第七章圖形的變化

第30講尺規作圖與定義，命題，定理

（思維導圖+2考點+2命題點18種題型）

01考情透視?目標導航＞題型07作垂線

02知識導圖?思維引航??題型08作等腰三角形

03考點突破?考法探究＞題型09畫圓

考點一尺規作圖??題型10過圓外一點作圓的切線

考點二定義、命題、定理■題型11作正多邊形

04題型精研?考向洞悉＞題型12格點作圖

命題點一尺規作圖＞題型13無刻度直尺作圖

??題型01作線段＞題型14最短路徑問題

??題型02作一個角等于已知角命題點二定義、命題、定理

??題型03尺規作角的和、差＞題型01判斷是否是命題

＞題型04過直線外一點作已知直線的平行線＞題型02判定命題的真假

??題型05作三角形■題型03寫成命題的逆命題

??題型06作角平分線■題型04反證法

考情透視?目標導航

中考考點考杳頻率新課標要求

尺規作圖★★能用尺規作圖

通過具體實例，了解定義、命題、定理、推論的意義.

★

定義、命題、

結合具體實例，會區分命題的條件和結論，了解原命題及其逆命題的概念.會識

定理

別兩個互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立.

【命題預測】本考點內容以考查尺規作圖和真假命題為主，年年考查，是廣大考生的得分點，分值為6分

左右.預計2024年各地中考還將繼續考查這兩個知識點.中考對尺規作圖的考查涉及多種形式，不再是

單一的對作圖技法操作進行考查，而是把作圖與計算、證明、分析、判斷等數學思維活動有效融合，既體

現了動手實踐的數學思維活動，也考查了學生運用數學思考解決問題的能力，為避免丟分，學生應扎實掌

握.

知識導圖?思維引航

定義判斷T牛事的語句

題設已知事項I

^6

結論推出的事項

真命題

分類I---------

假命題

證明推理過程

尺規作圖與定義，命題，定理

真命題繼續推理的依據

先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么

關

尺規作圖鍵讀懂題意后，再運用幾種基本作圖方法解決問題

切記作圖中一定要保留作圖痕跡

考點突破?考法探究

考點一尺規作圖

定義：最基本、最常用的尺規作圖，通常稱作基本作圖,

五種基本作圖：

1）作一條線段等于已知線段

己知線段a1a1

求作線段0A,使0A等于a

.\A

作法1）任作一條射線OP；

o~r----尸

2）以點0為圓心，a的長為半徑畫弧，交0P于點A,則線段0A即

為所求

依據圓上的點到圓心的距離等于半徑.

2）作一個角等于已知角

已知ZA0B

求作NA'0'B',使/A'O'B'=/AOBX

作法1）作射線O'A'；

2）以點0為圓心，任意長為半徑畫弧，交0A于點C,交0B于點D；

3）以點0'為圓心，0C的長為半徑畫弧，交O'A'于點E；

4）以點E為圓心，CD的長為半徑畫弧，交前弧于點F；

5）經過點F作射線O'B',乙A'O'B'即為所求.

依據1）三邊分別相等的兩個三角形全等；E

2）全等三角形的對應角相等；

3）兩點確定一條直線.

3）作已知角的角平分線

己知ZAOBB

求作射線0P,使/AOP=NBOP

作法1）以點0為圓心，適當長為半徑畫弧，交0A于點M,交0B于點N；

2）分別以點M、N為圓心，大于‘MN的長為半徑畫弧，兩弧在NA0B的

2B

內部相交于點P；/*

3）作射線0P,射線0P即為所求.

依據1）三邊分別相等的兩個三角形全等；

2）全等三角形的對應角相等；

3）兩點確定一條直線.

4）過一點作已知直線的垂線

已知直線AB和AB上的一點M

求作AB的垂線，使它經過點M

作法作平角乙ACB的平分線MF.直線MF就是所求作的垂線.

AMBAJ-IMEB

已知直線AB和AB外一點M

求作AB的垂線，使它經過點M

M

作法1）任意取一點P,使點P和點M在AB的兩旁；

ABA^p-

2）以點M為圓心，MP的長為半徑作弧，交AB于點C和點D；D-B

3）分別以點C和點D為圓心，大于』CD的長為半徑作弧，乏

2

兩弧相交于點E；

4）作直線EM,直線EM就是所求作的垂線.

