2023年濰坊市初中學業水平考試

數學試題

注意事項：

L本試題滿分150分，考試時間120分鐘；

2.答卷前，請將試卷和答題紙上的項目填涂清楚；

3.請在答題紙相應位置作答，不要超出答題區域，不要答錯位置.

第I卷（選擇題共44分）

一、單項選擇題（共6小題，每小題4分，共24分.每小題的四個選項中只有一項正確）

1.在實數1，-1,0,灰中，最大的數是（）

A.1B.-1C.OD.72

【答案】D

【解析】

【分析】正數大于。，負數小于。，兩個正數；較大數的算術平方根大于較小數的算術平方根.

【詳解】解：2>1，???加>/=1

?*.V2>1>0>-1

故選：D.

【點睛】本題考查實數的大小比較，二次根式的化簡，掌握二次根式的性質公式是解題的關鍵.

2.下列圖形由正多邊形和圓弧組成，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根據中心對稱圖形的定義（在平面內，把一個圖形繞某點旋轉180。，如果旋轉后的圖形與另一個

圖形重合，那么這兩個圖形互為中心對稱圖形）和軸時稱圖形的定義（如果一個圖形沿一條直線折疊，直線

兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形）逐項判斷即可得.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，則此項不符合題意；

B、不是釉對稱圖形，是中心對稱圖形，則此項不符合題意；

C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，則此項不符合題意；

D、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則此項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，熟記定義是解題關鍵.

3.實數a,4c在數軸上對應的點如圖所示，下列判斷正確的是（）

ab0c

A.-c<bB.a>-cc.\a-b\=b-aD.\c-ci\=a-c

【答案】C

【解析】

【分析】根據數軸的性質可得a<〃<0<0,|4>網>|c],據此逐項判斷即可得.

【詳解】解：由數軸可知，a<〃<Ovc,同>例>同.

A、-c>b,則此項錯誤，不符合題意；

B、。<一c,則此項錯誤，不符合題意；

C、Qa-bv。,

:.\a-b\=b-af則此項正確，符合題意；

D、???c-a>0,

:.\c-a\=c-a,則此項錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了數軸、絕對值的性質，熟練掌握數軸的性質是解題關鍵.

4.在我國古代建筑中經常使用樺卯構件，如圖是某種樣卯構件的示意圖，其中，卯的俯視圖是（

a-

怦卯

?

■*.■

?■,.

OI

［美］C

【解析】

【分析】根據俯視圖的定義（從上面觀察物體所得到的視圖是俯視圖）即可得.

【詳解】解：卯的俯視圖是::,

,?

故選：C.

【點睛】本題考查了俯視圖，熟記俯視圖的概念是解題關鍵.

3

5.如圖，在直角坐標系中，一次函數X=x-2與反比例函數為=一的圖象交于A，B兩點,下列結論正確

x

的是（）

A.當x>3時，y\<y2B.當xv-l時，y\<y2

C.當Ovx<3時，y>為D.當一l<x<0時，y]<y2

【答案】B

【解析】

【分析】結合一次函數與反比例函數的圖象，逐項判斷即可得.

【詳解】解：A、當X>3時，y,>y2,則此項錯誤，不符合題意;

B、當x<—l時，y\<y2,則此項正確，符合題意；

C、當0<xv3時，則此項錯誤，不符合題意：

D、當一lvx<0時，%則此項錯誤，不符合題意：

故選：B.

【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數的圖象，熟練掌握函數圖象法是解題關鍵.

6.如圖，在直角坐標系中，菱形Q43C的頂點A的坐標為（-2,0）,ZAOC=60°.將菱形0A3C沿工軸

向右平移1個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到菱形Q4'6'C',其中點5'的坐標為（)

c.（-Ai）D.（-73,73-1）

【答案】A

【解析】

【分析】如圖，過。作軸于〃，求解。4=A5=2,A8〃0C,可得NBA"=NAOC=60。，

求解AH=O8-cos600=l,BH=d*-f=百，可得川―3,6）,再利用平移的性質可得

昨2,6-1）.

【詳解】解：如圖，過8作軸于”，

???菱形Q48C的頂點A的坐標為（一2,0）,NAOC=60。.

