數(shù)論-整除-整除的基本概念-2星題課程目標(biāo)知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率整除的基本概念A(yù)1、了解整除的定義。

2、會(huì)判定一個(gè)數(shù)能不能被另一個(gè)數(shù)整除。

少考知識(shí)提要整除的基本概念定義

如果整數(shù)a除以整數(shù)b（b≠0），除得的商是整數(shù)且沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)

a能被

b整除，也可以說(shuō)

b能整除a，記作b∣a．

注意：如果除得的結(jié)果有余數(shù)，我們就說(shuō)

a不能被

b整除，也可以說(shuō)

b不能整除

a．整除的性質(zhì)

性質(zhì)1：如果a、b都能被

c

整除，那么它們的和與差也能被

c

整除。

性質(zhì)2：如果

b

與

c

的積能整除

a

，那么b與c都能整除

a

。 性質(zhì)3：如果

b

、

c

都能整除

a

，且

b

和

c

互質(zhì)，那么

b

與

c

的積能整除

a

。 性質(zhì)4：如果

c

能整除

b

，

b

能整除

a

，那么

c

能整除

a

。

精選例題整除的基本概念1.若六位數(shù)201ab7能被11和13整除，則兩位數(shù)ab=

【答案】

48【分析】

由11的整除特征可知：(7+a+0)-(2+1+b)=a+4-b=0若a+4-b=11,a-b=7,只有8-1=9-2=7,六位數(shù)201817、201927都不能被13整除．若a+4-b=0,則a+4=b,只有0+4=4，1+4=5，2+4=6，3+4=7，4+4=8，5+4=9等情況，構(gòu)成的六位數(shù)201047，201157，201267，201377，201487，201597中只有201487能被13整除，則ab=482.再過(guò)12天就到2016年了，昊昊感慨地說(shuō)：我到目前只經(jīng)過(guò)2個(gè)閏年，并且我出生的年份是9的倍數(shù)，那么2016年昊昊是

歲．【答案】

9【分析】

根據(jù)題意“我到目前只經(jīng)過(guò)2個(gè)閏年”可得我的出生年份在2005?2008,這之間只有2007是9的倍數(shù)，則昊昊是2007年出生，則2016年昊昊是2016-2007=93.在3和5之間插入6、30、20這三個(gè)數(shù)，得到3、6、30、20、5這樣一串?dāng)?shù)．其中每相鄰兩個(gè)數(shù)的和可以整除它們的積（例如，3+6=9，9可以整除3×6；再如，6+30=36，36可以整除6×30）．請(qǐng)你在4與3這兩數(shù)之間的三個(gè)空中各填入一個(gè)非零的整數(shù)，使得其中每相鄰兩個(gè)數(shù)的和可以整除它們的積．4、

、

、

、3【答案】

4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3【分析】

設(shè)4,a,b,c,3成立，則4×a4+a=n,3×c3+c=m由倒數(shù)的意義可知：①4+a4×a=1n，則44×a1n>1當(dāng)n=3，1a當(dāng)n=2，1a②3+c3×c=1m，則33×c1m>13，則m=2，當(dāng)m=2時(shí)，③設(shè)c×bc+b=k，則c+bc×b=1k，可得1c+1b=1k當(dāng)k=2時(shí)，1b=1k=3時(shí)，1b=1k=4時(shí)，1b=1k=5時(shí)，1b=1經(jīng)檢驗(yàn)有下面的三組解：4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3．4.給定一個(gè)除數(shù)（不為0）與被除數(shù)，總可以找到一個(gè)商與一個(gè)余數(shù)，滿(mǎn)足被除數(shù)其中，0?余數(shù)<除數(shù)不超過(guò)988000并且能夠被49整除的大于1的自然數(shù)共有

個(gè)．【答案】

20163【分析】

988000÷49=20163??13所以，滿(mǎn)足要求的數(shù)分別是49的1～20163倍，共20163個(gè)．5.一個(gè)電子鐘表上總把日期顯示為八位數(shù)，如2011年1月1日顯示為20110101．如果2011年最后一個(gè)能被101整除的日子是2011ABCD，那么2011ABCD是多少？【答案】

20111221【分析】

試除法得出答案：20111231÷101=199121??10，31-10=21，所以ABCD=12216.在1、2、3、4?2007這2007個(gè)數(shù)中有多少個(gè)自然數(shù)a能使2008+a能被2007-a整除．【答案】

7【分析】

要使得2008+a能被2007-a整除，我們可以將條件等價(jià)的轉(zhuǎn)化為只要讓2008+a2007-a是一個(gè)整數(shù)即可．下面是一個(gè)比較難的技巧，我們知道若a可以使得2008+a2007-a是一個(gè)整數(shù)，那么a也同樣可以使得2008+a2007-a+1=2008+a+2007-a2007-a=40152007-a是一個(gè)整數(shù)，這樣只要2007-a是4015的約數(shù)即可，將4015分解可知其共有8個(gè)因數(shù)，其中4015是最大的一個(gè)，但是顯然沒(méi)有可以讓2007-a等于4015的a7.若4b+2c+d=32，試問(wèn)abcd能否被8整除？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】

見(jiàn)解析．【分析】

由能被8整除的特征知，只要后三位數(shù)能被8整除即可．bcd=100b+10c+d，有bcd-(4b+2c+d)=96b+8c=8(12b+c)能被8整除，而4b+2c+d=32也能被8整除，所以abcd能被8.1至9這9個(gè)數(shù)字，按圖所示的次序排成一個(gè)圓圈．請(qǐng)你在某兩個(gè)數(shù)字之間剪開(kāi)，分別按順時(shí)針和逆時(shí)針次序形成兩個(gè)九位數(shù)（例如，在1和7之間剪開(kāi)，得到兩個(gè)數(shù)是193426857和758624391）．如果要求剪開(kāi)后所得到的兩個(gè)九位數(shù)的差能被396整除，那么剪開(kāi)處左右兩個(gè)數(shù)字的乘積是多少？ 【答案】

27，8，12，48，35，9【分析】

互為反序的兩個(gè)九位數(shù)的差，一定能被99整除．而396=99×4，所以我們只用考察它能否能被4整除．于是只用觀察原序數(shù)、反序數(shù)的末兩位數(shù)字的差能否被4整除，顯然只有當(dāng)剪開(kāi)處兩個(gè)數(shù)的奇偶性相同時(shí)才有可能．注意圖中的具體數(shù)字，有（3，4）處、（8，5）處的兩個(gè)數(shù)字奇偶性均不相同，所以一定不滿(mǎn)足．而剩下的幾個(gè)位置奇偶性相同，有可能滿(mǎn)足．進(jìn)一步驗(yàn)證，有（9，3）處剪開(kāi)的末兩位數(shù)字之差為43-19=24，（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（7，1），（1，9）處剪開(kāi)的末兩位數(shù)字之差為62-3=28．86-42=44，58-26=32，85-17=68，91-57=34，71-39=32．所以從（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）處剪開(kāi)，所得的兩個(gè)互為反序的九位數(shù)的差才是396的倍數(shù)．（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）處左右兩個(gè)數(shù)的乘積為27，8，12，48，35，9．9.六位數(shù)20??08能被99整除，??是多少？【答案】

71【分析】

方法一：200008被99除商2020余28，所以??00+28能被99整除，商72時(shí)，99×72=7128，末兩位是28，所以??為71方法二：99=9×11，20??08能被99整除，所以各位數(shù)字之和為9的倍數(shù)，所以方框中數(shù)字的和只能為8或17；又根據(jù)數(shù)被11整除的性質(zhì)，方框中兩數(shù)字的差為6或5，可得??是71．10.請(qǐng)找出符合下列性質(zhì)的四位數(shù)：（1）它是一個(gè)平方數(shù)；（2）開(kāi)始兩位的數(shù)字要相同；（3）最末兩位的數(shù)字要相同．【答案】

7744【分析】

設(shè)四位數(shù)為aabb．因aabb=1000a+100a+10b+b=11×a0b，要aabb是完全平方數(shù)，則a0b能被質(zhì)數(shù)11整除，故a+b=11，a0b只能是902，803，704，605，506，407， 由于a0b被11除的商必須是完全平方數(shù)，只有704符合．此時(shí)a=7，b=4，故所求的數(shù)為7744．11.在一個(gè)兩位數(shù)的十位與個(gè)位數(shù)字之間插入一個(gè)數(shù)字0，得到一個(gè)三位數(shù)（例如21變成了201），結(jié)果這個(gè)三位數(shù)恰好能被原來(lái)的兩位數(shù)整除．請(qǐng)問(wèn)：所有滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)之和是多少？【答案】

528【分析】

設(shè)滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)為ab，則按題意插入一個(gè)數(shù)字0后的三位數(shù)是a0b．依題意有ab∣10a+b∣100a+b,整理得10a+b∣90a+(10a+b),推出10a+b∣90a;或者整理得10a+b∣10(10a+b)-9b,推出10a+b∣9b.因?yàn)?b比90a相對(duì)較小，所以考慮10a+b∣9b，但發(fā)現(xiàn)也不好分析，所以變?yōu)閍b∣9b若b取0時(shí)，ab取10，20，?，90均可；若b取1時(shí)，ab沒(méi)有符合的情況；……依次討論得到ab可以為10，20，30，?，90，15，45，18，和為528．12.（1）不算出結(jié)果，判斷數(shù)(524+42-429)是偶數(shù)還是奇數(shù)？（2）數(shù)(42?+30-147)能被2整除，那么，?里可填什么數(shù)？（3）下面的連乘積是偶數(shù)還是奇數(shù)？ 1×3×5×7×9×11×13×14×15.【答案】

