第二十七章相似專題5利用相似三角形解決比例式(等積式)問題1溫馨提示：點(diǎn)擊進(jìn)入講評(píng)23456789返回1．如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AC，交BC于點(diǎn)E.求證：AB·EC＝AC·BD．2．[2024上海二模改編]如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)G在邊AB上，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AC上，GD∥AC，∠DGF＝∠DEF，∠B＝∠GFE.求證：AB·CD＝GF·AC．返回【解】如圖，點(diǎn)P即為所求．3．[2024南京模擬]如圖，在△ABC中，AC＞AB．(1)在線段BC上作點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到AB的距離與點(diǎn)P到AC的距離相等(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)在(1)的條件下，若PA＝PC，求證：PC·BC＝AC·AB．【點(diǎn)方法】證明等積式的一般方法：把等積式中的四條線段分別看作兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊，然后通過證明這兩個(gè)三角形相似，從而得到比例式，進(jìn)而把比例式轉(zhuǎn)化為等積式．返回4．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，∠B＝∠ADC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且∠ADE＝∠CDF.求證：CF·CB＝AE·AB．返回5．[2024上海]如圖所示，在矩形ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，且AE⊥BD．(1)求證：AD2＝DE·DC；【證明】如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O.∵∠ADE＝90°，∴∠DAE＋∠AED＝90°.∵AE⊥BD，∴∠DAE＋∠ADB＝90°.∴∠ADB＝∠AED.又∵∠FEC＝∠AED，∴∠ADO＝∠FEC.返回6．【解】如圖，⊙O即為所求．[2024泉州期末]如圖，在菱形ABCD中，DP⊥AB于點(diǎn)P.(1)尺規(guī)作圖：求作⊙O，使得AB，CD分別切⊙O于點(diǎn)P，D；(要求：保留作圖痕跡，不寫作法)(2)在(1)的條件下，設(shè)⊙O分別交AD，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF.求證：DE·DA＝DF·DB．【證明】如圖，連接PF.∵PD為⊙O的直徑，∴∠DFP＝90°.∴∠DPF＋∠PDB＝90°.∵PD⊥AB，∴∠DPB＝90°.∴∠DBA＋∠PDB＝90°.∴∠DBA＝∠DPF.返回7．返回[2024成都節(jié)選]如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D為斜邊AB上一點(diǎn)，以BD為直徑作⊙O，交AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接BE，BF，DF.求證：BC·DF＝BF·CE.8．返回[2024商洛期末改編]如圖，CD是⊙O的弦，AB是⊙O的直徑，且CD⊥AB，垂足為P.求證：PC2＝PA·PB．9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，OD⊥AB交⊙O于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E，且DE＝DC．(1)求證：CD是⊙O的切線；【證明】如圖，連接OC，則OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC.∵OD⊥AB，∴∠AOD＝90°.∵DE＝DC，∠DEC＝∠AEO，∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEO.∴∠OCD＝∠DCE＋∠OCA＝∠AEO＋∠OAC＝90°.