2023.2024學年九年級數學下冊舉一反三系列專題27.5相似三角形的

應用【七大題型】

【人教版】

【題型?相似三角形的應用（九章算術）】..................................................................1

【題型2相似三角形的應用（影長問題）】..................................................................3

【題型3相似三角形的應用（杠桿問題）】..................................................................5

【題型4相似三角形的應用（建筑物問題）】................................................................6

【題型5相似三角形的應用（樹高問題）】..................................................................8

【題型6相似三角形的應用（河寬問題）】..................................................................9

【題型7相似三角形的應用（內接矩形問題）］............................................................10

【知識點相似三角形的應用】

在實際生活中，我們面對不能直接測量物體的高度和寬度時，可以把它們轉化為數學問題，建立相似

三角形模型，再利用對應邊的比相等來達到求解的目的。同時，需要掌握并應用一些簡單的相似三角形模

型。

【題型1相似三角形的應用（九章算術）】

【例I】（2021?北京大興?九年級期中）《九章算術》是中國傳統數學最重要的著作，在“勾股"章中有這樣

一個問題："今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而見木？〃用今天的話說，大

意是：如圖，QEFG是一座邊長為200步（"步〃是占代的長度單位）的正方形小城，東門〃位于GO的中點，

南門K位于ED的中點，出東門15步的A處有?樹木，求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木（即點。

在直線AC上）.

【變式1-1］（2022?湖南株洲?九年級期末）《九章算術》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法.如

圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿43,從木桿的頂端B觀察井水水岸D,視線與井口的直

那么。。為（）米.

D.2

【變式1-2］（2022?河北?二模）《九章算術》的“勾股〃章中有這樣一個問題：“今有邑方不知大小，各中開

門.出北門二十步有木，出南門十四步，折而西行一千七百匕十五步見木.問邑方幾何？〃大意是：如圖,

四邊形EFG”是一座正方形小城，北門A位于/G的中點，南門8位于E”的中點.從北門出去正北方向

20步遠的C處有一樹木，從南門出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看見C處的樹木，則正

方形小城的邊長為（）

C

【變式1-3］（2021?河南?鶴壁市淇濱中學九年級階段練習）《海島算經》是中國最早的一部測量數學著作，

由劉徽于三國魏景元四年（公元263年）所撰，本為《九章算術注》之第十卷，題為《重差》，所有問題

都是利用兩次或多次測望所得的數據來推算可望而不可及的目標的高、深、廣、遠，因首題測算海島的高、

遠得名《海島算經》，亦為地圖學提供了數學基礎.

《海島算經》中的第4道“望谷”的題目為：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺.從勺端望谷底，入下股九

尺一寸.又設重矩于上，其矩間相去三丈，更從勺端望谷底，入上股八尺五寸.問谷深幾何？

大致意思是：望一個如圖所示的深谷，深谷的底部為線段MN,在山谷邊緣處放置一個直角三角尺A3C助。3

=90°,AC=6尺，A,C,N在一?條直線上，CM3MN,從點A處望山谷底部M處時，視線經過8C上的點￡

處，測得EC長為9尺1寸：將三角尺沿著射線C4方向向上平移3丈得到△AB'C',從A處望山谷底部M

處時，視線經過夕C'上的點b處，測得尸U長為8尺5寸.求山谷深CN為幾丈.（注：1丈=10尺，1尺

=10寸）

【題型2相似三角形的應用（影長問題）】

【例2】（2022?浙江金華?九年級期末）如圖，小明在8：30測得某樹的影長為16m,13：00時又測得該樹

的影長為4m,若兩次日照的光線互相垂直，則這棵樹的高度為（）

A.10mB.8mC.6mD.4m

【變式2-1］（2022?江蘇徐州?中考真題）如圖，公園內有一個垂直于地面的立柱AB,其旁邊有一個坡面CQ,

坡角4QCN=30。.在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為12Qcm,在坡面上的影長為180cm.同一時刻,

小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）.求立柱的高度.