（1）奇數(shù)；（2）1,3,5,7,9；（3）偶數(shù)．【分析】

根據(jù)奇偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：（1）因?yàn)?24，42是偶數(shù)，所以(524+42)是偶數(shù)．又因?yàn)?29是奇數(shù)，所以(524+42-429)是奇數(shù)．（2）數(shù)(42?+30-147)能被2整除，則它一定是偶數(shù)．因?yàn)?47是奇數(shù)，所以數(shù)(42?+30)必是奇數(shù)．又因?yàn)槠渲械?0是偶數(shù)，所以，數(shù)42?必為奇數(shù)．于是，?里只能填奇數(shù)1，3，5，7，9．（3）1，3，5，7，9，11，13，15都是奇數(shù)，由1×3為奇數(shù)，推知1×3×5為奇數(shù)??推知1×3×5×7×9×11×13×15為奇數(shù)． 因?yàn)?4為偶數(shù)，所以(1×3×5×7×9×11×13×15)×14為偶數(shù)，即1×3×5×7×9×11×13×14×15為偶數(shù)．13.一個(gè)4位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個(gè)新的4位數(shù)．再將新的4位數(shù)的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個(gè)更新的四位數(shù)，已知最新的4位數(shù)與最原先的4位數(shù)的和是以下5個(gè)數(shù)的一個(gè)：①9865；②9867；③9462；④9696；⑤9869．這兩個(gè)4位數(shù)的和到底是多少？【答案】

9696【分析】

設(shè)這個(gè)4位數(shù)是abcd，則最新的4位數(shù)是cdab．兩個(gè)數(shù)的和為abcd是101的倍數(shù)．在所給的5個(gè)數(shù)中只有9696是101的倍數(shù)，故正確的答案為9696．?dāng)?shù)論-整除-整除的基本概念-3星題課程目標(biāo)知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率整除的基本概念A(yù)1、了解整除的定義。

2、會(huì)判定一個(gè)數(shù)能不能被另一個(gè)數(shù)整除。

少考知識(shí)提要整除的基本概念定義

如果整數(shù)a除以整數(shù)b（b≠0），除得的商是整數(shù)且沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)

a能被

b整除，也可以說(shuō)

b能整除a，記作b∣a．

注意：如果除得的結(jié)果有余數(shù)，我們就說(shuō)

a不能被

b整除，也可以說(shuō)

b不能整除

a．整除的性質(zhì)

性質(zhì)1：如果a、b都能被

c

整除，那么它們的和與差也能被

c

整除。

性質(zhì)2：如果

b

與

c

的積能整除

a

，那么b與c都能整除

a

。 性質(zhì)3：如果

b

、

c

都能整除

a

，且

b

和

c

互質(zhì)，那么

b

與

c

的積能整除

a

。 性質(zhì)4：如果

c

能整除

b

，

b

能整除

a

，那么

c

能整除

a

。

精選例題整除的基本概念1.在3和5之間插入6、30、20這三個(gè)數(shù)，得到3、6、30、20、5這樣一串?dāng)?shù)．其中每相鄰兩個(gè)數(shù)的和可以整除它們的積（例如，3+6=9，9可以整除3×6；再如，6+30=36，36可以整除6×30）．請(qǐng)你在4與3這兩數(shù)之間的三個(gè)空中各填入一個(gè)非零的整數(shù)，使得其中每相鄰兩個(gè)數(shù)的和可以整除它們的積．4、

、

、

、3【答案】

4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3【分析】

設(shè)4,a,b,c,3成立，則4×a4+a=n,3×c3+c=m由倒數(shù)的意義可知：①4+a4×a=1n，則44×a1n>1當(dāng)n=3，1a當(dāng)n=2，1a②3+c3×c=1m，則33×c1m>13，則m=2，當(dāng)m=2時(shí)，③設(shè)c×bc+b=k，則c+bc×b=1k，可得1c+1b=1k當(dāng)k=2時(shí)，1b=1k=3時(shí)，1b=1k=4時(shí)，1b=1k=5時(shí)，1b=1經(jīng)檢驗(yàn)有下面的三組解：4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3．2.給定一個(gè)除數(shù)（不為0）與被除數(shù)，總可以找到一個(gè)商與一個(gè)余數(shù)，滿(mǎn)足被除數(shù)其中，0?余數(shù)<除數(shù)不超過(guò)988000并且能夠被49整除的大于1的自然數(shù)共有

個(gè)．【答案】

20163【分析】

988000÷49=20163??13所以，滿(mǎn)足要求的數(shù)分別是49的1～20163倍，共20163個(gè)．3.再過(guò)12天就到2016年了，昊昊感慨地說(shuō)：我到目前只經(jīng)過(guò)2個(gè)閏年，并且我出生的年份是9的倍數(shù)，那么2016年昊昊是

歲．【答案】

9【分析】

根據(jù)題意“我到目前只經(jīng)過(guò)2個(gè)閏年”可得我的出生年份在2005?2008,這之間只有2007是9的倍數(shù)，則昊昊是2007年出生，則2016年昊昊是2016-2007=94.若六位數(shù)201ab7能被11和13整除，則兩位數(shù)ab=

【答案】

48【分析】

由11的整除特征可知：(7+a+0)-(2+1+b)=a+4-b=0若a+4-b=11,a-b=7,只有8-1=9-2=7,六位數(shù)201817、201927都不能被13整除．若a+4-b=0,則a+4=b,只有0+4=4，1+4=5，2+4=6，3+4=7，4+4=8，5+4=9等情況，構(gòu)成的六位數(shù)201047，201157，201267，201377，201487，201597中只有201487能被13整除，則ab=485.請(qǐng)找出符合下列性質(zhì)的四位數(shù)：（1）它是一個(gè)平方數(shù)；（2）開(kāi)始兩位的數(shù)字要相同；（3）最末兩位的數(shù)字要相同．【答案】

7744【分析】

設(shè)四位數(shù)為aabb．因aabb=1000a+100a+10b+b=11×a0b，要aabb是完全平方數(shù)，則a0b能被質(zhì)數(shù)11整除，故a+b=11，a0b只能是902，803，704，605，506，407， 由于a0b被11除的商必須是完全平方數(shù)，只有704符合．此時(shí)a=7，b=4，故所求的數(shù)為7744．6.在一個(gè)兩位數(shù)的十位與個(gè)位數(shù)字之間插入一個(gè)數(shù)字0，得到一個(gè)三位數(shù)（例如21變成了201），結(jié)果這個(gè)三位數(shù)恰好能被原來(lái)的兩位數(shù)整除．請(qǐng)問(wèn)：所有滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)之和是多少？【答案】

528【分析】

設(shè)滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)為ab，則按題意插入一個(gè)數(shù)字0后的三位數(shù)是a0b．依題意有ab∣10a+b∣100a+b,整理得10a+b∣90a+(10a+b),推出10a+b∣90a;或者整理得10a+b∣10(10a+b)-9b,推出10a+b∣9b.因?yàn)?b比90a相對(duì)較小，所以考慮10a+b∣9b，但發(fā)現(xiàn)也不好分析，所以變?yōu)閍b∣9b若b取0時(shí)，ab取10，20，?，90均可；若b取1時(shí)，ab沒(méi)有符合的情況；……依次討論得到ab可以為10，20，30，?，90，15，45，18，和為528．7.六位數(shù)20??08能被99整除，??是多少？【答案】

71【分析】

方法一：200008被99除商2020余28，所以??00+28能被99整除，商72時(shí)，99×72=7128，末兩位是28，所以??為71方法二：99=9×11，20??08能被99整除，所以各位數(shù)字之和為9的倍數(shù)，所以方框中數(shù)字的和只能為8或17；又根據(jù)數(shù)被11整除的性質(zhì)，方框中兩數(shù)字的差為6或5，可得??是71．8.小明與小華玩游戲，規(guī)則如下：開(kāi)始每人都是1分，每局獲勝的小朋友都可以把自己的分?jǐn)?shù)乘以3，輸?shù)男∨笥驯３址謹(jǐn)?shù)不變，最后小明獲勝，他比小華多的分?jǐn)?shù)是99的倍數(shù)，那么他們至少玩了多少局？【答案】

9【分析】

設(shè)小明和小華最后的分?jǐn)?shù)分別為3a和3b，其中a>b，所以99∣3a-3b=3b[3(a-b)-1]．因?yàn)閇3(a-b)-1]和39.請(qǐng)將1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合適的順序?qū)懗梢恍校沟眠@一行數(shù)中的任何一個(gè)都是它前面所有數(shù)之和的約數(shù)．【答案】