依據1）等腰三角形“三線合一”；

2）兩點確定一條直線.

5）作線段的垂直平分線

已知線段AB

求作線段AB的垂直平分線

作法I）分別以點A和點B為圓心，大于LAB的長為半徑作弧，兩弧

2

相交于點M和點N；L

2）作直線MN,直線MN就是線段AB的垂直平分線.

依據1）到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；

2）兩點確定一條直線.

尺規作圖的關鍵：

1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；

2）讀懂題意后，再運用幾種基本作圖方法解決問題；

3）切記作圖中一定要保留作圖痕跡；

4）無刻度直尺作圖通常會與等腰三角形的判定，三角形中位線定理，矩形的性質和勾股定理等幾何知識點

結合，熟練掌握相關性質是解題關鍵.

針對訓練

1.（2024?吉林長春.中考真題）如圖，在△ABC中，。是邊4B的中點.按下列要求作圖:

①以點B為圓心、適當長為半徑畫弧，交線段B。于點D,交BC于點E；

②以點。為圓心、BD長為半徑畫弧，交線段04于點F；

③以點F為圓心、DE長為半徑畫弧，交前一條弧于點G,點G與點C在直線同側;

④作直線OG,交4C于點M.下列結論不一定成立的是（）

B.NOMC+NC=180"

C.AM=CMD.OM=-AB

2

2.（2024.四川?中考真題）如圖，在AZBC中，AB=AC,zX=40°,按如下步驟作圖：①以點B為圓心,

適當長為半徑畫弧，分別交84,BC于點D,E-,②分別以點D,￡為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧在

N4BC的內部相交于點作射線BF交4C于點G.貝此4BG的大小為度.

3.（2024?山東德州?中考真題）已知乙4。8,點尸為04上一點，用尺規作圖，過點尸作。8的平行線.下列

作圖痕跡不正確的是（）

4.（2024.廣東廣州?中考真題）如圖，RtAABC中，48=90°.

（1）尺規作圖：作AC邊上的中線B。（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）所作的圖中，將中線B。繞點。逆時針旋轉180。得到。0,連接AD,CD.求證：四邊形48CD是矩

形.

考點二定義、命題、定理

1.命題

定義：判斷一件事情的語句，叫做命題.

組成：命題是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項.

表達形式：可以寫成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是題設，“那么”后接的部分是結

論.

2.真命題、假命題

內容舉例注意

真命如果題設成立，那么結論一定成對頂角不相等說明一個命題是真命題,需從已知出發,經過一

題立的命題，叫做真命題步步推理，最后得出正確結論

假命命題中題設成立時，不能保證結相等的角是對判定一個命題是假命題,只要舉出一個例子（反

題論一定成立的命題，叫做假命題頂角例），使它符合命題的題設，但不滿足結論即可

3.逆命題

逆命題：把原命題的結論作為命題的題設，把原命題的題設作為命題的結論，所組成的命題叫做原命題的

逆命題.

互逆命題：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命

題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題.如果把其中的一個命題叫做原命題，那么另一個命題就叫做它

的逆命題.

4.公理、定理

公理：如果一個命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，并把它作為判斷其他命題真假的原始依據，

這樣的真命題叫做公理.如：兩點之間線段最短.

定理：如果一個命題可以從公理或其他命題出發，用邏輯推理的方法判斷它是正確的，并且可以進一步作

為判斷其他命題真假的依據，這樣的命題叫做定理.

5.互逆定理

互逆定理：如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫做互逆定理，

其中一個定理叫做另一個定理的逆定理.

6.反證法

定義：先假設原命題的結論不正確，然后從這個假設出發，經過逐步推理論證，最后得出與學過的概念、

基本事實、己證明的定理、性質或題設條件相矛盾的結果，這種證明的方法叫做反證法.

反證法的步驟：①假設命題結論的反面正確；②從假設出發，經過邏輯推理，推出與公理、定理、定義或

已知條件相矛盾的結論；③說明假設不成立，從而得出原命題正確.

