2023.2024學年八年級數(shù)學上冊舉一反三系列專題13.6等腰三角形的

證明及計算大題專項訓練（50道）

【人教版】

考卷信息：

本套訓練卷共50題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可深化學生對等腰三角形工具的應用及構造等

腰三角形！

一.解答題（共50小題）

1.（2022秋?勃利縣期末）如圖：△ABC的邊AB的延長線上有一個點Z）,過點力作于凡交BC

于E,且BD=BE,求證：△4BC為等腰三角形.

2.（2022秋?淮安區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,NA=50°,A8的垂直平分線MN交AC于點。,

交AB于點E,求N。8c的度數(shù).

3.（2022秋?林州市期末）已知448。的兩邊長。和〃滿足7^』+（b-4）2=0.

（1）若第三邊長為c,求c的取值范圍.

（2）若4A8c是等腰三角形，求△4BC的周長.

4.（2022秋?河東區(qū)校級期中）如圖1,點A、。在y軸正半軸上，點B、C分別在％軸上，。平分NACB

與y釉交于。點，/。。=90°-ZBDO.

（1）求證：AC=BC；

（2）如圖2,點C的坐標為（4,0）,點E為人C上一點，且NOEA=NOBO,求AC+EC的長.

5.（2022秋?武岡市期中）已知如圖，△ABC中，EF//BC.交人4、人。于E、F,NB的平分線交E尸于O

點.

（1）求證：EO=BE；

（2）若EF=BE+CF,求證：0。平分NAC3.

6.（2022秋?盤龍區(qū)期末）如圖，在△人"C中，AB=AC,點。、E、廠分別在人原RC,人C邊上，且BE

=CF,BD=CE.

（1）求證：△￡>￡；”是等腰三角形；

（2）當NA=50°時，求NOE/的度數(shù).

7.（2022秋?大石橋市期末）如圖，ZkABC是等邊三角形，延長8C到點E,使CE=若。是AC的

中點，連接ED并延長交A8于點F.

（1）若A尸=3,求AO的長;

(2)證明：DE=2DF.

8.（2022春?大埔縣期末）如圖，ZUBC是等邊三角形，是等腰三角形，ZAEC=120c,AE=CE,

F為BC中點,連接AF.

（1）直接寫出NBA石的度數(shù)為；

（2）判斷人r與CE的位置關系，并說明理由.

9.（2022秋?寧明縣期末）如圖，在AABC中，AC=BC,ZACfi=120°,CE1A8于點。，且。E=OC.求

證：ACEB為等邊三角形.

10.（2022春?二七區(qū)校級期中）在AABC中，AB=AC,。是直線8。上一點，以AO為一邊在A。的右側

作△AO￡,使AE=A。，ZDAE=ZBAC,連接CE.設N8AC=a,NBCE=p.

（1）如圖（1）,點。在線段8c上移動時，①角a與。之間的數(shù)量關系是;

②若線段8C=2,點A到直線BC的距離是3,則四邊形AOCE周長的最小值是；

（2）如圖（2）,點。在線段BC的延長線上移動時，

①請問（1）中a與p之間的數(shù)量關系還成立嗎？如果成立，請說明理由；

②線段BC、DC、CE之間的數(shù)晟是.

11.（2022秋?臺江區(qū)期末）如圖，已知NA8C=NAOC=90°,BC=CD,CA=CE.

（1）求證：NACB=NACQ；

（2）過點石作ME〃48,交力C的延長線于點M,過點M作MP_LOC,交。C的延長線于點尸.

①連接PE,交AM「點M證明AM垂直平分PE；

②點。是直線人工上的動點，當MO+PO的值最小時，證明點。與點E重合.

備用圖

12.（2022春?市南區(qū)期末）如圖，RdABC中，NACB=90°，D是AB上一點,BD=BC,過點。作4B

的垂線交AC于點石，求證：BE垂直平分CD.

13.（2022秋?平房區(qū)期末）如圖，點。、E在△ABC的邊8c上，AD=AE,BD=CE.

（1）求證：AB=AC；

（2）若N8AC=108°,ND4E=36°,直接寫出圖中除△4BC與AAOE外所有的等腰三角形.

14.（2022秋?河西區(qū)期末）如圖，在△ABC中，48=AC,點。在4C上，且8D=8C=A。，求△ABC各

角的度數(shù).

15.（2022秋?鞏義市期末）如圖，在RtZXABC中，/C=90°,NA=60°,AB=l2cm,若點P從點B

出發(fā)以2cm/s的速度向點A運動，點Q從點4出發(fā)以\cmls的速度向點C運動，設P、Q分別從點R、A

同時出發(fā)，運動的時間為體

（1）用含，的式子表示線段AP、4Q的長；

（2）當，為何值時，△APQ是以FQ為底邊的等腰二角形？

（3）當f為何值時,PQ//BC2

16.（2022秋?清江浦區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，N8=90°,AB=\bcm,BC=\2cm,AC=20cm,

P、。是△48C邊上的兩個動點，其中點。從點4開始沿A-B方向運動，且速度為每秒點Q從

點3開始沿3-C-A方向運動，且速度為每秒2。〃?，它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為，秒.