其中一個(gè)答案是6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11．【分析】

設(shè)填好后的數(shù)從左往右依次為a1,a2,?,a11,所有數(shù)的和為66，那么有a11∣66-a11，故a11∣66，可以設(shè)a11=11，則其余數(shù)的和為55，那么倒數(shù)第二個(gè)數(shù)肯定是55的約數(shù)，可以填5；還剩50，那么倒數(shù)第三個(gè)數(shù)肯定是50的約數(shù)，可以填10，最后經(jīng)過(guò)嘗試得到6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11和8、1、9、觀察6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11這組答案，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)一般的規(guī)律：若所給數(shù)是1～2n+1，則n+1，1，n+2，2，?，2n，n，2n+1符合題意；若所給數(shù)是1～2n，則n+1，1，n+2，2，?，2n，n符合題意．10.已知M、N是互為反序的兩個(gè)三位數(shù)，且M>N．請(qǐng)問(wèn)：（1）如果M和N的最大公約數(shù)是7，求M；（2）如果M和N的最大公約數(shù)是21，求M．【答案】

（1）952；（2）861【分析】

（1）設(shè)這兩個(gè)三位數(shù)分別為M=abc、N=cba（M>N），那么7∣M-N=99(a-c)，所以a=8,c=1,或a=9,c=2,經(jīng)枚舉驗(yàn)證只有（2）設(shè)這兩個(gè)三位數(shù)分別為M=abc、N=cba(M>N)，那么7∣M-N=99(a-c)，所以a=8,c=1,或a=9,c=2,11.在1、2、3、4?2007這2007個(gè)數(shù)中有多少個(gè)自然數(shù)a能使2008+a能被2007-a整除．【答案】

7【分析】

要使得2008+a能被2007-a整除，我們可以將條件等價(jià)的轉(zhuǎn)化為只要讓2008+a2007-a是一個(gè)整數(shù)即可．下面是一個(gè)比較難的技巧，我們知道若a可以使得2008+a2007-a是一個(gè)整數(shù)，那么a也同樣可以使得2008+a2007-a+1=2008+a+2007-a2007-a=40152007-a是一個(gè)整數(shù)，這樣只要2007-a是4015的約數(shù)即可，將4015分解可知其共有8個(gè)因數(shù)，其中4015是最大的一個(gè)，但是顯然沒(méi)有可以讓2007-a等于4015的a12.有3個(gè)自然數(shù)，其中每一個(gè)數(shù)都不能被另外兩個(gè)數(shù)整除，而且其中任意兩個(gè)數(shù)的乘積都能被第三個(gè)數(shù)整除．請(qǐng)問(wèn)：滿(mǎn)足上述條件的3個(gè)自然數(shù)之和最小是多少？【答案】

31【分析】

先證明這3個(gè)數(shù)每個(gè)都至少含有2種質(zhì)因數(shù)．證法一：假設(shè)這三個(gè)數(shù)為A、B、C，其中A只有一種質(zhì)因數(shù)p，那么B不可能只有質(zhì)因數(shù)p，否則B和A必定是倍數(shù)關(guān)系，同理，C也不可能只有質(zhì)因數(shù)p．根據(jù)C∣AB，假設(shè)C有除p以外其他質(zhì)因數(shù)q，可以得到q∣B，同理，C所有除了p以外的質(zhì)因數(shù)都是B的質(zhì)因數(shù)；再根椐B∣CA，同理得，B所有除了p以外的質(zhì)因數(shù)也是C的質(zhì)因數(shù)，那么B、C必定是倍數(shù)關(guān)系，與題意矛盾．所以這3個(gè)數(shù)中不可能出現(xiàn)只含1種質(zhì)因數(shù)的數(shù)，即每個(gè)都至少含有2種質(zhì)因數(shù)．證法二：假設(shè)這三個(gè)數(shù)為A、B、C，其中A只有一種質(zhì)因數(shù)p，設(shè)A=pa．因?yàn)锳∣BC，所以乘積BC中一定含有質(zhì)因數(shù)p；但A不能整除B，也不能整除C，說(shuō)明B、C中都含有p，且次數(shù)都低于a；又B不能整除A，C也不能整除A，所以B、C中都含打除了p以外的質(zhì)因數(shù)，設(shè)B=?b×pb，C=?c因?yàn)锽∣AC，所以?b∣?c；同理，因?yàn)镃∣AB，所以?c∣?b，說(shuō)明?c=?若這三個(gè)數(shù)里一共恰有2種質(zhì)因數(shù)，最小為2和3，最小符合題意的情況是22×32、2×3若這三個(gè)數(shù)里一共恰有3種質(zhì)因數(shù)，最小為2、3、5，最小符合題意的情況是2×3、2×5、3×5，和為6+10+15=31；若這三個(gè)數(shù)里一共恰有4種質(zhì)因數(shù)，最小為2、3、5、7，在不考慮題意的情況下，3個(gè)不同的各含兩種質(zhì)因數(shù)的數(shù)最小是2×3、2×5、2×7，和為30，但這組不符合題意，很明顯如果要符合題意，和肯定大于31；若這三個(gè)數(shù)里一共恰有5種質(zhì)因數(shù)，最小為2、3、5、7、11，在不考慮題意的情況下，3個(gè)不同的各含兩種質(zhì)因數(shù)的數(shù)最小是2×7、2×11、3×5，和為51，大于31；很明顯，當(dāng)含有的質(zhì)因數(shù)種類(lèi)再增多時(shí)，三個(gè)數(shù)的和肯定都大于31；綜上，滿(mǎn)足上述條件的3個(gè)自然數(shù)之和最小是31．13.試求不大于100，且使3n+7n+4【答案】

1480【分析】

通過(guò)逐次計(jì)算，可以求出3n被11除的余數(shù)，依次為：31為3，32為9，33為5，34為4，35為1，?，因而3n被11除的余數(shù)5個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，?；類(lèi)似地，可以求出7n被11除的余數(shù)10個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，?；于是3n+7n+4被11除的余數(shù)也是10個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，?；這就表明，每一個(gè)周期中，只有第33+4+6+13+14+16+?+93+94+9614.若4b+2c+d=32，試問(wèn)abcd能否被8整除？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】

見(jiàn)解析．【分析】

由能被8整除的特征知，只要后三位數(shù)能被8整除即可．bcd=100b+10c+d，有bcd-(4b+2c+d)=96b+8c=8(12b+c)能被8整除，而4b+2c+d=32也能被8整除，所以abcd能被15.（1）不算出結(jié)果，判斷數(shù)(524+42-429)是偶數(shù)還是奇數(shù)？（2）數(shù)(42?+30-147)能被2整除，那么，?里可填什么數(shù)？（3）下面的連乘積是偶數(shù)還是奇數(shù)？ 1×3×5×7×9×11×13×14×15.【答案】

（1）奇數(shù)；（2）1,3,5,7,9；（3）偶數(shù)．【分析】

根據(jù)奇偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：（1）因?yàn)?24，42是偶數(shù)，所以(524+42)是偶數(shù)．又因?yàn)?29是奇數(shù)，所以(524+42-429)是奇數(shù)．（2）數(shù)(42?+30-147)能被2整除，則它一定是偶數(shù)．因?yàn)?47是奇數(shù)，所以數(shù)(42?+30)必是奇數(shù)．又因?yàn)槠渲械?0是偶數(shù)，所以，數(shù)42?必為奇數(shù)．于是，?里只能填奇數(shù)1，3，5，7，9．（3）1，3，5，7，9，11，13，15都是奇數(shù)，由1×3為奇數(shù)，推知1×3×5為奇數(shù)??推知1×3×5×7×9×11×13×15為奇數(shù)． 因?yàn)?4為偶數(shù)，所以(1×3×5×7×9×11×13×15)×14為偶數(shù)，即1×3×5×7×9×11×13×14×15為偶數(shù)．16.一個(gè)電子鐘表上總把日期顯示為八位數(shù)，如2011年1月1日顯示為20110101．如果2011年最后一個(gè)能被101整除的日子是2011ABCD，那么2011ABCD是多少？【答案】

20111221【分析】

試除法得出答案：20111231÷101=199121??10，31-10=21，所以ABCD=122117.1至9這9個(gè)數(shù)字，按圖所示的次序排成一個(gè)圓圈．請(qǐng)你在某兩個(gè)數(shù)字之間剪開(kāi)，分別按順時(shí)針和逆時(shí)針次序形成兩個(gè)九位數(shù)（例如，在1和7之間剪開(kāi)，得到兩個(gè)數(shù)是193426857和758624391）．如果要求剪開(kāi)后所得到的兩個(gè)九位數(shù)的差能被396整除，那么剪開(kāi)處左右兩個(gè)數(shù)字的乘積是多少？ 【答案】

