日照市2023年初中學業水平考試數學試題

（滿分120分，時間120分鐘）

注意事項：

1.本試題分第I卷和第II卷兩部分，共6頁.答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自

己的姓名、準考證號、座號等填寫在答題卡規定的位置上.考試結束后，將本試卷和答題卡

一并交回.

2.第I卷每小題選出答案后，必須用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，先用橡皮擦干凈，再改涂其它答案標號.

3.第n卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內，在試卷

上答題不得分；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案.

第I卷（選擇題36分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的，請將符合題目要求選項的字母代號填涂在答題k相應位置上.

1.計算：2一（一3）的結果是（）

A.5B.1C.-1D.-5

【答案】A

【解析】

【分析】把減法化為加法，即可求解。

【詳解】解：2-（-3）=2+3=5,

故選A.

【點睛】本題主要考查有理數的減法運算，掌握有理數的減法法則是關鍵.

2.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一.下列窗花作品既是軸對稱圖形又是

中心對稱圖形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據軸對稱圖形和中心史稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直

線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉180。，如果旋轉后

的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心.

【詳解】解：A、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

B、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

故選A.

【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，熟知二者的定義是解題的關鍵.

3.芯片內部有數以億計的晶體管，為追求更高質量的芯片和更低的電力功耗，需要設計4積更小的晶體

管.目前:某品牌手機自主研發了最新型號芯片，其晶體管柵極的寬度為0.000000014米，將數據

0.000000014用科學記數法表示為（）

A.1.4x10-8B.14x10-7C.0.14X10-6D.1.4X109

【答案】A

【解析】

【分析】科學計數法的記數形式為：axio”，其中14al<10,當數值絕對值大于1時，兒是小數點向右移

動的位數；當數值絕對值小于1時，a是小數點向左移動的位數的相反數.

【詳解】解：0.000000014=1.4x10-8,

故選A.

【點睛】本題考查科學計數法，掌握科學計數法的記數形式是解題的關鍵.

4.如圖所示的幾何體的俯視圖可能是（）

1C

【解析】

【分析】根據從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案.

【詳解】解：從上邊看，是一個六邊形和圓形.

故選:C.

【點睛】本題考杳了簡單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖是解題關鍵.

5.在數學活動課上，小明同學將含30。角的直角三角板的一個頂點按如圖方式放置在直尺上，測得

【答案】B

【解析】

【分析】根據平行線的性質和三角形的外角性質即可求解.

【詳解】解：如圖：

???42=/BCD,

在以中，NBCD=N1+/A,

???乙4=30。，

故/2=NBCD=Nl+NA=230+30°=53。，

故選：B.

【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形的外角性質，熟練掌握以上性質是解題的關鍵.

6.下列計算正確的是()

2622222

A.笛?以3=a6B.(-2m)'=-8/wC.(x+y)=X+JD.2ab+3ab=5a^b

【答案】B

【解析】

【分析】根據整式乘法運算法則及加法法則逐一判斷即可.

【詳解】A、儲.々3=。5,故錯誤；

B、（-2〃72y=_8〃?6,故正確；

c、（x+y）2=x2+2xy+y2故錯誤；

D、2a從3a2〃不是同類項，不能合并，故錯誤；

故選:B.

【點睛】本題考查整式乘法與加法運算法則，熟記基本的運算法則是解題關鍵.

7.《九章算術》是中國古代重要的數學著作，其中“盈不足術”記載：今有共買雞，人出九，盈十一；人

出六，不足十六.問人數雞價各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出9錢，會多出11錢；每人出6錢，

又差16錢.問人數、買雞的錢數各是多少？設人數為％,可列方程為（）

A.9x+l1=6x+16B.9x-l1=6x-16C.9x+ll=6x-16D.9x-l1=6x+16

【答案】D

【解析】

【分析】設人數為x,根據每人出9錢，會多出11錢，可得雞的價格為（91一11）錢，根據每人出6錢，又

差16錢，可得雞的價格為（61+16）錢，由此列出方程即可.

