2023-2024學年北京市朝陽區高二上學期期中數學質量監測

模擬試題

一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求

的一項.

1.直線石x-y—3=0的傾斜角是（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.設平面。的法向量為（12-2）,平面a的法向量為（-2,-4,左），若?！ㄏΓ瑒t女的值為（）

A.3B.4C.5D.6

3.尸是橢圓.d+4/=16上一點，耳，鳥是該橢圓的兩個焦點，且1Ml=7,則歸圖=（）

A.1B.3C.5D.9

22

4.雙曲線上-匕=1的焦點到漸近線的距離為（）

26

A.V2B.x/6C.272D.276

5.已知直線/：），=.丫被圓。:（、-3）2+（歹-1）2=叫「＞0）截得的弦長為2,則r=（）

A.73B.76C.3D.4

6.如圖，在平行六而體4ACZ）—力百￡/）]中，，44-萬，AB=b，亞=云，點尸在上，且

A}P\PC=3:2,則萬=（）

7.已知圓G：V+y2=l與圓a：（x-2）2+（y+2）2=l,則圓G與圓G的位置關系是（）

A.內含B.相交C.外切D.外離

8.已知用工是橢圓。：二十[=1（。＞6＞0）的左、右焦點，點尸為。上一點,0為坐標原點“尸。區

為正三角形，則C的離心率為（）

A.6-1B.8-1C.—

2D-T

9.一座圓拱橋，當水面在如圖所示位置時，拱頂離水面2米，水面寬12米，當水面下降2米后,

C.15米D.16米

10.已知橢圓M：=+二=l（a>b>0）,雙曲線N：二一與=1的>0,〃〉0）.設橢圓”的兩

a'b~m'n~

個焦點分別為耳，片，橢圓M的離心率為修，雙曲線N的離心率為g,記雙曲線N的一條漸近

線與橢圓M一個交點為P,若尸片，尸鳥且IZKI=2|P不，則且的值為（）

A.B.V3-1

2

C.2D.V3+1

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.

11.過點力（3,2）且與直線工+歹+1=0平行的直線方程為.

12.橢圓蘭+廣=1的一個焦點是（01）,那么我等于_____________.

2k

13.已知點P（2,。）在拋物線C：/=4x上，則點尸到拋物線C的焦點的距離為.

14.在長方體力BCQ-4qCQ中，?8|=l,|4）|=2,|44j=3,則麗次=.

15.已知點P是橢圓匕+上=1上任意一點，過點P作x軸的垂線，垂足為則線段PM的中

64

點N（x,y）的軌跡方程為.

16.如圖，正方體MCD-4BGA的棱長為1，底戶分別為EG，GA的中點,尸是底面44GA上

一點.若力P〃平面BEF，則/夕長度的最小值是最大值是.

三、解答題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.在棱長為2的正方體力5CQ—44G。中，點E是8C的中點，點下是C。中點.

(1)證明：。￡_1平面/阻尸；

(2)求。到面力"尸的距離.

18.已知橢圓C:工+匕=1,左右焦點分別為耳工，直線V=-x+1與橢圓C相交于48兩點.

32

(I)求橢圓的焦點坐標及離心率；

⑵求“他的面積.

19.在如圖所示的多面體中，ADHBC旦AD=2BC，ADLCD,EG/〃。且EG=4Q,CD//FG

旦CQ=2尸G,DGI￥SUABCD,O4=OC=OG=2,"N分別為棱";EG的中點.

(I)求點尸到直線EC的距離；

(II)求平面與平面EDC夾角的余弦值；

(III)在棱G產上是否存在一點0,使得平面MNQ//平而EDC?若存在.指出點。的位置，若不存

在，說明理由.

20.已知橢圓。:\+泰1(4>6>0)過點8(0冏，且離心率e邛.

(1)求橢圓。的方程：

(2)設點/為橢圓。的左焦點.點7(-3,加)，過點尸作7F的垂線交橢圓。于點尸,。，連接or與P。

交于點H.求的值.

21.已知集合［=｛《,%,/「,?，勺｝(0?卬〈生〈…〈q，〃之2)具有性質P：對任意的/；/

(1</<7<?),4+叫與%-外兩數中至少有一個屬于4

⑴分別判斷數集｛0J3,4｝與｛0,2,3,6｝是否具有性質P,并說明理由;

(2)證明：q=0,且〃。“=2(4+%+—+〃”)；

(3)當〃=5時，若生=3,求集合力.