【題型3相似三角形的應用（杠桿問題）】

【例3】（2022?山東臨沂?二模）如圖,￡尸是一個杠桿,可繞支點。自由轉動,若動力F動和隹力F阻的施力

方向都始終保持豎直向下，當阻力?阻不變時，則杠桿向下運動時手動的大小變化情況是（）

A.越來越小B.不變C.越來越大D.無法確定

【變式3?1】（2019?全國?九年級專題練習）如圖，是用杠桿撬石頭的示意圖，C是支點，當用力壓杠桿的A端

時，杠桿繞C點特動，另一端3向上翹起，石頭就被撬動，現有一塊石頭，要使其滾動，杠桿8端必須向上

翹10cm,已知杠桿上的力C與BC長度之比為5:1,則要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的A端向下壓多少厘

【變式3-2】一根均勻的木棒。4所受重力G=1ON,小亮以木棒的一端O為支點，豎直向上將木棒的另一端

A緩慢拉到如圖所示的位置，保持不動，此時拉力為凡若點8為OA的中點，AC,8。分別垂直地面于點

C,D,則根據杠桿平衡原理得拉力廠的大小為（）

A.5NB.IONC.15ND.20N

【變式3?3】（2021?甘肅白銀?九年級期末）如圖，以點。為支點的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為

G的物體勻速拉起，當杠桿OA水平時，拉力為F；當杠桿被拉至OAi時，拉力為Fi，過點BJ乍BiCEOA,

過點A］作A1D13OA,垂足分別為點C、D.在下列結論中：

①△0&C?△。4。；（2）OA?OC=OB*OD；③OC?G=OD?Fi；@F=Fi，正確的是（）

C.①②③D-①②③④

【題型4相似三角形的應用（建筑物問題）】

【例4】（2019?四川?成都市雙流區立格實驗學校九年級階段練習）劉徽，公元3世紀人，是中國歷史上最

杰出的數學家之二《九章算術注》和《海島算經》是他留給后世最寶貴的數學遺產.《海島算經》第?

個問題的大意足：如圖，要測量海島上一座山峰A的高度AH,立兩根高3丈的標桿BC和DE,兩桿之問的

距離BD=1000步，點D、B、H成一線，從B處退行123步到點F處，人的眼睛貼著地面觀察點A,點A、

C、F也成一線，從DE退行127步到點G處，從G觀察A點，A,E,G三點也成一線，試計算山峰的高度

AH及BH的長（這里古制1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步，結果用步來表示）.

【變式4-1]（2022?陜西?武功縣教育局教育教學研究室一模）千佛鐵塔位于陜西省咸陽市之北杜鎮，用純

鐵鑄成，中空有梯可攀登，四角柱鑄成金剛力士像，頂立層樓，各層環周鑄鐵佛多尊，故名“千佛塔”，此塔

為中國現存鐵塔中最高的一座.某數學興趣小組本著用數學知識解決實際問題的想法，欲測量該塔的高

度.如圖，在點C處有一建筑物，小麗同學站在建筑物上，眼睛位于點。處，她手拿一支長0.5米的竹竿

EF.邊觀察邊移動竹竿（竹竿石廠始終與地面垂直），當移動到如圖所示的位置時，眼睛。與竹竿、塔的

頂端￡、A共線，同時眼睛。與它們的底端尺6也恰好共線，此時測得ZBDC=63。，小麗的眼睛距竹竿

的距離為0.5米，小麗的眼睛距地面的高度CD=17米，已知DCLBC.請你根據以上測量結果

計算該塔的高度AB.【參考數據：tan63°?2]

【變式4-2］（2022?陜西?模擬預測）延安寶塔，是歷史名城延安的標志，是革命圣地的象征，坐落在.陜西

省延安市主城東南的寶塔山景區內.周末，數學實踐小組的同學帶著測量工具測量延安寶塔的高度.測量

方案如下：首先，在A處豎立一根高4m的標桿A3,發現地面上的點。、標桿頂端8與寶塔頂端M在一條

直線上，測得40=4.3m；然后，移開標桿，在A處放置測角儀，調整測角儀的高度，當測角儀高AC為1m

時，恰好測得點M的仰角為45。己知MNJ.N。，AB工ND,點D、A、N在一?條直線上，點A,C、B在一

條宜線上，求延安寶塔的高MM

【變式4?3】（2022?陜西西安?一模）“攬月閣”位于西安市雁塔南路最南端，是西安唐文化的標志性建筑，

陽光明媚的一天，某校九年級一班的興趣小組去測量攬月閣的高度.攬月閣前面有個高1米的平臺，身高

1.8米的小強在臺上走動，當小強走到點。處，小紅蹲在臺下點N處，其視線通過邊緣點M和小強頭頂點3

正好看到塔頂A點，測得CM=0.9米，然后小強從正前方跳下后，往前走到點E處，此時發現小強頭頂尸

在太陽下的影子恰好和塔頂4在地面上的影子重合于點P處，測得NE=5米，EP=1米.請你根據以上數

據幫助興趣小組求出攬月閣的高度.