（1）BP=（用/的代數(shù)式表示）

（2）當點。在邊8C上運動時，出發(fā)幾秒后，△PQ8是等腰三角形？

（3）當點。在邊CA上運動時，出發(fā)秒后，△BCQ是以BC或8Q為底邊的等腰三角形？

備用圖

17.（2022春?渠縣校級期末）已知：如圖，AB=AC,。是AB上一點，DE上BC于點E,的延長線交

C4的延長線于點反求證：AA。尸是等腰三角形.

18.（2。22秋?北侖區(qū)期中）（1）如圖1,△A8C'中，作NA8C、NACA的角平分線相交于鳳O,過點。

作分別交AB、4c于E、F.

①求證：OE=BE；

②若△ABC的周長是25,4c=9,試求出△入￡尸的周長；

（2）如圖2,若N/WC的平分線與NAC4外角N4CO的平分線相交于點P,連接AP,試探求N/MC與

N附C的數(shù)量關系式.

19.（2022秋?余干縣期中）如圖，在四邊形八BCO中，AB=AD,^ABC=ZADC.

20.（2022春?焦作期末）如圖，在等邊三角形A8C中NB,NC的平分線相交于點。，作B。，C。的垂直

平分線分別交BC于點E和點F.小明說：“E,尸是BC的三等分點.”你同意他的說法嗎？請說明理

由.

A

B

E

21.（2022秋?工業(yè)園區(qū)期末）己知：如圖，在四邊形A8CO中，NA8C=N4OC=9（）。，點E是AC的中

點.

（1）求證：是等腰三角形:

22.（2022春?梅州校級期末）如圖,在RtZXABC中,ZACT=90°,NA=30°,BC=\.將三角板中30°

角的頂點。放在A3邊上移動，使這個30°角的兩邊分別與3c的邊AC,6c相交于點￡,凡且使

DE始終與A3垂直.

（1）是什么二角形？請說明理由；

（2）設AO=x,CF=y,試求y與x之間的函數(shù)關系式；（不用寫出自變量x的取值范圍）

（3）當移動點。使E/〃A8時，求A。的長.

23.（2022秋?陽新縣校級期末）如圖1,在RtZ\AC6中，NAC4=90",NA8C=30°AC=1點。為AC

上一動點，連接8Q,以BD為邊作等邊ABDE,E4的延長線交8C的延長線于凡設。。=〃，

（1）當〃=1時，則4尸=；

24.（2022?寧德一模）如圖，已知5c中，NABC=NACB,以點8為圓心，8c長為半徑的弧分別交

AC,AB于點。，E,連接6Q,ED.

（1）寫出圖中所有的等腰三角形:

,求NA8。和/AC8的度數(shù).

25.（2022秋?平輿縣期末）如圖，在△"C中，N/WC=45°,點P為邊8C上的一點，BC=3BP,且N

陰8=15°,點。關于直線以的對稱點為。，連接8。，又△APC的PC邊上的高為A"

(1)求N8P。的大小;

(2)判斷直線8。，A”是否平行？并說明理由;

(3)證明：ZBAP=ZCAH.

26.（2022春?本溪縣期中）如圖，△A8C中，ADVBC,EF垂直平分AC,交AC于點八交4c于點￡,

且BD=DE.

（1）若NBAE=40：求NC的度數(shù);

（2）若△ABC周長為20a〃，AC=8cm,求。。長.

27.（2022秋?澧縣期末）如圖，一只船從A處出發(fā)，以18海里/時的速度向正北航行，經(jīng)過10小時到達8

處.分別從A、8處望燈塔C,測得NNAC=42°,NNBC=84度.求8處與燈塔C距離.

N

28.（2022春?西安期末）如圖，在△ABC中，。七是4c的垂直平分線，AE=5cm,△ABD的周長為17s〃,

求△ABC的周長.

29.（2022春?高縣期末）如圖所示.點P在NAO8的內(nèi)部，點M、N分別是點〃關于直線。小。8的對

稱點，線段MN交。4、OB于點E、F.

（1）若MN=20cm,求△尸E尸的周長.

（2）若N4OB=35°,求NEPF的度數(shù).

30.（2022秋?沂南縣期末）如圖，A。為△ABC的角平分線，DE_LAB于點E,。/J_AC于點立連接Ef

交AZ）于點O.

（1）求證：4。垂直平分Er；

（2）若NB4C=60°,寫出。。與AO之間的數(shù)最關系，不需證明.