針對訓練

1.（2024?江蘇宿遷?中考真題）請寫出定理“兩直線平行，同位角相等”的逆定理.

2.（2024.山東濰坊.中考真題）下列命題是真命題的有（）

A.若a=b,貝!Jac=be

B.若a>6,則ac>6c

C.兩個有理數的積仍為有理數

D.兩個無理數的積仍為無理數

3.（2022?上海?中考真題）下列說法正確的是（）

A.命題一定有逆命題B.所有的定理一定有逆定理

C.真命題的逆命題一定是真命題D.假命題的逆命題一定是假命題

4.（2022.黑龍江綏化?中考真題）下列命題中是假命題的是（）

A.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半

B.如果兩個角互為鄰補角，那么這兩個角一定相等

C.從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角

D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

題型精研?考向洞悉?

命題點一尺規作圖

?題型01作線段

1.（2023?山西太原?模擬預測）已知線段a、b、c.

a

b

（1）用直尺和圓規作出一條線段4B,使它等于a+c-6.（保留作圖痕跡，檢查無誤后用水筆描黑，包括痕

跡）

（2）若a=6,b=4,c=7,點C是線段4B的中點，求力C的長.

2.（2024.河北?模擬預測）如圖，在RtaHBC中，^ACB=90°,以點A為圓心，2C長為半徑畫弧，交4B于

點、D,再分別以8,。為圓心，大于［BO的長為半徑畫弧，兩弧交于M,N兩點，作直線MN分別交4B于點

E,若力D=3,BE=1,貝l|BC的長為（）

3.（2024?廣東?模擬預測）如圖，在等邊△ABC中，AD為BC邊上的高.

（1）實踐與操作：利用尺規，以CD為邊在CD下方作等邊△CDE,延長ED交AB于點M；（要求：尺規作圖并保

留作圖痕跡、不寫作法，標明字母）

（2）應用與證明：在（1）的條件下，證明CE=BM.

＞題型02作一個角等于已知角

1.（2024?北京?中考真題）下面是“作一個角使其等于乙4OB”的尺規作圖方法.

（1）如圖，以點。為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交04。8于點C,D；

（2）作射線04,以點。，為圓心，0C長為半徑畫弧，交。7r于點。；以點C，為圓心，CD長為半徑畫弧，兩

弧交于點D';

（3）過點D'作射線。'9，貝！1乙4'。'夕=乙4。8.

C.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等

D.兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等

2.（2024.河南.中考真題）如圖，在RtAABC中，CD是斜邊48上的中線，BEIIDC交4C的延長線于點E.

（1）請用無刻度的直尺和圓規作NECM,使=且射線CM交BE于點尸（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（2）證明（1）中得到的四邊形CDBF是菱形

3（2021?山東青島?中考真題）已知：/。及其一邊上的兩點4,B.

求作：RtbABC,使NC=90。，且點C在4。內部，乙BAC=乙0.

＞題型03尺規作角的和、差

1.（2024?江蘇揚州?中考真題）如圖，已知NP4Q及4P邊上一點C.

（1）用無刻度直尺和圓規在射線4Q上求作點。，使得NCOQ=2NC4Q；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）的條件下，以點。為圓心，以04為半徑的圓交射線AQ于點B,用無刻度直尺和圓規在射線CP上

求作點M，使點M到點C的距離與點M到射線力Q的距離相等；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（3）在⑴、（2）的條件下，若sin力=|,CM=12,求的長.

2.（2022?江蘇鎮江?中考真題）操作探究題

⑴已知力C是半圓。的直徑，N40B=（詈）。（n是正整數，且九不是3的倍數）是半圓。的一個圓心角.

操作：如圖1,分別將半圓。的圓心角N40B=（詈）。（n取1、4、5、10）所對的弧三等分（要求：僅用圓

規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

n=5〃=10

圖1

從上面的操作我發現，就是利用60°、圈T所對的弧去找喀"的三分

之一即w所對的孤.

交流：當幾=11時，可以僅用圓規將半圓。的圓心角乙4OB=（詈）。所對的弧三等分嗎?

