2024年全國統一高考數學試卷（理科）（新課標I）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的。

1.（5分）（2024?新課標I）設z=±i+2i,則|z|=（）

1+i

A.0B.工C.1D.V2

2

2.（5分）（2024?新課標I）已知集合八二僅k2^-2>0},則［RA=（）

A.{x|-l<x<2}B.{x|-1WXW2}C.{x|x<-1）U{x|x>2}D.（x|xW

-1}U{x|x22}

3.（5分）（2024?新課標I）某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增

加了一倍，實現翻番.為更好地了解該地區農村的經濟收入改變狀況，統計了該

地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖：

建設前經濟收入構成比例建設后經濟收入構成比例

則下面結論中不正確的是（）

A.新農村建設后，種植收入削減

B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.新農村建設后，養殖收入增加了一倍

D.新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的總和超寸了經濟收入的一半

（分）（?新課標）記為等差數列由}的前項和.若

4.52024ISnn3S3=S2+S4,ai=2,

則35=（）

A.-12B.-10C.10D.12

5.(5分)(2024?新課標I)設函數f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函

數，則曲線y=f（x）在點（0,0）處的切線方程為（）

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

6.（5分）（2024?新課標I）在4ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中

點，則尾（）

A.評./B.那-拜C.落/D.萍萍

7.（5分）（2024?新課標I）某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓

柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對

應點為B,則在此圓柱側而上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）

A.?A/17R-3D.?

8.（5分）（2024?新課標I）設拋物線C：y2=4x的焦點為F,過點（-2,0）且

斜率為2的直線與C交于M,N兩點，則而?而=（）

3

A.5B.6C.7D.8

9.（5分）（2024?新課標I）已知函數f（x）,g（x）=f（x）+x+a.若

Inx,x>0

g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是（）

A.[-1,0）B.[0,+8）c.[-1,+8）D.[1,+8）

10.（5分）（2024?新課標I）如圖來自古希臘數學家希波克拉底所探討的幾何

圖形.此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,

直角邊AB,AC.^ABC的三邊所圍成的區域記為I,黑色部分記為n,其余部分

記為印.在整個圖形中隨磯取一點，此點取自I,n,m的概率分別記為pi,

P2，p3?則（）

A

A.P1=P2B.P1=P3C,P2=P3D.P1=P2+P3

2

11.（5分）（2024?新課標I）已知雙曲線C：A_-y2=l,0為坐標原點，F為C

3

的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M,N.若△OMN為直

角三角形，貝U|MN|=（）

A.￡B.3C.2/D.4

2

12.（5分）（2024?新課標I）已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a

所成的角都相等，則a截此正方體所得截面面積的最大值為（）

A.色應B.結C.逗D.返

4342

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-2y-240

13.（5分）（2024?新課標I）若x,y滿意約束條件卜自1>0,則z=3x+2y的

最大值為.

（分）（?新課標）記為數列⑸｝的前項和.若則

14.52024ISnnSn=2an+1,

$6=.

15.（5分）（2024?新課標I）從2位女生，4位男生中選3人參與科技競賽，且

至少有1位女生入選，則不同的選法共有種.（用數字填寫答案）

16.（5分）（2024?新課標工）已知函數f（x）=2sinx+sin2x,則f（x）的最小值

是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21

題為必考題，每個試題考生都必需作答。第22、23題為選考題，考生依據要求

作答。（一）必考題：共60分。

17.（12分）（2024?新課標I）在平面四邊形ABCD中，ZADC=90\ZA=45°,

AB=2,BD=5.

（1）求cosZADB；

⑵若DC=2&,求BC.

18.（12分）（2024?新課標I）如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,

BC的中點，以DF為折痕把aDFC折起，使點C到達點P的位置，且PF_LBF.

（1）證明：平面PEF_L平面ABFD；

2

19.（12分）（2024?新課標I）設橢圓C：工-+y2=l的右焦點為F,過F的直線I

2

與C交于A,B兩點，點M的坐標為（2,0）.

（1）當I與x軸垂直時，求直線AM的方程：

（2）設0為坐標原點，記明：ZOMA=ZOMB.

20.（12分）（2024?新課標I）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一

箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢

驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再依據檢驗結果確定是否對余下的全

部產品作檢驗.設每件產品為不合格品的概率都為p（0<p<：l）,且各件產品是

否為不合格品相互獨立.