【詳解】解：設人數為X,

由題意得,9x-l1=6x4-16,

故選D.

【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出?元?次方程，正確理解題意找到等量關系是解題的關鍵.

8.口照燈塔是口照海濱港II城市的標志性建筑之一，主要為口照近海及進出口照港的船舶提供導航服

務.數學小組的同學要測量燈塔的高度，如圖所示，在點8處測得燈塔最高點4的仰角/A3Q=45。，再

沿BO方向前進至C處測得最高點A的仰角NACD=60。，BC=15.3m,則燈塔的高度AO大約是

（）（結果精確到1m，參考數據：71=1.41,6*1.73）

A

BD

A.31mB.36mC.42mD.53m

【答案】B

【解析】

【分析】在RtaADB中，得出=設AO=九，則應＞=x,。。=戈-15.3,在RtaAOC中,

根據正切得出tanZACD=—=——-=G,求解即可得出答案.

CDx-15.3

【詳解】解：在RLAO4中，ZABD=45°,

:AD=BD，

設AO=x,則BD=x,CD=x-15.3,

在RLAOC中，ZACD=60°,

,i、AD

tan4Z.ACD=---=>/3,

CDx-15.3

:.x^36,

，燈塔的高度A。大約是36m.

故選:B.

【點睛】本題考查了解直角三角形中的仰俯角問題，解題的關鋌是弄清有關的直角三角形中的有關角的度

數.

9.已知直角三角形的三邊?"c滿足。＞。＞力，分別以為邊作三個正方形，把兩個較小的正方形放

置在最大正方形內，如圖，設三個正方形無重疊部分的面積為S1,均重疊部分的面積為S2,則（）

A.S[>S)B.S[<S?C.5,=s.D.4,§2大小無法確定

【答案】c

【解析】

【分析】根據題意，由勾股定理可得/+從=°2,易得/—/=〃，然后用，。分別表示S1和邑，

即可獲得答案.

【詳解】解：如下圖，

???a/,c為直角三角形的三邊，且c〉。〉8。

c23-a2=b1,

?/$=(c2-a1)-b{c-a)=b1-b(c-a)=b(a+b-c),

S2=b[h-(c-a)]=b(a+h-c),

:.S[=S2.

故選：C.

【點睛】本題主要考杳了勾股定理以及整式運算，結合題意正確表示出S1和邑是解題關鍵.

10.若關于上的方程二一-2=：7絲解為正數，則加的取值范圍是()

x-12x-2

24242

A.m>-----B.m<—C.m>——且mwOD./〃〈一且切工一

33333

【答案】D

【解析】

4-3m4—3〃z

【分析】將分式方程化為整式方程解得X=根據方程的解是正數，可得一^>(),即可求出機

2

的取值范圍.

x.3m

【詳解】解:2=

x-1---------2x-2

2x-2x2(x-l)=3m

2工一4戈+4=3，〃

-2x=3〃z-4

4—3m

x=---------

2

???方程—二-2=■:;4的解為正數，且分母不等于0

x-\2x-2

4-3m_4—3m

..------->0,x=---------#1t

22

42

m<—,且〃2#一

33

故選：D.

【點睛】此題考查了解分式方程，根據分式方程的解的情況求參數，解不等式，將方程化為整式方程求出

整式方程的解，列出不等式是解答此類問題的關鍵.

,f3a+Z?>（）

11.在平面直角坐標系屹v中，拋物線y=+歷（。H0）,滿足工+。<0，已知點（TM,（2,〃），

（4,力在該拋物線上，則〃?，〃，/的大小關系為（）

A.t<n<mB.m<t<nc.n<t<mD.n<m<t

【答案】c

【解析】

【分析】利用解不等式組可得一4且〃>0,即可判斷二次函數的對稱軸位置，再利用函數的增減

性判斷即可解題.

【詳解】解不等式組可得且。>0

所以對稱軸x=~的取值范圍在《<x<1,

由對稱軸位置可知到對稱軸的距離最近的是（2,〃），其次是（4,。，最遠的是（-3,相），

即根據增減性可得〈加，

故選C.