我發現了它們之間的數量關系是4x鑿］°_60。=用:

我再試試：當n=28時.圈f、、匿］°之間存在數量關系

因此可以僅用is規將半圓。的圓心角乙4置=［啜y所對的弧三等分.

探究：你認為當幾滿足什么條件時，就可以僅用圓規將半圓。的圓心角乙4OB=（詈）。所對的弧三等分？說

說你的理由.

（2）如圖2,。。的圓周角NPMQ=（手）。.為了將這個圓的圓周14等分，請作出它的一條14等分弧⑵（要

求：僅用圓規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.

Q

＞題型04過直線外一點作已知直線的平行線

如圖，四邊形力BCD,E為DC邊上一點.

且點尸到4B,4。的距離相等.

2.（2024.河南新鄉?模擬預測）如圖，一次函數y=x—2的圖象與反比例函數y=?的圖象交于A,B（3,n）兩

點，且直線與坐標軸分別交于P,。兩點.

（2）已知點M（0,2）,請用無刻度的直尺和圓規過點M作直線的平行線（保留作圖痕跡，不寫作法）;

（3）若（2）中所作的平行線交x軸負半軸于點M連接NP,QM,求四邊形NPQM的面積.

＞題型05作三角形

1.（2022?廣西貴港?中考真題）尺規作圖（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）:

如圖，已知線段加，求作△ABC,使乙4=90°,AB=m,BC=n.

m

n

2.（2023?江蘇南京?中考真題）在平面內，將一個多邊形先繞自身的頂點/旋轉一個角度火0。＜9＜180。）,

再將旋轉后的多邊形以點人為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為K稱這種變

換為自旋轉位似變換.若順時針旋轉，記作7（4順。，k）；若逆時針旋轉，記作7（4逆0,k）.

例如：如圖①，先將△ABC繞點B逆時針旋轉50。，得到AA/G，再將△2/G以點B為位似中心縮小到原

來的｝得到這個變換記作7（8,逆50。，

（1）如圖②，C4BC經過7（C,順60°,2）得到AAIC,用尺規作出△4B'C.（保留作圖痕跡）

（2）如圖③,△A8C經過T（B,逆a,備）得到△EBD,△ABC經過T（C,順°,七）得到△FDC,連接4E,AF.求

證：四邊形4FDE是平行四邊形.

（3）如圖④），在△4BC中，乙4=150。,43=2,4C=1,若AABC經過（2）中的變換得到的四邊形4FDE

是正方形.

①用尺規作出點。（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；

②直接寫出4E的長.

＞題型06作角平分線

1.（2024.西藏?中考真題）如圖，在RtAdBC中，ZC=90°,以點8為圓心，適當長為半徑作弧，分別交BC,

B4于點。，E,再分別以點。，E為圓心，大于之DE的長為半徑作弧，兩弧在NA8C的內部相交于點P,作

射線BP交4C于點足已知CF=3,AF=5,貝的長為

2.（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在A4BC中，ZB=50°,zC=30°,4D是高，以點A為圓心，4B長

為半徑畫弧，交AC于點E,再分別以2、E為圓心，大于［BE的長為半徑畫弧，兩弧在NH4C的內部交于點

F,作射線2F,貝吐￡MF=.

3.（2024?江蘇無錫?中考真題）如圖，在ZkABC中，AB＞AC.

Bc

（1）尺規作圖：作ABAC的角平分線，在角平分線上確定點D,使得DB=DC；（不寫作法，保留痕跡）

（2）在（1）的條件下，若NB2C=90。，AB=7,AC=5,貝的長是多少？（請直接寫出AD的值）

＞題型07作垂線

1.（2021.江蘇南京?中考真題）如圖，己知尸是。。外一點.用兩種不同的方法過點P作。。的一條切線.要

求：

（1）用直尺和圓規作圖；

（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明.

＞題型08作等腰三角形

1.（2024?福建泉州.模擬預測）如圖，在RtAAOB中，^AOB=90°,2。=3,BO=4,C是直線B0上一個

動點，若△力BC是等腰三角形.

備用圖備用圖

（1）用直尺和圓規作出點C的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）.

⑵求0C的長.