【題型5相似三角形的應用（樹高問題）】

【例5】（2011?遼寧大連?中考真題）為了測量校園內一棵不可攀的樹的高度，學校數學應用實踐小組做了

如下的探索：根據光的反射定律，利用?面鏡子和皮尺，設計如圖所示的測量方案：把鏡子放在離樹（AB）8.7m

的點E處，然后觀測考沿著百線BE后退到點D,這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點A,再用皮尺量得DE=2.7m,

觀測者目高CD=1.6m,則樹高AB約是—.（精確到0.1m）

DEB

【變式5-1］（2021?全國?九年級專題練習）據《九章算術》記載：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里,

木高九丈西尺，人立木東三里，望木末適與山峰斜平.人目高七尺.問山高幾何？〃

大意如下：如圖，今有山力8位于樹C”的西面.山高AB為未知數，山與樹相距53里，樹高9丈5尺，人站在離

樹3里的F處，觀察到樹梢C恰好與山峰A處在同一斜線上，人眼離地7尺，問山AB的高約為多少丈？（1丈=10

尺，結果精確到個位）

【變式5?2】（2022?全國?九年級單元測試）小明想用鏡子測量?棵松樹的高度，但因樹旁有?條河，不能

測量鏡子與樹之間的距離，于是他兩次利用鏡子，如圖所示，第一次他把鏡子放在C點，人在F點時正好

在鏡子中看到樹尖A；第二次把鏡子放在D點，人在G點正好看到樹尖A.已知小明的眼睛距離地面1.70m,

量得CD=12m,CF=1.8m,DH=3.8m.請你求出松樹的高.

【變式5-3］（2021?陜西寶雞?一模）傍晚，小張和媽媽在某公園散步，發現公園的一路燈旁有一棵古老的

大樹，小華激動地說：媽媽，我可以通過測錄您的影長，測得媽媽的影長。尸=1.6m.媽媽沿8。的方向到

達點尸處，此時小華測得媽媽的影長〃G=2m.已知媽媽的身高為1.6m（即CO=EF=L6m）,

CDH13G,求這棵大樹的高度.

【題型6相似三角形的應用（河寬問題）】

【例6】（2021?河北?石家莊市第四十一中學九年級期中）為了估計河的寬度，我們可以在河對岸的岸邊選

定一個目標記為點力，再在河的這一邊選點B和點C,使得/18J.8C,CE1BC,設BC與4E交于點0,如圖所

示測得8。=120m,DC=40m,EC=30m,那么這條河的大致寬度是（）

A

E

A.60mB.90mC.100mD.120m

【變式6-1］（2019?全國?九年級單元測試）如圖，為了估計河的寬度，在河的對岸選定一個目標點A,在

近岸取點B,C,D,E,使點A,B,D在一條直線上，且AD團DE,點A,C,E也在一條直線上且DE回BC.如

果BC=24m,BD=12m,DE=40m,則河的寬度AB約為（

A.20mB.18mC.28mD.30m

【變式6-2］（2022?貴州畢節?二模）如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸岸邊每隔5m有一棵

樹，小華站在離南岸20m的點”處看北岸，在兩棵樹之間的空隙中，恰好看見一條龍舟的龍頭和龍尾（假

設龍頭、龍尾和小華的眼睛位于同一水平平面內），已知龍舟的長為18.5m,若龍舟行駛在河的中心，且龍

\/南岸

7P

【變式6-3］（2022?陜西?西安工業大學附中九年級期中）為了力I快城市發展，保障市民出行方便，某市在

流經該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路.小明和小穎想通過自己所學的數學知識計

算該橋的長.如圖，該橋兩側河岸平行，他們在河的對岸選定一個目標作為點A,再在河岸的這一邊選

出點3和點C,分別在43、AC的延長線上取點。、E,使得OEII8C.經測量，3C=120米，DE=210米,

且點E到河岸8c的距離為60米,已知AR28C于點尸，請你根據提供的數據，幫助他們計算橋A尸的長度.