（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p）,求f（p）的最大值點

Po?

（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的po

作為P的值.已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則

工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記

為X,求EX；

（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余卜?的全部

產品作檢驗？

21.（12分）（2024?新課標］）已知函數f（x）=-L-x+alnx.

x

（1）探討f（X）的單調性；

（2）若f（x）存在兩個極值點xi，X2,證明：f（xpr（X2）<a-2.

xl-x2

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，

則按所做的第一題計分。［選修4?4：坐標系與參數方程］（10分）

22.（10分）（2024?新課標工）在直角坐標系xOy中，曲線J的方程為y=kx+2.以

坐標原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為

p2+2pcos0-3=0.

（1）求C2的直角坐標方程；

（2）若Ci與C2有且僅有三個公共點，求J的方程.

［選修4-5：不等式選講］（10分）

23.（2024?新課標I）已知f（x）=|x+l|-|ax-1|.

（1）當a=l時，求不等式f（x）>1的解集；

（2）若）<￡（0,1）時不等式f（x）>x成立，求a的取值范圍.

2024年全國統一高考數學試卷（理科）（新課標I）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的。

1.（5分）（2024?新課標I）設z=±i+2i,則|z|=（）

1+i

A.0B.工C.1D.V2

2

【考點】A8：復數的模.

【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；5N：數系的擴充和復

數.

【分析】利用復數的代數形式的混合運算化簡后，然后求解復數的模.

【解答]解：2=±±+21=。一“（1一1+21=?i+2i=i,

1+i（l-i）（l+i）

則|z|=l.

故選：C.

【點評】本題考杳復數的代數形式的混合運算，復數的模的求法，考查計算實力.

2.（5分）（2024?新課標I）已知集合八二伙k2^-2>0},貝IJ[RA;（）

A.{x|-l<x<2}B.{x|?lWxW2}C.{x|x<-1）U{x|x>2}D.{x|xW

-1}U{x|x22}

【考點】IF：補集及其運算.

【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；5J：集合；5T：不等

式.

【分析】通過求解不等式，得到集合A,然后求解補集即可.

【解答】解；集合A={x|x?x-2>0},

可得A={x|xV-1或x>2：,

則：O={x|-1WXW2）.

故選：B.

【點評】本題考查不等式的解法，補集的運算，是基本學問的考查.

3.（5分）（2024?新課標I）某地區經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增

加了一倍，實現翻番.為更好地了解該地區農村的經濟收入改變狀況，統計了該

地區新農村建設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖:

建設前經濟收入構成比例建設后經濟收入構成比例

則下面結論中不正確的是（）

A.新農村建設后，種植收入削減

B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.新農村建設后，養殖收入增加了一倍

D.新農村建設后，養殖收入與第三產業收入的總和超H了經濟收入的一半

【考點】2K：命題的真假推斷與應用；CS：概率的應比.

【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；51：概率與統計；5L：

簡易邏輯.

【分析】設建設前經濟收入為a,建設后經濟收入為2a.通過選項逐一分析新農

村建設前后，經濟收入狀況，利用數據推出結果.

【解答】解：設建設前經濟收入為a,建設后經濟收入為2a.

A項，種植收入37%X2a-60%a=14%a>0,

故建設后，種植收入增加，故A項錯誤.

B項,建設后,其他收入為5%X2a=10%a,

建設前，其他收入為4%a,

故10%aH-4%a=2.5>2,

故B項正確.

C項，建設后，養殖收入為30%X2a=60%a,

建設前，養殖收入為30%a,

故60%a+30%a=2,

故C項正確.

D項，建設后，養殖收入與第三產業收入總和為

(30%+28%)X2a=58%X2a,

經濟收入為2a,

故(58%X2a)：2a=58%A50%,

故D項正確.

因為是選擇不正確的一項，

故選：A.

【點評】本題主要考查事務與概率，概率的應用，命題的真假的推斷，考查發覺

問題解決問題的實力.

4.(5分)(2024?新課標工)記％為等差數列上小的前n項和.若3s3=Sz+S4,ai=2,

則as=()

A.-12B.-10C.10D.12

【考點】83：等差數列的性質.