27，8，12，48，35，9【分析】

互為反序的兩個(gè)九位數(shù)的差，一定能被99整除．而396=99×4，所以我們只用考察它能否能被4整除．于是只用觀察原序數(shù)、反序數(shù)的末兩位數(shù)字的差能否被4整除，顯然只有當(dāng)剪開(kāi)處兩個(gè)數(shù)的奇偶性相同時(shí)才有可能．注意圖中的具體數(shù)字，有（3，4）處、（8，5）處的兩個(gè)數(shù)字奇偶性均不相同，所以一定不滿(mǎn)足．而剩下的幾個(gè)位置奇偶性相同，有可能滿(mǎn)足．進(jìn)一步驗(yàn)證，有（9，3）處剪開(kāi)的末兩位數(shù)字之差為43-19=24，（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（7，1），（1，9）處剪開(kāi)的末兩位數(shù)字之差為62-3=28．86-42=44，58-26=32，85-17=68，91-57=34，71-39=32．所以從（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）處剪開(kāi)，所得的兩個(gè)互為反序的九位數(shù)的差才是396的倍數(shù)．（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）處左右兩個(gè)數(shù)的乘積為27，8，12，48，35，9．18.一個(gè)4位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個(gè)新的4位數(shù)．再將新的4位數(shù)的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個(gè)更新的四位數(shù)，已知最新的4位數(shù)與最原先的4位數(shù)的和是以下5個(gè)數(shù)的一個(gè)：①9865；②9867；③9462；④9696；⑤9869．這兩個(gè)4位數(shù)的和到底是多少？【答案】

9696【分析】

設(shè)這個(gè)4位數(shù)是abcd，則最新的4位數(shù)是cdab．兩個(gè)數(shù)的和為abcd是101的倍數(shù)．在所給的5個(gè)數(shù)中只有9696是101的倍數(shù)，故正確的答案為9696．19.某住宅區(qū)有12家住戶(hù)，他們的門(mén)牌號(hào)分別是1,2,3,?,12．他們的電話(huà)號(hào)碼依次是12個(gè)連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話(huà)號(hào)碼都能被這家的門(mén)牌號(hào)碼整除．已知這些電話(huà)的首位數(shù)字都小于6，并且門(mén)牌號(hào)碼是9的這一家的電話(huà)號(hào)碼能被13整除．請(qǐng)問(wèn)：這一家的電話(huà)號(hào)碼是多少？【答案】

388089【分析】

設(shè)第一家住戶(hù)的電話(huà)號(hào)碼為n+1，則1∣n+1,2∣n+2,3∣n+3,?,12∣n+12,由此可知n能被1～12同時(shí)整除，而1～12的最小公倍數(shù)為23×32×5×7×11=27720，則n=27720m，其中m為正整數(shù)．由條件“門(mén)牌號(hào)碼是9的這一家的電話(huà)號(hào)碼能被13整除”可得，13∣27720m+9．而27720m+9≡4m+9(mod13)20.定義運(yùn)算“⊙”如下：對(duì)于兩個(gè)自然數(shù)a和b，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的差記為a⊙b．比如：10和14，最小公倍數(shù)為70，最大公約數(shù)為2，則10⊙14=70-2=68．（1）求12⊙21，5⊙15；（2）說(shuō)明，如果c整除a和b，則c也整除a⊙b；如果c整除a和a⊙b，則c也整除b；（3）已知6⊙x=27，求x的值．【答案】

（1）81；10；（2）見(jiàn)解析；（3）x=15【分析】

（1）為求12⊙21，先求出12與21的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別為84，3，因此12⊙21=84-3=81，同樣道理5⊙15=15-5=10．（2）如果c整除a和b，那么c是a和b的公約數(shù)，則c整除a,b的最大公約數(shù)，顯然c也整除a,b最小公倍數(shù)，所以c整除最小公倍數(shù)與最大公約的差，即c整除a⊙b．如果c整除a和a⊙b，由c整除a推知c整除a,b的最小公倍數(shù)，再由c整除a⊙b推知，整除a,b的最大公約數(shù)，而這個(gè)最大公約數(shù)整除b，所以c整除b．（3）由于運(yùn)算“⊙”沒(méi)有直接的表達(dá)式，解這個(gè)方程有一些困難，我們?cè)O(shè)法逐步縮小探索范圍．因?yàn)?與x的最小公倍數(shù)不小于27+1=28，不大于27+6=33，而28到33之間，只有30是6的倍數(shù)，可見(jiàn)6和x的最小公倍數(shù)是30，因此它們的最大公約數(shù)是30-27=3．由“兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的積=這兩個(gè)數(shù)的積”，得到30×3=6×x．所以x=15．21.有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號(hào)，他們是1號(hào)到15號(hào)，1號(hào)同學(xué)寫(xiě)了一個(gè)自然數(shù)，其余各位同學(xué)都說(shuō)這個(gè)數(shù)能被自己的編號(hào)數(shù)整除．1號(hào)作了檢驗(yàn)：只有編號(hào)連續(xù)的兩位同學(xué)說(shuō)的不對(duì)，其余同學(xué)都對(duì)，問(wèn)：（1）說(shuō)的不對(duì)的兩位同學(xué)，他們的編號(hào)是哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)？（2）如果告訴你1號(hào)寫(xiě)的數(shù)是五位數(shù)，請(qǐng)找出這個(gè)數(shù)．【答案】

（1）8和9；（2）60060【分析】

（1）為了表達(dá)方便，不妨設(shè)1號(hào)同學(xué)寫(xiě)的自然數(shù)為a．根據(jù)2～15號(hào)同學(xué)所述結(jié)論，2～15中只有兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)不能整除a，其他的數(shù)都能整除a．由于2～7中的每一個(gè)數(shù)的2倍都在15以?xún)?nèi)，如果2～7中有某個(gè)數(shù)不能整除a，那么這個(gè)數(shù)的2倍也不能整除a，然而2～7中的這個(gè)數(shù)與它的2倍不可能是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，所以2～7中每一個(gè)數(shù)都是a的約數(shù)．由于2與5互質(zhì)，那么2×5=10也是a的約數(shù)．同理可知，12、14、15也都是a的約數(shù)．還剩下的四個(gè)數(shù)為8、9、11、13，只有8、9是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，所以說(shuō)的不對(duì)的兩位同學(xué)，他們的編號(hào)分別是8和（2）1號(hào)同學(xué)所寫(xiě)的自然數(shù)能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15這12個(gè)數(shù)整除，也就是它們的公倍數(shù)．它們的最小公倍數(shù)是：22×3×5×7×11×13=60060．因?yàn)?0060是一位五位數(shù)，而這12個(gè)數(shù)的其他公倍數(shù)都是它們的最小公倍數(shù)60060的倍數(shù)，且最小為2倍，所以均不是五位數(shù)，那么1號(hào)同學(xué)寫(xiě)的五位數(shù)是數(shù)論-整除-整除的基本概念-4星題課程目標(biāo)知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率整除的基本概念A(yù)1、了解整除的定義。

2、會(huì)判定一個(gè)數(shù)能不能被另一個(gè)數(shù)整除。

少考知識(shí)提要整除的基本概念定義

如果整數(shù)a除以整數(shù)b（b≠0），除得的商是整數(shù)且沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)

a能被

b整除，也可以說(shuō)

b能整除a，記作b∣a．

注意：如果除得的結(jié)果有余數(shù)，我們就說(shuō)

a不能被

b整除，也可以說(shuō)

b不能整除

a．整除的性質(zhì)

性質(zhì)1：如果a、b都能被

c

整除，那么它們的和與差也能被

c

整除。

性質(zhì)2：如果

b

與

c

的積能整除

a

，那么b與c都能整除

a

。 性質(zhì)3：如果

b

、

c

都能整除

a

，且

b

和

c

互質(zhì)，那么

b

與

c

的積能整除

a

。 性質(zhì)4：如果

c

能整除

b

，

b

能整除

a

，那么

c

能整除

a

。

精選例題整除的基本概念1.在3和5之間插入6、30、20這三個(gè)數(shù)，得到3、6、30、20、5這樣一串?dāng)?shù)．其中每相鄰兩個(gè)數(shù)的和可以整除它們的積（例如，3+6=9，9可以整除3×6；再如，6+30=36，36可以整除6×30）．請(qǐng)你在4與3這兩數(shù)之間的三個(gè)空中各填入一個(gè)非零的整數(shù)，使得其中每相鄰兩個(gè)數(shù)的和可以整除它們的積．4、

、

、

、3【答案】

4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3【分析】

設(shè)4,a,b,c,3成立，則4×a4+a=n,3×c3+c=m由倒數(shù)的意義可知：①4+a4×a=1n，則44×a1n>1當(dāng)n=3，1a當(dāng)n=2，1a②3+c3×c=1m，則33×c1m>13，則m=2，當(dāng)m=2時(shí)，③設(shè)c×bc+b=k，則c+bc×b=1k，可得1c+1b=1k當(dāng)k=2時(shí)，1b=1k=3時(shí)，1b=1k=4時(shí)，1b=1k=5時(shí)，1b=1經(jīng)檢驗(yàn)有下面的三組解：4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3．2.給定一個(gè)除數(shù)（不為0）與被除數(shù)，總可以找到一個(gè)商與一個(gè)余數(shù)，滿(mǎn)足被除數(shù)其中，0?余數(shù)<除數(shù)不超過(guò)988000并且能夠被49整除的大于1的自然數(shù)共有

個(gè)．【答案】

20163【分析】

988000÷49=20163??13所以，滿(mǎn)足要求的數(shù)分別是49的1～20163倍，共20163個(gè)．3.請(qǐng)將1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合適的順序?qū)懗梢恍校沟眠@一行數(shù)中的任何一個(gè)都是它前面所有數(shù)之和的約數(shù)．【答案】

