2024年中考數學真題專題分類精選匯編（2025年中考復習全國通用）

專題25解直角三角形（含勾股定理）及其應用

一、選擇題

1.（2024四川眉山）如圖，圖1是北京國際數學家大會的會標，它取材于我國古代數學家趙爽的“弦

圖”，是由四個全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，現將

這四個直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（）

A.24B.36C.40D.44

4

2.（2024甘肅臨夏）如圖，在ABC中，ABAC5，sinB，則BC的長是（）

5

A.3B.6C.8D.9

3.（2024四川達州）如圖，由8個全等的菱形組成的網格中，每個小菱形的邊長均為2，ABD120，

其中點A，B，C都在格點上，則tanBCD的值為（）

3

A.2B.23C.D.3

2

4.（2024四川德陽）某校學生開展綜合實踐活動，測量一建筑物CD的高度，在建筑物旁邊有一高

度為10米的小樓房AB，小李同學在小樓房樓底B處測得C處的仰角為60，在小樓房樓頂A處測

得C處的仰角為30．（AB、CD在同一平面內，B、D在同一水平面上），則建筑物CD的高為（）

米

A.20B.15C.12D.1053

5.（2024深圳）如圖，為了測量某電子廠的高度，小明用高1.8m的測量儀EF測得的仰角為45，

小軍在小明的前面5m處用高1.5m的測量儀CD測得的仰角為53，則電子廠AB的高度為（）

434

（參考數據：sin53，cos53，tan53）

553

A.22.7mB.22.4mC.21.2mD.23.0m

6.（2024安徽?。┤鐖D，在Rt△ABC中，ACBC2，點D在AB的延長線上，且CDAB，

則BD的長是（）

A.102B.62C.222D.226

二、填空題

5BD8

1.（2024深圳）如圖，在ABC中，ABBC，tanB，D為BC上一點，且滿足，

12CD5

CE

過D作DEAD交AC延長線于點E，則________．

AC

2.（2024內蒙古赤峰）綜合實踐課上，航模小組用無人機測量古樹AB的高度．如圖，點C處與古

樹底部A處在同一水平面上，且AC10米，無人機從C處豎直上升到達D處，測得古樹頂部B的

俯角為45，古樹底部A的俯角為65，則古樹AB的高度約為________米（結果精確到0.1米；參

考數據：sin650.906，cos650.423，tan652.145）．

3.（2024江西?。D1所示的七巧板，拼成圖2所示的四邊形ABCD，連接AC，則

tanCAB______．

4.（2024江蘇鹽城）如圖，小明用無人機測量教學樓的高度，將無人機垂直上升距地面30m的點P

處，測得教學樓底端點A的俯角為37，再將無人機沿教學樓方向水平飛行26.6m至點Q處，測得

教學樓頂端點B的俯角為45，則教學樓AB的高度約為________m．（精確到1m，參考數據：

sin370.60，cos370.80，tan370.75）

5.（2024黑龍江綏化）如圖，用熱氣球的探測器測一棟樓的高度，從熱氣球上的點A測得該樓頂部

點C的仰角為60，測得底部點B的俯角為45，點A與樓BC的水平距離AD50m，則這棟樓的

高度為______m（結果保留根號）．

6.（2024武漢市）黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點，享有“天下江山第一樓”的美譽．在一次綜合

實踐活動中，某數學小組用無人機測量黃鶴樓AB的高度，具體過程如下：如圖，將無人機垂直上升

至距水平地面102m的C處，測得黃鶴樓頂端A的俯角為45，底端B的俯角為63，則測得黃鶴樓

的高度是__________m．（參考數據：tan632）

7.（2024四川達州）如圖，在Rt△ABC中，C90．點D在線段BC上，BAD45．若

AC4，CD1，則ABC的面積是______．

8.（2024四川眉山）如圖，斜坡CD的坡度i1:2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹AB，當

太陽光與水平面的夾角為60時，大樹在斜坡上的影子BE長為10米，則大樹AB的高為______米．

三、解答題

1.（2024甘肅臨夏）乾元塔（圖1）位于臨夏州臨夏市的北山公園內，共九級，為砼框架式結構，

造型獨特別致，遠可眺太子山露骨風月，近可收臨夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立蒼穹．某校數學興

