專題24空間幾何體的表面積和體積

一、考向解讀

考向：通過考查幾何體體積和表面積的計算，主要考查棱柱、棱錐或不規(guī)則幾何體的特

征及體積與表面積的計算，凸顯數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng)

考點：空間幾何體的表面積和體積

導(dǎo)師建議：難點是組合體的表面積，需要對基本的立體圖形非常熟悉！

二、知識點匯總

1.棱柱：兩個面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，

由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.

（1）斜棱柱：側(cè)棱不再直于底面的棱柱；

（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；

（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；

（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；

（6）長方體：底面是矩形的直平行六面體；

（7）正方體：棱長都相等的長方體.

2.棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體

叫做棱錐.

（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心；

（2）正四面體：所有棱長都相等的三棱錐.

3.棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，由正棱錐

截得的棱臺叫做正棱臺.

4.圓柱：以矩形的?邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱.

5.圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾

何體叫做圓錐.

6.圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺.

7.球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱為球

表面積公式

+2s蛻

柱

=c'l+2幾(c’為直截面周長)

體

5=2乃，+2/rrl=2/rr(r+/)2itr

MWME

S/=gw?'+S艇

錐

體2

SMm=Trr+冗rl=7rr{r+/)

表

面d

S正椅臺=g〃(a+〃')〃+S七+S尸

積臺

體

兒笈=成+r+r'[+d)

球S=4TTK

體積公式

柱體匕=Sh

體

匕=、Sh

錐體

**3

積

Q

匕=4(S+病+SM

臺體A

目錄一覽

①柱、錐、臺的表面積

②柱、錐、臺的體積

③球的表面積和體積

④組合體的表面積和體積

⑤多選題與填空題

高考題精選

題型精練，鞏固基礎(chǔ)

①柱、錐、臺的表面積

一、單選題

I.在《九章克術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”，己知某“塹堵”的底面是斜邊長為2的

等腰直角三角形，高為2,則該“塹堵”的表面積為（）

A.2&+2B.2&+3C.4拒+4D.4忘+6

【答案】D

【分析】利用柱體的表面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可知，該“塹堵”的表面積為S&=（2&+2）x2+2xgxV5x啦=4及+6.

故選：D.

2.若六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形，側(cè)面為矩形，側(cè)棱長為4,則其側(cè)面積等于（）

A.12B.48C.64D.72

【答案】D

【分析】由六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形，求出底面周長，再由側(cè)棱長，即棱柱的高為4,代入棱柱

側(cè)面積公式，可得答案.

【詳解】解：,,六棱柱的底面是邊長為3的正六邊形，

故底面周長0=6x3=18,

又側(cè)面是矩形，側(cè)棱長為4,

故棱柱的高〃=4,

???棱柱的側(cè)面積S=C/?=72,

故選：D

3.某藥廠制造一種藥物膠囊，如圖所示，膠囊的兩端為半球形，半徑「=&，中間可視為圓柱，若該種膠

囊的表面積為16萬，則該種膠囊的體積為（）

【分析】設(shè)圓柱高為/,左、右兩端半球形半徑為「，其表面積為S,膠囊的體積為Hr），由圓柱側(cè)面積和

球的表面積公式列出等式，用S,表示出/,然后由圓柱與球體積公式求得Mr）并代入己知可得.

【詳解】設(shè)圓柱高為/,左、右兩端半球形半徑為「，其表面積為S,膠囊的體積為V,依題意，

4/rr2+2jrrl=S=>I=—~~,故;/（廣）=2萬廠'+萬廣/=曰一］乃，，將S=16萬,r=&代入可得

2兀T323

V（rl=-y\/2^,

故選：A

4.唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖甲所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝.

它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如圖乙所示.

已知半球的半徑為R，酒杯內(nèi)壁表面積為6n2，則圓柱的高和球的半徑之比為（）

甲乙

A.2:3B.2:1C.3:1D.3:2

【答案】B

【分析】根據(jù)給定的幾何體，利用圓柱和球的表面積公式求出圓柱的高與球的半徑關(guān)系，即可求解.

【詳解】設(shè)圓柱的高為力，因為忽略杯壁厚度，所以酒杯內(nèi)壁表面積為半球的表面積與圓柱的側(cè)面積之和,

即兀肥+2次/=6兀解得〃=2R,所以圓柱的高和球的半徑的比為2:1.

故選：B

5.棱長都是I的三棱錐的表面積為（）

A.石B.2GC.3GD.4x/3

【答案】A

【分析】棱長都是1的三棱錐，四個面是全等的正三角形，求出一個面積即可求得結(jié)果.