A

31.（2022秋?張家港市校級期末）如圖：A。為△ABC的高，N8=2NC,用軸對稱圖形說明：CO=A8+8Q.

32.（2022春?錦江區(qū)校級期末）操作實驗：

如圖，把等腰三角形沿頂角平分線對折并展開，發(fā)現(xiàn)被折痕分成的兩個三角形成軸對稱.

所以所以23=ZC.

歸納結論：如果一個三角形有兩條邊相等，那么這兩條邊所對的角也相等.

根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：

思考驗證：如圖（4）,在△ABC中，AB=AC.試說明N8=NC的理由；

探究應用：如圖（5）,CBLAB,垂足為8,DAVAB,垂足為4.E為AB的中點，AB=BC,CELBD.

（1）8E與是否相等，為什么？

（2）小明認為AC是線段。E的垂直平分線，你認為對嗎？說說你的理由；

（3）NOBC與NOC8相等嗎？試說明理由.

33.（2022?海豐縣模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC,點。是的中點，點石在4。上.求證：BE=

CE（要求：不用三角形全等的方法）

34.（2。22春?余杭區(qū)期木）如圖，已知AA8c中，AH=AC,BC=6,AM平分N8AC,。為AC的中點,

E為BC延長線上一點，且CE=》C.

（1）求ME的長；

（2）求證：△OMC是等腰三角形.

35.（2022?白城校級模擬）在△AEC中，AB=AC,點。是線段3c上一點（不與B、C重合），以AZ）為

一邊在A。的右側作△AOE,AD=AE,ND4E=NE4C,連接C￡

（1）如圖I,如果NB4C=90‘，則N8CE=；

（2）如圖2,設N84C=a,ZBCE=p.當點。在線段上移動時，請寫出a,p之間的數(shù)量關系，請

說明理由.

圖1圖2

備用圖備月圖

36.（2022秋?樂亭縣期末）若a、b是△43。的兩邊且|a-3|+（8-4）2=0

（1）試求a、b的值，并求第三邊c的取值范圍.

（2）若△A8C是等腰三角形，試求此三角形的周長.

（3）若另一等腰△。七凡其中一內(nèi)角為x°,另一個內(nèi)角為（2r-20）°試求此三角形各內(nèi)角度數(shù).

37.（2022秋?盂縣期末）將一副直角三角板如圖擺放，等腰直角板A4C的斜邊4c與含30°角的直角三

角板。8E的直角邊8。長度相同，且斜邊與8七在同一直線上，AC與3。交于點O,連接CD.

38.（2022秋?龍門縣期中）如圖，在△4BC中，點。、E、尸分別在BC、人從AC邊上，且BE

=CF,BD=CE.

（1）求證：△/?〃是等腰三角形：

（2）求證：ZB=ZDEF：

（3）當NA=40°時，求NOE/的度數(shù).

39.（2022春?靜安區(qū)校級期末）已知：如圖，在△A6C中，N/WC=3NC,Z1=Z2,BE1AE.

40.（2022秋?秦淮區(qū)校級期中）在△ABC中，NABC=2NC,B。平分乙4BC,交AC于。，AELBD,垂

足為E.求證：AC=2BE.

41.（2022秋?滑縣校級期末）已知△ABC為等邊三角形，。為AC的中點，ZEDF=120°,OE交線段

48于￡。廣交直線8c于F.

(1)如圖(1),求證：DE=DF；

(2)如圖(2),若BE=3AE,求證：CF=*C.

(3)如圖(3),若BE=癡,則。尸=BC；在圖(1)中，若BE=4AE,則。產(chǎn)=BC.

42.(2022春?峰城區(qū)期末)如圖，在等邊三角形A8C中，點。，E分別在邊8C,AC上，1.DE//AB,過

點E作E/LLQE,交8c的延長線于點尸.

(1)求證：ACE尸是等腰三角形；

(2)若CD=2,求OF的長.

43.(2022秋?紅山區(qū)期末)如圖1,點、P、Q分別是邊長為4c/n的等邊△A3C邊A3、3c上的動點，點P

從頂點4,點Q從頂點8同時出發(fā)，且它們的速度都為"/Ms,

(1)連接AQ、CP交于點M,則在P、。運動的過程中，NCMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不

變，則求出它的度數(shù)；

(2)何時△PBQ是直角三角形？

(3)如圖2,若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線48、8C上運動，直線AQ、CP交點為M,則NCMQ

變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù).

A

A

A/

44.（2022?南京模擬）數(shù)一數(shù)甲圖中有幾個角（小于平角）？乙圖中有兒個等腰三角形？丙圖中有幾對全

45.（2022秋?五河縣期末）如圖，過等邊△ABC的邊A8上一點P,作尸于E,Q為延長線上

一點，且B4=CQ,連PQ交力。邊于。.