：,OA=AB=2,AB//OC,

???NZM”=ZAOC=60。，

:.AH=OBcos60°=LBH=\l?=百，

???可-3,@,

???將菱形043。沿x軸向右平移1個單位長度，再沿），軸向下平移1個單位長度,

:.2,5/3—；

故選A

【點睛】本題考查的是菱形的性質，勾股定理的應用，銳角三角函數的應用，圖形的平移，熟練的求解3

的坐標是解本題的關鍵.

二、多項選擇題（共4小題，每小題5分，共20分.每小題的四個選項中，有多項正確，全

部選對得5分，部分選對得3分，有錯選的得0分）

7.下列運算正確的是（）

A.^^64=4B.74=2C.（-3。丫=9。2D./.〃3=〃6

【答案】BC

【解析】

【分析】根據立方根與算術平方根、積的乘方、同底數累的乘法法則逐項判斷即可得.

【詳解】解：A、V石=—4,則此項錯誤，不符合題意；

B、〃=2,則此項正確，符合題意；

C、（一3。『=9。2,則此項正確，符合題意；

D、/.優=優，則此項錯誤，不符合題意；

故選:BC.

【點睛】本題考查了立方根與算術平方根、積的乘方、同底數某的乘法，熟練掌握各運算法貝!是解題關

鍵.

8.下列命題正確的是（）

A.在一個三角形中至少有兩個銳角

B.在圓中，垂直于弦的直徑平分弦

C.如果兩個角互余，那么它們的補角也互余

D.兩條直線被第三條直線所截，同位角一定相等

【答案】AB

【解析】

【分析】根據三角形的內角和定理、垂徑定理、互余與互補、平行線的性質逐項判斷即可得.

【詳解】解：A、在一個三角形中至少有兩個銳角，原命題正確，則此項符合題意；

B、在圓中，垂直于弦直徑平分弦，原命題正確，則此項符合題意；

C、設NA與N3互余，

」.ZA+NB=90°,

.\180o-ZA+180°-ZB=360°-90°=270°,

???如果兩個角互余，那么它們的補角也互余，命題錯誤，則此項不符合題意；

D、兩條平行直線被第三條直線所截，同位角一定相等，原命題錯誤，則此項不符合題意；

故選：AB.

【點睛】本題考查了三角形的內角和定理、垂徑定理、互余與互補、平行線的性質，熟練掌握各定理和性

質是解題關鍵.

9.已知拋物線》=加-51一3經過點(-1,4),則下列結論正確的是()

A.拋物線的開口向下

B.拋物線的對稱軸是X=』

4

C.拋物線與工軸有兩個交點

49

D.當時，關于x的一元二次方程依2-5工一3-1=0有實根

8

【答案】BC

【解析】

【分析】將點(-1,4)代入可求出一次函數的解析式,再根據一次函數的圖象與性質、一次函數與一元一次

方程的聯系逐項判斷即可得.

【詳解】解：將點(一1,4)代入—3得：。+5-3=4,解得4=2,

(sY49

y=2f-5工一3=2x——----，

“I4J8

二?拋物線的開口向上，拋物線的對稱軸是x=選項A錯誤，選項B正確；

4

方程2/一5%-3=0根的判別式△=(一5『一4x2x(-3)=49>0,

???方程2/一5%一3二0有兩個不相等的實數根，

..?拋物線與x軸有兩個交點，選項C正確：

549

由二次函數的性質可知，這個拋物線的開口向上，且當x=一時，V取得最小值-一，

48

40

.?.當——時，y=ar?-5乂-3與y=，沒有交點，

8

49

.?.當r<一時，關于X的一元二次方程依2一5工一3-，=0沒有實根，選項D錯誤；

O

故選：BC.

【點睛】本題考杳了二次函數的圖象與性質、二次函數與一元二次方程的聯系，熟練掌握二次函數的圖象

與性質是解題關鍵.