其中一個(gè)答案是6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11．【分析】

設(shè)填好后的數(shù)從左往右依次為a1,a2,?,a11,所有數(shù)的和為66，那么有a11∣66-a11，故a11∣66，可以設(shè)a11=11，則其余數(shù)的和為55，那么倒數(shù)第二個(gè)數(shù)肯定是55的約數(shù)，可以填5；還剩50，那么倒數(shù)第三個(gè)數(shù)肯定是50的約數(shù)，可以填10，最后經(jīng)過(guò)嘗試得到6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11和8、1、9、觀察6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11這組答案，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)一般的規(guī)律：若所給數(shù)是1～2n+1，則n+1，1，n+2，2，?，2n，n，2n+1符合題意；若所給數(shù)是1～2n，則n+1，1，n+2，2，?，2n，n符合題意．4.某住宅區(qū)有12家住戶(hù)，他們的門(mén)牌號(hào)分別是1,2,3,?,12．他們的電話(huà)號(hào)碼依次是12個(gè)連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話(huà)號(hào)碼都能被這家的門(mén)牌號(hào)碼整除．已知這些電話(huà)的首位數(shù)字都小于6，并且門(mén)牌號(hào)碼是9的這一家的電話(huà)號(hào)碼能被13整除．請(qǐng)問(wèn)：這一家的電話(huà)號(hào)碼是多少？【答案】

388089【分析】

設(shè)第一家住戶(hù)的電話(huà)號(hào)碼為n+1，則1∣n+1,2∣n+2,3∣n+3,?,12∣n+12,由此可知n能被1～12同時(shí)整除，而1～12的最小公倍數(shù)為23×32×5×7×11=27720，則n=27720m，其中m為正整數(shù)．由條件“門(mén)牌號(hào)碼是9的這一家的電話(huà)號(hào)碼能被13整除”可得，13∣27720m+9．而27720m+9≡4m+9(mod13)5.已知M、N是互為反序的兩個(gè)三位數(shù)，且M>N．請(qǐng)問(wèn)：（1）如果M和N的最大公約數(shù)是7，求M；（2）如果M和N的最大公約數(shù)是21，求M．【答案】

（1）952；（2）861【分析】

（1）設(shè)這兩個(gè)三位數(shù)分別為M=abc、N=cba（M>N），那么7∣M-N=99(a-c)，所以a=8,c=1,或a=9,c=2,經(jīng)枚舉驗(yàn)證只有（2）設(shè)這兩個(gè)三位數(shù)分別為M=abc、N=cba(M>N)，那么7∣M-N=99(a-c)，所以a=8,c=1,或a=9,c=2,6.定義運(yùn)算“⊙”如下：對(duì)于兩個(gè)自然數(shù)a和b，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的差記為a⊙b．比如：10和14，最小公倍數(shù)為70，最大公約數(shù)為2，則10⊙14=70-2=68．（1）求12⊙21，5⊙15；（2）說(shuō)明，如果c整除a和b，則c也整除a⊙b；如果c整除a和a⊙b，則c也整除b；（3）已知6⊙x=27，求x的值．【答案】

（1）81；10；（2）見(jiàn)解析；（3）x=15【分析】

（1）為求12⊙21，先求出12與21的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別為84，3，因此12⊙21=84-3=81，同樣道理5⊙15=15-5=10．（2）如果c整除a和b，那么c是a和b的公約數(shù)，則c整除a,b的最大公約數(shù)，顯然c也整除a,b最小公倍數(shù)，所以c整除最小公倍數(shù)與最大公約的差，即c整除a⊙b．如果c整除a和a⊙b，由c整除a推知c整除a,b的最小公倍數(shù)，再由c整除a⊙b推知，整除a,b的最大公約數(shù)，而這個(gè)最大公約數(shù)整除b，所以c整除b．（3）由于運(yùn)算“⊙”沒(méi)有直接的表達(dá)式，解這個(gè)方程有一些困難，我們?cè)O(shè)法逐步縮小探索范圍．因?yàn)?與x的最小公倍數(shù)不小于27+1=28，不大于27+6=33，而28到33之間，只有30是6的倍數(shù)，可見(jiàn)6和x的最小公倍數(shù)是30，因此它們的最大公約數(shù)是30-27=3．由“兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的積=這兩個(gè)數(shù)的積”，得到30×3=6×x．所以x=15．7.試求不大于100，且使3n+7n+4【答案】

1480【分析】

通過(guò)逐次計(jì)算，可以求出3n被11除的余數(shù)，依次為：31為3，32為9，33為5，34為4，35為1，?，因而3n被11除的余數(shù)5個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，?；類(lèi)似地，可以求出7n被11除的余數(shù)10個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，?；于是3n+7n+4被11除的余數(shù)也是10個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，?；這就表明，每一個(gè)周期中，只有第33+4+6+13+14+16+?+93+94+968.表中第1行是把1～100的整數(shù)依次全部排列出來(lái)，然后從第2行起是根據(jù)規(guī)律一直排到最后的第100行．請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)表中一共有多少個(gè)數(shù)能被 【答案】

62【分析】

在這個(gè)表里，有的數(shù)字的正下方寫(xiě)著比它大4的數(shù)． 假如，某數(shù)字是不能被77整除的數(shù)字，那么不管它被4乘多少回，也不能被77整除．于是我們得知不能被77整除的數(shù)字下面寫(xiě)的數(shù)字都不能被77整除．那么，如果某數(shù)字是可以被77整除，不管乘多少回4，得出的數(shù)字都可以被77整除．可被77整除的數(shù)字下面都可以被77整除．題目的表中從左右兩邊第N個(gè)的下面寫(xiě)著N個(gè)整數(shù)．表的第一行從右數(shù)第24個(gè)是77，在它下面寫(xiě)的24個(gè)整數(shù)都可以被77整除．另外，從左數(shù)第二行第38個(gè)是38+39=77，所以在它下面寫(xiě)的38個(gè)整數(shù)都可以被77整除．在表的第一行和第二行里除此之外再?zèng)]有可以被77整除的數(shù)了．從整個(gè)表來(lái)看，除了上述的24+38=62個(gè)以外，再也沒(méi)有可以被77整除的數(shù)了，所以答案為62．9.有3個(gè)自然數(shù)，其中每一個(gè)數(shù)都不能被另外兩個(gè)數(shù)整除，而且其中任意兩個(gè)數(shù)的乘積都能被第三個(gè)數(shù)整除．請(qǐng)問(wèn)：滿(mǎn)足上述條件的3個(gè)自然數(shù)之和最小是多少？【答案】

31【分析】

先證明這3個(gè)數(shù)每個(gè)都至少含有2種質(zhì)因數(shù)．證法一：假設(shè)這三個(gè)數(shù)為A、B、C，其中A只有一種質(zhì)因數(shù)p，那么B不可能只有質(zhì)因數(shù)p，否則B和A必定是倍數(shù)關(guān)系，同理，C也不可能只有質(zhì)因數(shù)p．根據(jù)C∣AB，假設(shè)C有除p以外其他質(zhì)因數(shù)q，可以得到q∣B，同理，C所有除了p以外的質(zhì)因數(shù)都是B的質(zhì)因數(shù)；再根椐B∣CA，同理得，B所有除了p以外的質(zhì)因數(shù)也是C的質(zhì)因數(shù)，那么B、C必定是倍數(shù)關(guān)系，與題意矛盾．所以這3個(gè)數(shù)中不可能出現(xiàn)只含1種質(zhì)因數(shù)的數(shù)，即每個(gè)都至少含有2種質(zhì)因數(shù)．證法二：假設(shè)這三個(gè)數(shù)為A、B、C，其中A只有一種質(zhì)因數(shù)p，設(shè)A=pa．因?yàn)锳∣BC，所以乘積BC中一定含有質(zhì)因數(shù)p；但A不能整除B，也不能整除C，說(shuō)明B、C中都含有p，且次數(shù)都低于a；又B不能整除A，C也不能整除A，所以B、C中都含打除了p以外的質(zhì)因數(shù)，設(shè)B=?b×pb，C=?c因?yàn)锽∣AC，所以?b∣?c；同理，因?yàn)镃∣AB，所以?c∣?b，說(shuō)明?c=?若這三個(gè)數(shù)里一共恰有2種質(zhì)因數(shù)，最小為2和3，最小符合題意的情況是22×32、2×3若這三個(gè)數(shù)里一共恰有3種質(zhì)因數(shù)，最小為2、3、5，最小符合題意的情況是2×3、2×5、3×5，和為6+10+15=31；若這三個(gè)數(shù)里一共恰有4種質(zhì)因數(shù)，最小為2、3、5、7，在不考慮題意的情況下，3個(gè)不同的各含兩種質(zhì)因數(shù)的數(shù)最小是2×3、2×5、2×7，和為30，但這組不符合題意，很明顯如果要符合題意，和肯定大于31；若這三個(gè)數(shù)里一共恰有5種質(zhì)因數(shù)，最小為2、3、5、7、11，在不考慮題意的情況下，3個(gè)不同的各含兩種質(zhì)因數(shù)的數(shù)最小是2×7、2×11、3×5，和為51，大于31；很明顯，當(dāng)含有的質(zhì)因數(shù)種類(lèi)再增多時(shí)，三個(gè)數(shù)的和肯定都大于31；綜上，滿(mǎn)足上述條件的3個(gè)自然數(shù)之和最小是31．10.在一個(gè)兩位數(shù)的十位與個(gè)位數(shù)字之間插入一個(gè)數(shù)字0，得到一個(gè)三位數(shù)（例如21變成了201），結(jié)果這個(gè)三位數(shù)恰好能被原來(lái)的兩位數(shù)整除．請(qǐng)問(wèn)：所有滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)之和是多少？【答案】

