第15章量子物理作業15-2315-27“Thereisnothingnewtobediscoveredinphysicsnow.Allthatremainsismoreandmoreprecisemeasurement.”“Thebeautyandclearnessofthedynamicaltheoryisatpresentobscuredbytwosmallpuzzlingcloudsremainedonthehorizon.”

Kelvin相對論量子論麥克爾孫－莫雷實驗黑體輻射實驗背景Outlinea.黑體輻射普朗克的能量子假說b.原子結構和原子光譜波爾的量子理論c.康普頓效應光的波粒二象性d.德布羅意波實物粒子的波粒二象性e.不確定關系f.薛定諤方程一維系統的求解a.

黑體輻射和普朗克能量子假設a-1

黑體輻射

熱輻射：物體內的分子、原子受到熱激發而產生電磁輻射的現象。任何物體在任何溫度下都會產生熱輻射單色輻出度（Mλ

）：從物體表面單位面積上發射出的波長介于

與

之間的輻射功率與的比值。輻出度（M

）：物體表面單位面積發射的包含各種波長在內的輻射功率。

吸收率：吸收能量與入射總能量的比值。單色吸收率：

波長在范圍內的吸收率。單位：單位：黑體：能夠完全吸收外來輻射而沒有反射的物體。基爾霍夫定律：在相同溫度下，單色輻出度與單色吸收率的比值對于所有物體都相同，是一個只取決于溫度T和波長λ的函數。在熱平衡條件下，黑體輻射的實驗能譜曲線：斯忒藩-玻耳茲曼定律：斯忒藩-玻耳茲曼常量：維恩位移定律：能譜分布曲線的峰值對應的波長

m與溫度T的乘積為一常數。維恩常量:例

（1）溫度為20℃的物體，它的輻射能中輻出度的峰值所對應的波長是多少？（2）若使一物體單色輻出度的峰值所對應的波長在紅色譜線范圍內，其溫度應為多少？（3）上兩小題中，總輻射能的比值為多少？解（1）（2）取

=650nm

（3）維恩公式：

瑞利-金斯公式：

4012356789維恩線瑞利-金斯線普朗克公式：4012356789普朗克在德國物理學會上報告了與全波段實驗結果極為符合的普朗克公式。1900.12.14.--量子論誕生日普朗克常量：討論：（1）在長波段情況下（瑞利-金斯公式）（2）在短波段情況下（維恩公式）普朗克的能量子假設：對于頻率為

的諧振子，其輻射能量是不連續的，只能取某一最小能量的整數倍。n稱為量子數

稱為能量子

愛因斯坦評價：“這一發現成為20世紀整個物理研究的基礎，從那時起，幾乎完全決定了物理學的發展。”

玻爾對普朗克量子論的評價：“在科學史上很難找到其它發現能象普朗克的如此非凡的結果…基本作用量子一樣在僅僅一代人的短時間里產生這個發現將人類的觀念——不僅是有關經典科學的觀念，而且是有關通常思維方式的觀念——的基礎砸得粉碎，知識如此神奇的進展，應歸功于人們從傳統的思想束縛下獲得的這一解放。

愛因斯坦在1918年4月普朗克六十歲生日慶祝會上的一段講話：“在科學的殿堂里有各種各樣的人：有人愛科學是為了滿足智力上的快感；有人是為了純粹功利的目的，而普朗克熱愛科學是為了得到現象世界那些普遍的基本規律，……他成了一個

以偉大的創造性觀念造福于世界的人。普朗克獲得1918年諾貝爾物理學獎。普朗克本人也有很多的困惑和彷徨····

能量不連續的概念與經典物理學是完全不相容的！

為什么在宏觀世界中,

觀察不到能量分離的現象?例：設想一質量為m=1g

的小珠子懸掛在一個小輕彈簧下面作振幅A=1mm的諧振動。彈簧的勁度系數k=0.1N/m。按量子理論計算，此彈簧振子的能級間隔多大？減少一個能量子時,振動能量的相對變化是多少？量子論是不附屬于經典物理的全新的理論，適用范圍更廣。能量經典光量子

