第1頁/共1頁2024~2025學年度第一學期期末學情分析樣題九年級數學注意事項：1．本試卷共6頁．全卷滿分120分．考試時間為120分鐘．考生答題全部答在答題卡上，答在本試卷上無效．2．請認真核對監考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名、考試證號是否與本人相符合，再將自己的姓名、考試證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上．3．答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對應的答案標號涂黑．如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其他位置答題一律無效．4．作圖必須用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚．一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1.下列函數中，是二次函數的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查二次函數的定義，熟練掌握其定義是解題的關鍵．一般地，形如是常數，的函數，叫做二次函數，據此進行判斷即可．【詳解】解：不符合二次函數的定義，它們不是二次函數；符合二次函數的定義，它是二次函數；故選：B．2.如圖，某天氣預報軟件顯示“仙游明天的降水概率為”對這條信息的下列說法中，正確的是（）A.仙游明天將有85%的時間下雨 B.仙游明天將有85%的地區下雨C.仙游明天下雨的可能性較大 D.仙游明天下雨的可能性較小【答案】C【解析】【分析】根據概率表示事件發生的可能性大小，進行作答即可．【詳解】解：天氣預報軟件顯示“仙游明天的降水概率為”，說明仙游明天下雨的可能性較大；故選C．【點睛】本題考查概率的意義．熟練掌握概率表示事件發生的可能性大小，是解題的關鍵．3.某學校九年級1班九名同學參加定點投籃測試，每人投籃六次，投中的次數統計如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，這組數據的中位數、眾數分別為（）A.4，5 B.5，4 C.4，4 D.5，5【答案】A【解析】【分析】將該組數據從小到大排列，根據中位數、眾數得定義求解即可．【詳解】將該組數據從小到大排列得：1，2，3，3，4，4，5，5，5，∴中位數為：4，眾數為：5，故選：A．【點睛】本題考查中位數與眾數的確定，理解中位數的確定方法以及眾數的定義是解題關鍵．4.如圖，若，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查平行線分線段成比例定理，根據平行線分線段成比例定理得到比例線段，注意線段的對應性．【詳解】解：解：由圖，根據對應性，可得．故選：B5.如圖⊙P經過點A（0，）、O（0，0）、B（1，0），點C在第一象限的上，則∠BCO的度數為（）A.15° B.30° C.45° D.60°【答案】B【解析】【詳解】連接AB，∵tan∠OAB=，∴∠OAB=30°，∴∠OCB=∠OAB=30°（圓周角定理）．故選B．6.已知二次函數與一次函數．若函數的圖象與軸只有一個公共點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數的性質，一次函數的性質，拋物線與軸的交點，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．根據題意，得到二次函數和一次函數與軸交點，可得，然后結合函數的圖象與軸僅有一個交點，可得該交點為，也是函數的頂點坐標，再結合對稱軸方程求解即可．【詳解】解：∵二次函數，∴二次函數與軸的交點坐標為，∵一次函數，當時，，∴一次函數與軸的交點坐標為，，當時，，當時，，∵函數的圖象與軸只有一個公共點，∴的圖象與軸的交點為，，化簡得：．故選：B．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．請把答案填寫答題卡相應位置上）7.若，則________．【答案】##【解析】【分析】此題考查了比例的性質，掌握比例的基本性質是解題的關鍵，較簡單．根據已知條件得出，再代入要求的式子進行計算，即可得出答案．【詳解】解：∵，，，故答案為：．8.二次函數的圖象的頂點坐標是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了拋物線頂點式及頂點坐標，掌握頂點式是解題關鍵．根據拋物線頂點式直接可求頂點坐標．【詳解】解：二次函數的圖象的頂點坐標是．故答案為：．9.已知點P是線段的黃金分割點（），如果，那么的長為______．【答案】##【解析】【分析】本題考出來黃金分割，解一元二次方程．由題意知，，由點是線段的黃金分割點，可得，即，整理得，計算求出滿足要求的解即可．【詳解】解：由題意知，，∵點是線段的黃金分割點，∴，即，整理得，解得：或（舍去），故答案為：．10.一元二次方程的兩個實根分別為，，若，則___________．【答案】【解析】【分析】根據根與系數關系得到，先求出m的值，然后計算的值．【詳解】解：根據題意得，所以，所以．故答案為．【點睛】本題考查了根與系數的關系：若是一元二次方程的兩根時，．11.用半徑為，圓心角為的扇形紙片恰好圍成一個圓錐側面，則圓錐底面圓的半徑為________．【答案】10【解析】【分析】本題考查了扇形的弧長和圍成圓錐的底面圓的周長的關系，熟知扇形的弧長等于底面圓的周長是解本題的關鍵．設底面圓的半徑為r，根據扇形的弧長等于底面圓的周長列出方程，進而得出底面圓半徑．