528【分析】

設(shè)滿(mǎn)足條件的兩位數(shù)為ab，則按題意插入一個(gè)數(shù)字0后的三位數(shù)是a0b．依題意有ab∣10a+b∣100a+b,整理得10a+b∣90a+(10a+b),推出10a+b∣90a;或者整理得10a+b∣10(10a+b)-9b,推出10a+b∣9b.因?yàn)?b比90a相對(duì)較小，所以考慮10a+b∣9b，但發(fā)現(xiàn)也不好分析，所以變?yōu)閍b∣9b若b取0時(shí)，ab取10，20，?，90均可；若b取1時(shí)，ab沒(méi)有符合的情況；……依次討論得到ab可以為10，20，30，?，90，15，45，18，和為528．11.小明與小華玩游戲，規(guī)則如下：開(kāi)始每人都是1分，每局獲勝的小朋友都可以把自己的分?jǐn)?shù)乘以3，輸?shù)男∨笥驯３址謹(jǐn)?shù)不變，最后小明獲勝，他比小華多的分?jǐn)?shù)是99的倍數(shù)，那么他們至少玩了多少局？【答案】

9【分析】

設(shè)小明和小華最后的分?jǐn)?shù)分別為3a和3b，其中a>b，所以99∣3a-3b=3b[3(a-b)-1]．因?yàn)閇3(a-b)-1]和312.請(qǐng)找出符合下列性質(zhì)的四位數(shù)：（1）它是一個(gè)平方數(shù)；（2）開(kāi)始兩位的數(shù)字要相同；（3）最末兩位的數(shù)字要相同．【答案】

7744【分析】

設(shè)四位數(shù)為aabb．因aabb=1000a+100a+10b+b=11×a0b，要aabb是完全平方數(shù)，則a0b能被質(zhì)數(shù)11整除，故a+b=11，a0b只能是902，803，704，605，506，407， 由于a0b被11除的商必須是完全平方數(shù)，只有704符合．此時(shí)a=7，b=4，故所求的數(shù)為7744．13.六位數(shù)20??08能被99整除，??是多少？【答案】

71【分析】

方法一：200008被99除商2020余28，所以??00+28能被99整除，商72時(shí)，99×72=7128，末兩位是28，所以??為71方法二：99=9×11，20??08能被99整除，所以各位數(shù)字之和為9的倍數(shù)，所以方框中數(shù)字的和只能為8或17；又根據(jù)數(shù)被11整除的性質(zhì)，方框中兩數(shù)字的差為6或5，可得??是71．14.（1）不算出結(jié)果，判斷數(shù)(524+42-429)是偶數(shù)還是奇數(shù)？（2）數(shù)(42?+30-147)能被2整除，那么，?里可填什么數(shù)？（3）下面的連乘積是偶數(shù)還是奇數(shù)？ 1×3×5×7×9×11×13×14×15.【答案】

（1）奇數(shù)；（2）1,3,5,7,9；（3）偶數(shù)．【分析】

根據(jù)奇偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：（1）因?yàn)?24，42是偶數(shù)，所以(524+42)是偶數(shù)．又因?yàn)?29是奇數(shù)，所以(524+42-429)是奇數(shù)．（2）數(shù)(42?+30-147)能被2整除，則它一定是偶數(shù)．因?yàn)?47是奇數(shù)，所以數(shù)(42?+30)必是奇數(shù)．又因?yàn)槠渲械?0是偶數(shù)，所以，數(shù)42?必為奇數(shù)．于是，?里只能填奇數(shù)1，3，5，7，9．（3）1，3，5，7，9，11，13，15都是奇數(shù)，由1×3為奇數(shù)，推知1×3×5為奇數(shù)??推知1×3×5×7×9×11×13×15為奇數(shù)． 因?yàn)?4為偶數(shù)，所以(1×3×5×7×9×11×13×15)×14為偶數(shù)，即1×3×5×7×9×11×13×14×15為偶數(shù)．15.一個(gè)4位數(shù)，把它的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個(gè)新的4位數(shù)．再將新的4位數(shù)的千位數(shù)字移到右端構(gòu)成一個(gè)更新的四位數(shù)，已知最新的4位數(shù)與最原先的4位數(shù)的和是以下5個(gè)數(shù)的一個(gè)：①9865；②9867；③9462；④9696；⑤9869．這兩個(gè)4位數(shù)的和到底是多少？【答案】

9696【分析】

設(shè)這個(gè)4位數(shù)是abcd，則最新的4位數(shù)是cdab．兩個(gè)數(shù)的和為abcd是101的倍數(shù)．在所給的5個(gè)數(shù)中只有9696是101的倍數(shù)，故正確的答案為9696．16.在1、2、3、4?2007這2007個(gè)數(shù)中有多少個(gè)自然數(shù)a能使2008+a能被2007-a整除．【答案】

7【分析】

要使得2008+a能被2007-a整除，我們可以將條件等價(jià)的轉(zhuǎn)化為只要讓2008+a2007-a是一個(gè)整數(shù)即可．下面是一個(gè)比較難的技巧，我們知道若a可以使得2008+a2007-a是一個(gè)整數(shù)，那么a也同樣可以使得2008+a2007-a+1=2008+a+2007-a2007-a=40152007-a是一個(gè)整數(shù)，這樣只要2007-a是4015的約數(shù)即可，將4015分解可知其共有8個(gè)因數(shù)，其中4015是最大的一個(gè)，但是顯然沒(méi)有可以讓2007-a等于4015的a17.有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號(hào)，他們是1號(hào)到15號(hào)，1號(hào)同學(xué)寫(xiě)了一個(gè)自然數(shù)，其余各位同學(xué)都說(shuō)這個(gè)數(shù)能被自己的編號(hào)數(shù)整除．1號(hào)作了檢驗(yàn)：只有編號(hào)連續(xù)的兩位同學(xué)說(shuō)的不對(duì)，其余同學(xué)都對(duì)，問(wèn)：（1）說(shuō)的不對(duì)的兩位同學(xué)，他們的編號(hào)是哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)？（2）如果告訴你1號(hào)寫(xiě)的數(shù)是五位數(shù)，請(qǐng)找出這個(gè)數(shù)．【答案】

（1）8和9；（2）60060【分析】

（1）為了表達(dá)方便，不妨設(shè)1號(hào)同學(xué)寫(xiě)的自然數(shù)為a．根據(jù)2～15號(hào)同學(xué)所述結(jié)論，2～15中只有兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)不能整除a，其他的數(shù)都能整除a．由于2～7中的每一個(gè)數(shù)的2倍都在15以?xún)?nèi)，如果2～7中有某個(gè)數(shù)不能整除a，那么這個(gè)數(shù)的2倍也不能整除a，然而2～7中的這個(gè)數(shù)與它的2倍不可能是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，所以2～7中每一個(gè)數(shù)都是a的約數(shù)．由于2與5互質(zhì)，那么2×5=10也是a的約數(shù)．同理可知，12、14、15也都是a的約數(shù)．還剩下的四個(gè)數(shù)為8、9、11、13，只有8、9是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，所以說(shuō)的不對(duì)的兩位同學(xué)，他們的編號(hào)分別是8和（2）1號(hào)同學(xué)所寫(xiě)的自然數(shù)能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15這12個(gè)數(shù)整除，也就是它們的公倍數(shù)．它們的最小公倍數(shù)是：22×3×5×7×11×13=60060．因?yàn)?0060是一位五位數(shù)，而這12個(gè)數(shù)的其他公倍數(shù)都是它們的最小公倍數(shù)60060的倍數(shù)，且最小為2倍，所以均不是五位數(shù)，那么1號(hào)同學(xué)寫(xiě)的五位數(shù)是18.我們將具有如下性質(zhì)的自然數(shù)K稱(chēng)為“高思數(shù)”：如果一個(gè)整數(shù)M能被K整除，則把M的各位數(shù)字按相反順序重寫(xiě)時(shí)所得到的數(shù)也能被K整除，請(qǐng)求出所有的“高思數(shù)”．【答案】

