2024-2025學年高中數學第三章導數及其應用3.3導數在研究函數中的應用3.3.3函數的最大（小）值與導數教學實錄文新人教A版選修1-1主備人備課成員課程基本信息1.課程名稱：2024-2025學年高中數學第三章導數及其應用3.3導數在研究函數中的應用3.3.3函數的最大（小）值與導數

2.教學年級和班級：高一年級（1）班

3.授課時間：2024年10月12日上午第三節課

4.教學時數：1課時核心素養目標分析1.數學抽象：培養學生從具體情境中抽象出函數關系，理解導數的概念，并能用導數表示函數在某一點的瞬時變化率。

2.邏輯推理：通過導數的定義和性質，引導學生運用推理和歸納的方法，理解函數極值的判定條件。

3.數學建模：通過實際問題，讓學生學會運用導數模型解決函數的最大值和最小值問題，提高建模能力。

4.直觀想象：培養學生通過圖形直觀地理解函數變化趨勢，提高空間想象力和幾何直觀能力。

5.數學運算：在計算導數和求解極值的過程中，提高學生的運算能力，培養準確、高效的計算習慣。學習者分析1.學生已經掌握了哪些相關知識：

學生在進入本節課之前，已經學習了函數的基本概念、函數的圖像與性質，以及極限的基本概念。他們能夠理解和運用函數的單調性、奇偶性等性質。此外，學生已經具備了解決一些簡單函數問題，如求函數的定義域、值域和反函數等的能力。

2.學生的學習興趣、能力和學習風格：

高中一年級學生對數學學科普遍具有好奇心和探索欲，對函數和導數等概念表現出一定的興趣。學生的學習能力方面，部分學生能夠迅速理解和應用新知識，而另一些學生可能需要更多的指導和練習。學習風格上，有的學生偏好通過圖形直觀理解概念，有的則更傾向于通過公式和邏輯推理來學習。

3.學生可能遇到的困難和挑戰：

學生在理解導數的概念時可能會遇到困難，因為導數涉及極限的思想，需要抽象思維。此外，學生在運用導數求解函數極值時，可能會遇到如何確定極值點、如何判斷極值類型等問題。在計算導數時，學生可能會遇到運算錯誤或難以處理復雜函數的情況。因此，教學中需要注重引導學生逐步建立導數的概念，并通過實例幫助學生理解導數在實際問題中的應用。學具準備Xxx課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學方法與手段教學方法：

1.講授法：通過系統的講解，幫助學生建立導數的概念框架，解釋導數的基本性質和應用。

2.討論法：組織學生就函數極值問題進行小組討論，鼓勵學生提出問題并共同解決，提高合作學習能力。

3.案例分析法：選取典型實例，引導學生分析函數在特定條件下的最大值和最小值，增強問題解決能力。

教學手段：

1.多媒體展示：利用PPT展示函數圖像和導數的變化，直觀展示導數在函數中的應用。

2.動畫演示：通過動畫演示導數的幾何意義，幫助學生理解導數與函數圖形的關系。

3.互動軟件：使用教學軟件進行導數計算和函數極值求解的練習，提高學生的實踐操作能力。教學過程一、導入新課

（教師）同學們，我們之前學習了函數的單調性和奇偶性，這些性質對于理解函數的行為非常重要。今天，我們將進一步探討函數的另一個重要特性——極值。極值是函數在某個區間內的最大值或最小值，它們在數學建模和實際問題中有著廣泛的應用。那么，如何找到函數的極值呢？這就需要我們引入一個新的概念——導數。

（學生）老師，什么是導數呢？

（教師）導數是描述函數在某一點處變化快慢的量，它可以幫助我們找到函數的極值。接下來，我們將通過本節課的學習，了解導數的概念、性質以及如何利用導數來研究函數的極值。

