人教A版高二（下）數(shù)學(xué)必修第三冊(cè)6.3.1二項(xiàng)式定理教學(xué)設(shè)計(jì)課題6.3.1二項(xiàng)式定理課型新授課課時(shí)1課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、通過發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式乘法的本質(zhì)特征，建立多項(xiàng)式乘法與計(jì)數(shù)原理之間的聯(lián)系，運(yùn)用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)二項(xiàng)式系數(shù)的方法。發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)。2、通過對(duì)二項(xiàng)式定理及其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)研究過程，體會(huì)“從特殊到一般”、“類比歸納”等數(shù)學(xué)思想。發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)。3、能用二項(xiàng)式定理解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)。學(xué)習(xí)重點(diǎn)利用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)出二項(xiàng)式定理，并會(huì)用它解決有關(guān)的簡(jiǎn)單問題。學(xué)習(xí)難點(diǎn)使用組合數(shù)表達(dá)二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)學(xué)情分析問題是有效開展課堂教學(xué)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的抓手。本節(jié)課以十個(gè)問題為驅(qū)動(dòng)，采用“問題鏈+任務(wù)單”的形式層層遞進(jìn)，以“情境—問題—活動(dòng)—結(jié)果”為主線，誘發(fā)學(xué)生去主動(dòng)探究學(xué)習(xí)。從而增強(qiáng)學(xué)生的觀察、分析、歸納、概括等能力，在分析和解決問題的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。核心知識(shí)使用組合數(shù)表達(dá)二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)教學(xué)內(nèi)容及教師活動(dòng)設(shè)計(jì)（含情景設(shè)計(jì)、問題設(shè)計(jì)、學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)等內(nèi)容）教師個(gè)人復(fù)備環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題上一節(jié)學(xué)習(xí)了排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，本節(jié)我們用它們解決一個(gè)在數(shù)學(xué)上有著廣泛應(yīng)用的a+bn學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組討論交流，代表展示討論交流的結(jié)果.問題1：我們知道，，．（1）觀察以上展開式，分析其運(yùn)算過程，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能寫出的展開式嗎？（3）進(jìn)一步地，你能寫出的展開式嗎？我們來分析的展開過程．根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，可以看到，是2個(gè)相乘，只要從一個(gè)中選一項(xiàng)（選或），再?gòu)牧硪粋€(gè)中選一項(xiàng)（選或），就得到展開式的一項(xiàng)．于是，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，在合并同類項(xiàng)之前，的展開式共有項(xiàng)，而且每一項(xiàng)都是的形式．設(shè)計(jì)意圖：通過問題串引入二項(xiàng)式定理，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的發(fā)展是建立在已有的知識(shí)基礎(chǔ)上的.通過分析已有知識(shí)得出規(guī)律，進(jìn)而發(fā)展構(gòu)建新知識(shí).環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念下面我們?cè)賮矸治鲆幌滦稳绲耐愴?xiàng)的個(gè)數(shù)．當(dāng)時(shí)，，這是由2個(gè)中都不選得到的．因此，出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(gè)中取0個(gè)（都取）的組合數(shù)，即只有1個(gè)．當(dāng)時(shí)，，這是由1個(gè)中選，另1個(gè)中選得到的．由于選定后，的選法也隨之確定，因此，出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(gè)中取1個(gè)的組合數(shù)，即共有2個(gè)．當(dāng)時(shí)，，這是由2個(gè)中都選得到的．因此，出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(gè)中取2個(gè)的組合數(shù)，即只有1個(gè)．由上述分析可以得到．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念問題1：依照上述過程，你能利用計(jì)數(shù)原理，寫出，的展開式嗎？；．問題2：你能猜想出(a＋b)n展開式嗎？從上述對(duì)具體問題的分析得到啟發(fā)，對(duì)于任意正整數(shù)，我們有如下猜想：（1）追問：你能說明這一猜想的正確性嗎？學(xué)生思考、討論、交流.教師找?guī)酌砭瓦@一猜想的正確性進(jìn)行說明，教師給予適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)與指導(dǎo).1．二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝_________________________(n∈N*)．(1)這個(gè)公式所表示的規(guī)律叫做二項(xiàng)式定理．(2)展開式：等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，展開式中一共有______項(xiàng)．(3)二項(xiàng)式系數(shù)：各項(xiàng)的系數(shù)____(k∈{0,1,2，…，n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)．Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bnn＋1；Ceq\o\al(k,n)設(shè)計(jì)意圖：通過得出猜想，并說明其正確性，讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的思想方法，體會(huì)歸納猜想在知識(shí)產(chǎn)生過程中的重要性.環(huán)節(jié)四辨析理解，深化概念下面我們對(duì)上述猜想的正確性予以說明．由于是個(gè)相乘，每個(gè)在相乘時(shí)有兩種選擇，選或，而且每個(gè)中的或都選定后，才能得到展開式的一項(xiàng)．因此，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，在合并同類項(xiàng)之前，的展開式共有項(xiàng)，其中每一項(xiàng)都是的形式．對(duì)于每個(gè)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是由個(gè)選，另外個(gè)中選得到的．由于選定后，的選法也隨之確定，因此，出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從個(gè)中取個(gè)的組合數(shù)，這樣，的展開式中，共有個(gè)，將它們合并同類項(xiàng)，就可以得以上述二項(xiàng)展開式．公式（1）叫做二項(xiàng)式定理（binomialtheorem），右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)．式中的叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng)：．在二項(xiàng)式定理中，若設(shè)，，則得到公式：．2．二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式(a＋b)n展開式的第______項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，記作Tk＋1＝______.k＋1；Ceq\o\al(k,n)an－kbk二項(xiàng)式定理形式上的特點(diǎn)(1)二項(xiàng)展開式有n+1項(xiàng),而不是n項(xiàng).(2)二項(xiàng)式系數(shù)都是Cnk(k=0,1,2,…,n(3)二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n,即Cn0+Cn1+C(4)在排列方式上,按照字母a的降冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由n次逐項(xiàng)減少1次直到0次,同時(shí)字母b按升冪排列,次數(shù)由0次逐項(xiàng)增加1次直到n次.組織學(xué)生分析二項(xiàng)展開式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，教師要強(qiáng)調(diào)二項(xiàng)式系數(shù)是與二項(xiàng)式的次數(shù)有關(guān)的組合數(shù).2.教師提出以下問題引導(dǎo)學(xué)生理解二項(xiàng)式定理:(1)二項(xiàng)展開式有多少項(xiàng)?提示:項(xiàng).(2)各項(xiàng)的次數(shù)有什么規(guī)律?提示:各項(xiàng)的次數(shù)都等于的次數(shù).(3)如果令,你能寫出二項(xiàng)式的展開式嗎?從函數(shù)的觀點(diǎn)看這個(gè)展開式,它是一個(gè)什么函數(shù)?提示:,它是一個(gè)一元次多項(xiàng)式函數(shù).學(xué)生通過觀察二項(xiàng)式定理的表達(dá)式回答以上問題.3.對(duì)于二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),教師提出以下問題幫助學(xué)生理解:(1)如果把看作一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,這個(gè)數(shù)列有多少項(xiàng)?提示:項(xiàng).(2)字母代表的是什么?提示:只是一種符號(hào),可以是任意的數(shù)或式子.學(xué)生思考、討論解答以上問題,教師點(diǎn)評(píng)指導(dǎo).設(shè)計(jì)意圖:通過提出問題,引導(dǎo)學(xué)生思考,強(qiáng)化記憶,辨析概念,加深學(xué)生對(duì)二項(xiàng)式定理的理解與認(rèn)識(shí).環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例1求的展開式．解：根據(jù)二項(xiàng)式定理，．1.(a+b)n的二項(xiàng)展開式有n+1項(xiàng),是和的形式,各項(xiàng)的冪指數(shù)規(guī)律是:(1)各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.(2)字母a按降冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0;字母b按升冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n.2.逆用二項(xiàng)式定理可以化簡(jiǎn)多項(xiàng)式,體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn),向二項(xiàng)展開式的形式靠攏.例2（1）求的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)；（2）求的展開式中的系數(shù)．解：（1）的展開式的第4項(xiàng)是．因此，展開式第4項(xiàng)的系數(shù)是280．的展開式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是．一個(gè)二項(xiàng)展開式的某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與這一項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念．（2）的展開式的通項(xiàng)是．根據(jù)題意，得，．因此，的系數(shù)是．二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的求解策略(1)二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)Cnk(k∈{0,1,2,…,要注意區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)”與二項(xiàng)展開式中“項(xiàng)的系數(shù)”這兩個(gè)概念.(2)第k+1項(xiàng)的系數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號(hào),而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Cnk.例如,在(1+2x)展開式中,第4項(xiàng)是T4=C