1、3、9、11、33、99【分析】

易知，1必為“高思數(shù)”；因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)反序重寫(xiě)數(shù)字和不變，所以3、9為“高思數(shù)”；因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)反序重寫(xiě)奇位和與偶位和之差也不變，所以11為“高思數(shù)”，由整除規(guī)律，33、99也是“高思數(shù)“．除此之外，感覺(jué)是沒(méi)有了，下面給出證明．引理（可以看做是先證明一個(gè)小結(jié)論）：對(duì)于任意的不含2或5的正整數(shù)n，形如1、11、111、1111、…的數(shù)中一定有無(wú)數(shù)個(gè)是n的倍數(shù)．證明：由于1,11,111,1111,?,11?1?n+1個(gè)1這n+1個(gè)數(shù)中一定存在2個(gè)數(shù)關(guān)于n同余，那么這兩個(gè)數(shù)的差一定是n的倍數(shù)，而這兩個(gè)數(shù)的差是形如11?1?a首先說(shuō)明“高思數(shù)”的個(gè)位數(shù)字只能是1、3、7、9．因?yàn)椋案咚紨?shù)”肯定不是偶數(shù)，否則肯定能得到它的某個(gè)倍數(shù)的首位是1，那么這個(gè)偶數(shù)就無(wú)法整除這個(gè)倍數(shù)的反序數(shù)．同理，“高思數(shù)”的個(gè)位數(shù)字也不能是5．所以“高思數(shù)”的個(gè)位數(shù)字只能是1、3、7、9．若K是“高思數(shù)”，根據(jù)引理得一定存在某個(gè)自然數(shù)l使得K∣11?1?l個(gè)1，那么K∣77?7?l個(gè)7，進(jìn)一步得K∣77?1?l個(gè)700?0?(l-1)個(gè)0+77?1?l個(gè)7，即K∣77?7?(l-2)個(gè)78477?7?(l-1)個(gè)719.1至9這9個(gè)數(shù)字，按圖所示的次序排成一個(gè)圓圈．請(qǐng)你在某兩個(gè)數(shù)字之間剪開(kāi)，分別按順時(shí)針和逆時(shí)針次序形成兩個(gè)九位數(shù)（例如，在1和7之間剪開(kāi)，得到兩個(gè)數(shù)是193426857和758624391）．如果要求剪開(kāi)后所得到的兩個(gè)九位數(shù)的差能被396整除，那么剪開(kāi)處左右兩個(gè)數(shù)字的乘積是多少？ 【答案】

27，8，12，48，35，9【分析】

互為反序的兩個(gè)九位數(shù)的差，一定能被99整除．而396=99×4，所以我們只用考察它能否能被4整除．于是只用觀察原序數(shù)、反序數(shù)的末兩位數(shù)字的差能否被4整除，顯然只有當(dāng)剪開(kāi)處兩個(gè)數(shù)的奇偶性相同時(shí)才有可能．注意圖中的具體數(shù)字，有（3，4）處、（8，5）處的兩個(gè)數(shù)字奇偶性均不相同，所以一定不滿(mǎn)足．而剩下的幾個(gè)位置奇偶性相同，有可能滿(mǎn)足．進(jìn)一步驗(yàn)證，有（9，3）處剪開(kāi)的末兩位數(shù)字之差為43-19=24，（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（7，1），（1，9）處剪開(kāi)的末兩位數(shù)字之差為62-3=28．86-42=44，58-26=32，85-17=68，91-57=34，71-39=32．所以從（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）處剪開(kāi)，所得的兩個(gè)互為反序的九位數(shù)的差才是396的倍數(shù)．（9，3），（4，2），（2，6），（6，8），（5，7），（1，9）處左右兩個(gè)數(shù)的乘積為27，8，12，48，35，9．?dāng)?shù)論-整除-整除的基本概念-5星題課程目標(biāo)知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率整除的基本概念A(yù)1、了解整除的定義。

2、會(huì)判定一個(gè)數(shù)能不能被另一個(gè)數(shù)整除。

少考知識(shí)提要整除的基本概念定義

如果整數(shù)a除以整數(shù)b（b≠0），除得的商是整數(shù)且沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)

a能被

b整除，也可以說(shuō)

b能整除a，記作b∣a．

注意：如果除得的結(jié)果有余數(shù)，我們就說(shuō)

a不能被

b整除，也可以說(shuō)

b不能整除

a．整除的性質(zhì)

性質(zhì)1：如果a、b都能被

c

整除，那么它們的和與差也能被

c

整除。

性質(zhì)2：如果

b

與

c

的積能整除

a

，那么b與c都能整除

a

。 性質(zhì)3：如果

b

、

c

都能整除

a

，且

b

和

c

互質(zhì)，那么

b

與

c

的積能整除

a

。 性質(zhì)4：如果

c

能整除

b

，

b

能整除

a

，那么

c

能整除

a

。

精選例題整除的基本概念1.表中第1行是把1～100的整數(shù)依次全部排列出來(lái)，然后從第2行起是根據(jù)規(guī)律一直排到最后的第100行．請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)表中一共有多少個(gè)數(shù)能被 【答案】

62【分析】

在這個(gè)表里，有的數(shù)字的正下方寫(xiě)著比它大4的數(shù)． 假如，某數(shù)字是不能被77整除的數(shù)字，那么不管它被4乘多少回，也不能被77整除．于是我們得知不能被77整除的數(shù)字下面寫(xiě)的數(shù)字都不能被77整除．那么，如果某數(shù)字是可以被77整除，不管乘多少回4，得出的數(shù)字都可以被77整除．可被77整除的數(shù)字下面都可以被77整除．題目的表中從左右兩邊第N個(gè)的下面寫(xiě)著N個(gè)整數(shù)．表的第一行從右數(shù)第24個(gè)是77，在它下面寫(xiě)的24個(gè)整數(shù)都可以被77整除．另外，從左數(shù)第二行第38個(gè)是38+39=77，所以在它下面寫(xiě)的38個(gè)整數(shù)都可以被77整除．在表的第一行和第二行里除此之外再?zèng)]有可以被77整除的數(shù)了．從整個(gè)表來(lái)看，除了上述的24+38=62個(gè)以外，再也沒(méi)有可以被77整除的數(shù)了，所以答案為62．2.我們將具有如下性質(zhì)的自然數(shù)K稱(chēng)為“高思數(shù)”：如果一個(gè)整數(shù)M能被K整除，則把M的各位數(shù)字按相反順序重寫(xiě)時(shí)所得到的數(shù)也能被K整除，請(qǐng)求出所有的“高思數(shù)”．【答案】

1、3、9、11、33、99【分析】

易知，1必為“高思數(shù)”；因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)反序重寫(xiě)數(shù)字和不變，所以3、9為“高思數(shù)”；因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)反序重寫(xiě)奇位和與偶位和之差也不變，所以11為“高思數(shù)”，由整除規(guī)律，33、99也是“高思數(shù)“．除此之外，感覺(jué)是沒(méi)有了，下面給出證明．引理（可以看做是先證明一個(gè)小結(jié)論）：對(duì)于任意的不含2或5的正整數(shù)n，形如1、11、111、1111、…的數(shù)中一定有無(wú)數(shù)個(gè)是n的倍數(shù)．證明：由于1,11,111,1111,?,11?1?n+1個(gè)1這n+1個(gè)數(shù)中一定存在2個(gè)數(shù)關(guān)于n同余，那么這兩個(gè)數(shù)的差一定是n的倍數(shù)，而這兩個(gè)數(shù)的差是形如11?1?a首先說(shuō)明“高思數(shù)”的個(gè)位數(shù)字只能是1、3、7、9．因?yàn)椋案咚紨?shù)”肯定不是偶數(shù)，否則肯定能得到它的某個(gè)倍數(shù)的首位是1，那么這個(gè)偶數(shù)就無(wú)法整除這個(gè)倍數(shù)的反序數(shù)．同理，“高思數(shù)”的個(gè)位數(shù)字也不能是5．所以“高思數(shù)”的個(gè)位數(shù)字只能是1、3、7、9．若K是“高思數(shù)”，根據(jù)引理得一定存在某個(gè)自然數(shù)l使得K∣11?1?l個(gè)1，那么K∣77?7?l個(gè)7，進(jìn)一步得K∣77?1?l個(gè)700?0?(l-1)個(gè)0+77?1?l個(gè)7，即K∣77?7?(l-2)個(gè)78477?7?(l-1)個(gè)73.試求不大于100，且使3n+7n+4【答案】

1480【分析】

通過(guò)逐次計(jì)算，可以求出3n被11除的余數(shù)，依次為：31為3，32為9，33為5，34為4，35為1，?，因而3n被11除的余數(shù)5個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，?；類(lèi)似地，可以求出7n被11除的余數(shù)10個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，?；于是3n+7n+4被11除的余數(shù)也是10個(gè)構(gòu)成一個(gè)周期：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，?；這就表明，每一個(gè)周期中，只有第33+4+6+13+14+16+?+93+94+964.有3個(gè)自然數(shù)，其中每一個(gè)數(shù)都不能被另外兩個(gè)數(shù)整除，而且其中任意兩個(gè)數(shù)的乘積都能被第三個(gè)數(shù)整除．請(qǐng)問(wèn)：滿(mǎn)足上述條件的3個(gè)自然數(shù)之和最小是多少？【答案】