【詳解】解：設底面圓半徑為，根據題意可得：，解得：，∴底面圓的半徑為，故答案為：10．12.如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，點P是的一點，則∠CPD的度數是___________．【答案】36°【解析】【分析】連接OC，OD，求出∠COD的度數，再根據圓周角定理即可解決問題．【詳解】如圖，連接OC，OD，ABCDE是正五邊形，∠COD＝，∠CPD=∠COD=36°，故答案為：36°．【點睛】本題考查正多邊形和圓、圓周角定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．13.如圖，在中，，是上一點，且．若，則的長為________．【答案】2【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，熟知相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．根據題意，得出，再結合相似三角形的性質即可解決問題．詳解】解：由題知，，，，，∴，則，，，又，，故答案為：2．14.在四邊形中，，，．若，，則________．【答案】##【解析】【分析】本題考查的是相似三角形的判定和性質，平行線分線段成比例定理，靈活運用該定理，找準對應關系是解題的關鍵．連接交于，根據平行線的性質，平行線分線段成比例定理得到，證明，根據相似三角形的性質求出，同理求出，進而求出，再根據梯形的面積公式計算即可．【詳解】解：如圖，連接交于，，，，，，，即，解得：，，，，即，解得：，，，故答案為：．15.已知拋物線與軸的交點坐標分別為，．若，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數的性質，解一元一次不等式組，由題意得，則，然后代入，最后解不等式組即可，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵拋物線與軸的交點坐標分別為，，∴，∴，∵，∴，解得：，故答案為：．16.如圖，在中，，，，是的中點，連接，過點作，交于點．將沿直線翻折，點落在處，交于點，則的長為________．【答案】##【解析】【分析】求出，證明，得，根據將沿直線翻折，點落在處，有，從而可得，故，設，則，故，求解即可．【詳解】解：∵，，∵是的中點，，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∵將沿直線翻折，點落在處，，，，，，設，則，，∴，解得，∴；故答案為：．【點睛】本題考查直角三角形中的翻折問題，涉及勾股定理，相似三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解方程組等，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定定理．三、解答題（本大題共11小題，共88分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用配方法或因式分解法或公式法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法或公式法解一元二次方程即可．【小問1詳解】解：法1：，∴，∴，∴，．法2：∵，，，∴，∴．∴，．法3：原式可化為，∴或．∴，．【小問2詳解】解：法1：，∴．∴，．∴，．法2：，∴，∵，，，∴，∴．∴，．18.甲、乙兩人分別從，，三個檢票通道中隨機選擇一個通道進入游樂園．（1）甲選擇檢票通道的概率是________．（2）求甲、乙選擇同一個檢票通道的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查了用樹狀圖或列表法求等可能事件的概率，方法是用樹狀圖或列表法列舉出所有可能出現的結果總數，找出符合條件的結果數，用分數表示即可，注意每種情況發生的可能性相等．（1）根據概率公式進行計算；（2）先利用畫樹狀圖或列表的方法，得出所有可能出現的結果總數，從中找到符合條件的結果數，進而求出概率即可．【小問1詳解】解：甲選擇檢票通道的概率是；【小問2詳解】解：根據題意畫出樹狀圖，如圖所示：∵所有可能出現的結果有9種，它們出現的可能性相同，所有的結果中，滿足“甲、乙選擇同一個檢票通道”的結果有3種，∴甲、乙選擇同一個檢票通道的概率為．19.，兩家酒店規模相當，去年下半年的月盈利折線統計圖如圖所示．（1）分別求這兩家酒店月的月盈利的平均數；（2）已知，兩家酒店月的月盈利的方差分別為1.073萬元2，0.54萬元2，結合折線統計圖，分析這兩家酒店的經營狀況．【答案】（1）2.5萬元，2.3萬元（2）見解析【解析】【分析】此題考查平均數的求法和方差在數據統計中的應用，理解題意，掌握方差在實際生活中的應用是解題關鍵．（1）根據平均數可以判斷營業水平，根據數據求平均數即可；（2）根據平均數和方差綜合分析即可．【小問1詳解】解：（萬元），（萬元）．【小問2詳解】解：從平均數來看，酒店盈利的平均數大于酒店盈利的平均數，說明酒店去年下半年的經營狀況整體好些；從方差來看，酒店盈利的方差大于酒店盈利的方差，說明酒店去年下半年的經營狀況相對比較穩定．結合折線圖，酒店每月盈利呈現不斷增長的趨勢，說明酒店盈利狀況不但良好，還保持了較好地持續增長；酒店12月份的盈利增長迅速，如果保持這種快速增長的趨勢，酒店經營狀況有可能很快超過酒店．20.如圖，在中，弦，垂足為，連接，．求證．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，等角對等邊，熟練掌握圓周角定理是關鍵．求出得，再證明得，進而可證明．【詳解】證明：∵，垂足為，∴．