=h

能量子能量a-3

量子假說的含義及其與宏觀現象的關系能級間隔振子現有能量相對能量變化【解】彈簧振子的頻率這樣小的相對能量變化在現在的技術條件下還不可能測量出來。所以宏觀的能量變化看起來都是連續的。一、經典原子模型放射性和電子的發現，使人們確信原子是可以分割的，原子也存在結構，從而開始了對原子結構的研究。物質是由分子組成的，而分子又是由原子組成的1895年，倫琴發現X射線1896年，貝可勒爾發現鈾鹽的天然放射性1898年，居里夫婦發現放射性元素釙和鐳1897年，湯姆孫發現了電子b.原子結構和原子光譜波爾的量子理論1904年湯姆孫提出，原子是一個帶正電荷的實心小球，正電荷均勻分布于其中，其總電量與其中電子的總電量相等，電子則嵌在小球之中，猶如“葡萄干蛋糕”一般。

這些電子能在它們的平衡位置上作簡諧振動，觀察到的原子所發光譜的各種頻率就相當于這些振動的頻率。Plumpuddingmodel1.湯姆孫原子結構模型

粒子鐳放射源

熒光屏顯微鏡金箔

后來盧瑟福和他的學生所作的

粒子散射實驗否定了湯姆孫的這種模型。

粒子為氦核以~c/15轟擊金箔，

在原子中帶電物質的電場力作用下，使它偏離原來的入射方向，從而發生散射現象。實驗結果表明：絕大部分粒子經金箔散射后，散射角很小（2

~3

），但有1/8000的粒子偏轉角大于902.α粒子散射實驗

湯姆孫的原子結構模型無法解釋這種現象。

這種大角度散射不可能解釋為都是偶然的小角度的累積—這種可能性要比1/8000小得多，絕大多數是一次碰撞的結果。但這不可能在湯姆孫模型那樣的原子中發生。①.原子的中心是原子核，幾乎占有原子的全部質量，集中了原子中全部的正電荷。②.電子繞原子核旋轉。③.原子核的體積比原子的體積小得多。原子半徑~10-10m，原子核半徑10-14

~10-15m3.盧瑟福原子有核模型盧瑟福的原子有核模型可以解釋

粒子的散射實驗：絕大多數的

粒子會穿透原子按原方向進行，只有極少數的

粒子進到核處而產生大角度散射。

原子核式結構模型的建立，只肯定了原子核的存在，但還不知道原子核外電子的情況（比如電子的軌道分布、軌道速度）。研究原子結構的兩種方法：②.利用原子發光譜線規律。①.用高能粒子轟擊物質中的原子，使高能粒子穿到原子內部發生作用，從觀察到的現象解釋原子內部結構。氫原子巴爾末線系1.巴爾末光譜線系

很早，人們就發現氫原子的線光譜在可見光部分的四條譜線。二、氫原子光譜的實驗規律常數巴爾末公式當n=3，4，5，6,為四條可見光譜線H

、H

、H

、H

氫原子是最簡單的原子，其光譜也最簡單。1896年里德伯用波數來表示譜線，波數：單位長度中所包含的波形數目。里德伯常數令

氫原子光譜的其它譜線，也先后被發現，一個在紫外區，由萊曼發現，還有三個在紅外區，分別由帕邢、布拉開、普豐德發現。巴爾末公式光譜在紫外區域的譜線----萊曼線系。在紅外區還有三個線系帕邢系布拉開系普豐德系3.其它線系2.萊曼線系萊曼系巴爾末系帕邢系布拉開系普豐德系

氫原子光譜不是不相關的，而是有內在聯系的。表現在其波數可用一普遍公式來表示：式中：n取從(m+1)開始的正整數,即對應一個m就構成一個譜線系。每一譜線的波數都等于兩項的差數。廣義巴爾末公式令有：稱為光譜項。氫原子光譜的規律：1）光譜是線狀的，譜線有一定位置。這就是說，譜線有確定的波長值，而且彼此是分立的。2）譜線間有一定的關系，例如譜線構成一個譜線系，它們的波長可以用一個公式表達出來，不同系的譜線有些也有關系，例如有共同的光譜項。3）每一譜線的波數都可以表達為二光譜項之差：

按經典理論電子繞核旋轉，作加速運動，電子將不斷向四周輻射電磁波，它的能量不斷減小，從而將逐漸靠近原子核，最后落入原子核中。

軌道及轉動頻率不斷變化，輻射電磁波頻率也是連續的，原子光譜應是連續的光譜。但實驗表明原子相當穩定，測得原子光譜也是不連續的譜線。

盧瑟福有核原子模型的困難盧瑟福有核原子模型無法解釋氫原子光譜的規律。1913年，玻爾在盧瑟福的有核模型的基礎上，推廣了普朗克和愛因斯坦的量子概念，并引用到原子中來。提出了關于原子模型的三個假設。(2)頻率法則：當原子中的電子從一個能量為Ei的定態躍遷到另一個能量為Ef的定態時，原子會發射（當Ei>Ef