1.B

【分析】根據直線一般方程得直線的斜率，結合直線傾斜角與斜率得關系可得傾斜角的大小.

【詳解】解：由直線，1l一歹一3=0得直線的斜率左

又直線的傾斜角為a,且。€[0。,180。)，所以tana=百，得a=60。

故選：B.

2.B

【分析】依題意可得兩平面的法向量共線，即可得到(-2,-4,攵)=〃1,2,-2),從而得到方程組，解

得即可；

-2=Z(2__2

【詳解】解：因為a",所以(-2,-4,4)=4(1,2,-2),即"4=2"解得二二;

k=—2尢1=

故選：B.

3.A

【分析】首先將橢圓方程化戊標準形式，進而得出橢圓長半軸長，再根據橢圓定義即可求解.

【詳解】解：對橢圓方程1+4必=16變形得二+亡=1,易知橢圓長半軸的長為4,

164

由橢圓的定義可得歸用+歸用=2x4=8,

又|叫|=7,故|尸周=1.

故選：A.

4.B

【分析】根據標準方程寫出焦點坐標與漸近線方程，代入點到直線的距離公式即可求解.

【詳解】由雙曲線的對稱性可知，求出一個焦點到一條漸近線的距離即可，則

]一片=1的一個焦點為(2立0),一條漸近線為".尸0,則焦點到漸近線的距離為

|V3X2V2-O|

=\fb,

/可+(7)2

故選：B.

5.A

【分析】根據半徑的平方等于弦長一半的平方加圓心到直線的距離的平方，即可求出答案.

r=J(&)+「=6.

【詳解】圓心到直線的距離弦長的一半為1,

VI2+12

故選：A.

6.C

【分析】利用空間向量的基本定理可得出/關于監短｝的表達式.

【詳解】囚為4尸：尸C=3：2,所以4尸=

則有:

辭=麴+神=麴+|丞=麴+|卬+而+反)=您+|(一麴+而+刀)

2吧3喂3吧；2r313r

=—AA.+—AB+—AD=—Q+—b+—c

555555

故選：C.

7.D

【分析】求出圓心距，大于兩半徑之和，從而判斷出兩圓的位置關系.

【詳解】G：r+/=i的圓心為^(0,0),半徑々=1,

4：(x—2)2+"+2尸=1的圓心為。2(2,-2),半徑[=1,

則圓心距|CG|=1(2-0『+(-2-0)2=2叵,且|CG|=26>々+弓，

故圓G與圓的位置關系是外離.

故選：D

8.B

【分析】結合圖像，利用平面幾何的知識證得/用”=90。，結合橢圓的定義可分別求出|戶用,歸周

及歸國+歸周=2%由此得到。的關系式，進而可求得橢圓C的離心率.

【詳解】如圖，連結尸片，

由橢圓c：￡+[=ig〉b>o)可知|。周=~|歷|+|尸周=2%

crb~

因為內。鳥為正三角形，所以|?用二|。叫二%

又因為|。制=|。6|=|。^，所以/尸6。=/0勿;，

又NPFQ+ZOPF\=ZPOF2=60°,所以NPFQ=40PF、=30°,

故4F\PF?=/OPR+ZOPF2=30°+60°=90°,

所以在心△耳尸死中，|P6|=|KK|COSNO￡P=2CX￥=&,

所以由|產制+儼周=2。得由c+c=2“，即g+l)c=2a,

c22(73-1)

故橢圓。的離心率為6=一=一一=/廠'"/

aV3+1(G+1)(6-1)

【分析】沿拱頂建立如圖所示的平面直角坐標系，求出圓的方程后可得水面卜降2米后的水面寬.

【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則力(-6,-2),5(6,-2),

設圓的方程為：/+()，+加丫=〃/(〃?＞0),代入A,則有加=]0,

故圓的方程為：./+(),+10)2=100,

令y=-4,貝ijx=±8,故忸月=16,

【分析】聯系橢圓定義可順利解得其離心率，由漸近線方程可以順利解得雙曲線的離心率.

【詳解】橢圓M：￡+￡=15＞力：＞0)中，/￥；JLP鳥且|印冒=2|尸用

則仍用=6歸制，橢圓長軸長為歸用十|尸國=（1+6）|尸網

則橢圓”的離心率2行c五二FF向扁二2言地r一】

直線OP斜率為g

又由題意可知直線OP為雙由線N的一條漸近線，

雙曲線N：￡一?=1的漸近線方程為y=±N%

m*nm

故'=G,即〃=#）m,

m

則雙曲線N的實半軸長為J〃/+〃2=//+（揚人=》〃

則雙曲線N的離心率e,=￡=2"=2

am

則員=與

e22

故選：A

11.x+y-5=0

【分析】設所求直線方程為x+p+C=0,利用力點坐標求得C,從而求得正確答案.