10.發動機的曲柄連桿將直線運動轉化為圓周運動，圖①是發動機的實物剖面圖，圖②是其示意圖.圖②中，

點A在直線/上往復運動，推動點4做圓周運動形成OO,A8與3。表示曲柄連桿的兩直桿，點C、。是

直線/與0。的交點；當點A運動到七時，點8到達C；當點人運動到產時，點B到達。.若八5=12,

08=5,則下列結論正確的是（）

圖I圖2

A.FC=2B.EF=\2

C.當AB與OO相切時，￡4=4D.當O3_LCD時，EA=AF

【答案】AC

【解析】

【分析】如圖，由題意可得：AB=CE=\2,AB+BO=OE=17,FD=AB=12,OC=OB=OD=5,

從而可判斷A,B,如圖，當AB與OO相切時，求解AO7AB'OB?=13，可得

EA=EO-AO=\7-\3=4,可判斷C；當QB_LC。時，如圖，可得=J12?-5?=Jj而，

AE=EO-AO=\7-y/\A9AF=AO-OF=y/l\9-2-5=-7?可判斷D；從而可得答案.

AB=CE=\2,AB+BO=OE=V7,FD=AB=\2>OC=OB=OD=5,

AFC=FD-CD=\2-\0=2,故A符合題意；

EF=CE-CF=12-2=13故B不符合題意；

如圖，當A3與。。相切時，

AO=yjAB1+OB1=13>

/.LA-EO-AO-17-\3-4,故C符合題意;

當QB_LC￡）時，如圖,

E

???AO=7122-52=VH9?

，AE=EO-AO=17-VH9?AF=AO-OF=y/\\9-2-5=yf\A9-7?

AAE^AF^故D不符合題意；

故選AC

【點睛】本題考查的是線段的和差運算，圓的切線的性質，勾股定理的應用，理解題意熟練的利用數形結

合的方法解題是關鍵.

第n卷（非選擇題共106分）

三、填空題（共4小題，每小題4分，共16分.只寫最后結果）

11.從-④、G，述中任意選舉兩個數，分別填在算式（計0）2+夜里面的“口”與中，計算該

算式的結果是.（只需寫出一種結果）

【答案】1夜一26（或4夜一2幾或白J5+6,寫出一種結果即可）

【解析】

【分析】先利用完全平方公式計算二次根式的乘法，再計算二次根式的除法即可得.

【詳解】解:①選擇—行和G，

則（-夜+6）2+&=（2-2指+3卜近

=（5-2指/拉

=5+>/2—2^6+\/2

=-V2-25/3.

②選擇和而，

-y

則（-夜+時+/=（2-2而+6卜血

=（8-2>/12）4->/2

=8-5/2-2712-5/2

=4叵-2瓜.

③選擇G和6，

?y

貝|J（G+何?&=（3+2炳+6卜加

=（9+6及）+垃

=9+夜+6夜+夜

「a+6.

2

故答案為：■|也一26（或40—2#或10+6,寫出一?種結果即可）.

【點睛】本題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的運算法則是解題關鍵.

12.用與教材中相同型號的計算器，依次按鍵^^^^^^^，顯示結果為

己己王口印叫「.借助顯示結果，可以將一元二次方程Y+x-1=0的正數解近似表示為.（精

確到0.001）

【答案】0.618

【解析】

【分析】先利用公式法求出一元二次方程的解，再根據精確度的概念即可得.

【詳解】解:一元二次方程/+工一1=（）中的〃=1力=1,。二一1,

則（二7±肝一4><1><（_1）二一］±石

12^1-—2~

所以這個方程的正數解近似表示為一"逐x―"2236067977之。618，

22

故答案為：0.618.

【點睛】本題考查了近似數、解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題關鍵.

13.投擲兩枚骰子，朝上一面的點數之和為7的概率是____.

【答案】7

6

【解析】

【分析】先畫出樹狀圖，從而可得投擲兩枚骰子，朝上一面的點數的所有等可能的結果，再找出投擲兩枚骰

子，朝上一面的點數之和為7的結果，然后利用概率公式計算即可得.

【詳解】解：由題意，畫出樹狀圖如下：

由圖可知，投擲兩枚骰子，朝上一面的點數的所有等可能的結果共有36種，其中，投擲兩枚骰子，朝上

一面的點數之和為7的結果有6和，

則投擲兩枚骰子，朝上一面的點數之和為7的概率為=!，

366

故答案：--.

6

【點睛】本題考查了利用列舉法求概率，正確畫舟樹狀圖是解題關鍵.