【詳解】因為四個面是全等的正三角形，

c_1..&

則表面積S=4x^=6

4

故選：A.

6.已知正四棱錐P-A8CQ的底面正方形的中心為0,若高PO=&,ZE4O=45°,則該四棱錐的表面積

是（）

A.4+2x/2B.4+4&C.4+26D.4+473

【答案】D

【分析】先在正四棱錐中由高產(chǎn)。=拉，Z/W7=450,求出底面邊長和側(cè)棱的長，然后再求表面積.

【詳解】依題意，正四棱錐的高尸。」底面A8CD,且NE4O=45。，知為等腰直角三角形，則側(cè)棱

PO41

PA=且AO="0=&,

sinZPAO-sin45°

則底面正方形ABCD的對角線AC=2AO=2&=aB，得正方形的邊長A3=2,

從而知正四棱錐的4個側(cè)面均是邊長為2的正三角形;

所以底面積為：卜3『-4；側(cè)面積為：PAB4"2入2八2Ksin604“3

故正四棱錐的表面積為：4+46.故選：D

7.已知某圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，該圓錐的體積為兀，則該圓鋸的表面積為（）

A.27乃B.20x/3nC.18上nD.16乃

【答案】A

【分析】根據(jù)條件先算出母線長與底面半徑的關(guān)系，再根據(jù)體積計算出底面半徑即可.

【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為r,母線長為1,貝）2"=兀/,所以/=2八所以圓錐的高為廬：=&「，

所以;x",百r=96冗,解得「=3,故其表面積5=%，+乃"=9兀+18用=27用；故選：A.

8.如圖是某燈具廠生產(chǎn)的一批不倒翁型臺燈外形，它由一個圓錐和一個半球組合而成，圓錐的高是0.4m,

底面直徑和球的直徑都是0.6m,現(xiàn)對這個臺燈表面涂膠，如果每平方米需要涂200克，則共需涂膠（）

克（精確到個位數(shù)）

A.176B.207C.239D.270

【答案】B

【分析】求出圓錐的母線長，再由臺燈是由一個圓錐和一個半球組成可求得臺燈表面積5=仃/+2m2的值,

進(jìn)而求得涂膠的克數(shù).

【詳解】由已知得圓錐的母線長/=4）.32+0.42=05,

所以臺燈表面積為S=nrl+2冗產(chǎn)=兀x。.3x0.5+2兀x0.32=0.33兀，

需要涂膠的重量為0.337rx2（X）=66Tt=66x3.l4=2（）7.24=207（克）?

故選：B.

9.若某正四棱臺的上、下底面邊長分別為3,9,側(cè)棱長是6,則它的表面積為（）

A.90+725/3B.90+27x/3C.90+72。D.90+276

【答案】A

【分析】利用正棱臺的側(cè)面是等腰梯形，根據(jù)已知條件計算斜高，然后根據(jù)梯形的面積公式計算側(cè)面積,

進(jìn)而求得表面積.

【詳解】由題意可得，上底面的面積為%下底面的面積為81,

側(cè)面的高為后K=3\/5，

所以該正四棱臺的表面積為9+81+4、”上至=90+72右.

2

故選：A

【點睛】本題主要考查了正棱臺的表面積，關(guān)鍵在于利用正棱臺側(cè)面是等腰梯形，根據(jù)已知條件，利用等

腰梯形的性質(zhì)計算斜高，屬于基礎(chǔ)題.

10.正四校?臺的上、下底面邊長分別為1cm,3cm,側(cè)楂長為2cm,則樓臺的側(cè)面積為（）

A.4cm?B.8cnr

C.4>/3cm:D.875cm?

【答案】D

【分析】利用已知條件求出斜高，然后求解棱臺的側(cè)面積即可.

【詳解】正四棱臺的上、下底面邊長分別為1cm,3cm,側(cè)棱長為2cm,

所以棱臺的斜高為：,（?）2=技

所以棱臺的側(cè)面積是：4X=XG=8。.

故選：D.

II.己知圓臺的上、下底面的半徑分別為7?,〃，若R=2r=2,高力=6，則該圓臺的側(cè)面積為（）

A.9兀B.11乃C.6兀D.3乃

【答案】C

【分析】構(gòu)造三角形求出母線氏，再代入與附側(cè)一近4+々)/可得結(jié)果.