【詳解】設過點力（3,2）且與直線工+^+1=0平行的直線方程為工+曠+。=0,

將力（3,2）代入X+），+。=0得3+2+。=0,。二一5,

所以所求方程為工+）-5=0.

故x+y-5=0

12.3

【分析】根據橢圓中。2=62+。2,得出c?2的代數式，并根據焦點坐標列出方程即可求解.

【詳解】因為橢圓工+武=1,所以°2=%-2,

2k

又因為橢圓的一個焦點是（。，-1），

所以攵一2二1,解得攵=3,

故答案為.3

13.3

【分析】根據給定的拋物線方程求出其準線方程，再結合拋物線定義即可計算作答.

【詳解】拋物線C：V=4x的準線方程為：x=-l,由拋物線定義得，點尸（2,0到拋物線。的焦

點的距離d=2-（—1）=3,

所以點尸到拋物線。的焦點的距離為3.

故3

14.3

【分析】根據給定的幾何體，用空間向量的基底赤，萬，福表示向量而，否，再利用向量數量

積運算律計算即得.

【詳解】在長方體4BCD-力BCQi中,BD=JD-JB.AC^AD+AB+AA.,

所以麗?苑*=~AD-1B?布+而心狼）=方一時+了b石I-劉訝=2-2=3.

故3

15.—+/=1

6'

【分析】先利用中點坐標公式寫出夕（x,2封,再把外x,2y）代入橢圓方程化簡即可.

【詳解】因為PWlx軸，垂足為M,且PA/的中點為N（xj）,

所以P（x,2y）,又因為尸是橢圓＜+口=1上任意一點，

64

所以工+包匚=1,即《+『=1.

646,

故答案為*+V=i

6

3>/2人

16.

-T

取4A中點N,中點M,連接4W,AN,MV,利用面面平行的判定定理證得平面HMN//

平面8E產，結合已知條件可知PwMN,在等腰中，可求得力。長度的最值.

【詳解】取4A中點N,4斗中點M,連接力加，AN,MN

由正方體抽CD-44GA，由正分別為4G,4■的中點，???/N//8E

又4N(z平面8EF,BEu平面BEF,:.4N"平面BEF

???旦/分別為4GC分的中點，由中位線性質知EF/1B\D\

同理可知MN//4Q,/.MN//"'

又MNu平面3EF,Qu平面32年，/.MN//平面?！瓴?/p>

又NNAMN=N,AN,MNu平面AMN

..?平面4WN//平面BE產

P是底面48cA上一點.且APH平面BEF，:.PwMN

在等腰△4WV中，力尸的長度最大時為4月ni”aA、

MN、_372

4P的長度最小時，P為MN中點，MN=AP=jAM2-\

一下'

即小考

故逑，在

42

B

方法點睛：證明面面平行常用的方法：

（1）面面平行的判定定理：如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平

面平行；

（2）利用垂直于同一條直線的兩個平面平行；

（3）兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；

（4）利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉化.

17.（1）證明見解析

*

【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用線面垂直時，直線的方向向量與平面的法向量共線證明

即可；

（2）利用空間向量，根據點到平面的距離公式求解即可.

【詳解】（1）以A為原點，直線力4,AD,44所在直線分別為x軸、N軸、z軸建立空間直角

坐標系，如圖所示：

則4(0,0,0),(2,0,2),〃(0,2,2),尸(1,2,0),￡(2,1,0),D(0,2,0),

貝=福二(2,0,2),屏二(2,—1,-2),

設平面48尸的一個法向量為而二(x,y,z),

.ir'uuur

MF=2y=0

則tiruuir,取x=-2,則y=1,z=2,

加必4=2x+2z=0

所以碗=(-2,1,2),

又因為屏=(2,-1,-2),所以而=一屏，

所以RE_L平面彳B7.

(2)由(1)知平面48尸的法向量為言=(-2,1,2),

又因為耳=(0,—2,0),

DA-m2

所以。到面AB.F的距離為下丁=-.