【專題】11：計算題；34：方程思想；40：定義法；54：等差數列與等比數

列.

【分析】利用等差數列的通項公式和前n項和公式列出方程，能求出加的值.

【解答】解：???Sn為等差數列｛加｝的前n項和,3s3=Sz+S4,ai=2,

，3X(3a[+^^d)=ai+ai+d+4ai+A^ld,

把ai=2,代入得d=-3

.-.as=2+4X(-3)=-10.

故選：B.

【點評】本題考查等差數列的第五項的求法，考查等差數列的性質等基礎學問，

考查運算求解實力，考查函數與方程思想，是基礎題.

5.(5分)(2024?新課標］)設函數f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函

數，則曲線y=f（x）在點（0,0）處的切線方程為（)

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

【考點】6H：利用導數探討曲線上某點切線方程.

【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；53：導數的綜合應用.

【分析】利用函數的奇偶性求出a,求出函數的導數，求出切線的向量然后求解

切線方程.

【解答】解：函數f（x）=x3+（a-1）X2+QX,若f（X）為奇函數，

可得a=l,所以函數f（x）=x3+x,可得F（x）=3x2+l,

曲線y=f（x）在點（0,0）處的切線的斜率為：1,

則曲線y=f（x）在點（0,0）處的切線方程為：y=x.

故選：D.

【點評】本題考查函數的奇偶性以及函數的切線方程的求法，考查計算實力.

6.（5分）（2024?新課標I）在4ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中

點，則尾（）

A甲竽B./手C.浮打D.萍萍

【考點】9H：平面對量的基本定理.

【專題】34：方程思想；41：向量法；5A：平面對量及應用.

【分析】運用向量的加減運算和向量中點的表示，計算可得所求向量.

【解答】解：在AABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，

EE=AE-AE=AB-工元

2

=AE-lxl（AB+AC）

22

=1AB-1AC，

44

故選：A.

【點評】本題考查向量的加減運算和向量中點表示，考查運算實力，屬于基礎題.

7.（5分）（2024?新課標I）某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓

柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對

應點為B,則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）

B

A.2V17B.2泥C.3D.2

【考點】L!：由三視圖求而積、體積.

【專題】11：計算題；31：數形結合；49：綜合法；5F：空間位置關系與距

離.

【分析】推斷三視圖對應的幾何體的形態，利用側面綻開圖，轉化求解即可.

【解答】解：山題意可知幾何體是圓柱，底面周長16,高為：2,

直觀圖以及側面綻開圖如圖:

圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B,則在此圓柱側面上，從M到N的

路徑中，最短路徑的長度：斤彳=2巫.

故選：B.

【點評】本題考查三視圖與幾何體的直觀圖的關系，側面綻開圖的應用，考查計

算實力.

8.（5分）（2024?新課標I）設拋物線C：y2=4x的焦點為F,過點（-2,0）且

斜率為2的直線與C交于M,N兩點，則而?希（）

3

A.5B.6C.7D.8

【考點】K8：拋物線的性質.

【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；5A：平面對量及應用；

5D：圓錐曲線的定義、性質與方程.

【分析】求出拋物線的焦點坐標，直線方程，求出M、N的坐標，然后求解向量

的數量積即可.

【解答】解：拋物線C：y2=4x的焦點為F(1,0),過點(-2,0)且斜率為2的

3

直線為：3y=2x+4,

聯立直線與拋物線Cy2=4x,消去x可得:y2-6y+8=0,

解得yi=2,y?=4,不妨M(1,2),N(4,4),而二(0,2>而二(3,4),

則而?祁二(0,2)?(3,4)=8.

故選：D.

【點評】本題考查拋物線的簡潔性質的應用，向量的數量積的應用，考查計算實

力.

9.(5分)(2024?新課標I)已知函數f(x)=?e，，g(x)=f(x)+x+a.若

Inx,x>0

g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是()

A.[-1,0)B.[0,+?>)C.[-1,+8)D.[1,+8)

【考點】5B：分段函數的應用.

【專題】31：數形結合；4R：轉化法；51：函數的性質及應用.

【分析】由g(x)=0得f(x)=-x-a,分別作出兩個函數的圖象，依據圖象交

點個數與函數零點之間的關系進行轉化求解即可.