【點睛】本題考查二次函數的圖像和性質，求不等組的解集，掌握二次函數的圖像和性質是解題的關鍵.

12.數學家高斯推動了數學科學的發展，被數學界譽為“數學王子”，據傳，他在計算

1+2+3+4+,??+100時，用到了一種方法，將首尾兩個數相加，進而得到

1+2+3+4+?+100=100乂（廠100）人們借助于這樣的方法，得到1+2+3+4+??+〃=’"：〃）

22

（〃是正整數）.有下列問題，如圖，在平面直角坐標系中的一系列格點4E，y）,其中

/=1,2,3,，…，且可,y.是整數.記%=乙+%，如4（0,0）,即4=0,4（1,0）,即

骰=1，4（1,-1）,即%=（）」?.，以此類推.則下列結論正確的是（）

A.%O23=4OB,%儂=43C.aM）2=2n-6D.%5二2〃-4

【答案】B

【解析】

【分析】利用圖形尋找規律4“_"〃一1,〃一1）,再利用規律解題即可.

【詳解】解：第I圈有1個點，即A（o,o）,這時q=0：

第2圈有8個點，即4到

第3圈有16個點,即4至ij%（2,2）,；

依次類推，第〃圈，4“_］（〃一1〃一1）；

山規律可知；402是在第23圈上，且4202K22,22），則凝3（2°，22）即〃2023=20+22=42,故A選項

不正確：

媼4是在第23圈上，且&24（21,22）,即〃2024=21+22=43,故B選項正確；

第〃圈，所以42”1二2〃-2,故c、D選項不正確；

故選B.

【點暗】木題考查圖形與規律，利用所給的圖形找到規律是解題的關鍵.

第n卷（非選擇題84分）

二、填空題：本題共4小題，每小題3分，共12分.不需寫出解答過程，請將答案直接寫在

答題卡相應位置上.

13.分解因式：ab-ab=.

【答案】C//?（〃-1）（4+1）

【解析】

【分析】根據提取公因式法和平方差公式，即可分解因式.

【詳解】asb-ab=ab（a2-1）=ab（a+1）（?-1）>

故答案是：出?（。+1）（。-1）.

【點睛】本題主要考查提取公因式法和平方差公式，掌握平方差公式，是解題的關鍵.

14.若點M（〃?+3,〃?一l）在第四象限，則〃?的取值范圍是.

【答案】-3cme1##1>加〉-3

【解析】

【分析】根據第四象限的點橫坐標為正，縱坐標為負進行求解即可。

【詳解】解：???點M（〃2+3,〃?一l）在第四象限，

：〃+3>0

：.<，

/?-1<（）

解得一

故答案為：—3〈機<1。

【點睛】本題主要考查了根據點所在的象限求參數，解一元一次不等式組，熟知第四象限內點的符號特點

是解題的關鍵。

6—女

15.已知反比例函數），=----（女>1且女。2）的圖象與一次函數y=—7x+〃的圖象共有兩個交點，

x

且兩交點橫坐標的乘積％-x2>0,請寫出一個滿足條件的女值.

【答案】1.5（滿足1<%<2都可以）

【解析】

【分析】先判斷出一次函數y=-7x+/>的圖象必定經過第二、四象限，再根據再,工2>0判斷出反比例函

數圖象和一次函數圖象的兩個交點在同一象限，從而可以得到反比例函數的圖象經過第二、四象限，即

6-3%<0,最終選取一個滿足條件的值即可.

【詳解】解.：-7<0,

，一次函數y=—7x+〃的圖象必定經過第二、四象限，

A,-X2>0,

，反比例函數圖象和一次函數圖象的兩個交點在同一象限，

.??反比例函數、=（女>1月〃*2）的函數圖象經過第一、=象限.

x

-6—3%>0,

:?k＜2,

???Q1,

???

???滿足條件的k值可以為1.5,

故答案為：1.5（滿足1＜攵＜2都可以）.