【題型7相似三角形的應用（內接矩形問題）】

【例7】（2020?江蘇無錫?九年級期中）一塊直角三角形木板，它的一條直角邊AC長為1cm,面積為lcm?,

甲、乙兩人分別按圖①、②把它加工成一個正方形桌面，則①、②中正方形的面積較大的是（）

①②

A.①B.②C.一樣大D.無法判斷

【變式7-1］（2021?遼寧?沈陽市第七中學九年級期中）如圖有一塊直角邊AB=4cm,BC=3cm的RtZkABC

的鐵片，現要把它加工成一個正方形（加工中的損耗忽略不計），則正方形的邊長為（）

A.7c請

【變式7-2］（2019?浙江寧波?九年級期末）如圖，已知在RM48c中，4C為直角，4C=5,8C=12,在RM4BC

內從左往右疊放邊長為1的正方形小紙片，第一層小紙片的一條邊都在48上，依次這樣往上疊放上去，則

第二層最多能疊放一個正方形小紙片.

【變式7-3］（2021?浙江臺州?九年級期末）一塊材料的形狀是等腰（M8C,底邊8c=120cm,高AD=120cm.

圖1

⑴若把這塊材料加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB,AC上（如圖1）,

則這個正方形的邊長為多少？

⑵若把這塊材料加工成正方體零件（如圖2,陰影部分為正方體展開圖），則正方體的表面積為多少？

專題27.6圖形的位似變換【八大題型】

【人教版】

"外媽宮巾

【題型I位似圖形的相關概念辨析】............................................................13

【題型2判斷位似中心】.......................................................................14

【題型3求位似圖形的相似比】................................................................15

【題型4求位似圖形的長度】...................................................................16

【題型5求位似圖形的面積】...................................................................17

【題型6求位似圖形的周長〕...................................................................18

【題型7求位似圖形的坐標】..................................................................20

【題型8格點中作位似圖形】..................................................................21

妙好濘，?三

【知識點1位似圖形】

1、定義：一般的，如果兩個相似多邊形任意一組對應頂點P,P'所在的直線都經過同一點。，且有OP'二

hOP（ZwO）,那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點0叫做位似中心

2、性質：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比

3、畫圖步驟：

（1）尺規作圖法：①確定位似中心；②確定原圖形中的關鍵點關于中心的對應點；③描出新圖形

（2）坐標法：在平面直角坐標系中，將一個多邊形每個頂點的橫坐標、縱坐標都乘于同一個數人（2工0）,

所對應的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標原點，它們的相似比為網

【題型1位似圖形的相關概念辨析】

【例1】（2022?全國?九年級專題練習）下列命題：①兩個相似多邊形面積之比等于相似比的平方：②兩

個相似三角形的對應高之比等于它們的相似比；③在△48C與△A'B'C'中，黑=需，/力=/〃，那么△

AHAC

ABC?AAEU；④已知及位似中心O,能夠作一個且只能作一個三角形與A4BC位似，使位似比為

2其中真命題的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1-1］（2022?江蘇?九年級專題練習）下列語句中，不正確的是（）

A.位似的圖形都是相似的圖形

B.相似的圖形都是位似的圖形

C.位似圖形的位似比等于相似比

D.位似中心可以在兩個圖形外部，也可以在兩個圖形內部

【變式1-2］（2022?四川達州?九年級期末）下列說法中正確的有（）

①位似圖形都相似；

②兩個等腰三角形一定相似；

③兩個相似多邊形的面積比是2:3,則周長比為4:9；

④若一個矩形的四邊形分別比另一個矩形的四邊形長2,那么這兩個矩形一定相似.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1-3］（2022?山東青島?九年級單元測試）關于對位似圖形的4個表述中：

①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；

②，立似圖形一定有位似中心；

③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應點的連線所在的直線都經過同一個點，那么，這兩個圖形是位似

圖形；

④，‘立似圖形上任意兩點與位似中心的距離之比等于位似比.

正確的個數（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【題型2判斷位似中心】

【例2】（2022?全國?九年級專題練習）如圖，正方形OEFG和正方形45CD是位似圖形，且點。與點G是一

對對應點，點。（2,2）,點G（0,1）,則它們位似中心的坐標是（）

C.(0,0)D.(-3,0)

【變式2-1］（2022?北京師大附中九年級階段練習）圖中的兩個三角形是位似圖形，它們的位似中心是（）

【變式2-2]（2022?全國?九年級單元測試）下列四邊形4BCD和四邊形EFGD是位似圖形，它們的位似中心

是（）

A.點EB.點FC.點GD.點D

【題型3求位似圖形的相似比】

【例3】（2022?湖北恩施?二模）如圖，在邊長為1的正方形網格中，0ABC與（3DE尸是位似圖形，則

與叵。￡產的相似比為（）.