【詳解】如圖所示，過A作AC垂直于。28于點C,則成?=1,AC=6

二在直角AACB中，/=|A3M2+(,")2=2/.S[nlz?R=^(/?+r)/=^x(2+l)x2=6^

故選：C.

12.巳知圓臺下底面半徑是上底面半徑的2倍，若從該圓臺中挖掉一個圓錐，圓錐的底面是圓臺的上底面,

圓錐的頂點是圓臺下底面的圓心，則圓錐的側(cè)面積是圓臺側(cè)面積的()

A.gB.-C.-D.一

2346

【答案】B

【詳解】設(shè)圓臺上底面半徑為r,則圓臺下底面半徑為2r,圓錐的底面半徑為r,

設(shè)圓臺的高為h,則圓錐的的高為h

則圓臺母線長為J川+(2一「尸二〃7〒,圓錐的母線長為廬了

則圓錐的側(cè)面積為nrxl^+r2

圓臺側(cè)面積為+”廬則圓錐的側(cè)面積是圓臺側(cè)面積的g

故選：B

②柱、錐、臺的體積

13.《九章算術(shù)?商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉膈，不易之率也.“我

們可以翻譯為：取?長方體，分成兩個?模一樣的直三棱柱，稱為塹堵.再沿塹堵的?頂點與相對的核劑開，

得一個四棱錐和一個三棱錐，這個四棱錐稱為陽馬，這個三棱錐稱為鱉膈.現(xiàn)已知某個鱉瞞的體積是1,則

原長方體的體積是（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)柱體和錐體體積公式求得正確答案.

【詳解】如圖所示，原長方體

設(shè)矩形的面積為S,CR=h,

鱉膈R-ACG的體積為1,

即；＜（gs）x/?=l,所以9=6,

即原長方體的體積是6.

故選：B

14.陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個圓錐和一個

圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中B.C分別是上、下底面圓的圓心，且人。=3八8=6,底面圓的半

徑為2,則該陀螺的體積是（）

圖I圖2

A.小B.&C.20乃D.

33

【答案】D

【分析】根據(jù)圓錐與圓柱的體積公式，可得答案.

【詳解】已知底面圓的半徑/=2,由4c=3A8=6,則AB=2,8C=4,

故該陀螺的體積V=8C廿+g.AB.4=等.

故選：D.

15.已知正三棱柱ABC-A"G的底面邊長為2,側(cè)極長為6,則三極錐A-48c的體積為（）

A.vB.—C.1D.73

22

【答案】C

【分析】根據(jù)三棱錐的體積與三棱柱體積的關(guān)系求解.

【詳解】正三棱柱ABC-44G的底面邊長為2,側(cè)棱長為75,

棱柱的底面面積為：1X2X>/22-12=73.

棱柱的體積為：S〃=6x△=3.

由三棱錐的體積的推導(dǎo)過程可知：

三棱錐4一8用。的體積為：凝柱=；x3=l.

故選：C.

16.已知正四棱錐的高為3,底面邊長為正,則該棱錐的體積為（）

A.6B.3五C.2D.42

【答案】C

【分析】直接利用棱錐的體積公式計算即可.

【詳解】根據(jù)棱錐的體積公式得該棱錐的體積為gx血x走x3=2

故選：C.

17.一個圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個半徑為【的半圓，則該圓錐的體枳為（）

A.2B.皂nC.呈兀D.且乃

241262

【答案】A

【分析】根據(jù)圓錐底面圓周長等于側(cè)面展開圖的弧長，求得底面圓半徑，根據(jù)勾股定理求出圓錐的高，結(jié)

合圓錐體積公式計算即可求解.

【詳解】母線長為1,設(shè)底面圓半徑為「，

則2〃=乃，???「=；,???力=/一（；）2=冬

故圓錐的體積為V?也=叵，

332224

故選：A.

18.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其形狀可視為一個底面周長恰為高的2冗倍的正四棱椎，現(xiàn)

將一個棱長為6的正方體銅塊，熔化鑄造?些高為4的胡夫金字塔模型，則該銅塊最多能鑄造出（）個該

金字塔模型（不計損耗）？

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【詳解】在正四棱錐P-ABCQ中，令A(yù)CBD=O,連接PO,則正四棱錐P-43CQ的高為|尸。=4

設(shè)正四棱錐P-ABC。的底面邊長為a,貝IJ加=2兀|叫=8兀，即〃=2兀

???正四棱錐P-ABCD的體積為=gx(2R)2x4=等

則可得攵、叵W61貝2=4.1

327r

該銅塊最多能鑄造出4個該金字塔模型

故選：B.