）或吸收（當Ei<Ef

）光子，其頻率滿足頻率躍遷公式：

三、玻爾理論(1913)(1)定態假設：電子在原子中，可以在一些特定的、彼此分隔的一系列軌道上運動而不輻射電磁波，這時原子處于穩定狀態（簡稱定態），并具有一定的能量。1.玻爾的基本假設(3)角動量量子化假設:電子以速度v在半徑為r的圓周上繞核運動時，只有電子的角動量L等于h/2

的整數倍的那些軌道才是穩定的，即n為主量子數，上式叫量子化條件。玻爾量子化條件的駐波解釋：

氫原子中電子繞核作圓周運動，受核的庫侖力充當向心力。由玻爾的假設3①②2.原子能級(1)原子半徑解①②得：這表明,軌道半徑是不連續的，也就是說，電子只能在一些分立的圓周軌道上運動，軌道是量子化的。n=1，稱為氫原子的第一玻爾軌道半徑，離原子核最近。第n級軌道半徑電子軌道半徑可能值為r1，

4r1，

9r1，

16r1，...n2r1動能勢能原子能量可求得：

選無窮遠為零電勢點，半徑為rn

的電子與原子核系統能量:(2)氫原子能量由和我們把n>1的狀態稱為激發態。結果表明：氫原子能量也只能取一些分立值，這種現象稱為能量量子化。這種與軌道對應的能量稱為能級。n=1，稱為基態，其能量為：一般情形，有：萊曼系巴爾末系帕邢系布拉開系(3)氫原子的電離能當時，原子被電離----自由態，電子不受原子核束縛。電離能：把電子從氫原子第一玻爾軌道移到無窮遠所需能量。例

計算氫原子基態電子的軌道角動量、線速度。解：基態n=1例

用12.6eV的電子轟擊基態原子，這些原子所能達到最高態。解：如果氫原子吸收電子全部能量，它所具有能量軌道能量取原子輻射單色光波數由與比較3.氫原子光譜由玻爾第二假設電子從高能態跳到低能態時，有：這一數值與實驗測得結果符合很好。

夫蘭克-赫茲實驗證明了玻爾第一假設的正確性。充有低壓水銀蒸汽的玻璃管，電子與汞原子碰撞，使汞原子吸收電子能量而激發。原子吸收的能量是不連續的。燈絲柵極板極4、夫蘭克-赫茲實驗實驗原理K、G之間加正向電壓，電子在E作用下向G運動。G、P之間加反向電壓，電子穿過G達到P形成電流,作IP~U0圖。1.電子動能Ek<E2-E1

電子不能使Hg原子激發到第一激發態，電子與Hg原子碰撞無能量損失，速率不變。2.Hg原子從Ek>E2-E1

E1

E2電子EkvIP第一個波峰汞原子基態為E1，第一激發態E2燈絲柵極板極3.Hg原子第二次從電子Ek

E1

E2vIP第二個波峰電子第一次使Hg激發后，在U0的加速下又Ek>E2-E14.Hg原子第一激發態與基態能量之差5.實驗中可觀察到光環，受激Hg原子從高能態跳回低能態放出光子。從而驗證了原子能級的存在。燈絲柵極板極5、玻爾理論的成就與局限性成功地解釋了氫原子光譜，和類氫原子光譜，為人們認識微觀世界和建立近代量子理論打下了基礎。玻爾理論是經典與量子的混合物，不是一個自洽的理論體系。它一方面保留了經典的確定性軌道，另一方面又假定量子化條件來限制電子的運動。并且它不能解釋稍微復雜的問題。正是這些困難，催生了量子力學，迎來了物理學的大革命。玻爾還提出對應原理：當量子數n趨于無限大時，量子理論得出的結果與經典理論的結果相一致。例如，氫原子各軌道的能量表明隨著軌道量子數n增加，能量分布趨于連續，與經典力學一致。盧瑟福的學生，在其影響下具有嚴謹的科學態度，勤奮好學，平易近人，很多科學家紛紛來到他身邊工作。當有人問他，為什么能吸引那么多科學家到他身邊工作時，他回答說：“因為我不怕在青年面前暴露自已的愚蠢”。這種坦率和實事求是的態度是使當時他領導的哥本哈根理論研究所充滿活力，興旺發達的原因。1922年獲諾貝爾物理學獎“作為一個科學的思想家，玻爾具有那么驚人的吸引力，在于他具有大膽和謙遜兩種品德難得的結合”玻爾：愛因斯坦評價說：愛因斯坦認為輻射場由光子組成，每個光子的能量——普朗克－愛因斯坦關系式根據狹義相對論，光子的動量