（1）求證：PD=DQi

（2）若△ABC的邊長為1,求的長.

°cQ

46.（2022?南京模擬）如圖，/BAC=30°,點P是NB4C的平分線上的一點,PDA.AC于D,PE//AC

交AB于-E,已知AE=10c、〃?，求PO的長度.

B

ADC

47.（2022春?青浦區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，N8AC=90°,AB=AC,AE是過A的一條直線，且

B,C在A上的兩側，。在A,E之間，于Q,CE_L4E于E,求證：BD=DE+CE.

48.（2022秋?龍華區(qū)期末）如圖，已知直線（〃/2〃/3，點七、/分別在*人上，RlZXABC的直角頂點C

在直線/i上，點B在直線6上，點人在直線，3上，6與4。交于點。，且NB4C=25°,ZBAE=25°.

（1）求證：△/WO是等腰三角形；

（2）求N8C*的度數(shù).

49.（2022春?電白區(qū)期末）如圖，已知△ABC是邊長為3c/〃的等邊三角形，動點P、Q同時從4、B兩點

出發(fā)，分別沿AB、8C方向勻速移動，它們的速度都是當點P到達點B時，P、。兩點停止運動,

設點P的運動時間為/（s）,則

（1）BP=cm,BQ=cm.（用含/的代數(shù)式表示）

（2）當，為何值時，APBQ是直角三角形？

50.（2022?南京模擬）如圖，在等邊Z\A5c的三邊上分別取點。、E、F,使AD=8E=C1尸.

（1）試說明△/）￡〃是等邊三角形；

（2）連接AE、BF、CD,兩兩相交于點P、Q、R,則為何種三角形？試說明理由.

專題13.6等腰三角形的證明及計算大題專項訓練（50道）

【人教版】

考卷信息：

本套訓練卷共5（）題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可深化學生對等腰三角形工具的應用及構造等

腰三角形！

一.解答題（共50小題）

1.（2022秋?勃利縣期末）如圖：/XABC的邊A8的延長線上有一個點。，過點。作。凡LAC于尸，交BC

于E,且BD=BE,求證：△ABC為等腰三角形.

【分析】要證△A8C為等腰三的形，須證NA=NC,而由題中已知條件，。/^_LAC,BD=BE,因此，可

以通過角的加減求得NA與NC相等，從而判斷△A8C為等腰三角形.

【詳解】證明：???OF_LAC,

/.ZDM=ZEFC=90°.

???NA=NO%-ND,ZC=NEFC-ZCEF,

?:BD=BE,

:.NBED=ND.

VNBED=NCEF,

：.ZD=ZCEF.

:.ZA=ZC.

???△ABC為等腰三角形.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定方法；角的等量代換是正確解答本題的關鍵.

2.（2022秋?淮安區(qū)期末）如圖，在△4BC中，AB=AC,ZA=50°,AB的垂直平分線MN交AC于點Q,

交AB于點E,求NOAC的度數(shù).

E,

/jAD

/—

【分析】分別求出NA8C,/ABD,可得結論.

【詳解】解：:△ABC中，AB=AC,NA=50°,

.533（180°-NA）=65°.

???A3的垂直平分線MN交AC于D,

:.AD=BD,

???NA8O=NA=50°,

：.ZDBC=ZABC-ZABD=65°-50°=15°.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質，線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是掌握等腰三角形

的性質，靈活運用所學知識解訣問題.

3.（2022秋?林州市期末）已知△?!灰?的兩邊長〃和〃滿足（b-4）2=（）.

（1）若第三邊長為c,求c的取值范圍.

（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周長.

【分析】（1）利用非負數(shù)的性質可求得〃、〃的值，根據(jù)三角形三邊關系可求得c的范圍；

（2）分腰長為9或4兩種情況進行計算：

【詳解】解：⑴（0-4）2=0,

???。?9=0,。-4=0,

解得4=9,0=4,

V9-4<c<9+4,

即5<c<13；

（2）當腰長為9時,

此時三角形的三邊為9、9、4,滿足三角形三邊關系，周長為22：

當腰長為4時，

此時三角形的三邊長為4、4、9,4+4<9,不滿足三角形三邊關系.

綜上可知，△ABC的周長為22.

【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的兩腰相等、兩底角相等是解題的關鍵.

4.(2022秋?河東區(qū)校級期中)如圖1,點A、。在)，軸正半軸上，點8、C分別在x軸上，。平分乙4C3

與y軸交于。點，ZCAO=90°-ZBDO.

(1)求證：AC=BC；

(2)如圖2,點C的坐標為(4,()),點上為AC上一點，且/。￡4=/。30,求4C+EC的長.