【點睛】本題考查一次函數和反比例函數的圖形性質，解題的關犍是根據％判斷出反比例函數圖象

和一次函數圖象的兩個交點在同一象限.

16.如圖，矩形A3CO中，AB=6,AD=8,點尸在對角線50上，過點尸作MN_L8D,交邊

AD,BC于點M,N,過點M作ME1AQ交30于點E連接EN,BM,DN.下列結論：①

96

EM=EN；②四邊形的面枳不變；③當AM:MD=1:2時，=—；④BM+MN+ND

的最小值是20.其中所有正確結論的序號是__________.

【答案】②③④

【解析】

【分析】根據等腰三角形三線合一可知MP=PN,可以判斷①；利用相似和勾股定理可以得出

IsIqME

BD=10,M7V=—,,利用S蹶形皿^二萬的又“少判斷②；根據相似可以得到肥竺二

~BD

22SDAB

判斷③；利用將軍飲馬問題求出最小值判斷④.

【詳解】解：■:EM=EN,MNLBD,

:?MP=PN,

在點P移動過程中，不一定MP=PN,

相矛盾，

故①不正確；

延長ME交BC于點、H,

則為矩形,

：?BD=y/AB2+AD2=A/62+82=i0

???WE1AD，MN1BD,

???乙MED+/MDE=/MEP+乙EMN=90°,

???/MDE=zLEMN,

"MHNSQAB,

?_M__H.HNMN

6HNMN

即HltT=，

8610

915

解得：HN=二,MN=——

22

..S四邊形MBND=SBMN+SDMN=-MNxHP+-MNxDP=-MNxBD=-x—x\O=—

222222

故②正確;

■:ME//AB，

匕DMESRDAB，

MEMD2

——=——=-,

ABAD3

AME=4?

?：ZMDE=/EMN,ZMPE=ZA=90。,

???kMPEs：DAB，

4

?uMPE_=--.7

,JsDAB[BD)25

44196

??S?M1.rftOzf__<s-Z八4_x_—x6x8=

23-iMn25225

故③正確,

BM+MN+ND=BM+ND+—

2

即當M3+N。最小時，8M+MN+ND的最小值，作從關于AD、的對稱點片、D、,

9

把圖1中的cq向上平移到圖2位置，使得CD=],連接4Q,即4。為MB+M)的最小值，則

7

AC=BDi=-,叫=12,

這時初二師兩二行+⑵吟,

即BM+MN+ND的最小值是20,

故④正確；

故答案為：②?④

【點睛】本題考查矩形的性質,

相似三角形的判定和性質，軸對稱，掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵.

三、解答題：本題共6個小題，滿分72分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要

的文字說明、證明過程或演算步驟.

2o

17.(1)化簡：V8-|l->/2|+2--2xsin45;

(X2-2]x-\“1

(2)先化簡，再求值:-------X4----------其中x=

[x-2Jr-4x+42

【答案】(1).；(2)2(x—2),—5

【解析】

【分析】（1）根據平方根，絕對值，負整數指數幕，特殊角的三角函數，實數的混合運算法則進行計算即可;

⑵根據分式的性質進行化簡，再將一;代入求解即小

【詳解】（I）解：>^-|l-V2|+2-2-2xsin45o

=2>/2-(>/2-l)+^-2x^

=2V2-V2+1+--V2

4

—.5

"4

X2-2x-l

（2）解:------x

x—2,x2-4x4-4

'12-2_x(x-2)]二X-\

、工■一，-2廠(X-2)2

fx2-2x(x-2)].x-\

222

x-2-x+2xx(x-2)

x-2x-\

J(x-l)Jx-2)2

x-2x-\

=2(7)

1[1A

將工=一上代入可得，原式=2x---2=-l-4=-5.

2I2）

【點睛】本題考查了平方根，絕市值，負整數指數哥，特殊角的三角函數，實數的混合運算法則，分式的化

簡求值等，熟練掌握以上運算法則是解題的關健.