【解答】解：由g(x)=0得f(x)=-x-a,

作出函數f(x)和y=-x-a的圖象如圖：

當直線y=-x-a的截距-aWl,即心-1時，兩個函數的圖象都有2個交點，

即函數g(x)存在2個零點，

故實數a的取值范圍是[-1,+8),

故選：C.

【點評】本題主要考查分段函數的應用，利用函數與零點之間的關系轉化為兩個

函數的圖象的交點問題是解決本題的關鍵.

10.（5分）（2024?新課標I）如圖來自古希臘數學家希波克拉底所探討的兒何

圖形.此圖山三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,

直角邊AB,AC.^ABC的三邊所圍成的區域記為I,黑色部分記為H,其余部分

記為印.在整個圖形中隨磯取一點，此點取自I,H,HI的概率分別記為pi，

P2，P3，則（）

+

A.P1=P2B.P1=P3C.p2=P3D.P1=P2P3

【考點】CF：幾何概型.

【專題】11：計算題；38：對應思想；40：定義法；51：概率與統計.

【分析】如圖：設BC=2ri，AB=2r2,AC=2r3,分別求出I,H,HI所對應的面積,

即可得到答案.

【解答】解：如圖：設BC=2n，AB=2r2,AC=2r3,

?*.ri2=r22+r32,

ASi=—X4r2r=2r2r,Sm-Xnn2-2r2r3，

2332

Sn=—Xnr32+—Xnrz2-Sm=—xnr32+—Xnr22-工Xnirf+Zr2r3=2r2r3,

22222

.*.Si=Sn?

.?.Pi=P2,

故選：A.

【點評】本題考查了幾何概型的概率問題，關鍵是求出對應的面積，屬于基礎題.

11.（5分）（2024?新課標I）已知雙曲線C：^l-y2=l,0為坐標原點，F為C

3

的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M,N.若△OMN為直

角三角形，則|MN|=（）

A.WB.3C.2灰D.4

【考點】KC：雙曲線的性質.

【專題】11：計算題；34：方程思想；4：解題方法；5D：圓錐曲線的定

義、性質與方程.

【分析】求出雙曲線的漸近線方程，求出直線方程，求出MN的坐標，然后求解

MN.

【解答】解：雙曲線C：-y2=l的漸近線方程為：y=+V1漸近線的夾角

3-3x

為：60%不妨設過F（2,0）的直線為：y=V3（x-2）,

廠

則：尸3x解得M(3,j/3),

J<=V3(x-2)

廠丁、解得：N（3,表），

y=V3（x-2）_______________

則MN|=’（3停產+（如有）必

故選：B.

【點評】本題考查雙曲線的簡潔性質的應用，考查計算實力.

12.（5分）（2024?新課標I）已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a

所成的角都相等，則a截此正方體所得截面面積的最大值為（）

A.逗B.2V3J逗D.返

4342

【考點】Ml：直線與平面所成的角.

【專題】11：計算題；31：數形結合；49：綜合法；5F：空間位置關系與距

離；5G：空間角.

【分析】利用正方體棱的關系，推斷平面a所成的角都相等的位置，然后求解a

截此正方體所得截面面積的最大值.

【解答】解：正方體的全部棱中，事實上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平

面a所成的角都相等，如圖：所示的正六邊形平行的平面，并且正六邊形時，a

截此正方體所得截面面積的最大，

此時正六邊形的邊長返，

2

a截此正方體所得截面最大值為：6X與x（亨）2=手.

故選：A.

【點評】本題考查直線與立面所成角的大小關系，考查空間想象實力以及計算實

力，有肯定的難度.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-2y-240

13.（5分）（2024?新課標I）若x,y滿意約束條件卜"y+l）。,則z=3x+2y的

y<0

最大值為6.

【考點】7C：簡潔線性規劃.

【專題】31：數形結合；4R：轉化法；59：不等式的解法及應用.

【分析】作出不等式組對應的平面區域,利用目標函數的幾何意義進行求解即可.

【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：

由z=3x+2y得y=■—x+iz,

22

平移直線丫=-當+工2,

22

由圖象知當直線y=-當+工經過點A（2,0）時，直線的截距最大，此時z最

22

大，

最大值為z=3X2=6,

故答案為：6

【點評】本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義以及數形結合

是解決本題的關鍵.