【分析】(1)由題意NC4O=90°-/BDO,可知NCAO=NC3￡>,CD平分ZACS與)，邦交于。點，

所以可由AAS定理證明△ACD絲△8CQ,由全等三角形的性質可得AC=8C：

(2)過D作。NJ_A。于N點，可證明RlZ\8OOgRtZ\￡X>M△DO8XDNC,因此，BO=EN、OC=

NC,所以，BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC,即可得8C+EC的長.

【詳解】(1)證明：???NCAO=90°-NBDO,

：?4CAO=/CBD.

(Z.ACD=乙BCD

在ZVICQ和△8CO中］NG4O=Z.CBD,

(CD=CD

:.△ACDW4BCD(AAS).

：.AC=BC；

(2)由(1)知NC4O=NOE4=NZ)8O,

：.BD=AD=DE,過。作。MLAC于N點，如右圖所示:

'：NACD=NBCD,

:.DO=DN,

在RtABDO和RtAED/V中｛篇;案，

:?RSD0@RSDN(HL),

；.BO=EN.

(^DOC=Z-DNC=90°

在△DOC和△ONC中，\z.OCD=Z.NCD

WC=DC

:.△DOCWADNC(AAS),

可知：OC=NC；

：,BC+EC=BO+OC+NC?NE=2OC=8.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定及其性質，做題時添加了輔助線，正確作出輔助線是解決問

題的關鍵.

5.(2022秋?武岡市期中)已知如圖，△ABC中，EF//BC,交A3、AC于E、F,N8的平分線交E/7于。

點.

(1)求證：EO=BEx

(2)若EF=BE+CF,求證：0c平分NACB.

【分析】(1)利用平行線以及角平分線的定義證明NEO8=NE8。即可.

(2)想辦法證明/。。/=/。(78即可.

【詳解】證明：(1),:EFHBC,交4B、AC于E、F.

：,NBOE=NCBO,4C0F=NBCO,

VZB的平分線交EF于()點，

：.ZEBO=ZCBO,

：.ZEBO=ZBOE,

:.EO=BE.

(2)?:EF=BE+CF,fiEF=OE+OFf

：.OE+OF=BE+CF,

?：EO=BE,

：?OF=CF,

：.ZCOF=ZFCO,

?：4C0F=/BC0,

:?NBCO=NFCO,

OC平分NACB.

【點睛】此題主要考查了等腰一:角形的判定和性質，平行線、角平分線的性質等知識.進行線段的等量

代換是正確解答本題的關鍵.

6.(2022秋?盤龍區(qū)期末)如圖，在△ABC中，A8=AC,點。、E、廠分別在A3、BC、AC邊上，且3E

=CF,BD=CE.

(1)求證：△￡>￡尸是等腰三角形：

(2)當NA=50°時，求NOEF的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)等邊對等角可得/8=NC,利用“邊角邊”證明和△(?后尸全等，根據(jù)全等三

角形對應邊相等可得DE=EF,再根據(jù)等腰三角形的定義證明即可；

(2)根據(jù)全等三角形對應角相等可得NBDE=NCEF,然后求出NBED+NCEF=NBED+NBDE,再利

用三角形的內(nèi)角和定理和平角的定義求出

【詳解】(1)證明：???48=4C,

:?/B=NC,

在△5DE和"中，

(BD=CE

乙B=ZC,

(BE=CF

:?△BDE94CEF(SAS),

:?DE=EF,

???△￡)￡：/,.是等腰三角形:

(2)解：,:XBDEmXCEF,

:./BDE=/CEF,

，NBED+NCEF=ZBED+ZBDE,

???/〃+(NBED+NBDE)=180°,

NDEF+(NBED+NBDE)=180°,

:?NB=NDEF,

VZA=5O0,AB=AC,

AZB=-(180°-50°)=65°，

2

AZDEF=65°.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質，熟記

各性質并確定出全等三角形是解題的關鍵.

7.(2022秋?大石橋市期末)如圖，△ABC是等邊三角形，延長到點E,使CE=/C,若。是AC的

中點，連接七。并延長交43于點F.

(1)若八夕=3,求的長：

(2)證明：DE=2DF.

【分析】(1)根據(jù)已知條件，易證CD=CE,從而求出NE=NCOE=30°,然后再根據(jù)NB=60°,

求出N4FO=90",最后放在直角三角形4/力中，即可解答；

(2)根據(jù)等腰三角形的三線合一性質，想到連接3。，易證8D=DE,然后放在直角三角形引力中，即

可解答.

【詳解】(1)解：:△ABC為等邊三角形，

：.AC=BC,NA=NAC5=60°,

為AC中點，

：,CD=AD=^AC,

*：CE=^BC,

:,CD=CE,

:?NE=NCDE,

:/ACB=NE+NCDE,

???NE=NCOE=30°,

：.ZADF=ZCDE=3(r,

*.*NA=60°

，NAFO=180°-ZA-ZADF=90°,

???A尸=3

?"。=2A/=6；

(2)證明：連接BZ),

A

BC五

???△ABC為等邊三角形，。為AC中點，

???8。平分NABC,ZABC=60°,

???ZDBC=ZABD=：NA8C=30°,

2

VZBFD=90°

/.BD=2DF

???NO8C=NE=30°

:?BD=DE

：.DE=2DF.