14.在《數書九章》（宋?秦九韶）中記載了一個測景塔高的問題：如圖所示，A8表示塔的高度，CO表

示竹竿頂端到地面的高度，耳'表示人眼到地面的高度，A8、CD、族在同一平面內，點A、C、￡在

一條水平直線上.已知AC=20米，CE=10米，CO=7米，七/=1.4米，人從點尸遠眺塔頂視線

恰好經過竹竿的頂端。，可求出塔的高度.根據以上信息，塔的高度為米.

【答案】18.2##18二

【解析】

【分析】如圖，過尸作尸。_148于。，交CD于H,可得Q”=7—1.4=5.6,證明?尸。尸臺。,

DHFH

可得----=----可得Q〃=16.8,從而可得答案.

BQFQ

【詳解】解：如圖，過尸作尸。，A8于。，交.CD于H,

則m=CE=10,QH=AC=20tFQ=AE=AC-^-CE=30fEF=CH=AQ=\A,

???DH=7-14=5.6,

B

?:DC//BA,

FDHSdFBQ.

.DHFH

''~BQ~~FQ'

105.6

,解得：Q3=16.8,經檢驗符合題意；

30QB

???48=AQ+Q8=1.4+16.8=18.2（米）；

故答案為：18.2

【點睛】本題考查的是相似三角形的實際應用，作出合適的輔助線構建相似三角形是解本題的關鍵.

四、解答題（共8小題，共90分.請寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）

…（211X2-4X+4

15.（1）化簡：--------+—―

yxx-\Jx-lx

3（x+4）>2（l-x）

（2）利用數軸，確定不等式組，E-l2x的解集.

-----<3------

23

【答案】（1）—；（2）畫圖見解析，不等式組的解集為：-2<.r<3.

x-1

【解析】

【分析】（1）先通分計算括號內的分式的減法，再通分計算分式的加法運算即可；

（2）分別解不等式組中的兩個不等式，再在數軸上表示兩個不等式的解集，再確定兩個解集的公共部分即

可.

x2-4x+4

【詳解】解:

X2-2X

2x-2-x(x-2)'

x(x-1)x(x-2)

x-2?x-2

x(x-l)X

x-2—3x+2

X(JI-1)x(x-l)

X2-2X

一傘T)

x(x-2)

、(1)

x-2

x-1,

3(x+4)>2(l-x)?

⑵②，

23

由①得：3x+12>2-2x,

解得：x>-2,

由②得：3x—3<18—4x,

解得：x<3,

兩個不等式的解集在數軸上表示如下:

-5-4-3-2-1012345

???不等式組的解集為：-2Wxv3.

【點睛】本題考查的是分式的加減運算，一元一次不等式組的解法，熟記分式的加減運算的運算法則與解

不等式組的方法與步驟是解本題的關犍.

16.如圖，在中，CO平分NAC8,重足為點E,過點E作麻〃8。、交AC于點八

G為BC的中點，連接尸G.求證：FG=^-AB.

A

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】如圖，延長AE交BC于”，證明AACEW”CE（ASA）,則AE=證明

ApApACI

^AEF^AHC,則一=—,即笠=：，解得AC=2AF\即尸是AC的中點，FG是_A5C的

ACAHAC2

中位線，進而可得尸G=,A8.

2

【詳解】證明：如圖，延長AE1交8C于〃，

???CO平分/4CB,AE1CD,

:."CE=/HCE,ZAEC=AHEC=90°,

VZACE=ZHCE,CE=CE-ZAEC=NHEC=90°,

???ACEWHCE(ASA),

：.AE=EH=-AH,

2

?：EF〃BC,

工ZAEF=ZAHC,ZAFE=ZACH,

???dAEFs..AHC,

.AF_AEAp1

即”：=不，解得AC=2AF\

'AC-7^7ACZ

???尸是AC的中點，

又?；G是8C的中點，

，R7是的中位線,

???FG=-AB.

2

【點睛】本題考查了角平分線，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，中位線.解題的關

鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

17.如圖，/是南北方向的海岸線，碼頭4與燈塔8相距24千米，海島。位于碼頭4北偏東60。方向.一-艘

勘測船從海島。沿北偏西30。方向往燈塔B行駛，沿線勘測石池資源，勘測發現位于碼頭A北偏東15。方向

的D處石油資源豐富.若規劃修建從。處到海岸線的輸油管道，則輸油管道的最短長度是多少千米？（結

【答案】（66一6）千米

【解析】

【分析】過點。作力于點M，由垂線段最短可得DM的長印為所求，先求出NACB=90。，再根

據等腰直角三角形的判定與性質可得AC=CE>,然后在RtZiABC中，解直角三角形可得AC8C的長,

從而可得BD的長，最后利用含30度角的直角三角形的性質求解即可得.