14.（5分）（2024?新課標工）記Sn為數列數力的前n項和.若Sn=2an+LWJS6=

-63.

【考點】8H：數列遞推式；8E：數列的求和.

【專題】11：計算題；38：對應思想；4R：轉化法；54：等差數列與等比數

列.

【分析】先依據數列的遞推公式可得｛an｝是以-1為首項，以2為公比的等比數

列，再依據求和公式計算即可.

【解答】解:Sn為數列｛an｝的前n項和，Sn=2an+1,①

當n=l時，ai=2ai+l,解得ai=-l,

當n22時，Sn.^an-i+l,②,

=

由①~②"［得an2an-2an-1，

??8n=28n-1，

???{an}是以-1為首項，以2為公比的等比數歹I」,

故答案為：~63

【點評】本題考重了數列的遞推公式和等比數列的求和公式，屬于基礎題.

15.(5分)(2024?新課標I)從2位女生，4位男生中選3人參與科技競賽，且

至少有1位女生入選，則不同的選法共有3種.(用數字填寫答案)

【考點】D9：排列、組合及簡潔計數問題.

【專題】11：計算題：38：對應思想：40：定義法：50：排列組合.

【分析】方法一：干脆法，分類即可求出，

方法二：間接法，先求出沒有限制的種數，再解除全是男生的種數.

【解答】解：方法一：干脆法，1女2男，有C21c42:12,2女1男，有C22c八=4

依據分類計數原理可得，共有12+4=16種，

33

方法二,間接法:C6-C4=20-4=16

故答案為：16

【點評】本題考查了分類計數原理，屬于基礎題

16.(5分)(2024?新課標I)已知函數f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值

是色叵.

~2-

【考點】6E：利用導數探討函數的最值；HW：三角函數的最值.

【專題】11：計算題；34：方程思想；49：綜合法；53：導數的綜合應用；

56：三角函數的求值.

【分析】由題意可得T=2ii是f(x)的一個周期，問題轉化為f(x)在［0,2n)

上的最小值，求導數計算極值和端點值，比較可得.

【解答】解：由題意可得T=2TI是f(x)=2sinx+sin2x的一個周期，

故只需考慮f(x)=2sinx+sin2x在［0,2n)上的值域,

先來求該函數在［0,2n)上的極值點，

求導數可得f'(x)=2cosx+2cos2x

=2cosx+2(2cos2x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1),

令fz(x)=0可解得cosx="L或cosx=-1,

2

可得此時x=2L,71或且L

33

Ay=2sinx+sin2x的最小值只能在點x=-H_,n或芳■和邊界點x=0中取到，

計算可得f(—):巫,f(n)=0,f(I2L)=-述，f(0)=0,

3232

1?函數的最小值為-4⑤.

2

故答案為：

2

【點評】本題考查三角函數恒等變換，涉及導數法求函數區間的最值，屬中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21

題為必考題，每個試題考生都必需作答。第22、23題為選考題，考生依據要求

作答。(一)必考題：共60分。

17.(12分)(2024?新課標I)在平面四邊形ABCD中，ZADC=90°,ZA=45°,

AB=2,BD=5.

(1)求cos/ADB；

(2)若DC=2近，求BC.

【考點】HT：三角形中的幾何計算.

【專題】11：計算題；31：數形結合；49：綜合法；58：解三角形.

【分析】(1)由正弦定理得2_5求出sin/ADB=Y2,由此能求

sinZADBsin4505

出cosZADB；

(2)山NADC=90°,得C0S/BDC=Sin/ADB=YX再山DC=2班,利用余弦定理

5

能求出BC.

【解答】解：(1)VZADC=90°,ZA=45°,AB=2,BD=5.

.?.由正弦定理得：一學一=3^，即一三—=―J

sin/ADBsin/Asin/ADBsin45

???sin/ADB=2sin45°=返,

55

VAB<BD,AZADB<ZA,

cosZADB=^??

(2)VZADC=90°,，C05NBDC=sinNADB=返,

5

VDC=2V2，

BC=22

***VBD+DC-2XBDXDCXCOSZBD(

【點評】本題考查三角函數中角的余弦值、線段長的求法，考查正弦定理、余弦

定理等基礎學問，考查運算求解實力，考查函數與方桎思想，是中檔題.