【變式3-1]（2022?全國?九年級專題練習）如圖,已知△4BC與△/）￡1尸位似，位似中心為點O,△4BC的面

積與ZkOE尸面積之比為16：9,則C0:。尸的值為（）

【變式3-21.(2022?福建廈門?模擬預測)如圖,把△408縮小后得到△COD,則△力。8與△CO。的相似比

為______

【變式3-3](2022?全國?九年級單元測試)△48C三個頂點4(3,6)、8(6,2)、C(2,-1),以原點為位似中

心，得到的位似圖形三個頂點分別為4(1,2),B'(2,|),C(|,-1),則AAB'C'與△48C的位似比是

【題型4求位似圖形的長度】

【例4】(2022,重慶?一模)如圖,△ABC與ADEF是位似圖形,且位似中心為O,OB:OF=3⑵若線段4c=9,

則線段OE的長為()

A.2B.4C.6D.8

【變式4-1](2022?全國?九年級專題練習)如圖，已知團ABC與國VBC是以坐標原點0為位似中心的位似圖

形，且**=：，若點A(-1,0),點C(：,1),則A'C'=

OAl22

【變式4-2］（2022?全國?九年級專題練習）在平面直角坐標系中，已知A（6,3）、8（6,0）兩點，以坐標原點。

為位似中心，相似比為；，把線段AB縮小后得到線段則A，B%勺長度等于.

【變式4-3］（2022?全國?九年級課時練習）如圖，在矩形A8C0中，AB=S,BC=4.若矩形AEFG與矩形

ABCD位似,點尸在矩形48co的內部，且相似比為3:4,則點C、尸之間的距離為.

D----------------1c

G--------------IF

AEB

【題型5求位似圖形的面積】

【例5】（2022?河北?石家莊外國語教育集團九年級階段練習）如圖，△力8。與4力0?成位似圖形，位似中

心為點4若AD:A8=1:3,則△ADE與AABC面積之比為（）

A.1:2B.1:3C.1:9D.1:16

【變式5-1］（2022?重慶市巴川中學校八年級期末）如圖，與△/'夕C'位似，位似中心為點O,OA'=

2AAf,△/BC的面積為9,則△4B'C'面積為（）

A.4B.6D.-

【變式5-2］（2022?全國?九年級謖時練習）如圖，已知1388（；〃的面積為24,以％為位似中心，作的

位似圖形回砥“，位似圖形與原圖形的位似比為j連接AG、OG.則的面積為

【變式5-3］（2022?全國?九年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，正方形AiOiGAz與正方形42。2c2H3

是以。為位似中心的位似圖形，且位似比為，點4,4，仆在工軸上，延長43c2交射線OB1與點％，以為

邊作正方形4383c344；延長交射線。當與點也，以/I4B4為邊作正方形4B4c4/：…按照這樣的規律繼

續下去,若。=1，則正力形力202182021。202242022的面積為-

【題型6求位似圖形的周長】

【例6】（2022?浙江溫州?二模）如圖，已知園48c與配陀”是位似圖形，O是位似中心，若。人=20/）,則助BC

與ROEF的周長之比是（）

A

A.2：1B.3:1C.4：1D.6:1

【變式6-1］（2022?全國?九年級專題練習）如圖，四邊形4BC。與四邊形EFGH位似，位似中心是O,若

OA：OE=1：3,且四邊形ABCO的周長為4,則四邊形EFG”的周長為（）

C.20D.24

【變式6-2］（2022?重慶南岸?九年級期末）如圖，已知（MBC與眈所位似，位似中心為點O,OA：0/）=1：

3,且出WC的周長為2,則團OEr的周長為（）

C.8D.18

【變式6-3］（2022?全國?九年級課時練習）如圖,ZMBC與ADEF位似,點O是位似中心.若。4:40=2:3,

△DE/與△A8C的周長差為12cm,則△ABC的周長為（）

D

A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm

【題型7求位似圖形的坐標】

【例7】（2022?河北?泊頭市教師發展中心九年級期中）如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點A（-4,2）,