18.2023年3月22日至28日是第三十屆“中國水周”，某學校組織開展主題為“節約用水，共護母親

河”社會實踐活動.A小組在甲，乙兩個小區各隨機抽取30戶居民，統計其3月份用水量，分別將兩個

小區居民的用水量x（nd）分為5殂，第一組：5<x<7,第二組：7Wx<9,第三組：9Vx<11,第四

組：11MXV13,第五組：13<x<15,并對數據進行整理、描述和分析，得到如下信息:

信息一：

用小區3月份用水量頻數分布表

注水量（x/m）頻數（戶）

5<x<74

7Vx<99

9Kx<1110

ll<x<135

13<x<152

乙小區3月份用水用頻數分布直方圖

2

0

8

6

4

2

0

信息二：甲、乙兩小區3月份用水量數據的平均數和中位數如下:

甲小區乙小區

平均數9.09.1

中位數9.2a

信息三:乙小區3月份用水量在第三組的數據為：9,9.2,9.4,9.5,9.6,9.7,10,10.3,10.4,10.6.

根據以上信息，回答下列問題：

（1）a=；

（2）在甲小區抽取的用戶中，3月份用水量低于本小區平均用水量的戶數所占百分比為乙，在乙小區抽

取的用戶中，3月份用水量低于本小區平均用水量的戶數所占百分比為。2,比較3大小，并說明理

由；

（3）若甲小區共有6（X）戶居民，乙小區共有750戶居民，估計兩個小區3月份用水量不低于13m3的總戶

數：

（4）因任務安排，需在B小組和C小組分別隨機抽取1名同學加入A小組，已知B小組有3名男生和1

名女生，C小組有2名男生和2名女生，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的兩名同學都是男生的概

率.

【答案】(1)9.1

(2)b?>b\,理由見解析

(3)甲小區有40戶,乙小區有50戶

⑷-

8

【解析】

【分析】(1)根據中位數的定義進行計算即可；

(2)根據題意分別求出3月份用水量低于平均數戶數，再計算進行比較即可；

(3)用總戶數乘以不低于13m3所占的比例即可求解；

(4)畫樹狀圖，共有16種等可能的結果，其中抽取的兩名同學都是男生的結果有8種，再由概率公式求解

即可.

【小問1詳解】

解：???隨機抽取了30戶居民，

故中位數是數據從小到大排列的第15個和第16個的平均數；

根據條形統計圖可知：用水量在的有3戶，用水量在的有II戶，用水量在94人<11的

有10戶，用水量在11KXV13的有4戶，用水量在13WXV15的有2戶，故中位數是在第三組中，且是

第三組中第1個和第2個的平均數，

。乙小區3月份用水量在第三組的數據為:9,9.2,9.4,9.5,9.6,9.7,10,10.3,10.4,10.6.

9+92

，乙小區3月份用水量的中位數是-=9.1；

2

故答案為：9.1.

【小問2詳解】

解：在甲小區抽取的用戶中，3月份用水量的平均數為：9.0；

低于本小區平均用水量的戶數為4+9=13(戶)，

故在甲小區抽取的用戶中，3月份用水量低于本小區平均用水量的戶數所占百分比為點=43.3%,即

4=43.3%；

在乙小區抽取的用戶中，3月份用水量的平均數為：9.1；

低于本小區平均用水量的戶數為3+11+1=15(戶)，

故在乙小區抽取的用戶中，3月份用水量低于本小區平均用水量的戶數所占百分比為e=50%,即

優=50%；

???50%>43.3%,

故與>印.

【小問3詳解】

2

解:甲小區3月份用水量不低于13m3的總戶數為600x^=40(戶),

30

9

乙小區3月份用水量不低于13m,的總戶數為750x^=50(戶),

即甲小區3月份用水量不低于131n3總戶數有40戶，乙小區3月份用水量不低于13m3的總戶數有50

戶.

【小問4詳解】

解：畫樹狀圖如圖：

共有16種等可能的結果，其中抽取的兩名同學都是男生的結果有6種，

???抽取的兩名同學都是男生的概率為17=].