18.（12分）（2024?新課標I）如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,

BC的中點，以DF為折痕把△DFC折起，使點C到達點P的位置，且PF_LBF.

（1）證明：平面PEFL平面ABFD；

（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

【考點】Ml：直線與平面所成的角；LY：平面與平面垂直.

【專題】11：計算題；31：數形結合；35：轉化思想；49：綜合法；5F：

空間位置關系與距離；5G：空間角.

【分析】（1）利用正方形的性質可得BF垂直于面PEF,然后利用平面與平面垂

直的推斷定理證明即可.

（2）利用等體積法可求出點P到面ABCD的距離，進而求出線面角.

【解答】（1）證明：由題意，點E、F分別是AD、BC的中點，

則AE[AE，BF[BG

由于四邊形ABCD為正方形，所以EF_LBC.

由于PF_LBF,EFnPF=F,則BF_L平面PEF.

又因為BFu平面ABFD,所以：平面PEF_L平面ABFD.

（2）在平面DEF中，過P作PHJ_EF于點H,聯結DH,

由于EF為面ABCD和面PEF的交線，PH1EF,

則PHL面ABFD,故PH_LDH.

在三棱錐P-DFF中，可以利用等體積法求PH,

因為DE/7BF且PF1BF,

所以PF1DE,

又因為4PDF且△CDF,

所以NFPD=NFCD=90°,

所以PF1PD,

由于DEAPD=D,則PF_L平面PDE,

故VF-PDE^PF-SAPDE，

因為BF〃DA且BF_L面PEF,

所以DAJ_iSPEF,

所以DE±EP.

設正方形邊長為2a,則PD=2a,DE=a

在4PDE中，PE=V3a,

所以

故VPDE=—3，

F6a

乂因為S^DEF^a'2a二相，

所以PH=3*_PDE=近

a22

所以在△PHD中，sin/PDH=Rl=Yi_,

PD4

即NPDH為DP與平面ABFD所成角的正弦值為：Y3.

【點評】本題主要考杳點、直線、平面的位置關系.直線與平面所成角的求法.幾

何法的應用，考看轉化思想以及計算實力.

2

19.（12分）（2024?新課標I）設橢圓C；5-+y2=l的右焦點為F,過F的直線I

與C交于A,B兩點，點M的坐標為（2,0）.

（1）當I與x軸垂直時，求直線AM的方程；

（2）設O為坐標原點，記明：ZOMA=ZOMB.

【考點】KL：直線與橢圓的位置關系.

【專題】15：綜合題；38：對應思想；4R：轉化法；5E：圓錐曲線中的最值

與范圍問題.

【分析】（1）先得到F的坐標，再求出點A的方程，依據兩點式可得直線方程,

（2）分三種狀況探討，依據直線斜率的問題，以及韋達定理，即可證明.

【解答】解：（1）c=g=l,

AF（1,0）,

,門與x軸垂直,

Ax=l,

x二1x=l

由＜V二1，解得亞或

尸T

AA（1.返），或（1,-返）,

22

直線AM的方程為y=-—X+A/2，y=Y^x-V2?

22

證明：（2）當I與x軸重合時，ZOMA=ZOMB=0°,

當I與x軸垂直時，0M為AB的垂直平分線，???NOMA=NOMB,

當I與x軸不重合也不垂直時，設I的方程為y=k（x-1）,kWO,

A（xi，yi）,B（X2，丫2），則xiV&,X2<V2?

直線MA?MB的斜率之和為RMA?I<MB之和為kMA+kwB=———+—^—,

x[-2x2-2

,,..,,2kx,x-3k(xi+x)+4k

由yi=kxi-k,y2=kx-k倚/FkMA+kB=------——2——----0--------

2M(x(.x2-2)

2

222

將y=k(x-1)代入色+y2=x可得(2k2+l)x-4kx+2k-2=0,

AXI+X2=-—>xiX2=2k：二2,

2k'+l2kqi

.'.2kxiX2-3k(X1+X2)+4k=——-——(4k2-4k-12k2+8k2-^4k)=0

2k2+1

從而RMA4RMB=O,

故MA,MB的傾斜角互補,

AZOMA=ZOMB,

綜上NOMA=NOMB.

【點評】本題考查了直線和橢圓的位置關系，以韋達定理，考查了運算實力和轉

化實力，屈于中檔題.