＞題型09畫圓

1.（2023?內蒙古通遼?中考真題）下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規作圖過程:

已知：如圖1,在Rt△48C中，ZC=90°.

求作：RtAABC的外接圓.

作法：如圖2.

（1）分別以點A和點2為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于尸，Q兩點；

（2）作直線PQ,交2B于點O；

（3）以。為圓心，。力為半徑作OO,O。即為所求作的圓.

圖2

下列不后于該尺規作圖依據的是（）

A.兩點確定一條直線

B.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

C.與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上

D.線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等

2.（2024?甘肅.中考真題）馬家窯文化以發達的彩陶著稱于世，其陶質堅固，器表細膩，紅、黑、白彩共用，

彩繪線條流暢細致，圖案繁緡多變，形成了絢麗典雅的藝術風格，創造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術精品，

體現了古代勞動人民的智慧.如圖1的彩陶紋樣呈現的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點定位的方法

確定圓周的三等分點，這種方法和下面三等分圓周的方法相通.如圖2,已知。。和圓上一點作法如下：

①以點/為圓心，0M長為半徑，作弧交。。于A,8兩點;

②延長M0交O。于點C；

即點A,B,C將。。的圓周三等分.

彩陶紋樣三點定位法三等分圓周

圖1圖2

（1）請你依據以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規在圖2中將。。的圓周三等分（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）根據（1）畫出的圖形，連接A8,AC,BC,若。。的半徑為2cm,則△ABC的周長為cm.

3.（2022.甘肅武威?中考真題）中國清朝末期的幾何作圖教科書《最新中學教科書用器畫》由國人自編（圖

1）,書中記載了大量幾何作圖題，所有內容均用淺近的文言文表述，第一編記載了這樣一道幾何作圖題：

原文釋義

甲乙丙為定直角.

如圖2,乙4BC為直角.

以乙為圓心，以任何半徑作丁戊弧；

以點8為圓心，以任意長為半徑畫弧，交射線BA,BC分別于點D,

以丁為圓心，以乙丁為半徑畫弧得交點

E；

己；

以點。為圓心，以長為半徑畫弧與交于點尸；

再以戊為圓心，仍以原半徑畫弧得交點

再以點E為圓心，仍以BD長為半徑畫弧與近交于點G；

庚；

作射線BF,BG.

乙與己及庚相連作線.

A

B'------------------C

圖1圖2

（1）根據以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規，在圖2中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）;

⑵根據（1）完成的圖，直接寫出ADBG,乙GBF,NFBE的大小關系.

＞題型10過圓外一點作圓的切線

1.（2023?黑龍江綏化?中考真題）己知：點P是O。外一點.

p，

*0

（1）尺規作圖：如圖，過點P作出。。的兩條切線PE,PF,切點分別為點E、點F.（保留作圖痕跡，不要求

寫作法和證明）

⑵在（1）的條件下，若點。在。。上（點。不與E,F兩點重合），5.ZFPF=30°.求NEDF的度數.

2.（2023?北京東城?模擬預測）下面是小明設計的“過圓上一點作這個圓的切線”的尺規作圖過程.

已知：。。及圓上一點兒

求作：直線48,使得力8為。。的切線，2為切點.

小明的作法如下：

②分別以點4c為圓心，大于巳4。長為半徑作弧，兩弧交于點。（點。在直線。4上方）;

③以點。為圓心，D4長為半徑作O。；

④連接CD并延長，交于點B,作直線4B.則直線4B就是所求作的直線.

根據小明設計的尺規作圖過程，完成下列問題：

（1）使用直尺和圓規，完成作圖；（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接4D.

???=AD

???點C在OD上，CB是。￡?的直徑.

.->=90°.（）

AB1.

???是O。的半徑，

???4B是。。的切線.（）CD=AD

＞題型11作正多邊形

1.（2024?甘肅臨夏?中考真題）根據背景素材，探索解決問題.