趣小組在學習了“解直角三角形”之后，開展了測量乾元塔高度AB的實踐活動．A為乾元塔的頂端，

ABBC，點C，D在點B的正東方向，在C點用高度為1.6米的測角儀（即CE1.6米）測得A

點仰角為37，向西平移14.5米至點D，測得A點仰角為45，請根據測量數據，求乾元塔的高度

AB．（結果保留整數，參考數據：sin370.60，cos370.80，tan370.75）

2.（2024甘肅威武）習近平總書記于2021年指出，中國將力爭2030年前實現碳達峰、2060年前實

現碳中和．甘肅省風能資源豐富，風力發電發展迅速．某學習小組成員查閱資料得知，在風力發電機

組中，“風電塔筒”非常重要，它的高度是一個重要的設計參數．于是小組成員開展了“測量風電塔

筒高度”的實踐活動．如圖，已知一風電塔筒AH垂直于地面，測角儀CD，EF在AH兩側，

CDEF1.6m，點C與點E相距182m（點C，H，E在同一條直線上），在D處測得簡尖頂點

A的仰角為45，在F處測得筒尖頂點A的仰角為53．求風電塔筒AH的高度．（參考數據：

434

sin53，cos53，tan53．）

553

3.（2024河北?。┲袊奶皆鹿こ碳ぐl了同學們對太空的興趣．某晚，淇淇在家透過窗戶的最高點

P恰好看到一顆星星，此時淇淇距窗戶的水平距離BQ4m，仰角為；淇淇向前走了3m后到達

點D，透過點P恰好看到月亮，仰角為，如圖是示意圖．已知，淇淇的眼睛與水平地面BQ的距

離ABCD1.6m，點P到BQ的距離PQ2.6m，AC的延長線交PQ于點E．（注：圖中所

有點均在同一平面）

（1）求的大小及tan的值；

（2）求CP的長及sinAPC的值．

4.（2024河南省）如圖1，塑像AB在底座BC上，點D是人眼所在的位置．當點B高于人的水平

視線DE時，由遠及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大．數學家研究發現：當

經過A，B兩點的圓與水平視線DE相切時（如圖2），在切點P處感覺看到的塑像最大，此時APB

為最大視角．

（1）請僅就圖2的情形證明APBADB．

（2）經測量，最大視角APB為30，在點P處看塑像頂部點A的仰角APE為60，點P到塑

像的水平距離PH為6m．求塑像AB的高（結果精確到0.1m．參考數據：31.73）．

5.（2024江蘇蘇州）圖①是某種可調節支撐架，BC為水平固定桿，豎直固定桿ABBC，活動

桿AD可繞點A旋轉，CD為液壓可．伸．縮．支撐桿，已知AB10cm，BC20cm，AD50cm．

（1）如圖②，當活動桿AD處于水平狀態時，求可伸縮支撐桿CD的長度（結果保留根號）；

3

（2）如圖③，當活動桿AD繞點A由水平狀態按逆時針方向旋轉角度，且tan（為銳角），

4

求此時可伸縮支撐桿CD的長度（結果保留根號）．

6.（2024山東威海）某校九年級學生開展利用三角函數解決實際問題的綜合與實踐活動，活動之一

是測量某護堤石壩與地平面的傾斜角．測量報告如下表（尚不完整）

課題測量某護堤石壩與地平面的傾斜角

成員組長：×××組員：×××，×××，×××

測量

竹竿，米尺

工具

說明：AC是一根筆直的竹竿．點D

測量

是竹竿上一點．線段DE的長度是

示意

點D到地面的距離．是要測量

圖

的傾斜角．

測量

數據

…………

（1）設AB=a，BCb，ACc，CEd，DEe，CDf，BEg，ADh，請根據

表中的測量示意圖，從以上線段中選出你認為需要測量的數據，把表示數據的小寫字母填寫在“測量

數據”一欄．

（2）根據（1）中選擇的數據，寫出求的一種三角函數值的推導過程．

（3）假設sin0.86，cos0.52，tan1.66，根據（2）中的推導結果，利用計算器求出

的度數，你選擇的按鍵順序為________．

7.（2024天津市）綜合與實踐活動中，要用測角儀測量天津海河上一座橋的橋塔AB的高度（如圖

①）．某學習小組設計了一個方案：如圖②，點C,D,E依次在同一條水平直線上，

DE36m,ECAB，垂足為C．在D處測得橋塔頂部B的仰角（CDB）為45，測得橋塔底

部A的俯角（CDA）為6，又在E處測得橋塔頂部B的仰角（CEB）為31．

（1）求線段CD的長（結果取整數）；

（2）求橋塔AB的高度（結果取整數）．參考數據：tan310.6,tan60.1．

8.（2024重慶市B）如圖，A，B，C，D分別是某公園四個景點，B在A的正東方向，D在A的

正北方向，且在C的北偏西60方向，C在A的北偏東30方向，且在B的北偏西15方向，AB2

千米．（參考數據：21.41，31.73，62.45）

（1）求BC的長度（結果精確到0.1千米）；

（2）甲、乙兩人從景點D出發去景點B，甲選擇的路線為：DCB，乙選擇的路線為：DAB．請

計算說明誰選擇的路線較近？

9.（2024四川樂山）我國明朝數學家程大位寫過一本數學著作《直指算法統宗》，其中有一道與蕩

秋千有關的數學問題是使用《西江月》詞牌寫的：

平地秋千未起，踏板一尺離地．

送行二步與人齊，五尺人高曾記．

仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．

良工高士素好奇，算出索長有幾？

詞寫得很優美，翻譯成現代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進

10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺．（假設秋千的繩索拉的很

直）

（1）如圖1，請你根據詞意計算秋千繩索OA的長度；

（2）如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置OA釋放，秋千擺動到另