19.圓臺上、下底面半徑分別是1、2,高為這個圓臺的體積是（

A,也D.”

B.2后C.7后

33

【答案】A

【分析】運用圓臺體積公式直接計算.

2222

【詳解】由圓臺體積公式知：V=\//(/?+r+/?r)=^xV3x(l+2+lx2)=^

故選：A.

20.圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5,則該圓臺的

體積為（）

A.617tB.627tC.63兀D.64;:

【答案】A

【分析】先求得圓臺的高，然后根據(jù)圓臺的體積公式求得正確答案.

【詳解】求得直徑為10,半徑為5,

圓臺的下底面半徑為5,所以圓臺的高為必不=3,

所以圓臺的體積為：兀K（4?-t-4x5+52）x3-61n.

故選：A

21.某款廚房用具中的香料收納罐的實物圖如圖1所示，該幾何體為上、下底面周長分別為32cm,24cm的

正四棱臺，若棱臺的高為女m,忽略收納罐的厚度，則該香料收納罐的容積為（）

圖1圖2

148

A.-cm'B.74cm5C.148cm'D.298cm'

【答案】C

【分析】利用臺體的體積公式直接計算即可.

【詳解】由題意可知，該四棱臺的上、下底面邊長分別為8cm,6cm,

故該香料收納罐的容積為:x3x（8?+6?+8x6）=148cm3.故選：C.

22.如圖，是某種型號的家用燃?xì)馄浚涫獠糠纸瓶梢钥醋饔梢粋€半球和一個圓柱體組成，設(shè)球的半

徑為R，圓柱體的高為人若要保持圓柱體的容積為定值V=3幾立方米，則為使制造這種燃?xì)馄克貌牧献?/p>

D

省（溫馨提示:即由半球和圓柱體組成的幾何體表面積最小），此時廠＜）

*

11

A.—B.1C.-D.-

2234

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，先求出表面積的表達(dá)式，利用卜=3瓦為定值求出/，與R的關(guān)系，再利用基本不等式求解

即可.

【詳解】依題意，

itR2h=3%R,=3,所以S=2兀片+TIR2+2nRh=瓦（3店+2Rh）

當(dāng)3*4時取等，所以一43,故小最

23.圓柱的高等于球的直徑，圓柱的斜面積等于球的表面積，設(shè)球的體枳為V,則圓柱的體積為（）

3314

A.-VB.-VC.-VD.-V

2423

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合球與圓柱的體積和表面積公式計算即可求解.

【詳解】由題意知，設(shè)球的半徑為R,圓柱底面圓的半徑為r,

4

對于球，表面積s球=47r*，L=-rf,

對于圓柱，側(cè)面積與柱=2nr-2R=4mR,V柱=兀產(chǎn)2R=2乃，R,

因為圓柱的側(cè)面積等于球的表面積，所以4萬正=44左，

得廠=R,貝lj%柱=2汗足,

又/rR3=：V?球，所以％w=2—匕,==

故選：A.

③球的表面積和體積

24.在正四極臺ABC。-ABC。中，AB=2AAi=2AiBi=2>/2,且各頂點都在同一球面上，則該球體的表

面枳為（）

A.207rB.5^5itC.10KD.5n

【答案】A

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由圖構(gòu)造直角三角形，即可求得代，由求得表面積公式求得球體的表面積.

【詳解】如圖所示的正四棱臺ABC。-ABC。，A8=2A4,=2A修=2應(yīng)，取上下兩個底面的中心M,N,

連接MN,AM?AN,過點A作底面的垂線與AN相交于點田.

因為四棱臺48CO-A8CR為正四棱臺，所以外接球的球心一定在MN上，在MN上取一點。為球心，連

接O&OA，則OA=OA=R,設(shè)ON=h,

MN=]E=JW-AE?=巧：_網(wǎng)_￡秒=,困一伊"4附『=1,

在R/ZMN中，OA2=AN2+ON2,BP/?2=22+/?2,

在中，0葉=。/+4"2,即店=(l—/?)2+F,

解得汽=5,所以S球=47i*=207r,

故選：A.