B（-2,-2）.以坐標原點。為位似中心把財04縮小得到財財/08/與財的位似比為;，則點A的

在平面直角坐標系中，以原點。為位似中心，將AAOB縮小為

原來的點得到△C。。，若點A的坐標為（4,2）,則AC的中點E的坐標是

【變式7-2］（2022?全國?九年級專題練習）如圖，△ABC中,48兩個頂點在“軸的上方，點C的坐標是（-1,0）.以

點C為位似中心，在x軸的下方作A/BC的位似圖形△AB'C,并把△48C的邊長放大到原來的2倍.設點8的

對應點夕的橫坐標是m,則點8的橫坐標是（）

A.-g(m+3)B.-/m+1)C.—(rn.-1)D.—

【變式7-3］（2022?山東?膠州市初級實驗中學模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，正方形O/WC與正

方形OQE尸是位似圖形，點O為位似中心，位似比為2：3,點6、E在第一象限，若點A的坐標為（4,0）,

則點E的坐標是.

【例8】（2022?遼寧撫順?二模）如圖，在平面直角坐標系中，0X8C的三個頂點分別為人（-2,2）,4（-

⑴畫出0ABC關于x軸對稱的財源。；

（2）以坐標原點O為位似中心，將汕8c縮小為原來的%得到△/B'C',使a48c與△4'B'C'位于位似中心兩

側，請在平面直角坐標系中畫出

⑶設出WC與團△%夕C'的周長分別為12,貝%:l2=.

【變式8-1］（2022?河南南陽?九年級期中）如圖，在正方形網格圖中，每個小正方形邊長均為1,點。和△ABC

的頂點均為小正方形的頂點.

(1)以。為位似中心，在網格圖中作△A'8'C',使△48(“和△A8C位似,且位似比為1：3.

(2)證明△4BC'和△4BC相似.

【變式8-2](2022?浙江寧波?九年級專題練習)如圖，9X9的方格都是由邊長為1的小正方形紹成.團ABCD

的頂點都在格點上，請按以下要求在圖1,圖2中畫出相應的格點圖形(頂點均在格點上).

⑴畫出畫48CD繞點人旋轉得到的山IB'。'。'，使得點B落在邊8c上.

(2)請以4為位似中心，作與團48CD的面積比為祁J位似圖形目力EFG.

4

【變式8?3】(2022?山西呂梁?九年級期末)如圖，網格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小正方形的頂

點叫做格點，以格點為頂點，分別按下列要求畫三角形.

圖①

⑴任圖②中，請在網格中畫一一個與圖①團48c相似的回。EA

⑵在圖③中，以O為位似中心，畫一個0A/8/。，使它與的位似比為2：1.

專題27.6圖形的位似變換【八大題型】

【人教版】

旦無力

【題型1位似圖形的相關概念辨析】.............................................................13

【題型2判斷位似中心】.......................................................................14

【題型3求位似圖形的相似比】.................................................................15

【題型4求位似圖形的長度】...................................................................16

【題型5求位似圖形的面積】...................................................................17

【題型6求位似圖形的周長】...................................................................18

【題型7求位似圖形的坐標】...................................................................20

【題型8格點中作位似圖形】...................................................................21

”若A女三

【知識點1位似圖形】

1、定義:一般的，如果兩個相似多邊形任意一組對應頂點P,P'所在的直線都經過同一點O,

且本OP'=k?OP（k￥。）,那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點。叫做位

似中心

2、性質：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比

3、畫圖步驟：

（1）尺規作圖法：①確定位似中心；②確定原圖形中的關鍵點關于中心的對應點；③描出

新圖形

（2）坐標法：在平面直角坐標系中，將一個多邊形每個頂點的橫坐標、縱坐標都乘于同一

個數Z（女工0）,

所對應的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標原點，它們的相似比為網

【題型1位似圖形的相關概念辨析】

【例1】（2022?全國?九年級專題練習）下列命題：①兩個相似多邊形面積之比等于相似比

的平方：②兩個相似三角形的對應高之比等于它們的相似比；③在△48C與△A夕L中，

搐=痣，/力=44,那么AABC?△AB'C'；④己知AABC及位似中心。，能夠作一個

且只能作一個三角形與△ABC位似，使位似比為2其中真命題的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據相似三角形的性質及位似比的概念解答即可.

【詳解】①正確，兩個相似多邊形面積之比等于相似比的平方；

②正確，兩個相似三角形的對應高之比等于它們的相似比；

③正確.根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩個二角形相似可得：在回ARC與團AWU中，黑=

痣，13A=13A',刃口么0ABCE0A'B'C'；

AC

④錯誤，因為已知0ABe及位似中心。，能夠作兩個三角形與回ABC位似，且位似比為2.

