第一章函數(shù)、極限與連續(xù)PARTEIGHT第八節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解函數(shù)連續(xù)的概念(含左連續(xù)與右連續(xù))，會判別函數(shù)間斷點的類型.

2.掌握連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

3.掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理(包括零點定理)，并會應(yīng)用這些性質(zhì).

4.理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會利用連續(xù)性求極限.一、函數(shù)的連續(xù)與間斷f(x0)f(x0+Dx)DxDyx0+Dxy=f(x)x0xyO

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某一個鄰域內(nèi)是有定義的．當(dāng)自變量x

在這鄰域內(nèi)從x0變到x0+Dx時，函數(shù)

y

相應(yīng)地從f(x0)變到f(x0+Dx)，因此函數(shù)y的對應(yīng)增量為Dy

=f(x0+Dx)-f(x0)．

設(shè)變量u

從它的一個初值u1變到終值u2，終值與初值的差u2-u1就叫作變量u

的改變量，也叫增量，記作Du

，即Du

=u2-u1．（一）函數(shù)的改變量:1.函數(shù)在某點處連續(xù)的定義2.左、右連續(xù)的關(guān)系例2證明：由定義2知，（三）函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性（四）函數(shù)的間斷點1x-1

因為當(dāng)x

0時，函數(shù)值在-1與+1之間變動無限多次，所以點x=0是函數(shù)sinx1的間斷點．解：二、

連續(xù)函數(shù)的運算法則與反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的連續(xù)性（一）連續(xù)函數(shù)的四則運算（二）反函數(shù)的連續(xù)性（三）復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性例17由定理3得：三角函數(shù)：sinx

，cosx

，tanx

，cotx

；（四）初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)的連續(xù)函數(shù)：反三角函數(shù)：arcsinx

，arccosx

，arctanx

，arccotx

；指數(shù)函數(shù)：a

x

(a>0，a

1)；對數(shù)函數(shù)：log

ax(a>0，a

1)；

指數(shù)函數(shù)ax

(a>0，a

1)對于一切實數(shù)x都有定義，且在區(qū)間(-

，+

)內(nèi)是單調(diào)的和連續(xù)的，它的值域為(0，+

)．由定理4得，對數(shù)函數(shù)logax(a>0，a

1)作為指數(shù)函數(shù)ax的反函數(shù)在區(qū)間(0，+

)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)．因此，冪函數(shù)xm可看作是由y=au

，u=mlogax

復(fù)合而成的，由此，根據(jù)定理6，它在(0，+

)內(nèi)連續(xù)．如果對于m取各種不同值加以分別討論，可以證明冪函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的．冪函數(shù)連續(xù)性的證明：冪函數(shù)y=x

m

的定義域隨m的值而異，但無論m為何值，在區(qū)間(0，+

)內(nèi)冪函數(shù)總是有定義的．可以證明，在區(qū)間(0，+

)內(nèi)冪函數(shù)是連續(xù)的．事實上，設(shè)x>0，則結(jié)論1：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的．結(jié)論2：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．注：所謂定義區(qū)間，就是包含在定義域內(nèi)的區(qū)間．三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)介值定理例23證由零點定理,介值定理例26證明：由零點定理,

課堂小結(jié)四個定理有界性定理;最值定理;介值定理;根存在性定理.