16o

【點睛】本題考查了用樹狀圖法求概率，中位數，條形統計圖，用樣本估計總體等，樹狀圖法可以不重復

不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點為：概率二所求情況數

與總情況數之比.

19.如圖，平行四邊形4BC。中，點七是對角線AC上一點,連接BE,DE,且BE=DE.

AD

A/

BC

(1)求證：四邊形A8CO是菱形；

(2)若A3=10,tanNB4C=2,求四邊形ABC。的面積.

【答案】(1)證明見解析

(2)80

【解析】

【分析】(1)如圖所示，連接8D與AC交于。，先由平行四邊形對角線互相平分得到03=。。，再利

用SSS證明cAOE四乙。。石得到NE03=NE。。，進而證明△4O0ZX。。。，得到笈C=OC,由此

即可證明平行四邊形A8CO是菱形；

(2)先由菱形的性質得到ACLLBO,AC=2OABD=2OB,再解RtZ^AOB,得到。8=2。4,利

用勾股定理求出0A=26，則4c=4相，BD=8后，則S0L邊形A8S=^ACBD=SO.

【小問1詳解】

證明：如圖所示，連接80與4c交于。，

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：?OB=OD,

在aBO石和J>OE中,

OB=OD

-OE=OEf

BE=DE

??.△BOEHDOE(SSS),

???/EOB=/EOD,

在上OC和△DOC中,

OB=OD

ZBOC=/DOC,

OC=OC

???ABOC^ADOC(SAS),

BC=DC,

???平行四邊形H8CO是菱形;

【小問2詳解】

解：???四邊形A8CO是菱形,

AACLBD,AC=2(24,BD=2OB,

OR

在RtZ\40B中，tanZBAO=tanABAC=——=2,

OA

OB=20A，

■:OB2+OA2=AB2，

:.401+042=]02,

AOA=2>/5（負值舍去），

，AC=OB=2OA=4&

???BD=208=8x/5，

?,?…=；AC"=gxg46=80.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質與判定，平行四邊形的性質，解直角三角形，全等三角形的性質與判

定，勾股定理等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵.

20.要制作200個A,8兩種規格的頂部無蓋木盒，A種規格是長、寬、高都為20cm的正方體無蓋木盒，

8種規格是長、寬、高各為20cm,20cm,10cm的長方體無蓋木盒，如圖1.現有200張規格為

40cmx40cm的木板材，對該種木板材有甲、乙兩種切割方式，如圖2.切割、拼接等板材損耗忽略不

計.

20

容々20

AB甲加切割乙片切割

（1）設制作A種木盒x個，則制作8種木盒__________個；若使用甲種方式切割的木板材），張，則使用

乙種方式切割的木板材張;

（2）該200張木板材恰好能做成2（X）個A和8兩種規格的無蓋木盒，請分別求出A,8木盒的個數和使用

甲，乙兩種方式切割的木板材張數；

（3）包括材質等成本在內，用甲種切割方式的木板材每張成本5元，用乙種切割方式的木板材每張成本8

元.根據市場調研，A種木盒的銷售單價定為。元，S種木盒的銷售單價定為20--C7元，兩種木盒的

銷售單價均不能低于7元，不超過18元.在（2）的條件下，兩種木盒的銷售單價分別定為多少元時，這

批木盒的銷售利潤最大，并求出最大利潤.

【答案】⑴（200-司，（200-y）

（2）制作A種木盒10（）個，8種木盒10（）個；使用甲種方式切割的木板150張，使用乙種方式切割的木板

50張

（3）A種木盒的銷售單價定為18元，8種木盒的銷售單價定為11元時，這批木盒的銷售利潤最大，最大

利潤為1750元

【解析】

【分析】（1）根據題意即可求解；

（2）根據題意可得，制作一個A種木盒需要長、寬均為20cm的木板5個，制作一個B種木盒需要長、寬

均為20cm的木板1個，長為10cn）,寬為20cm的木板4個；甲種方式可切割長、寬均為20cm的木板4個，

乙種方式可切割長為10cm、寬為20cm的木板8個；列關系式求解即可；

（3）先根據（2）中數據求得總成本金額，根據利潤:售價-成本列式，根據一次函數的性質進行求解即可.