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，根據(jù)等腰三角形的三線合?添加輔助線是解題的關鍵.

8.（2022春?大埔縣期末）如圖，△ABC是等邊三角形，ZXACE是等腰三角形，NAEC=120。，AE=CE,

F為5C中點，連接AF.

（1）直接寫出NZME的度數(shù)為90°:

（2）判斷A”與CE的位置關系，并說明理由.

【分析】（1）分別求出NB4C,NC4E即可解決問題.

（2）證明人￡LBCEC_L8c即可判斷.

【詳解】解：（1）???△48C是等邊三角形，

???NZMC=N4C4=60°,

*：EA=EC,ZAEC=\2O°,

???NEAC=NECA=30°,

???N84E=N84C+/CAE=90°.

故答案為900.

（2）結論：AF//EC.

理由：f：AB=AC,BF=CF,

：.AFLBC,

VZACB=60°,ZACE=30°,

:?/BCE=9C,

：.ECLBC,

：.AF//EC.

【點睛】本題考查等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，平行線的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌

握基本知識，屬于中考常考題型.

9.（2022秋?寧明縣期末）如圖，在△/WC中，AC=BC,ZACfi=120°,CEA.AB于點、D,且。E=OC.求

證：△C￡4為等邊三角形.

AE

D,

CB

【分析】根據(jù)于點。，且。石=QC得出根據(jù)角的關系得出/ECB=60。，即可證得

△CE5為等邊三角形.

【詳解】證明：???CE_LA3于點。，KDE=DC,

:?BC=BE,

*：AC=BC,ZACB=\2Q0,CELAB于點D,

AZECB=60°,

???△CEB為等邊三角形.

【點睛】本題考杳了等邊三角形的判定，等腰三角形的性質，熟練掌握性質定理是解題的關鍵.

10.（2022春?二七區(qū)校級期中）在△人8c中，A8=AC,。是直線8C上一點，以人。為一邊在AD的右側

作△AQE,使AE=A。，NDAE=N3AC,連接C￡設N/MC=a,ZBCE=p.

（1）如圖（1）,點。在線段4c上移動時，①角a與p之間的數(shù)量關系是。+^=如0°；

②若線段3。=2,點A到直線的距離是3,則四邊形ADCE周氏的最小值是8；

（2）如圖（2）,點。在線段8C的延長線上移動時，

①請問（1）中a與（3之間的數(shù)量關系還成立嗎？如果成立，請說明理由；

②線段8C、DC、CE之間的數(shù)量是CE=BC+CD.

圖（1）圖（2）

【分析】（1）①先證NCAE=NB4。，再證明△ABOgAACE,得出對應角相等N4BO=/4CE,即可

得出結論；

②根據(jù)全等三角形的性質和等接三角形的性質即可得到結論；

（2）①如圖2,根據(jù)等式的性質就可以得出/C4E=N/MQ,就可以得出△人4。0△ACE就可以得出N

ABD=ZACE,就可以得出結論；

②根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論.

【詳解】解：（1）①a+p=180°；理由如下：

?：ZDAE=ZBAC,

：.ZDAE-ZDAC=ZBAC-NDAC

：.ZCAE=ZBAD,

在△A8。和△ACE中，

(AB=AC

l/LBAD=/.CAE,

[AD=AE

：.^ABD^/\ACE(SAS),

???NABD=NACE,

?.?/B4C+N4BO+NAC8=180°,

AZBAC+Z4CE+ZACB=180°,

：.ZBAC+ZBCE=180°，即a+B=180°，

故答案為：a+p=180。；

②由①如，△A8OW4ACE,

：.BD=CE,AD=AE,

:.CD+CE=BD+CD=BC=2,

當AZ)J_BC時，AO最短，

即四邊形AOCE周長的值最小，

???點A到直線BC的距離是3,

：.AD=AE=3,

???四邊形43CE周長的最小值是2+3+3=8,

故答案為：8；

(2)①成立，理由如下：

'：ZDAE=ZBAC,

：.ZDAE+ZCAD=ZBAC+ZCAD,

工NBAD=NCAE,

在△B4。和△CAE中，

(AB=AC

{/.BAD=Z.CAE,

lAD=AE

：.(SAS),

ZABD=ZACE,

ZACD=NABD+NBAC=NACE+NDCE,

:?/BAC=NDCE,

AZBAC+ZBCE=ZDCE+ZBCE=\SO<>,

aPa+p=180°；

②???△A8D也△ACE(SAS),

AZABD=ZACE,BD=CE,

f：BD=BC+CD,

：.CE=BC+CD,

故答案為：CE=BC+CD.