故選：C.

【點睛】本題考查了命題的真假判斷，涉及到相似三角形的性質和位似比的有關概念，熟記

性質概念是解題的關鍵.

【變式1-1］（2022?江蘇?九年級專題練習）下列語句中，不正確的是（）

A.位似的圖形都是相似的圖形

B.相似的圖形都是位似的圖形

C.位似圖形的位似比等于相似比

D.位似中心可以在兩個圖形外部，也可以在兩個圖形內部

【答案】B

【分析】利用位似圖形的性質分別判斷得出即可.

【詳解】A、位似的圖形都是相似的圖形，正確，不合題意；

B、相似的圖形不一定是位似的圖形，錯誤，符合題意；

C、位似圖形的位似比等于相似比，正確，不合題意；

D、位似中心可以在兩個圖形外部，也可以在兩個圖形內部，正確，不合題意.

故選：B.

【點睛】此題主要考查了位似圖形的性質，正確掌握位似圖形的相關性質是解題關鍵.

【變式1-2］（2022?四川達州?九年級期末）下列說法中正確的有（）

①位似圖形都相似；

②兩個等腰三角形一定相似；

③兩個相似多邊形的面積比是2:3,則周長比為4:9；

④若一個矩形的四邊形分別比另一個矩形的四邊形長2.那么這兩個矩形一定相似.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】根據位似變換的概念、相似多邊形的判定定理和性質定理判斷.

【詳解】解：①位似圖形都相似，本選項說法正確；

②兩個等腰三角形不一定相似，本選項說法錯誤；

③兩個相似多邊形的面積比是2：3,則周長比為a：75,本選項說法錯誤；

④若一個矩形的四邊分別比另一個矩形的四邊長2,那么這兩個矩形對應邊的比不一定相

等，兩個矩形不一定一定相似，本選項說法錯誤；

團正確的只有①；

故選:A.

【點睛】本題考查的是位似變換、相似多邊形的判定和性質，掌握位似變換的概念、相似多

邊形的判定定理和性質定理是解題的關鍵.

【變式1-3]（2022?山東雪島?九年級單元測試）關于對位似圖形的4個表述中：

①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；

②位似圖形一定有位似中心；

③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應點的連線所在的直線都經過同一個點，那么，這

兩個圖形是位似圖形；

④位似圖形上任意兩點與位似中心的距離之比等于位似比.

正確的個數（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】根據位似變換的概念和性質對各個選項進行判斷即可.

【詳解】相似圖形不一定是位似圖形，位似圖形一定是用似圖形，①錯誤；

位似圖形一定有位似中心，②正確；

根據位似的定義，除上述條件還需有對應邊平行，或位于同?條直線上，③錯誤；

反例如下圖，團ABC能）AiBiJ,并且每組對應點的連線所在的直線都經過同一個點Bn但是這

兩個三角形不是位似圖形.

位似圖形上對應兩點與位似中心的距離之比等于位似比，④錯誤.

故選A.

【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質，位似圖形的定義：如果兩個圖形不僅是相似

圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖

形，這個點叫做位似中心.注意：①兩個圖形必須是相似形；②對應點的連線都經過同一

點；③對應邊平行.

【題型2判斷位似中心】

【例2】（2022?全國?九年級專題練習）如圖，正方形OE2和正方形48CD是位似圖形，且

點。與點G是一對對應點，點。（2,2）,點G（0,1）,則它們位似中心的坐標是（）

A.(-2,0)B.(-1,0)C.(0,0)D.(-3,0)

【答案】A

【分析】根據兩個位似圖形對應頂點所在的直線相交于一點，交點就是位似中心，可得連接

QG并延長，其與x軸交點即為位似中心，用待定系數法求出直線。G解析式，即可求解.

【詳解】解；連接OG并延長交x軸于

0點。與點G是一對對應點，

則可知兩個位似圖形在位似中心的同旁，位似中心就是點M,

設直線OG解析式為；y=kx+b,

將。(2,2),G(0,1)代入得：

(2k+b=2

Ib=l

解得：［k=2,

力=1

團直線OG解析式為y=：%+1,

令v=0,可得：x=—2,

0)

即位似中心的坐標是(一2,0).

故選A.

【點睛】考題考查了判斷位似中心和求解位似中心，待定系數法求?次函數，熟練掌握位似

中心的定義是解題的關鍵.