20.（12分）（2024?新課標I）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一

箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢

驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再依據檢驗結果確定是否對余下的全

部產品作檢驗.設每件產品為不合格品的概率都為p（0<p<l）,且各件產品是

否為不合格品相互獨立.

（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p）,求f（p）的最大值點

Po?

（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的po

作為P的值.已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則

工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

(i)若不對該箱余卜?的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記

為X,求EX；

(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余卜的全部

產品作檢驗？

【考點】CH：離散型隨機變量的期望與方差；CG；離散型隨機變量及其分布列.

【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；51：概率與統計.

【分析】(1)求出f(P)=啖p2(-p嚴，則

i(p)=C2()[2p(l-p)18-18P2(1-P)17]=2C20P(1-P)17(l-10p)?利用導數性質

能求出f(p)的最大值點po=o.l.

(2)(i)由p=0.1,令Y表示余卜的180件產品中的不合格品數，依題意知Y?B

(180,0.1),再由X=20X2+25Y,即X=40+25Y,能求。E(X).

(ii)假如對余下的產品作檢驗，由這一箱產品所須要的檢驗費為400元，E(X)

=490>400,從而應當對余下的產品進行檢驗.

【解答】解：(1)記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p),

218

則f(P)=c|0p(i-p)?

1821717

i(p)=C^0[2p(l-p)-18p(l-p)]=20^(1^)(l-10p)?

令f'(p)=0,得p=0.1,

當pG(0,0.1)時，f(p)>0,

當pe(o.i,1)時，f(p)vo,

Af(p)的最大值點po=0.1.

(2)(i)由(1)知p=0.1,

令Y表示余下的180件產品中的不合格品數，依題意知Y?B(180,0.1),

X=20X2+25Y,即X=40+25Y,

AE(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=40+25X180X0.1=490.

(ii)假如對余下的產品作檢驗，由這一箱產品所須要的檢驗費為400元，

VE(X)=490>400,

???應當對余下的產品進行檢驗.

【點評】本題考查概率的求法及應用，考查離散型隨機變量的數學期望的求法，

考查是否該對這箱余卜的全部產品作檢驗的推斷與求法，考查二項分布等基礎學

問，考查運算求解實力，考查函數與方程思想，是中檔題.

21.(12分)(2024?新課標I)已知函數f(X)-1-xialnx.

x

(1)探討f(X)的單調性；

f(x)f(x

(2)若f(x)存在兩個極值點Xi，x2,證明：l-2)<a_2

xl-x2

【考點】6B：利用導數探討函數的單調性；6D：利用導數探討函數的極值.

【專題】32：分類探討；4R：轉化法；53：導數的綜合應用.

【分析】(1)求出函數的定義域和導數，利用函數單調性和導數之間的關系進行

求解即可.

(2)將不等式進行等價轉化，構造新函數，探討函數的單調性和最值即可得到

結論.

【解答】解：(1)函數的定義域為(0,+8),

2

函數的導數F(x)x-ax+lt

22

xxx

設g(x)=x2-ax+1,

當aWO時，g(x)>0恒成立，即F(x)V0恒成立，此時函數f(x)在(0,+

°°)上是減函數，

當a>0時，判別式△=a?-4,

①當0Va<2時，AW0,即g(X)>0,即F(x)V0恒成立，此時函數f(x)

在(0,+8)上是減函數，

②當a>2時，X,f(x),f(x)的改變如下表；

22

x。(a-4；(a+Va-4

a^/a2-4)a?a2Y2aWa?一42

222+oo)

a+Va2-4)

2

f(x)0+0

f(x)遞減遞增遞減

綜上當aW2時，f(x)在(0,+8)上是減函數，

當a>2時，在(0,和(處立*,+8)上是減函數，

22

則封衛1)上是增函數.

22

(2)由(1)知a>2,O<xi<l<x2,xiX2=l,

貝ljf(xi)-f(X2)=(X2-Xi)(1+---)+a(Inxi-Inx2)=2(X2-xi)+a(Inxi

xlx2

-Inxz),

f(x|)-f(x)a(lnx]-lnx)

則——i----------2-2+----------------i--------j7

Xj-x2xj-x2

則問題轉為證明"'ITn"2Vl即可，