25.某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實踐課時，制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被

一個棱長為4G的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個截面圓的

周長為4兀，則該球的體積是（）

n32兀

A.一B.64nC.16nD.一

33

【答案】A

【分析】求出球心到截面圓所在平面的距離以及截面圓的半徑，利用勾股定理可求得球的半徑，再利用球

的體積公式即可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可得'球心到截面圓所在的平面的距離〃=苧=2右

設(shè)截面圓的半徑為廣，球的半徑為心貝IJ2口=4冗，解得”2,

所以R=J產(chǎn)+d。=4,

所以該球的體積為g%N=竽,

故選：A

26.用與球心距離為后的平面去截球，截面面積為兀，則球的體積為（）

A.與B.與C.8向D.警

【答案】A

【分析】根據(jù)截面面積求得截面半徑r,進(jìn)而求得球的半徑R,再利用球的體積公式求解即可.

【詳解】設(shè)截面半徑r,球的半徑R,截面與球心距離為4=6，

由題意得，截面面積5=兀產(chǎn)=冗，解得r=1,

因為R?=/+d?=1+3=4,所以R=2,

所以球的體積V三或二寺.故選：A.

27.已知圓錐的底面半徑為2,高為4右，則該圓錐內(nèi)切球的體積為（）

A.疏B.16兀C.—D.見紅

33

【答案】D

【分析】根據(jù)圓錐與內(nèi)切球的軸截面圖，列出等量關(guān)系，即可求解.

【詳解】如圖，圓錐與內(nèi)切球的軸截面圖，點。為球心，內(nèi)切球的半徑為「，DE為切點，設(shè)8=OE=r,

即8E=8D=2,

由條件可知，AB=J（46/+22=6,

222

在A4D0中，AO=AD+DOt即：4啦一=（6-2）?+產(chǎn)，解得：r=&.

故選：D

④多面體的表面積和體積

28.如圖，“落菇”形狀的幾何體是由半個球體和一個圓柱體組成，球的半徑為2,圓柱的底面半徑為1,高

為3,則該幾何體的表面積為（）

【答案】D

【分析】由題意可知該幾何體的體積是由半球的表面積加上圓柱的側(cè)面積，再加上圓的面積即可.

【詳解】解：由題意得，球的半徑R=2,圓柱的底面半徑/?=1，高介=3,

貝I該幾何體的表面積為SuZ/rR?+4犬+24〃？=8乃+4乃+2;rxlx3=18;r.

故選：D.

29.金剛石的成分為純碳，是自然界中天然存在的最堅硬物質(zhì)，它的垢構(gòu)是由8個等邊三角形組成的如圖

所示的正八面體.若某金剛石的棱長為2,則它的表面積為（）

【答案】C

【分析】求出一個等邊三角形的面積求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等邊三角形的高為3所以〃二在萬=百，

所以每個邊長為2等邊三角形的面積為：1x2x73=73,

所以正八面體的表面積為：

故答案為：C.

30.如圖，在多面體ABCD由中，己知A3CD是邊長為1的正方形，且.8b均為正三角形,

EF/iAB.EF=2,則該多而體的表面積為（）

A.1+2N/3B.2GC.I+—D.1+G

3

【答案】A

【分析】先證明瓦7/C。，結(jié)合梯形面積公式求得正確答案.

【詳解】由于EF〃AB、AB〃CD,所以EFI/CD.

依題意，ADE,BCF均為正三角形,

所以四邊形石和四邊形C0正是等腰梯形，

兩個等腰梯形的高為，2-（?j=*.

所以多面體的表面積為：『十無X-X2+9X立X2=1+2G.

422

故選：A

31.何尊是我國西周早期的青銅禮器，其造形渾厚，工藝精美，尊內(nèi)底鑄銘文中的“宅茲中國''為"中國”一詞

的最早文字記載.何尊的形狀可以近似地看作是圓臺與圓柱的組合體，高約為40cm,上口直徑約為28cm,

下端圓柱的直徑約為18cm.經(jīng)測量知圓柱的高約為24cm,則估計該何煤可以裝酒（不計何尊的厚度，

403兀之1266,194471?6107）（）

A.12750cm3B.12800cm3

C.12850cm3D.12900cm'

【答案】C

【分析】根據(jù)圓柱和圓臺的體積公式計算可得結(jié)果.

【詳解】下端圓柱的體積為124TT-92=1944K?6107cm'.

上端圓臺的體積為：1xl6n（142+14x9+92）=^x403X1266=6752cm3,

所以該何尊的體積估計為6107+6752=12859cm\

因為12850最接近12859,

所以估計該何尊可以裝酒12850cm\

故選：C

32.如圖.該幾何體是由正方體截去八個一樣的四面體得到的,若正方體的棱長為L則該幾何體的體積為

（）

【答案】D

【分析】由己知求得正方體的體積，減去八個正三棱錐的體積得答案.