二、新課講授

1.導數的概念

（教師）首先，我們來回顧一下導數的定義。導數是函數在某一點處的瞬時變化率，用數學語言來說，就是函數在某一點的導數等于該點處切線的斜率。

（學生）老師，那如何求一個函數在某一點的導數呢？

（教師）求導數的方法有很多，比如直接求導、鏈式求導、乘積法則等。接下來，我們將通過一個例子來學習如何求導。

（教師）舉例：求函數f(x)=x^2在x=1處的導數。

（學生）f'(1)=2x，所以f'(1)=2。

（教師）很好，這就是函數f(x)=x^2在x=1處的導數。現在，請大家嘗試求函數f(x)=x^3在x=2處的導數。

（學生）f'(x)=3x^2，所以f'(2)=12。

2.導數的性質

（教師）導數具有很多性質，這些性質可以幫助我們更好地理解導數。下面，我將介紹幾個重要的導數性質。

（教師）舉例：證明導數的可導性。

（學生）證明過程略。

（教師）接下來，請大家嘗試證明導數的線性性質。

（學生）證明過程略。

3.利用導數研究函數的極值

（教師）現在，我們已經了解了導數的概念和性質，接下來，我們將學習如何利用導數來研究函數的極值。

（教師）舉例：求函數f(x)=x^3-3x在區間[-2,2]上的極值。

（學生）首先，求導數f'(x)=3x^2-3。

（學生）然后，令f'(x)=0，解得x=±1。

（學生）接下來，我們分別計算f(-1)和f(1)的值。

（學生）f(-1)=-1^3-3(-1)=2，f(1)=1^3-3(1)=-2。

（教師）很好，所以函數f(x)=x^3-3x在區間[-2,2]上的極值為f(-1)=2和f(1)=-2。

三、課堂練習

1.求下列函數的導數：

(1)f(x)=2x^3-3x^2+4

(2)g(x)=e^x-x

2.求下列函數在指定點的導數：

(1)f(x)=x^2+2x+1，求f'(0)

(2)g(x)=ln(x)，求g'(1)

3.利用導數求下列函數在指定區間上的極值：

(1)f(x)=x^3-3x^2+4x-1，求f(x)在區間[-1,3]上的極值

(2)g(x)=x^2-4x+3，求g(x)在區間[0,4]上的極值

四、課堂小結

（教師）今天我們學習了導數的概念、性質以及如何利用導數來研究函數的極值。導數是研究函數變化的重要工具，希望大家能夠熟練掌握。在今后的學習中，我們要注意以下幾點：

1.理解導數的概念，掌握求導的方法。

2.熟悉導數的性質，能夠運用導數解決實際問題。

3.學會利用導數研究函數的極值，提高問題解決能力。

五、布置作業

1.復習本節課所學內容，完成課后習題。

2.查閱資料，了解導數在物理學、經濟學等領域的應用。

六、課堂反思

（教師）本節課通過講解、討論、練習等多種教學方式，幫助學生掌握了導數的概念、性質以及如何利用導數研究函數的極值。在教學過程中，我注重啟發學生思考，引導學生積極參與課堂活動。同時，我也發現了一些問題，如部分學生對導數的概念理解不夠深入，需要加強個別輔導。在今后的教學中，我將針對這些問題，采取更有針對性的教學方法，提高學生的學習效果。學生學習效果學生學習效果主要體現在以下幾個方面：

1.理解導數的概念：

學生通過本節課的學習，能夠清晰地理解導數的概念，知道導數是描述函數在某一點處變化快慢的量，是函數在某一點處的瞬時變化率。他們能夠區分導數與平均變化率的關系，理解導數在函數圖像上的幾何意義。

2.掌握求導方法：

學生在課堂練習和作業中，學會了多種求導方法，包括直接求導、鏈式求導、乘積法則和商法則等。他們能夠熟練地運用這些方法對簡單函數進行求導，為后續學習打下堅實的基礎。

3.應用導數解決實際問題：

學生通過實例分析和課堂練習，學會了如何利用導數來研究函數的極值。他們能夠識別函數的極值點，判斷極值的類型，并能夠解決一些實際問題，如優化問題、最值問題等。

4.提高數學思維能力：

在學習導數的過程中，學生需要運用抽象思維和邏輯推理能力。通過本節課的學習，學生的數學思維能力得到了提升，他們能夠更好地理解數學概念，并能夠運用這些概念解決更復雜的數學問題。

5.增強數學應用意識：

學生在學習導數及其應用的過程中，逐漸形成了數學應用意識。他們認識到數學不僅是一門理論學科，更是一門應用學科，能夠在實際問題中運用數學知識解決問題。

6.提高自主學習能力：

通過本節課的學習，學生學會了如何自主學習數學知識。他們能夠查閱資料，了解導數在各個領域的應用，并能夠通過小組討論和合作學習來共同解決問題。

7.培養團隊合作精神：

在課堂練習和小組討論中，學生學會了如何與他人合作。他們能夠傾聽他人的觀點，尊重他人的意見，并在團隊中發揮自己的作用，共同完成任務。

8.增強解決問題的信心：

通過成功解決一些導數相關的實際問題，學生增強了解決問題的信心。他們相信自己能夠運用所學的數學知識解決實際問題，這種信心對于他們未來的學習和生活都是有益的。課后拓展1.拓展內容：