【詳解】解：如圖，過點D作。M/AB于點M,

?1北

A

由垂線段最短可知，DW的長即為所求,

由題意得：=60°,ZBAD=15°,^BCE=30°,AB//EF,AB=24千米,

..NGA。=45。，ZACF=ZBAC=6O°,ZABC=/BCE=30。,

ZACB=180°-ZACF-NBCE=90°，

.?.RL4CO是等腰直角三角形，

...AC=CD，

在RlZ\A8C中，AC=g43=12千米，8C=A8cos30。=126千米,

/.8。=8。一。。二8。一八。二（12有一12）千米，

在RtaEW中，。知="。=僅6-6）千米，

答：輸油管道的最短長度是（66-6）千米.

【點睛】本題考直了解直角三角形的應用、垂線段最短、含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握解直

角三角形的方法是解題關鍵.

18.為研究某種化學試劑的揮發情況，某研究團隊在兩種不同的場景卜.做對比實驗，收集了該試劑揮發過程

中剩余質量y（克）隨時間工（分鐘）變化的數據（04x<20）,并分別繪制在直角坐標系中，如下圖所示.

y/￡

20.(5.195)20

.(10,16).(5.16)

1515

.(10,1!)

io10

$?(15.6)

.(20.3)

.(20.1)

J510~15—20~7分計O5―10-15-町落計

場景A場景R

（1）從y=ox-十21（。30）,），=&（%H0）,丁二一0.04/+版十。?中，選擇適當的函數模型分別模擬兩

x

種場景下）'隨X變化的函數關系，并求出相應的函數表達式；

（2）查閱文獻可知，該化學試劑發揮作用的最低質量為3克.在上述實驗中，該化學試劑在哪種場景下

發揮作用的時間更長？

【答案】（1）場景A中y隨工變化的函數關系為），=-0.04.一-0.5+21,場景B中y隨x變化的函數關系

為y=-x+21

（2）場景B

【解析】

【分析】（1）由圖象可知，場景A中y隨X變化的函數關系為）：=一0.04/+法+c,將（10,16）,

（20,3）代入），=-0.04/+bx+c,進而可得），=-0.04x2-O.lx+21；場景B中y隨x變化的函數關系

為曠=火+21（。。0）,將（20,1）代入，進而可得y=-x+2l；

（2）場景A中當），=3時-，x=20；場景B中，將），=3代入y=-x+21,解得，x=24,判斷作答即

可.

【小問1詳解】

解：由圖象可知，場景A中〉隨1變化的函數關系為y=—0.04/+"+。，

,.、/、f-0.04xl02+10/?+c=16

?10,16）,（2。,3）代入尸=-0.047/+云+0,得《,，

7V7-[-0.04X202+20/?+C=3

仿=-0.1

解得《力，

c=21

Ay=-0.04x2-0.Lv4-21：

場景B中），隨工變化的函數關系為>=依+21（。w0）,

將（20,1）,代入），=or+21,得20a+21=l,解得〃=-1,

y——x+21；

【小問2詳解】

解：場景A中當y=3時，x=20；

場景B中，將y=3代入），=-x+21,得3=—x+21,解得％=24,

V24>20,

???該化學試劑在場景B下發揮作用的時間更長.

【點睛】本題考查了函數圖象，一次函數解析式，二次函數解析式.解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與

靈活運用.

19.某中學積極推進校園文學創作，倡導每名學生每學期向校報編輯部至少投1篇稿件.學期末，學校對七、

八年級的學生投稿情況進行調查.

【數據的收集與整理】

分別從兩個年級隨機抽取相同數量的學生，統計每人在本學期投稿的篇數，制作了頻數分布表.

投稿篇數（篇.）12345

七年級頻數（人）71015126

八年級頻數（人）21013214

【數據的描述與分析】

（1）求扇形統計圖中圓心角。的度數，并補全頻數直方圖.