【詳解】由題意可知，截去的八個四面體是全等的正三棱錐，體積是8X9；X；X；X；=：；

322Z2o

正方體的體積為lxlxl=l;

則所求體積是

o6

故選：D.

33.西施苑是紫砂壺器眾多款式中最經(jīng)典的壺型之一，是一款非常實用的泡茶工具（如圖1）.西施壺的壺

身可近似看成一個球體截去上下兩個相同的球缺的幾何體.球缺的體積刊=63〉］。*（夫為球缺所在球

的半徑，力為球缺的高）.若一個西施壺的壺身高為8cm,壺口直徑為6cm（如圖2）,則該壺壺身的容積

約為（不考慮壺壁厚度，不取3.14）?）

圖1圖2

A.494mlB.506mlC.509mlD.516ml

【答案】A

【分析】依題意作出幾何體的軸截面圖，即可求出對應(yīng)線段的長，進(jìn)而求出球的半徑和球缺的高，再根據(jù)

球的體積公式和球缺的體積求解即可.

【詳解】如圖作出幾何體的軸截面如下面所示，

依題意，48=6cm,。為球心，。為壺口所在圓的圓心，所以人O=O8=3cm,

因為OE=8cm,所以QQ=OE=4,且。D_LA3,OB=y]32+42=5?

所以球的半徑R=5cm,所以球缺的高〃=5-l=4cm.

所以球缺的體積二?電=冗M(jìn)l"=14n,

333

所以該壺壺身的容積約為：V=：兀夕-2乂號=苧。494ml.

34.盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商準(zhǔn)備將棱長為的正四面體的魔方放入正方體盲

盒內(nèi)，為節(jié)約成本，使得魔方能夠放入盲盒且盲盒棱長最小時，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為（）

A64&3口128723廠256近512&

A.-------cmB.---------cmC.---------cm3Dn.---------cm3

3333

【答案】C

【分析】棱長為8的正四面體放入正方體，使正方體面對角線長等于正四面體棱長，然后求出體積作答.

【詳解】依題意，要使樓長為8cm的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，且盲盒棱長最小，

則當(dāng)且僅當(dāng)正方體的面對角線長等于正四面體的棱長，即它們有相同的外接球，

如圖，正四面體48CO的棱長為8cm,該正四面體的所有棱均為正方體對應(yīng)的面對角線,

所以該正方體棱長為4缶m，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為4x|x』x4夜:<4忘x4&=￡6&cn?）.

故選：c

⑤多選題和填空題

二、多選題

35.圓柱的側(cè)面展開圖是長4cm,寬2cm的矩形，則這個圓柱的體積可能是（）

8

A.Sncm'B.—cm'

兀

―16343

C.—cmD.—cm

7171

【答案】BD

【分析】由已知中圓柱的側(cè)面展開圖是長4cm,寬2cm的矩形，我們可以分圓柱的底面周長為4cm,高為

2cm的和圓柱的底面周長為2cm,高為4cm,兩種情況分別由體積公式即可求解.

【詳解】側(cè)面展開圖是長4cm,寬2cm的矩形，

2

若圓柱的底面周長為4cm,則底面半徑五=二51,〃=2cm,

JI

此時圓柱的體積V=兀",力=

若圓柱的底面周長為2cm,則底面半徑R=2cm,h=4cm,

n

A

此時圓柱的體積V=71Kh=-cin3

n

故選：BD

36.如圖，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，下列結(jié)論正確的是（）

A.圓柱的側(cè)面積為布肥B.圓錐的側(cè)面積為石兀川

C.圓柱的側(cè)面積與球面面積相等D.三個幾何體的表面積中，球的表面積最小

【答案】ABC

【分析】根據(jù)球、圓錐、圓柱的表面積公式一一計算可得；

【詳解】解：依題意球的表面積為4冗內(nèi)，

圓柱的側(cè)面積為2;txRx2R=4;iR',所以AC選項正確.

圓錐的側(cè)面積為兀xRx+（2咫=底TR2,所以B選項正確.

圓錐的表面積為江網(wǎng)?x/5n/?:=（lIJs）nR2<4兀爐,

圓柱的表面積為4M2+2工序=6幾六，所以D選項不正確.

故選：ABC

37.正三棱錐底面邊長為3,側(cè)棱長為2右，則下列敘述正確的是（）

A.正三棱錐高為3B.正三棱錐的斜高為叵

2

C.正三棱錐的體積為2D.正三棱錐的側(cè)面積為返

44

【答案】ABD

【分析】先求出正三棱錐的高和斜高，從而可判斷AB的正誤，再計算出體積和側(cè)面積，從而可判斷CD

的正誤.