（1）閱讀材料：《數學分析導論》中關于導數定義和性質的章節，幫助學生深入理解導數的理論背景和應用。

（2）視頻資源：數學教育頻道中的“導數及其應用”系列視頻，通過動畫和實例講解導數的概念和應用，提高學生的直觀理解能力。

（3）在線互動平臺：利用如“數學之友”等在線學習平臺，提供互動式學習工具和練習題，讓學生在互動中鞏固所學知識。

2.拓展要求：

（1）閱讀材料：

-鼓勵學生在課后閱讀《數學分析導論》中關于導數定義和性質的章節，重點理解導數的定義、導數的幾何意義以及導數的性質。

-要求學生完成至少兩道與閱讀材料相關的思考題，如“導數在物理中的應用”或“導數在經濟學中的模型構建”等，以加深對導數概念的理解。

（2）視頻資源：

-觀看數學教育頻道中的“導數及其應用”系列視頻，特別關注視頻中的實例分析和問題解決過程。

-完成視頻后的練習題，通過實際操作來檢驗對導數應用的理解。

（3）在線互動平臺：

-學生可以登錄“數學之友”等在線學習平臺，參與導數相關的在線討論和練習。

-鼓勵學生至少完成五道在線練習題，并嘗試解決至少一個平臺提供的挑戰性問題。

3.教師指導與幫助：

-教師將提供《數學分析導論》的章節摘要和關鍵知識點，幫助學生更好地閱讀和理解。

-對于學生在閱讀或觀看視頻過程中遇到的疑問，教師將安排專門的答疑時間，確保學生能夠及時解決困惑。

-教師將推薦一些相關的數學論壇或社交媒體群組，讓學生在這些平臺上交流學習心得和問題解答。

4.拓展活動建議：

-組織學生進行小組討論，分享他們在閱讀材料、觀看視頻和在線練習中的發現和疑問。

-安排一次小型的學術報告會，讓學生就導數在某個特定領域的應用進行演講和討論。

-設計一個基于導數的數學競賽，鼓勵學生運用所學知識解決實際問題，提高他們的數學應用能力。內容邏輯關系①本文重點知識點：

①導數的定義：函數在某一點處的瞬時變化率。

②導數的幾何意義：函數在某一點處的切線斜率。

③導數的性質：可導性、連續性、可微性等。

②本文重點詞句：

①“導數是函數在某一點處的瞬時變化率。”

②“導數的幾何意義是函數在某一點處的切線斜率。”

③“函數在某一點可導，則在該點連續。”

③本文重點知識點與詞句之間的關系：

①導數的定義是本文的核心知識點，它為后續的導數性質和應用奠定了基礎。

②導數的幾何意義通過切線斜率這一詞句，將導數的概念與幾何直觀聯系起來，幫助學生更好地理解。

③導數的性質如可導性、連續性等，通過詞句“函數在某一點可導，則在該點連續”來闡述，體現了導數性質之間的邏輯關系。課堂1.課堂評價：

（1）提問環節：

-通過提問，教師可以即時了解學生對導數概念的理解程度。例如，教師可以提出問題：“什么是導數？導數在幾何上有什么意義？”

-觀察學生的回答，注意他們的語言表達、邏輯思維和自信心。對于回答正確的學生，給予肯定和鼓勵；對于回答錯誤的學生，耐心引導，幫助他們找到錯誤的原因。

（2）課堂活動：

-組織學生進行小組討論，讓他們在小組內分享對導數概念的理解，以及如何應用導數解決實際問題。

-觀察學生在小組活動中的參與度、合作能力和解決問題的能力。

（3）測試環節：

-在課堂結束時，進行簡短的測試，包括選擇題、填空題和簡答題，以評估學生對導數概念和性質的記憶和理解。

-測試后，及時批改試卷，分析學生的答題情況，了解他們在哪些知識點上存在困難。

2.作業評價：

（1）作業批改：

-對學生的作業進行認真批改，確保每個學生的作業都得到反饋。

-重點關注學生的解題過程，而不是僅僅關注答案的正確性。

-對于作業中的錯誤，給出具體的指導和糾正，幫助學生理解錯誤的原因。

（2）反饋與鼓勵：

-及時反饋學生的學習效果，對于作業中表現良好的學生給予表揚和鼓勵。

-對于作業中存在的問題，提供個性化的反饋，幫助學生改進學習方法。

-鼓勵學生在遇到困難時主動尋求幫助，培養他們的自主學習能力。

（3）作業分析：

-定期分析學生的作業情況，了解班級整體的學習進度和存在的問題。

-根據作業分析結果，調整教學策略，確保教學內容的針對性和有效性。反思改進措施反思改進措施（一）教學特色創新

1.實踐與理論相結合：在教學中，我嘗試將抽象的導數概念與具體的實際問題相結合，讓學生通過解決實際問題來理解導數的應用，這樣的教學方式既提高了學生的興趣，