七年級樣本學生投八年級樣本學生投

稿篇數扇形統計圖稿篇數頻數直方圖

（2）根據頻數分布表分別計算有關統計量:

統計量中位數眾數平均數方差

七年級33X1.48

八年級mn3.31.01

直接寫出表格中，〃、〃的值，并求出—

【數據的應用與評價】

（3）從中位數、眾數、平均數、方差中，任選兩個統計量，對七、八年級學生的投稿情況進行比較，并做

出評價.

【答案】（1）。=72。，見解析；（2）m=3.5,〃=4,7=3；（3）見解析

【解析】

【分析】（1）利用360。乘以七年級學生投稿2篇的學生所占百分比即可得a的值；根據八年級學生的投稿

篇數的頻數分布表補全頻數直方圖即可；

（2）根據中位數和眾數定義、加權平均數公式即可得；

（3）從中位數、眾數、平均數、方差的意義進行分析即可得.

【詳解】解：（1）兩個年級隨機抽取的學生數量為7+10+15+12+6=50（人）,

則a=3600xWxl00%=72。.

50

補全頻數直方圖如下：

八年級樣本學生投

稿篇數頻數直方圖

-1x7+2x10+3x15+4x12+5x6.

（2）x=--------------------------=3,

50

將八年級學生的投稿篇數按從小到大進行排序后，第25個數和第26個數的平均數即為其中位數，

?.-2+10+13=25,2+10+13+21=46,

3+4

?.?中位數〃?=2—=3.5,

2

???在八年級學生的投稿篇數中，投稿篇數4出現的次數最多，

二眾數〃=4.

（3）從中位數、眾數、平均數來看，八年級學生的均高于七年級學生的，而且從方差來看，八年級學生

的小于七年級學生的，所以八年級學生的投稿情況比七年級學生的投稿情況好.

【點睛】本題考杳了扇形統計圖、頻數分布表、頻數分布直方圖、中位數、眾數、平均數、方差，熟練學

握統計調查的相關知識是解題關鍵.

20.工匠師傅準備從六邊形的鐵皮底/中，裁出一塊矩形鐵皮制作工件，如圖所示.經測量，

AB//DE4?與OE之間的距離為2米，AB=3米，A/=BC=1米，NA=N8=90。，

ZC=ZF=135°.MH，1IG,GN是工匠師傅畫出的裁剪虛線.當的長度為多少時，矩形鐵皮

M7/GH的面積最大，最大面積是多少？

MN

525

【答案】當〃的長度為一米時，矩形鐵皮MNG”的面積最大，最大面積是，平方米

48

【解析】

【分析】連接。尸，分別交于點尸，交GN于點Q,先判斷出四邊形ABC/是矩形，從而可得

ZEFC=ZDCF=45°,再判斷出四邊形AMPF和四邊形BCQN都是矩形，從而可?得

PM=AF=BC=QN=1米,AM=PF,BN=CQ,MH工CF,GN上CF,然后設矩形MVG”的面積

為V平方米，MH=GN=x米,則A"=/W=(x-1)米，BN=GQ=(x-l)米,利用矩形的面積公式

可得》關于k的二次函數，最后利用二次函數的性質求解即可得.

【詳解】解：如圖，連接。尸，分別交AW于點P，交GN于點。，

AFfBC,

,??4尸=笈。=1米，

???四邊形A8Cr是平行四邊形，

又???/4=/B=90。，

???四邊形A3C/是矩形，

ZAFC=ZBCF=90°,CF//AB,

???/BCD=ZAFE=135。,

NEFC=NDCF=45。,

四邊形M7VG”是矩形，

MH±AB,GNJLAB,GN=MH,

???四邊形AMPF和四邊形8CQN都是矩形,

PM=AF=BC=QN=1米,AM=PF,BN=CQ,MH1CF,GN1CF,

.?.Rt_P切和Rt，QCG都是等腰直角三角形，

:.PH=PF,GQ=CQ,

AM=PH,BN=GQ,

設矩形MVG”的面積為）‘平方米，MH=GN=x米,則AM=P”=（1一1）米，BN=GQ=（x-l）

米，

???A3=3米，

.?.MV=A8—AW-8V=（5-2x）米，

（5V25

/.y=MHMN=x（5-2x）=-2\x-^\+j,

又「44||OE,A3與OE之間的距離為2米，A/=BC=1米，

l<x<2>

由二次函數的性質可知，當時，y隨X的增大而增大；當2<XW2時，5隨X的增大而減小，

44

525

則當工=:時，丁取得最大值，最大值為甚,

48

525

答：當的長度為一米時，矩形鐵皮MNG”的面積最大，最大面積是七平方米.