【詳解】

設(shè)E為等邊三角形AZX?的中心，尸為C。的中點，連接PREEPE,

則PE為正三棱錐的高，P”為斜高，

又PF=M1=^，E-號冬冬故*府=3,

故AB正確.

而正三棱錐的體積為gx3x^x9=—,側(cè)面積為3x［小叵=逅，

344224

故C錯誤，D正確.

故選；ABD.

38.有一個三棱錐，其中一個面為邊長為2的正三角形，有兩個而為筆腰直角三角形，則該幾何體的體枳

可能是（）

A.巫B.也C.述D.亞

3333

【答案】BCD

【分析】分三種情況討論，作出圖形，確定三棱錐中每條棱的長度，即可求出其體積.

【詳解】如圖所示：

①若A3工平面BCQ,△8CQ為邊長為2的正三角形，AB=2,△AB。，A8C都是等腰直角三角形，滿

足題目條件，故其體積V=ix2xix2x2xsin60°=;

323

②若四_￡平面3CQ,ACO為邊長為2的正三角形，AB=6,AABD,A8C都是等腰直角三角形，滿

足題目條件，故其體積丫=』、血x』x&x應(yīng)=立；

323

③若△山＜￡＞為邊長為2的正三角形，AABD,48C都是等腰直角三角形，AB=BC=CD=AD=2,

AC=2拉，滿足題目條件，取AC中點￡,因為8E_LAC,而BE?+DE?=BD?，所以BEJ.DE,即有8EJ_

平面AS,故其體積為V=1xVix』x2x2=辿；

323

故選：BCD

39.“塹堵”“陽馬”和“鱉就是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術(shù)?商功》有如下敘述：“斜解立

方，得兩塹堵，斜解矩楮.其一為陽馬，其一為鱉嚅”.意思是說：將一個長方體沿對角面斜截（圖1）,

得到一模一樣的兩個塹堵（圖2）,再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜截（圖2）,得一個四棱錐稱為

若長方體的體積為匕由該長方體斜截所得到的塹堵、陽馬和鱉嚅的體積分別為％匕,匕，則下列選項下里

砸的是（）

V

A.匕+匕+匕=丫B.乂=2匕C.匕=2匕D.匕==

6

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意確定塹堵、陽馬和鱉臊的體積與長方體的體積V的數(shù)量關(guān)系，即可得答案.

VViv

【詳解】解：由題意，塹培的體積陽馬的體積匕鱉腑的體積匕匕-2，

2336

所以匕+匕+匕=丫，2匕=3%,6匕=3匕=丫，即匕=2匕，

V

所以X—K=K="，

O

所以，ACD選項正確，B選項錯誤.

故選：ACD

40.已知圓錐的表面積等于12兀cm?,其側(cè)面展開圖是一個半圓，則以下結(jié)論正確的是（）

A.圓錐底面圓的半徑為2cm

B.該圓錐的內(nèi)接圓柱（圓柱的卜底面在圓錐的底面上，上底而在圓錐的側(cè)面上）的側(cè)面枳的最大值為2后乃

C.該圓錐的內(nèi)接圓柱的體積的最大值時，圓柱的底面圓的半徑與圓柱的高的比為卡

D,該圓錐的內(nèi)切球的表面積為手

【答案】ABC

【分析】利用圓錐的軸截面結(jié)合圖形可求解.

【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為L母線長為/,

依題意得2w=；x2兀/,所以/=2/，

根據(jù)圓錐的表面積為“'+!x27tH=l2n,解得,=2cm,

所以A正確；

如圖為圓錐和內(nèi)接圓柱體的軸截面，由題可知,

A〃=2r=4,CA=C4=/=4,CO=2G

設(shè)即=2乂0<X<2

由相似關(guān)系得禁=鳥，即?=興，解得DE=26-瓜,

AOCO22V3

則內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于2兀rx（2/-6，=2MM+2”），

當(dāng)x=l時側(cè)面積最大，等于2出兀，所以B正確；

內(nèi)接圓柱的體積等于丫(*)=?~卜>/5辰)=百冗(.?I2x2),

VX(A)=V3n(-3x2+4x)=-V3jtv(3x-^),

44

令V'(x)>0,解得0<x<],令V'(x)<0,解得;<x<2,

所以V(x)在(0,f；單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x時圓柱體積最大，此時圓柱的高為=

33

4

32

圓柱的底面圓的半徑與圓柱的高的比為赤=耳，

~T~

所以c正確；

設(shè)內(nèi)切圓的圓心為。1半徑為4，

因為SABC=S0/8+SQBC+Sq.c,

即5小=獷法+畀5+*

所以r=2sABC_A8,℃_2G

1-AB+BC+AC~AB+BC+AC~~

因為圓錐的內(nèi)切球的半徑等于5,

所以內(nèi)切球的體積等于4/2=卑，所以D錯誤.