【變式2-1］（2022?北京師大附中九年級階段練習）圖中的兩個三角形是位似圖形，它們的

位似中心是（）

A.點PB.點。C.點MD.點N

【答案】A

【分析】根據位似變換的定義：對應點的連線交于一點，交點就是位似中心.即位似中心一

定在對應點的連線上.

【詳解】點尸在對應點M和點N所在直線上，

回兩個三角形的位似中心是：點P.

故選A.

【點睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質是解題關鍵.

【變式2-2］（2022?全國九年級單元測試）下列四邊形48CD和四邊形EFG。是位似圖形，

它們的位似中心是（）

A.點EB.點FC.點GD.點D

【答案】D

【分析】利用位似圖形的對應點的連線都經過同一點進仃判斷.

【詳解】四邊形ABCD和四邊形EFGD是位似圖形，它們的位似中心是點D.

故選D.

【點睛】本題考查了位似變換：兩位似圖形的對應點的連線都經過同一點：對應邊平行.

【變式2-3］（2022?江蘇?九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，矩

形"CD與矩形E尸GO是位似圖形，位似中心在y軸上，對應點8、戶的坐標分別為（-4,

4）、（2,1）,則位似中心的坐標為（）

A.（0,1）B.（0,2）C.（0,3）D.（0,4）

【答案】B

【分析】如圖，連接B尸交,軸于尸，根據位似圖形的定義可得點尸為位似中心，根據點從

戶坐標可得點C、G坐標，可得CG的長，根據相似三角形的性質可求出GP的長，即可求

出點。的坐標.

【詳解】如圖，連接8尸交y軸于P,

回矩形ABC。與矩形EFG。是位似圖形，位似中心在），軸上，點8、尸為對應點，

團點P為位似中心，

團四邊形48。。和四邊形比PO是矩形，點8,r的坐標分別為（-4,4）,（2,1）,

團點。的坐標為（0,4）,點G的坐標為（0,1）,BC=4,GF=2,OG=1,

0CG=3,

^BC^GF,

同團BCPI0FGP,

曜PC=穿BC=32PC=CG-PG,

解得：GP=1,

團OP=OG+GP=2,

團點尸的坐標為（0,2）,

故選：B.

【點睹】本題考查位似圖形的定義、相似三角形的判定與性質，理解位似圖形的定義、熟練

掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵.

【題型3求位似圖形的相似比】

【例3】（2022?湖北恩施?二模）如圖，在邊長為1的正方形網格中，齦3c與國DEF是位似

圖形，則0ABe與團OEr的相似比為（）.

A

A.2B.-C.TD.2

【答案】D

【分析】0ABC與田。石尸是位似圖形，所以（MBQHWM,根據勾股定理求出4B和。E即可

解答.

【詳解】解：西A3C與團OEF是位似圖形，

W^BC^DEF,

由圖可知ABW22+22=2后.DE=\/”+M=a.

喂=箸=2

團財BC與團QEr的相似比為2,

故選：D.

【點睛】本題考查位似圖形的性質.

【變式3-1】（2022?全國?九年級專題練習）如圖，已知A48c與ADEF位似，位似中心為點

O,△48。的面積與面積之比為16：9,則C。:OF的值為（）

【答案】C

【分析】根據位似圖形的概念得到ACW印,進而證明△AOCIWWM根據相似二角形的性

質解答即可.

【詳解】解:0HABC與ADE尸位似,

^LABC^DEF,AC^DF,

團ZkABC的面積與AOE”面積之比為16：9,

喘=/

^AOC^DOF.

胖="=々，

OFDF3

故選：c.

【點睛】本題考查的是位似圖形、相似三角形的性質，掌握相似三角形的面積比等于相似比

的平方是解題的關鍵.

【變式3-2].(2022?福建廈門?模擬預測)如圖，把△力OB縮小后得至I"COD,則AAOB與

△COO的相似比為.

【答案】5:2

【分析】根據位似變換的性質，三角形的相似比等于黑=|即可得出結論.

【詳解】解:如圖所示,D(2,0)、8(5,0),

???}￡△4。8縮小后得至COD,

???位似比為界=則44。8與乙COD的相似比為5:2,

故答案為:5:2.

【點睛】本題考查的是位似變換的性質，掌握在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點

為位似中心，相似比為匕那么位似圖形對應點的坐標的比等于火或-女是解題的關鍵.

【變式3-3](2022?全國?九年級單元測試)ZkA