網3

18.⑴焦點坐標為￡(-1,0),居(1,0)；離心率為由

3

⑵竽

【分析】(1)由橢圓的定義及性質可以得出橢圓的焦點坐標及離心率，

(2)先計算點6到y=-x+l的距離，再利用公式求出線段的長，

最后用面積公式計算解決問題.

【詳解】(1)橢圓C：￡+爐=1知，該橢圓的焦點在X軸上，設焦距為2c,

32

由/=3萬=2,所以。2=1,所以焦點坐標為耳(-L0),瑪(1,0)

c16

離心率為:e――=-7==—

aG3

(2)由直線y=-x+l與橢圓C相交于48兩點,設4不乂),3(孫必)

，匕=163

則132消去N得5.d-6x—3=0,X1+x2=—,x]x2=--,

y=-x+\55

6\238G

所以|WB|=J(l+F)[(*+々)2-49.]=J2x-4x

5—

又與到口=一工+1的距離為dJT?TLjI

V2

所以186的面積為：S^=lx|J5|xJ=-lx迪x逝=逋

2255

19.(I)V2;(II)手；(III)不存在，證明見解析；

【分析】(D由題知，DGiDC,DG1DA,又4DLCD,建立以。點為原點的空間直角坐標

I->2CEEF2

系，求得向量0方=（2,-2,2），EF=（-2,1,0）?則點/到直線￡C的距離為“尸一’一反一）；

（II）求得平面和平面E。。的法向量，利用向量的夾角求得二面角的余弦值；

（H1）假設G廠上存在點。使得平面"N。//平面E。。，設出坐標，求得平面的法向量,

與平面EDC的法向量應共線，驗證是否存在即可.

【詳解】（I）由。G_L平面45C。知，DG上DC,DG上DA,又ADLCD,

則建立以。點為原點的空間直角坐標系，如圖所示，

則。(0,0,0),4(2,0,0),0(020),6(0,0,2),￡(2,0,2),尸(0,1,2),8(1,2,0),

則M(0尚,1),N(l,0,2)

&=(2,-2,2)，￡>=(-2,1,0)，

產EF

所以點尸到直線EC的距離為但產一（-）=尸羔』

CE

(ID由(I)知，而=(1,2,0)，法=(2,0,2)，DC=(0,2.0)

設平面BED的法向量為7=J,>，/），

mDB=x+2y=0

則、，令y-1,則〃;=(-2,1,2)

m-DE=2x+2z=0

設平面EDC的法向量為n=（X,y,z），

nDE=2x+2z=0*

則___,令x=l則；二(1,0,-1)

n-DC=2y=0

ftm-n-42\/2

故責cos<〃?，n>=1|-；|n|~；~；r|=—3五產=----3--

由圖知，二面角8-EO-C為銳二面角，故余弦值為延

3

(III)設G)上存在一點0,設。(0",2),2G[0,1]

T3T3

設平面MNQ的法向量為j=(x,y,z)

p-MN=x--v+z=0.

則J2，令少=1,則"=(41,37-2)

■S7

pMQ=(A,--)y+z=0

若平面MN。//平面瓦)C,則；〃：，

故義不存在，即不存在點。使得平面MNQ〃平面EDC

X2),2

20.(1)—+^-=1

62

(2)1

【分析】第一問用橢圓短軸和離心率的相關定義求解即可，第二問中止的斜率易求，討論〃，是否

為0分別求解即可.

s/6

3

【詳解】(1)由題意得a2=b2+c2

〃=J2

解得a-=6,b2=2.

「?橢圓。的方程為《+片=1.

由『（一工〃?）,/^—2,。），顯然斜率存在，kTF=-m,

當〃7=0時，翳1.

當〃?工0時，直線尸。過點尸且與直線小垂宜，則直線產。方程為y='（x+2）.

m

廠4+2)

m2得(〃/+3卜2+12工+12-6"/=0.

th-2

二十匕=1

62

顯然A〉o.

1212—6/

設產（凡,必）,。（孫乃），則再+工2=-

則？。中點>號=-高.

直線。7的方程為沙=-gx,

y」(x+2)

6

由,M得

m2+3

y=---x

3

.㈣=1

..悶?

綜上招的值為1.

本題考查解析幾何，屬于難題，第一問用基本定義即可求解，第二問用所學知識，分析題意，進

行分類討論，求解即可，考生需加強分類討論思想的學習.

21.⑴數集｛0,1,3,4｝具有性質P,數集｛0,2,3,6｝不具有性質P；理由見解析;

（2）證明見解析;

(