∵，，∴．∴．連接，∴，．∴．∴．∴，∴．21.已知關于的一元二次方程．（1）求證：方程總有實數根；（2）設方程的兩個根分別為，，求的值．【答案】（1）見解析（2）0【解析】【分析】本題考查了根的判別式以及根與系數的關系，解一元二次方程，解題的關鍵是是熟練運用根與系數的關系，本題屬于基礎題型．（1）根據根判別式或解方程即可證明；（2）根據根與系數的關系或解方程即可求出答案．【小問1詳解】證明：法1，∵，，，∴．∵，∴．∴不論為何值，方程總有實數根．法2，原方程可化為，即，∴，，∴不論為何值，方程總有實數根．【小問2詳解】解：法1：∵由方程的兩個根，得，，．∴，∴．法2：∵解方程，得，．∴．22.如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD相交于點F，點E在BD上，且．（1）求證：∠BAE=∠CAD；（2）求證：△ABE∽△ACD．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據相似三角形的判定定理得到△ABC∽△AED，由相似三角形的性質得到∠BAC=∠EAD，根據角的和差即可得到結論；（2）由已知條件得到，結合∠BAE=∠CAD，即可得到結論．【詳解】證明：（1）在△ABC與△AED中，∵，∴△ABC∽△AED，∴∠BAC=∠EAD，∴∠BAC﹣∠EAF=∠EAD﹣∠EAF，即∠BAE=∠CAD；（2）∵，∴，在△ABE與△ACD中，∵∠BAE=∠CAD，，∴△ABE∽△ACD．23.某商店經銷的某種商品，每件成本為30元．經市場調研，售價為40元時，可銷售600件；售價每提高1元，銷售量將減少10件．銷售價格是多少時，才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？【答案】銷售單價為65元時，月銷售利潤最大，最大利潤為12250元【解析】【分析】本題考查的是二次函數的應用，解題的關鍵是理解題意，找到等量關系，求得二次函數解析式，并利用二次函數的性質得出最值．根據等量關系“利潤售價進價銷量”列出函數關系式，配方后依據二次函數的性質求得利潤最大值．【詳解】解：設銷售單價元，月銷售利潤元．根據題意，得．．．∵，∴當時，有最大值12250．答：銷售單價為65元時，月銷售利潤最大，最大利潤為12250元．24.對于三個不相等的實數，，，我們規定符號表示，，中的最大值，如：．（1）若，求的值；（2）當時，，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）2或（2）【解析】【分析】本題考查的是與一元二次方程和一次函數的性質，能夠理解新定義是解題的關鍵．（1）根據題意得出或，解方程即可求得值；（2）根據當時，函數的值小于函數的值，解答即可．【小問1詳解】解：∵，或，當時，，則，不合題意，當時，或，則時，時，，符合題意；∴若的值為2或；【小問2詳解】解：∵，，，，，對于，當時，，對于，當x=0時，，由題意可知當時，在范圍內，直線的圖象在直線的下方，所以的取值范圍是：．25.如圖，四邊形是的內接四邊形，過點作的切線交的延長線于點，．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，，則的長為________．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）連接，并延長交于點，根據切線的性質得，根據平行線的性質得到，即可得證；（2）根據圓內接四邊形的性質，平行線的性質，通過角的等量代換，相似三角形的判定即可得證；（3）根據題意求出，證明，求出．進而求出，利用相似三角形的性質即可解答．【小問1詳解】證明：連接，并延長交于點，∵是的切線，，即，，，即，，．【小問2詳解】證明：∵四邊形是的內接四邊形，，，，，，，，，，，在和中，，∴．【小問3詳解】解：連接，并延長交BD于點，交于點，交于點，連接，交于點，由題意得．，，，，∵，，∵，，，，，，，，，，，，，，，，，，即，，故答案為：．【點睛】本題考查圓的綜合應用，主要考查圓內接四邊形的性質，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等知識點，掌握圓內接四邊形的性質，相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．26.已知二次函數的圖象經過，兩點，對稱軸為直線．（1）該函數的圖象與軸的公共點的個數是________．A.0B．1C．2（2）當時，試說明．（3）若點，都在該函數的圖象上．當時，結合函數的圖象，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）C（2）見解析（3）或【解析】【分析】（1）根據二次函數的圖象經過2,1，兩點，得到，再計算的值，根據其值的屬性，判定函數的圖象與軸的公共點的個數即可．（2）根據（1）得，計算拋物線的對稱軸為，結合，得，結合對稱軸為直線即可得證．（3）根據前面的解答，拋物線的解析式可以表達為，把點，分別代入解析式，結合，分類解答即可．【小問1詳解】解：∵二次函數的圖象經過2,1，兩點，∴，解得，∴，∴函數的圖象與軸的公共點的個數為2個，故選：C．【小問2詳解】解：根據（1）得，∴拋物線的對稱軸為，∵，∴，∵對稱軸為直線，∴．【小問3詳解】解：根據，得拋物線的解析式可以表達為，把點，分別代入解析式，得，，∵，∴，∴，∵拋物線的對稱軸為，∴，當，且時，∴，且解得，且；此時得解為；當時，∴，解得；綜上所述，m的取值范圍是或．【點睛】本題考查了待定系數法求對稱軸，用一個字母表示其余字母，一元二次方程根的判別式的應用，分類思想求不等式的解集，熟練掌