平面直角坐標系中畫一個邊長為2的正六邊形48CDEF

六等分圓原理，也稱為圓周六等分問題，是一個古老而經典的幾何問題，旨

背景

在解決如何使用直尺和圓規將一個圓分成六等份的問題.這個問題由歐幾里

素材

得在其名著《幾何原本》中詳細闡述.贏

已知

點C與坐標原點。重合，點。在％軸的正半軸上且坐標為（2,0）

條件

①分別以點C,。為圓心，CD長為半徑作弧，兩弧交于點P；

操作②以點P為圓心，PC長為半徑作圓；

步驟③以CD的長為半徑，在OP上順次截取力腦；

--------?----?

0(C)Dx

④順次連接DE,EF,FA,AB,BC,得至1J正六邊形4BCDEF.

問題解決

任務

根據以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）

任務

將正六邊形ABCDEF繞點。順時針旋轉60。，直接寫出此時點E所在位置的坐標：______.

2.（2024.上海閔行.二模）滬教版九年級第二學期的教材給出了正多邊形的定義：各邊相等、各角也相等的

多邊形叫做正多邊形.同時還提到了一種用直尺和圓規作圓的內接正六邊形和圓的內接正五邊形的方法，

但課本上并未證明.我們現開展下列探究活動.

活動一：如圖1,展示了一種用尺規作。。的內接正六邊形的方法.

①在。。上任取一點4,以4為圓心、4。為半徑作弧，在。。上截得一點B；

②以8為圓心，20為半徑作弧，在。。上截得一點C；再如此從點C逐次截得點。、E、F-,

③順次連接4B、BC、CD、DE、EF、FA.

(請用符號語言表示，不需要說明理由)，就可證明六邊形力BCDEF是正六邊形.

活動二：如圖2,展示了一種用尺規作。。的內接正五邊形的方法.

①作。。的兩條互相垂直的直徑PQ和4F；

②取半徑0P的中點M；再以M為圓心、M4為半徑作弧，和半徑0Q相交于點N；

③以點力為圓心，以4N的長為半徑作弧，與。。相截，得交點B.

如此連續截取3次，依次得分點C、D、E,順次連接48、BC、CD、DE、EA,那么五邊形48CDE是正五邊

形.

(2)已知。。的半徑為2,求邊力B的長，并證明五邊形4BCDE是正五邊形.

（參考數據：sin22.5°=cos22.5°=sin36°=曲上延,Cos36°=—,sin72。=迪竺）

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＞題型12格點作圖

1.(2024?吉林長春?中考真題)圖①、圖②、圖③均是3義3的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1,每

個小正方形的頂點稱為格點.點A、B均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作

四邊形ABCD,使其是軸對稱圖形且點C、。均在格點上.

圖①圖②圖③

(1)在圖①中，四邊形48CD面積為2；

(2)在圖②中，四邊形2BCD面積為3；

(3)在圖③中，四邊形ABCD面積為4.

2.(2023?黑龍江哈爾濱?中考真題)如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，線段4B和線段CD

的端點均在小正方形的頂點上.

⑴在方格紙中畫出AABE,且48=BE,乙48E為鈍角(點E在小正方形的頂點上)；

(2)在方格紙中將線段CD向下平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度后得到線段MN(點C的對應點是點

“，點D的對應點是點N),連接EN,請直接寫出線段EN的長.

3.(2021.湖北荊州?中考真題)如圖，在5x5的正方形網格圖形中小正方形的邊長都為1,線段ED與4。的

端點都在網格小正方形的頂點(稱為格點)上.請在網格圖形中畫圖：

(1)以線段4D為一邊畫正方形4BCD,再以線段。E為斜邊畫等腰直角三角形DEF,其中頂點F在正方形力BCD

外；

(2)在(1)中所畫圖形基礎上，以點8為其中一個頂點畫一個新正方形，使新正方形的面積為正方形48CD和

△DE尸面積之和，其它頂點也在格點上.

＞題型13無刻度直尺作圖

1.(2023?浙江紹興?中考真題)如圖是6x7的網格，每個小正方形的邊長均為1,半圓力CB上的點4B,C,0

均落在格點上.請按下列要求完成作圖：要求一：僅用無刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：

保留作圖痕跡.

(1)在圖中作出弧BC的中點。.

(2)連結力C,作出NB4C的角平分線.

(3)在28上作出點P,使得AP=AC.