48

【點睛】本題考查了二次函數的幾何應用、矩形的判定與性質等知識點，熟練掌握二次函數的性質是解題

關鍵.

21.如圖，正方形ABC。內接于Q。，在A8上取一點E，連接AE，DE.過點A作AG_LAE,交C。

于點G,交DE于點、F,連接CG,DG.

（1）求證：△AED四△CGO；

（2）若AB=2,ZBAE=30°,求陰影部分的面積.

【答案】（1）證明見解析

乃+百一3

⑵S陰影=

【解析】

【分析】（1）如圖，連接EG,證明/EDG=/￡4G=90o=NEOC+NCr）G,再證明NADC=90。，

AD=CD,可得NAD/=NCQG,結合ND4b=NDCG,從而可得結論；

（2）如圖，連接04,0D,過”作PK_LA。于K,設RK=x,在AO上取Q,使。廠=。。，證明

ZOAE=75°,Z￡AD=30o+90o=120°,ZE4￡>=120°-90°=30°,可得A尸=2x,AK=VIr，求

解NAZ邛=180。一30。—135。=15。，而。/=。。，可得/長。/=30。，FQ=2x=QD,QK=瓜,

可得2jlr+2x=2,再求解修利用S陰影=S.c+S弓形仞進行計算即可.

【小問1詳解】

解：如圖，連接EG,

VAE±AG,則N%G=90c,

???/EDG=ZE4G=90°=ZEDC+ZCDG,

???正方形ABC。，

???ZADC=90。，AD=CD,

?\ZADF+ZEDC=90°.

:.ZADF=/CI)G,

???/DAF=/DCG,

:.4AFDqACGD.

【小問2詳解】

如圖，連接04,0D,過尸作五K_LAZ）于K，設尸K=x,在AO上取Q,使。尸=。。,

???。為正方形中心，

/.￡OAB=ZCMD=ZODA=45°,Z4QD=90。，而NB4E=30。,

:.4OAE=75°，ZEAD=300+90°=120°，

???ZE4G=90°,

???ZfXD=120°-90°=30%

??A尸=2x9AK=\/3x，

■:ZAEZ)=-ZAOD=45°,

2

???ZAFD=ZAED-^-ZEAF=450+90°=l35°，

/./ADF=180°-30°-135°=15°?而QF=QD,

??.AQFD=ZQDF=\5°,

r.Z/fQF=30°,

***FQ=2.x=QZ),QK=>/3x，

而正方形的邊長AB=2=AD，

????瓜+2x=2.

解得：x二正二1,

2

:,SAFD=^AD?FK=

VAD=2,ZAQD=90°,OA=OD,

???OA=OD=ADx2=&，

2

:.S=—x5/2xy/2=1,

AA/ivn/tny2

907rx

而q1

國形=—7T

JACW~3602

g1一百一14+后一3

S陰影=2^~2-=------2-----

【點睛】本題考查的足正多邊形與圓，圓周角定理的應用，全等二角形的判定與性質，勾股定理的應用,

含30。的直角三角形的性質，扇形面積的計算，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.

22.［材料閱讀］

用數形結合的方法，可以探究4+/+/+...+/+…的值，其中

1]

例求士+-+的值.

2⑴

方法1：借助面積為I的正方形，觀察圖①可知

/]、3

1

---+…++的結果等于該正方形的面積,

2⑴4-

方法2：借助函數），=gx+/和y=x的圖象，觀察圖②可知

見…等各條豎直線段的長度之和,

+的結果等于q,a2,a3

即兩個函數圖象的交點到工軸的距離.因為兩個函數圖象的交點（U）到/軸的距為I,

圖①

實踐應用】

完W+2

任務一的求值過程.

圖③

、3

2（722f2

方法1：借助面積為2的正方形，觀察圖③可知~+-4-十?+4-

3⑶13,5

22

方法2：借助函數），=§工+§和y=x的圖象，觀察圖④可知

因為兩個函數圖象的交點的坐標為—

22f2?9

所以，-++++4-

31313