【小問1詳解】

解：???要制作200個A,4兩種規格的頂部無蓋木盒，制作A種木盒x個，

故制作8種木盒（2（X）7）個；

???有2（X）張規格為40cmx40cm的木板材，使用甲種方式切割的木板材y張，

故使用乙種方式切割的木板材（200-），）張；

故答案為:（200-x）,（200-y）.

【小問2詳解】

解：使用甲種方式切割的木板材J張，則可切割出力個長、寬均為20cm的木板，

使用乙種方式切割的木板材（200—y）張，則可切割出8（200—y）個長為10cm、寬為20cm的木板；

設制作A種木盒x個，則需要長、寬均為20cm的木板個，

制作8種木盒（200-1）個，則需要長、寬均為20cm的木板（200-工）個，需要長為10劭、寬為20cm

的木板4（2007）個；

[4），=5x+（2（）0-力

故《、、

[8（200-y）=4（2007）

[x=100

解得：

j=150

故制作A種木盒100個，制作8種木盒100個，

使用甲種方式切割的木板150張，使用乙種方式切割的木板材50張，

【小問3詳解】

解：???用甲種切割方式的木板材每張成本5元，用乙種切割方式的木板材每張成本8元，且使用甲種方式

切割的木板150張，使用乙種方式切割的木板材50張，

故總成本為150x5+8x50=1150（元）；

???兩種木盒的銷售單價均不能低于7元，不超過18元,

；7<6/<18

即！1,

7<20——?<18

2

7<?<18

解得:

4<6/<26

故c的取值范圍為74。418；

設利潤為w,則iv=lOOtz+lOol20--6Z|-1150,

[2）

整理得：卬=850+50。，

???k=50>0,故w隨，的增大而增大，

故當4=18時:卬有最大值，最大值為850+50x18=1750,

則此時8種木盒的銷售單價定為20—1xl8=ll（元），

即A種木盒的銷售單價定為18元，8種木盒的銷售單價定為11元時，這批木盒的銷售利潤最大，最大利

潤為1750元.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一次函數的應用，一次函數的性質，一元一次不等式組的應

用，根據題意找出等量關系進行列式是解題的關鍵.

21.在探究“四點共圓的條件”的數學活動課上，小霞小組通過探究得出：在平面內，一組對角互補的四

邊形的四個頂點共圓.請應用此結論.解決以下問題：

如圖1,。中，AB=AC,ABAC=a（60。<。<180°）.點。是8C邊上的一動點（點。不與

B,c重合），將線段AO繞點A順時針旋轉a到線段AE，連接8石.

（1）求證：4,E,B,。四點共圓；

（2）如圖2,當AO=C。時，。是四邊形AE8Q的外接圓，求證：AC是的切線；

（3）已知a=120。，3c=6,點M是邊3c的中點，此時0P是四邊形AE3O的外接圓，直接寫出圓

心p與點”距離的最小值.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析（3）上

2

【解析】

【分析】（I）根據旋轉的性質得到AE=AD4DAE=a，證明/84E=NC，D,進而證明

LABE/ACD,可以得到NAEB=NA￡）C,由NADC+/W8=180。，可得

ZAEB+ZADB=\80°,即可證明A、B、。、E四點共圓：

（2）如圖所示，連接OA,OD,根據等邊對等角得到NABC=NAC3=NDAC,由圓周,角定理得到

ZAOD=2ZABC=2ZDAC,再由OA=8,得到NQ4O=NOD4,利用三角形內角和定理證明

ND4C+NO4D=90。，即NO4C=90。，由此即可證明AC是O。的切線；

（3）如圖所示，作線段A3的垂直平分線，分別交46、8C于G、F,連接AM，先求出

ZB=ZC=30°,再由三線合一定理得到BM=CM=!“C=3,AM1BC,解直角三角形求出

AB=26則==再解Rt：3G/得到8r二2，則同0=1；由是四邊形AEBO的

外接圓，可得點。一定在A5的垂直平分線上，故當MP_LG/^寸，PM有最小值，據此求解即可.