2.（2024?湖北武漢?中考真題）如圖是由小正方形組成的3x4網格，每個小正方形的頂點叫做格點.△4BC

三個頂點都是格點.僅用無刻度的直尺在給定網格中完成四個畫圖任務，每個任務的畫線不得超過三條.

⑴在圖（1）中，畫射線2D交BC于點D使4D平分△ABC的面積；

（2）在（1）的基礎上，在射線2D上畫點E,使NECB=NACB；

（3）在圖（2）中，先畫點R使點A繞點廠順時針旋轉90。到點C,再畫射線4F交BC于點G；

（4）在（3）的基礎上，將線段AB繞點G旋轉180。，畫對應線段MN（點A與點M對應，點8與點N對應）.

3.（2023?湖北?中考真題）已知正六邊形力BCDEF,請僅用無刻度的直尺完成下列作圖（保留作圖痕跡，不

寫作法，用虛線表示作圖過程，實線表示作圖結果）.

（1）在圖1中作出以8E為對角線的一個菱形BMEN；

（2）在圖2中作出以BE為邊的一個菱形BEPQ.

＞題型14最短路徑問題

1.（2020.江蘇南京?中考真題）如圖①，要在一條筆直的路邊1上建一個燃氣站，向I同側的A、B兩個城鎮

分別發鋪設管道輸送燃氣，試確定燃氣站的位置，使鋪設管道的路線最短.

?B

①

（1）如圖②，作出點A關于I的對稱點4,線4B與直線，的交點C的位置即為所求，即在點C處建氣站,

所得路線ACB是最短的，為了讓明點C的位置即為所求，不妨在Z直線上另外任取一點連接AC，，BC,

證明4C+C8（AC'+C'B,請完成這個證明.

（2）如果在A、B兩個城鎮之間規劃一個生態保護區，燃氣管道不能穿過該區域請分別始出下列兩種情形

的鋪設管道的方案（不需說明理由），

①生市保護區是正方形區域，位置如圖③所示

②生態保護區是圓形區域，位置如圖④所示.

2.（2024.廣東?模擬預測）綜合與實踐

【提出問題】唐朝詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“中隱含著一個

有趣的數學問題——將軍飲馬問題.如圖1,將軍從山腳下的點a出發，到達河岸點P飲馬后再回到點B宿營，

請問怎樣走才能使總路程最短？

【分析問題】

如圖1,取點力關于河岸線的對稱點4,連接4P,A'P,當4,P,B三點共線時，點P為飲馬的地方，PA+PB=

A'B,此時所走的路程就是最短的.

【解決問題】

（1）當4,P,8三點共線時路程最短的依據是」

【遷移應用】

（2）如圖2,A,B兩個村莊在河岸CD的同側，兩村到河岸CD的距離分別為4C=1千米，BD=3千米，

（CD=3千米，現要在河岸CD上建一水廠P,從P處向4B鋪設管道以輸送自來水，使得鋪設所需的管道長

度和最少.

①請在河岸CD上作出水廠P的位置，并寫出作圖過程；

②若鋪設水管的工程費用為20000元/千米，求出鋪設水管最節省的總費用.

命題點二定義、命題、定理

>題型01判斷是否是命題

1.（2020?四川雅安?中考真題）下列四個選項中不是命題的是（）

A.對頂角相等

B.過直線外一點作直線的平行線

C.三角形任意兩邊之和大于第三邊

D.如果a=b,a—c,那么6=c

2.（2023?廣西南寧?模擬預測）下列語句中，不是命題的是（）

A.如果b+l<a+l,那么a+l>b+lB.對頂角相等

C.兩點之間，線段最短D.過一點作已知直線的垂線

3.（2023?廣東揭陽?二模）下列句子中哪一個是命題（）

A.你的作業完成了嗎？B.美麗的天空.

C.猴子是動物.D.過直線/外一點作/的平行線.

>題型02判定命題的真假

1.（2024?江蘇無錫?中考真題）命題“若a>b,則a—3<b—3''是____命題.（填“真”或"假”）

2.（2024?湖南?中考真題）下列命題中，正確的是（）

A.兩點之間，線段最短B.菱形的對角線相等

C.正五邊形的外角和為720。D.直角三角形是軸對稱圖形

3.（2023?內蒙古通遼?中考真題）下列命題：

①a3.a2=a5；

②一兀>-3,14；

③圓周角等于圓心角的一半；

④將一枚質地均勻的硬幣拋擲一次時，正面朝上是必然事件；

⑤在一組數據中，如果每個數據都增加4,那么方差也增加4.