故選:ABC.

三、填空題

41.已知某一個圓錐的側(cè)面積為20兀，底面積為16兀，則這個圓錐的體積為.

【答案】167r

【分析】求出圓錐的底面半徑，底面周長，結(jié)合圓錐側(cè)面積，列出方程，求出圓錐的母線長，由勾股定理

求出圓錐的高，得到圓錐的體積.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為廣，貝卜戶=16亢，解得：r=4,

則圓錐底面周長為2口=8冗，設(shè)圓錐的母線長為,,

則g!x8m20%解得：1=5,

由勾股定理得：〃=，尸一尸=,25-16=3,

故圓錐的體積為丁16"3=16n.

B

故答案為：16兀.

42.已知一個圓柱的高不變，它的體積擴(kuò)大為原來的4倍，則它的側(cè)面積擴(kuò)大為原來的倍.

【答案】2

【分析】求出底面半徑擴(kuò)大為原來的2倍，從而得到側(cè)面積擴(kuò)大為原來的2倍.

【詳解】設(shè)圓柱的高為〃，底面半徑為「，則體積為“％,體積擴(kuò)大為原來的4倍,則擴(kuò)大后的體積為4冗/人，

因為高不變，故體積4"%=九(2r)%,即底面半徑擴(kuò)大為原來的2倍，原來側(cè)面積為2方力，擴(kuò)大后的圓柱

側(cè)面積為2九-2”i=4兀汕,故側(cè)面積擴(kuò)大為原來的2倍.

故答案為：2

43.市面上出現(xiàn)某種如圖所示的冰激凌，它的下方可以看作一個圓臺，上方可以看作一個圓錐，對該組合

體進(jìn)行測量，圓臺下底面半徑為4cm,上底面半徑為2cm,高為6cm,上方的圓錐高為8cm,則此冰激凌

的體積為cm5.

【分析】先計算圓臺的體積，再計算圓錐的體積，二者相加即可.

【詳解】圓臺的體積7；=；；rx6x(42+2x4+22)=56不，

132

圓錐的體積(=3x22x；rx8=半;r,

總體積為7=工+4=竽，

200萬

故答案為:

44.一個正四棱錐的高為7,底面邊長為10,若正四棱錐的五個頂點恰好在一個球而上，則該球的半徑為

【答案】架#73

【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，結(jié)合球的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)該正四棱錐為尸-A8CO,

由正四棱錐和球的性質(zhì)可知球的球心在高上，設(shè)球心為。，底面中心為E,

因為底面是正方形，所以。E=g洞前=5&,

222

在直角三角形or陀中，OD=OE+DE,設(shè)球的半徑為「，

QQ

所以有r2=(7-r)2+50=>r=—,

14

故答案為：

14

45.設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面半徑分別為2,3,體枳分別為匕，匕，若它們的側(cè)面枳相等，則才的值是____.

V2

2

【答案】-##2:3

【分析】利用圓柱體的側(cè)面積和體積公式求解即可.

【詳解】設(shè)甲的高為九，乙的高為色，

It3

由題意可得2兀x2x4=2?3*他，所以六二5,

?*22

所以并4

匕71x(3)x/z,3

故答案為：I

46.如圖，一個正六棱柱的茶葉盒，底面邊長為10cm,高為20cm,則這個茶葉盒的表面積約為cn?.(精

確到0.1,621732)

【答案】1719.6

【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)算出答案即可.

［詳解】邊長為10cm的正六邊形的面積為6xlx!0xl0xsin600=l50百cm2

所以表面積為2x150G+6x10x20=1200+3(X)73=1200+300x1.732=1719.6cm2

故答案為：1719.6

47.如圖甲是一水晶飾品，名字叫梅爾卡巴，其對應(yīng)的幾何體叫星形八面體，也叫八角星體，是一種二復(fù)

合四面體，它是由兩個有共同中心的正四面體交叉組合而成，且所有面都是全等的小正三角形，如圖乙所

示.若一星形八面體中兩個正四面體的棱長均為2,則該星形八面體的體積為.

【答案】V2

【分析】由題