shù)/(司=:丁-：/—2x+l,下列說法正確的是()

A.函數(shù)在(1,2)上遞增B.函數(shù)無極小值

14

C.函數(shù)只有一個極大值二D.函數(shù)在［0,3］二最大值為3

【答案】C

【解析】因?yàn)椤▁)=:x3-；F-2.r+l定義域?yàn)镽,

所以/'(X)=X2_X_2=(X+I)(X_2),

所以當(dāng)x>2或工<一1時r(x)>0,當(dāng)T<x<2時

所以在(T2)上單調(diào)遞減，在和(2,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(同在x=-l處取得極大值，在工=2處取得極小值，

Ia7

即/(X)極大伙=/(-1)=不，戶㈤極岫=〃2)=-§.

又/(。)=1，/(3)=-g,故函數(shù)在[0,3]上最大值為I；

故選：C

2.(2022?湖北?模擬預(yù)測)/(x)=|ln(ru-)-2|+at,/(”的最小值為.

【答案】3

【解析】令依一r4。，g)，則y-|lnf-2|十fM'e

2

當(dāng)壯e?時,y=hU+-2單調(diào)增,ymin=e

當(dāng)0</</時，令g(i)=_]n/+f+2,/?)=_；+]=_?

Ov/<1時g'(f)<(),g(f)遞減

r>l時g'(f)>0,g(r)遞增

???gU「g0)=3

綜上」(x*=3

故答案為：3.

3.(2022?江蘇?南京市江寧高級中學(xué)模擬預(yù)測)若函數(shù)/(9=2/-底-1(〃仁2在(口,0)內(nèi)

有且只有一個零點(diǎn)，則/(X)在卜1』上的最大值與最小值的和為.

【答案】3

【解析】當(dāng)xvO時，由〃x)=0可得a=2x—/■，令g(x)=2jr—5，其中x<0,

則gQ2+々=2(丁),為/")=()，可得x=-1,列表如下：

X(—1)-1(TO)

+0——

g(x)增極大值一3減

如下圖所示:

因?yàn)?(x)=2f-加-l(aeR)在(y\0)內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，則〃=一3,

所以，/(x)=+3x2-1,則f(x)=6父+6.v=6A(X+1),

當(dāng)T<x<0時，/'(x)<0,此時函數(shù)〃x)單調(diào)遞減,

當(dāng)0<x<l時，/(力>0,此時函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

則當(dāng).止卜川時，/(力巾=/(0)=-1,

又因?yàn)椤?1)=0,『(1)=4,所以，/(X)M=4,

因此，“X)在［-單］上的最大值與最小值的和為7+4=3.

故答案為：3.

4.(2022?全國?高三專題練習(xí))若實(shí)數(shù)〃、/八和1滿足￡^吆=，^=1,則(4-。2+0-4)2

的最小值為

2(ln2-l)?

【答案】

5

.a2-2Ina3c—4

【解析】:

~iT

???點(diǎn)P(d〃)是曲線/(”)=丁-211紅＞0)上的點(diǎn)，Q(c,d)是直線y=3x-4上的點(diǎn),

.?.|p(2|2=(?-c)2+(/?-f/)2.

???f(x)=2x--=2(K1)(XT)(X>o).

.1.X

由/q”)>0得，x>l：由V0得0<xvl.

???當(dāng)X=1時，/(X)取得極小值為1.如圖，

耍使|打才最小，當(dāng)且僅當(dāng)過曲線y=v-2lnx上的點(diǎn)尸(〃⑼且與線y=3x-4平行時.

r

V/(x)|=2a--t直線y=3x-4的斜率無=3,A2a--=3,

'"xnaa

，。=2或4=一;(由丁a>0,故舍去)..，./?=22-21n2=4-21n2.

設(shè)點(diǎn)尸(2,4-21n2)到直線y=3x-4的距離為止

|6-(4-21n2)-4|2_2|ln2-l)2

則=一畫—=——'

??.|PQ「>di=2(ln2-l￡,(。一蛾的最小值為2(E；T)2.

故答案為：2(E21)

5

5.(2022?四川省成都市新都一中)函數(shù)〃