1922~1923年間，康普頓研究了X射線經物質散射的實驗,進一步證實了愛因斯坦的光子概念。c.康普頓效應光的波粒二象性X光管光闌散射物質康普頓實驗裝置示意圖X光檢測器晶體一、康普頓效應的實驗規律1.實驗裝置

康普頓發現,在散射光中除了有與入射光波長λ0

相同的射線之外，同時還出現一種波長λ大于λ0

的射線。這種改變波長的散射稱為康普頓效應。

我國物理學家吳有訓參與康普頓的研究。2.實驗規律康普頓吳有訓(1)波長的偏移隨散射角而異;當散射角增大時,波長的偏移也隨之增加。(2)在同一散射角下，對于所有散射物質,波長的偏移都相同,但原波長的譜線強度隨散射物質的原子序數的增大而增加,新波長的譜線強度隨之減小。2.實驗規律康普頓散射與角度的關系(a)(b)(c)(d)相對強度........................................................................................0.7000.750波長(?)....鉬譜線散射物質—石墨二、光量子理論對康普頓效應的解釋

根據經典電磁波理論，X射線僅是一種電磁波，當電磁波通過物質時，物質中帶電粒子將作受迫振動，其頻率等于入射X射線頻率，所以它所發射的散射X射線頻率應等于入射X射線頻率。波動理論無法解釋康普頓效應。2.1光子理論對康普頓效應的解釋

光子理論認為康普頓效應是光子和自由電子作彈性碰撞的結果，具體解釋如下：因為碰撞中交換的能量和碰撞的角度有關，所以波長改變和散射角有關。若光子和外層電子相碰撞，光子有一部分能量傳給電子,散射光子的能量減少，于是散射光的波長大于入射光的波長。若光子和束縛很緊的內層電子相碰撞，光子將與整個原子交換能量,由于光子質量遠小于原子質量，根據碰撞理論，碰撞前后光子能量幾乎不變，波長不變。隨著原子序數的增大，外層未滿殼層電子占總電子數的比例減小，所以新波長的強度隨之減小，原波長強度增加。2.2康普頓效應的定量分析由能量守恒:由動量守恒:θXXeφXφθ最后得到：此式說明：波長改變與散射物質無關,僅決定于散射角；波長改變隨散射角增大而增加。電子的康普頓波長。計算的理論值與實驗值符合得很好。

X射線的散射現象，理論與實驗的符合，不僅使人們徹底接受了光具有粒子性的觀念，而且也證實了能量守恒和動量守恒兩條定律，在微觀粒子相互作用的基本過程中，也同樣嚴格地遵守。

康普頓效應有逆效應，即在電子與光子的碰撞中，光子從高能電子獲得能量，頻率增大。如當宇宙微波背景輻射穿過星系團中的熱氣體時，宇宙微波背景輻射的光子被氣體中的高能電子散射到更高能量去，這被稱為森亞耶夫——澤爾多維奇效應。光子的能量：光子的質量：光子的動量：------光有波粒二象性描寫光的粒子性的

、p，與描寫光的波動性的

、

通過

=h

；相聯系

=h

在有些情況下，光突出顯示出波動性；而在另一些情況下，則突出顯示出粒子性。

1924年，德布羅意在論文中進一步推測實物粒子（電子、中子、質子等）也具有波粒二象性。物質波假設：一切物質客體（無論是“場”還是“實物”）均具有波粒二象性。它的波長和頻率由下式決定：——德布羅意關系式d.德布羅意波微觀粒子的波粒二象性

公式中E

和ν，P和

k

通過常數h

聯系，稱為德布羅意波或物質波。在答辯會上有人問：

“這種波怎樣用實驗來證實呢？”德布羅意答：“可以從電子在晶體上散射這樣的實驗中檢查到這樣的波。”1927年，戴維孫、革末以及湯姆孫等人實驗證實。實物粒子的德布羅意波長由相對論原理又得20cmEEk+=所以

例試比較1eV

電子和一顆質量為50克，速度為的子彈的波長。解：對動能為1eV

的電子對子彈來說對地球而言：其繞太陽公轉的速度為

在宏觀世界幾乎顯示不出物體的波動性。電子干涉現象電子雙縫干涉楊氏雙縫干涉物質波統計解釋電子逐個穿過雙縫的干涉實驗結果物質波不是經典的波電子雙縫干涉實驗示意圖（a）兩縫同時打開；（b）依次打開一個縫微觀粒子不是經典的粒子

物質波的統計解釋（M.Born,1926）：單個電子具有粒子性和波動性，單個粒子在哪一處出現是偶然事件；大量粒子的分布有確定的統計規律.物質波是“概率波”.