其中真命題的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

>題型03寫成命題的逆命題

1.（2022.江蘇無錫?中考真題）請寫出命題“如果a>b,那么6-a<0”的逆命題:

2.（2022?浙江湖州?中考真題）“如果⑷=|b|,那么a=6”的逆命題是.

3.（2024.陜西西安.模擬預測）《原本》是古希臘數學家歐幾里得的著作，它以公理和原名為基礎推演出更

多的結論，是流傳最廣、影響最大的一部世界數學名著.請寫出命題“如果a=b,那么。2=匕2”的逆命

題：.

>題型04反證法

1.（2023?湖南?中考真題）我們可以用以下推理來證明“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60。”.假

設三角形沒有一個內角小于或等于60。，即三個內角都大于60。.則三角形的三個內角的和大于180。，這與“三

角形的內角和等于180。”這個定理矛盾.所以在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60。.上述推理

使用的證明方法是（）

A.反證法B.比較法C.綜合法D.分析法

2.（2024.山西長治.三模）請閱讀以下關于“圓的切線垂直于過切點的半徑”的證明過程.

已知：直線/與。。相切于點C.

求證：。。與直線1垂直.

證明：如圖，假設OC與直線Z不垂直，過點。作OM1直線1于點M.

：.OM<OC,即圓心。到直線I的距離小于O。的半徑.

二直線I與。。相交._______

這與已知“直線Z與。。相切”相矛盾.（、

假設不成立.（Oj

二.oc與直線唾直.\/J

這種證明方法為（）一,

A.綜合法B.歸納法C.枚舉法U.儀klE彳玄

3.（2024.江蘇南京.模擬預測）用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個銳角不大于45。”第一步應假

設直角三角形中.

第七章圖形的變化

第30講尺規作圖與定義，命題，定理

（思維導圖+2考點+2命題點18種題型）

01考情透視?目標導航＞題型07作垂線

02知識導圖?思維引航??題型08作等腰三角形

03考點突破?考法探究＞題型09畫圓

考點一尺規作圖??題型10過圓外一點作圓的切線

考點二定義、命題、定理■題型11作正多邊形

04題型精研?考向洞悉＞題型12格點作圖

命題點一尺規作圖＞題型13無刻度直尺作圖

??題型01作線段＞題型14最短路徑問題

??題型02作一個角等于已知角命題點二定義、命題、定理

??題型03尺規作角的和、差＞題型01判斷是否是命題

＞題型04過直線外一點作已知直線的平行線＞題型02判定命題的真假

??題型05作三角形■題型03寫成命題的逆命題

??題型06作角平分線■題型04反證法

考情透視?目標導航

中考考點考杳頻率新課標要求

尺規作圖★★能用尺規作圖

通過具體實例，了解定義、命題、定理、推論的意義.

★

定義、命題、

結合具體實例，會區分命題的條件和結論，了解原命題及其逆命題的概念.會識

定理

別兩個互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立.

【命題預測】本考點內容以考查尺規作圖和真假命題為主，年年考查，是廣大考生的得分點，分值為6分

左右.預計2024年各地中考還將繼續考查這兩個知識點.中考對尺規作圖的考查涉及多種形式，不再是

單一的對作圖技法操作進行考查，而是把作圖與計算、證明、分析、判斷等數學思維活動有效融合，既體

現了動手實踐的數學思維活動，也考查了學生運用數學思考解決問題的能力，為避免丟分，學生應扎實掌

握.

知識導圖?思維引航

故判斷T牛事的畫

題設已知事項?

^6結論推出的事項〃

真命題

分類--------

假命題

證明推理過程

'尺規作圖與定義，命題，定理

真命題繼續推理的依據

先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么

尺規作圖鍵讀懂題意后，再運用幾種基本作圖方法解決問題

切記作圖中一定要保留作圖痕跡