圖（l）圖（2）

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和全等三角形的判定與性質；證明三角形全等得出對應角相等、

對應邊相等是解決問題的關鍵.

II.（2022秋?臺江區(qū)期末）如圖，已知NABC=NAQC=90°,BC=CD,CA=CE.

（.I）求證：ZACB=ZACD-

（2）過點￡作"￡〃其4,交AC的延長線于點M,過點/作MP_LQC,交QC的延長線于點P.

①連接交AM于點、N,證明4M垂直平分PE：

②點。是直線AE上的動點，當MO+PO的值最小時，證明點。與點E重合.

【分析】（1）證明RtZXABCgRtZ\4OC（HL）即可；

（2）①證明△NECg/^NPC（SAS）即可；

②延長P。、ME交于。點，結合①推導出/￡P。=/。。￡=30°,則PE=EQ,則M￡+PE=QE+ME2

MQ,此時A/E+PE的值最小，再由點0是直線AE上的動點，可得當MO+PO的值最小時，E點、與O點

重合.

【詳解】證明：（1）ZABC=ZADC=90a,BC=CD,AC=AC,

/.RtAABC^RtAADC(HL)：

???ZACB=ZACD；

(2)?VRtA/lBC^RtAADC,

：,ZBAC=ZCAD,

,:CA=CE,

：.ZCAE=ZCEA,

*：ZEBA=9O0,

AZ13EA=ZBAC=ZCAE=3()°,

*：PDVAE,MFSD,

：.AE//MP,

???/尸MC=NAME=30°,

,:ME〃AB,

:?NMEB=NABE=90°,

.\ZME4=90o+30°=120°.

VZMA￡=30°,

,\ZEMA=30°,

VCP±MP,CEA,ME,ZMCP=ZMCE=60°,

:.△NECQ/\NPC(SAS),

:?EN=PN,

???N是石尸的中點，NCIPE,

???AM垂直平分PE;

②延長P。、ME交于。點，

由①知，NBEA=30°,ZMEB=90°,

：.ZMEA=120°,

AZDEQ=60a,

.??/石。。=90°,

???NEQQ=30°,

■:/CPN=30°,

：,4EPD=4DQE,

:?PE=EQ,

:?ME+PE=QE+ME2MQ,此時ME+PE的值最小,

???點0是直線AE上的動點，

:.當MO+PO的值最小時，E點與O點重合.

【點睛】本題考查三角形全等的判定與性質，熟練掌握平行線的性質，直角三角形的性質，線段垂直平

分線的性質，全等三角形的判定及性質，軸對稱求最短距離是解題的關鍵.

12.（2022春?市南區(qū)期末）如圖，中，ZACB=90°.Q是43上一點，BD=RC,過點Q作人“

￥j垂線交AC于點E,求證：BE垂直平分CD.

【分析】證明R3DEaR3CE,根據(jù)全等三角形的性質得到ED=EC,根據(jù)線段垂直平分線的判定

定理證明.

【詳解】證明：???N4C8=90°,DEA-AB.

???NACB=N8Q￡=90°,

在RtABDE和RtABCE中,

\BD=BC

[BE=BE'

：.RtABDE且RtABCE,

：.ED=EC,

,:ED=EC,BD=BC,

，BE垂直平分CD.

【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的判定，掌握到線段的兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平

分線上是解題的關鍵.

13.（2022秋?平房區(qū)期末）如圖，點。、七在△ABC的邊BC上，AD=AE,BD=CE.

（1）求證：AB=AC；

（2）若N8AC=I（）8°,ND4E=36°,直接寫出圖中除△人BC與△AOE外所有的等腰三角形.

【分析】（1）首先過點A作A凡LBC于點F,由根據(jù)三線合一的性質，可得。F=EF,又由

BD=CE,可得然后由線段垂直平分線的性質，可證得AB=AC.

（2）根據(jù)等腰三角形的判定解答即可.

【詳解】證明：⑴過點A作"J_8c于點R

\*AD=AEt

:?DF=EF,

,:BD=CE,

：.BF=CF,

：.AB=AC.

（2）ZB=ZBAD,ZC=ZEAC,NBAE=NBEA,ZADC=ZDAC,

???除與△AOE外所有的等腰三角形為：△"/）、XNEC、△ABE、△AOC,

【點睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形

結合思想的應用.

14.（2022秋?河西區(qū)期末）如圖，在△ABC中，A8=4。，點。在AC上，且3Q=3C=A。，求△A3C各

角的度數(shù).

【分析】設NA=x,利用等腰三角形的性質和三角形內(nèi)角和定理即可求得各角的度數(shù).

【詳解】解：設N4=x.