∴N

E02

波動性：某處明亮，則某處光強大，即I大.粒子性：某處明亮，則某處光子多，即N大.

N

I

I

E02

光子在某處出現的概率和該處光波振幅的平方成正比.光的波粒二象性：它無直接的物理意義，不同于經典波的波函數，有意義的是，表示粒子的概率分布.

物質波的波函數

是描述粒子在空間概率分布的“概率振幅”,其模的平方：

代表

t時刻，在端點處單位體積中發現一個粒子的概率，稱為“概率密度”.一級衍射角

電子經過縫時的位置不確定量.

用電子衍射說明不確定關系

微觀粒子的運動由概率波描述，粒子的位置具有一定的不確定性；與此相聯系，粒子的動量也具有不確定性.e.不確定關系（測不準原理）Uncertaintyrelation

電子經過縫后x方向動量不確定量考慮衍射次級有

由不確定關系知，電子在縫寬方向位置不確定量越小，則在同一方向上衍射電子的動量不確定性量越大，這與縫寬越小，衍射條紋鋪展越寬的波動特征完全一致.

不確定關系x表示粒子在x方向上的位置的不確定范圍，

px表示在x方向上動量的不確定范圍，其乘積不小于一個常量。

1927年海森堡提出了不確定關系，它是自然界的客觀規律，而不是測量技術能力的問題。例小球質量m=10-3千克，速度V=10-1米/秒

x=10-6米，求它的速度不確定度。因為普朗克常數在宏觀尺度上很小，因此宏觀物理量的不確定度遠在實驗的測量精度之內。例電子質量me=9.1

10-31千克，在原子中電子的

x10-10米，求它的速度不確定度。結果表明：原子中電子速度的不確定度與速度本身的大小可比。因此，不能用“軌道”來描述電子在原子中的運動。例在示波管中電子的

x10-4米，V107米/秒，求它的速度不確定度。可見這時可認為電子的位置和動量能同時確定，可用經典的“軌道”概念來描述電子運動。

不確定關系的應用

在原子尺度內，是個良好的近似。

估算氫原子可能具有的最低能量電子束縛在半徑為r

的球內，所以按不確定關系當不計核的運動，氫原子的能量就是電子的能量：代入上式得：基態能應滿足：由此得出基態氫原子半徑：基態氫原子的能量：與波爾理論結果一致。本例還說明：量子體系有所謂的零點能。因為若束縛態動能為零，即速度的不確定范圍為零，則粒子在空間范圍趨于無窮大，即不被束縛。這與事實相左。

解釋譜線的自然寬度原子中某激發態的平均壽命為量子物理德布羅意公式不確定關系式自由粒子一維波函數自由粒子平面波函數平面波波動方程

經典波為實函數2.量子力學波函數（復函數）描述微觀粒子運動的波函數微觀粒子的波粒二象性1.波函數3.波函數的標準條件4.歸一化條件即粒子某時刻在整個空間出現的概率為1.表示粒子在某處單位體積內出現的概率，一定時刻在給定點粒子出現的概率應有唯一確定的值，且概率分布應該連續，因此，波函數必須是單值、有限、連續的函數.質量m

的粒子在保守力場中運動，勢能函數V(r,t)

，薛定諤方程為薛定諤方程薛定諤方程用于求取粒子運動的波函數，是反映微觀粒子運動規律的基本方程.一維空間中自由粒子平面波函數三維空間中自由粒子平面波函數對時間t求偏導考慮到引入拉普拉斯算子對空間x求偏導注意到對非相對論粒子和用代入上式，得用波函數乘以方程兩邊，得薛定諤方程：

定態：粒子在勢場中運動，而勢場只是坐標x的函數，與時間

t無關，則系統能量E是與t無關的常量，粒子在空間穩定分布，即處于定態.1.