【小問1詳解】

證明：由旋轉的性質可得AE=A。，ZDAE=a,

：.ZBAC=ZDAE,

???ABAC-/BAD=ZDAE-/BAD,即ZBAE=ZCAD,

又A3=AC,

??.AABE^A^CD（SAS）,

???ZAEB=ZADC,

??,ZADC+ZADB=180%

???ZAE8+ZAO4=180。，

??/、B、D、￡四點共圓；

【小問2詳解】

證明：如圖所示，連接OA,OD,

'：AB=AC,AD=CD,

???/ABC=ZACB=ZDAC,

???QO是四邊形AEBD的外接圓，

???ZAOD=2ZABC,

???ZAOD-2ZABC-2ZDAC,

?：OA=OD,

，^OAD=ZODA,

???NOAD+NODA+ZAOD=180。，

???2ZDAC+2ZOAD=180。，

???ZDAC+ZOAD=90°,即ZOAC=90°,

???OAJ_AC,

又1?。4是G)O的半徑，

???AC是O的切線；

【小問3詳解】

圖2

解：如圖所示，作線段A3的垂直平分線，分別交A3、4C于G、F,連接AM，

VAB=AC,NR4C=120。，

???ZB=ZC=30°,

???點M是邊BC的中點,

:.BA4=CM=-BC=3,AMIBC,

2

：.AB=-=20,

cosB

BG=—AB=5/3,

2

在RlaBG/中，8尸=0-=2,

cosn

???(P是四邊形AE8。的外接圓,

???點P一定在AB的垂直平分線二,

，點P在直線G廠上,

???當M/LLG/時，PM有最小值，

???/PFM=ZBFG=90°-ZB=60°,

???在RtZSM/77中，PM=MF.sin/PFM=旦,

2

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，等邊對等角，解直角三角形，圓周角定理，切線的判定，三角形外

接圓的性質，垂線段最短等等，正確作出輔助線是解題的關鍵.

22.在平面直角坐標系M7.V內，拋物線丁=一方2+5方+2（。〉0）交y軸于點C,過點。作工軸的平行線

交該拋物線于點D.

（1）求點C，。的坐標；

（2）當“二:時，如圖1,該拋物線與x軸交于A,B兩點（點A在點B的左側），點P為直線上方拋

物線上一點，將直線尸。沿直線翻折，交x釉于點“（4,0）,求點P的坐標；

（3）坐標平面內有兩點七一，。-1,F（5,?+1）,以線段石F為邊向上作正方形EFG”.

①若a=1,求正方形EFGH的邊與拋物線的所有交點坐標：

②當正方形EFGH的邊與該拋物線有且僅有兩個交點，且這兩個交點到x軸的距離之差為六時，求。的

值.

【答案】⑴C（0,2）,D（5,2）

（2）P用

⑶①（L6）.（4,6）,（5,2）：②〃=0.5

【解析】

【分析】（1）先求出。（0,2）,再求出拋物線對稱軸，根據題意可知C、。關于拋物線對稱軸對稱，據此求

出點。坐標即可；

（2）先求出4（-1,0）,如圖，設。尸上與點M關于直線AQ對稱的點為N（m,〃），由軸對稱的性質可

(機+行+〃2=[4-(-1)丁

得AN=AM,DN=DM,利用勾股定理建立方程組（L」，解得加=3

(m-5)2+(?-2)2=(5-4)2+22

或〃2二4（舍去），則N（3,3）,求出直線。戶的解析式為>，=一;x+|,然后聯立

19

y=——X+—（⑸

?2:2,解得，x=53

，則P?；

2（24；

y=——x2+—x+2y=

-3