31【分析】

先證明這3個(gè)數(shù)每個(gè)都至少含有2種質(zhì)因數(shù)．證法一：假設(shè)這三個(gè)數(shù)為A、B、C，其中A只有一種質(zhì)因數(shù)p，那么B不可能只有質(zhì)因數(shù)p，否則B和A必定是倍數(shù)關(guān)系，同理，C也不可能只有質(zhì)因數(shù)p．根據(jù)C∣AB，假設(shè)C有除p以外其他質(zhì)因數(shù)q，可以得到q∣B，同理，C所有除了p以外的質(zhì)因數(shù)都是B的質(zhì)因數(shù)；再根椐B∣CA，同理得，B所有除了p以外的質(zhì)因數(shù)也是C的質(zhì)因數(shù)，那么B、C必定是倍數(shù)關(guān)系，與題意矛盾．所以這3個(gè)數(shù)中不可能出現(xiàn)只含1種質(zhì)因數(shù)的數(shù)，即每個(gè)都至少含有2種質(zhì)因數(shù)．證法二：假設(shè)這三個(gè)數(shù)為A、B、C，其中A只有一種質(zhì)因數(shù)p，設(shè)A=pa．因?yàn)锳∣BC，所以乘積BC中一定含有質(zhì)因數(shù)p；但A不能整除B，也不能整除C，說(shuō)明B、C中都含有p，且次數(shù)都低于a；又B不能整除A，C也不能整除A，所以B、C中都含打除了p以外的質(zhì)因數(shù)，設(shè)B=?b×pb，C=?c因?yàn)锽∣AC，所以?b∣?c；同理，因?yàn)镃∣AB，所以?c∣?b，說(shuō)明?c=?若這三個(gè)數(shù)里一共恰有2種質(zhì)因數(shù)，最小為2和3，最小符合題意的情況是22×32、2×3若這三個(gè)數(shù)里一共恰有3種質(zhì)因數(shù)，最小為2、3、5，最小符合題意的情況是2×3、2×5、3×5，和為6+10+15=31；若這三個(gè)數(shù)里一共恰有4種質(zhì)因數(shù)，最小為2、3、5、7，在不考慮題意的情況下，3個(gè)不同的各含兩種質(zhì)因數(shù)的數(shù)最小是2×3、2×5、2×7，和為30，但這組不符合題意，很明顯如果要符合題意，和肯定大于31；若這三個(gè)數(shù)里一共恰有5種質(zhì)因數(shù)，最小為2、3、5、7、11，在不考慮題意的情況下，3個(gè)不同的各含兩種質(zhì)因數(shù)的數(shù)最小是2×7、2×11、3×5，和為51，大于31；很明顯，當(dāng)含有的質(zhì)因數(shù)種類(lèi)再增多時(shí)，三個(gè)數(shù)的和肯定都大于31；綜上，滿(mǎn)足上述條件的3個(gè)自然數(shù)之和最小是31．5.某住宅區(qū)有12家住戶(hù)，他們的門(mén)牌號(hào)分別是1,2,3,?,12．他們的電話(huà)號(hào)碼依次是12個(gè)連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每家的電話(huà)號(hào)碼都能被這家的門(mén)牌號(hào)碼整除．已知這些電話(huà)的首位數(shù)字都小于6，并且門(mén)牌號(hào)碼是9的這一家的電話(huà)號(hào)碼能被13整除．請(qǐng)問(wèn)：這一家的電話(huà)號(hào)碼是多少？【答案】

388089【分析】

設(shè)第一家住戶(hù)的電話(huà)號(hào)碼為n+1，則1∣n+1,2∣n+2,3∣n+3,?,12∣n+12,由此可知n能被1～12同時(shí)整除，而1～12的最小公倍數(shù)為23×32×5×7×11=27720，則n=27720m，其中m為正整數(shù)．由條件“門(mén)牌號(hào)碼是9的這一家的電話(huà)號(hào)碼能被13整除”可得，13∣27720m+9．而27720m+9≡4m+9(mod13)6.小明與小華玩游戲，規(guī)則如下：開(kāi)始每人都是1分，每局獲勝的小朋友都可以把自己的分?jǐn)?shù)乘以3，輸?shù)男∨笥驯３址謹(jǐn)?shù)不變，最后小明獲勝，他比小華多的分?jǐn)?shù)是99的倍數(shù)，那么他們至少玩了多少局？【答案】

9【分析】

設(shè)小明和小華最后的分?jǐn)?shù)分別為3a和3b，其中a>b，所以99∣3a-3b=3b[3(a-b)-1]．因?yàn)閇3(a-b)-1]和37.已知M、N是互為反序的兩個(gè)三位數(shù)，且M>N．請(qǐng)問(wèn)：（1）如果M和N的最大公約數(shù)是7，求M；（2）如果M和N的最大公約數(shù)是21，求M．【答案】

（1）952；（2）861【分析】

（1）設(shè)這兩個(gè)三位數(shù)分別為M=abc、N=cba（M>N），那么7∣M-N=99(a-c)，所以a=8,c=1,或a=9,c=2,經(jīng)枚舉驗(yàn)證只有（2）設(shè)這兩個(gè)三位數(shù)分別為M=abc、N=cba(M>N)，那么7∣M-N=99(a-c)，所以a=8,c=1,或a=9,c=2,8.定義運(yùn)算“⊙”如下：對(duì)于兩個(gè)自然數(shù)a和b，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的差記為a⊙b．比如：10和14，最小公倍數(shù)為70，最大公約數(shù)為2，則10⊙14=70-2=68．（1）求12⊙21，5⊙15；（2）說(shuō)明，如果c整除a和b，則c也整除a⊙b；如果c整除a和a⊙b，則c也整除b；（3）已知6⊙x=27，求x的值．【答案】

（1）81；10；（2）見(jiàn)解析；（3）x=15【分析】

（1）為求12⊙21，先求出12與21的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別為84，3，因此12⊙21=84-3=81，同樣道理5⊙15=15-5=10．（2）如果c整除a和b，那么c是a和b的公約數(shù)，則c整除a,b的最大公約數(shù)，顯然c也整除a,b最小公倍數(shù)，所以c整除最小公倍數(shù)與最大公約的差，即c整除a⊙b．如果c整除a和a⊙b，由c整除a推知c整除a,b的最小公倍數(shù)，再由c整除a⊙b推知，整除a,b的最大公約數(shù)，而這個(gè)最大公約數(shù)整除b，所以c整除b．（3）由于運(yùn)算“⊙”沒(méi)有直接的表達(dá)式，解這個(gè)方程有一些困難，我們?cè)O(shè)法逐步縮小探索范圍．因?yàn)?與x的最小公倍數(shù)不小于27+1=28，不大于27+6=33，而28到33之間，只有30是6的倍數(shù)，可見(jiàn)6和x的最小公倍數(shù)是30，因此它們的最大公約數(shù)是30-27=3．由“兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的積=這兩個(gè)數(shù)的積”，得到30×3=6×x．所以x=15．9.有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號(hào)，他們是1號(hào)到15號(hào)，1號(hào)同學(xué)寫(xiě)了一個(gè)自然數(shù)，其余各位同學(xué)都說(shuō)這個(gè)數(shù)能被自己的編號(hào)數(shù)整除．1號(hào)作了檢驗(yàn)：只有編號(hào)連續(xù)的兩位同學(xué)說(shuō)的不對(duì)，其余同學(xué)都對(duì)，問(wèn)：（1）說(shuō)的不對(duì)的兩位同學(xué)，他們的編號(hào)是哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)？（2）如果告訴你1號(hào)寫(xiě)的數(shù)是五位數(shù)，請(qǐng)找出這個(gè)數(shù)．【答案】

（1）8和9；（2）60060【分析】

（1）為了表達(dá)方便，不妨設(shè)1號(hào)同學(xué)寫(xiě)的自然數(shù)為a．根據(jù)2～15號(hào)同學(xué)所述結(jié)論，2～15中只有兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)不能整除a，其他的數(shù)都能整除a．由于2～7中的每一個(gè)數(shù)的2倍都在15以?xún)?nèi)，如果2～7中有某個(gè)數(shù)不能整除a，那么這個(gè)數(shù)的2倍也不能整除a，然而2～7中的這個(gè)數(shù)與它的2倍不可能是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，所以2～7中每一個(gè)數(shù)都是a的約數(shù)．由于2與5互質(zhì)，那么2×5=10也是a的約數(shù)．同理可知，12、14、15也都是a的約數(shù)．還剩下的四個(gè)數(shù)為8、9、11、13，只有8、9是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，所以說(shuō)的不對(duì)的兩位同學(xué)，他們的編號(hào)分別是8和（2）1號(hào)同學(xué)所寫(xiě)的自然數(shù)能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15這12個(gè)數(shù)整除，也就是它們的公倍數(shù)．它們的最小公倍數(shù)是：22×3×5×7×11×13=60060．因?yàn)?0060是一位五位數(shù)，而這12個(gè)數(shù)的其他公倍數(shù)都是它們的最小公倍數(shù)60060的倍數(shù)，且最小為2倍，所以均不是五位數(shù)，那么1號(hào)同學(xué)寫(xiě)的五位數(shù)是10.請(qǐng)將1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合適的順序?qū)懗梢恍校沟眠@一行數(shù)中的任何一個(gè)都是它前面所有數(shù)之和的約數(shù)．【答案】

其中一個(gè)答案是6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11．【分析】

設(shè)填好后的數(shù)從左往右依次為a1,a2,?,a11,所有數(shù)的和為66，那么有a11∣66-a11，故a11∣66，可以設(shè)a11=11，則其余數(shù)的和為55，那么倒數(shù)第二個(gè)數(shù)肯定是55的約數(shù)，可以填5；還剩50，那么倒數(shù)第三個(gè)數(shù)肯定是50的約數(shù)，可以填10