■:AD=BD,

???ZABD=ZA=x；

,:BD=BC,

：,ZBCD=ZBDC=N4BO+/A=2x；

'：AB=AC,

：.NABC=NBCD=2x,

:.NDBC=x;

,：x+2x+2x=\S（）°,

Ax=36",

???NA=36°,ZABC=ZACB=72°.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質：利用了三角形的內(nèi)角和定理得到相等關系，通過列方程求解是正

確解答本題的關鍵.

15.（2022秋?鞏義市期末）如圖，在RtZXABC中，NC=90°,NA=60°,AB=\2em,若點P從點8

出發(fā)以2cm/s的速度向點4運動，點Q從點4出發(fā)以\cmls的速度向點C運動，設P、Q分別從點B、A

同時出發(fā)，運動的時間為/s.

（1）用含/的式子表示線段AP、AQ的長；

（2）當/為何值時，是以戶Q為底邊的等腰三角形？

（3）當，為何值時，PQ//BC2

c

【分析】（1）由題意，可知N8=30°,AC=6cm.BP=2t,AP=AB-BP,AQ=t.

（2）若AAP。是以尸。為底的等腰三角形，則有AP=4Q,即12-2/=/,求出，即可.

（3）先根據(jù)直角二角形的性質求出/”的度數(shù)，再由平行線的性質得出NQ/%的度數(shù)，根據(jù)直角二角形

的性質即可得出結論.

【詳解】解：（1）?.,RtZ\ABC中，ZC=90°,NA=60°,

???NB=30°.

又?.?48=\2em,

?*.AC=6cm,BP=2t,AP=AB-BP=12-2t,AQ=t；

（2）???△APQ是以P。為底的等腰三角形，

：.AP=AQ,即12?2f=f,

???當f=4時，ZSAP。是以PQ為底邊的等腰三角形；

（3）當PQ_LAC時，PQ//BC.

VZC=9O0,NA=60°,

???N4=30°

?:PQ"BC,

???NQB4=30°

：.AQ=^AP,

???/=；（12-2r）,解得r=3,

???當/=3時，PQ//BC.

【點睛】本題考杳的是等腰三角形的判定及平行線的判定與性質，熟知等腰三角形的兩腰相等是解答此

題的關鍵.

16.（2022秋?清江浦區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，NB=90°,A8=16o〃，BC=\2cm,AC=20cm,

P、。是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A-8方向運動，且速度為每秒〃，點Q從

點8開始沿B-CfA方向運動，且速度為每秒2,刈，它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為/秒.

(1)BP=(16-/)c/n(用t的代數(shù)式表示)

(2)當點。在邊3c上運動時，出發(fā)幾秒后，△PQ3是等腰三角形？

(3)當點Q在邊CA上運動時，出發(fā)11秒或12秒后,△BC。是以8C或8Q為底邊的等腰三角形？

備用圖

【分析】(I)根據(jù)題意即可用/可分別表示出BP；

(2)結合(1),根據(jù)題意再表示出8Q,然后根據(jù)等腰三角形的性質可得到8P=8Q,可得到關于/的

方程，可求得八

(3)用/分別表示出BQ和CQ,利用等腰三角形的性質可分CQ=BC和BQ=CQ三種情況，分別得到

關于，的方程，可求得，的值.

【詳解】解：(1)由題意可知AP=3BQ=2t,

，

：AB=\6cmf

：.BP=AB-AP=(16-/)cm.

故答案為：(16-/)cm?

(2)當點。在邊6c上運動，△心券為等腰三角形時，則有3P=3Q,

即167=2/,解得/=g,

???出發(fā)當秒后，△PQB能形成等腰三角形：

(3)①當ABCQ是以8C為底邊的等腰三角形時：CQ=BQ，如圖1所示，

C

圖1

則NC=NC8Q,

VZABC=90°,

???NC3QiNA3Q=90°.

N4+NC=90°,

/.ZA=ZABQ,

：,BQ=AQ,

ACQ=AQ=\OCem),

：,BC+CQ=22(cm),

.\/=224-2=11；

②當，ABCQ是以BQ為底邊的等腰三角形時：CQ=8C,如圖2所示,

圖2

則3。十。。=24（cm）,

A/=244-2=12,

綜上所述：當，為II或12時，ABCQ是以BC或8Q為底邊的等腰三角形.

故答案為：11秒或12.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質、方程思想及分類討論思想等知識.用時間，表示出相應線段的

長，化“動”為“靜”是解決這類問題的一般思路，注意方程思想的應用.

17.（2022春?渠縣校級期末）已知：如圖，AB=AC,D是A3上一點、，DELBC于點E,口）的延長線交

C4的延長線于點立求證：△4QF是等腰三角形.

【分析】根據(jù)等邊對等角得出/B=NC,再利用等角的余角相等和對頂角相等得出N￡FC=NAQR進

而證明即可.

【詳解】解