相似三角形模型大全

一、相似三角形判定的基本模型認識

（一）A字型、反A字型（斜A字型）

（平行）

（二）8字型、反8字型

A

C

（蝴蝶型）

（平行）（不平行）

（三）母子型

1

（四）一線三等角型:

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景

（五）一線三直角型:

（六）雙垂型:

2

二、相似三角形判定的變化模型

旋轉型：由A字型旋轉得到。。78字型拓展

「AA

8(共享性§C

一線三等角的變形

'E一d一線三直角的變形

3

第二部分相似三角形典型例題講解

母子型相似三角形

例1：如圖，梯形ABCD中，AD//BC,對角線AC、BD交于點。，BE〃CD交C4延長線于E.

求證：OC2=OA-OE.

E

BC

例2：已知：如圖，△ABC中，點E在中線A。上,ZDEB=NABC.

求證：(1)DB2=DE?DA；(2)ZDCE=ZDAC.B

A

AC

4

例3：已知：如圖，等腰△ABC中，AB=AC,AO_1_BC于。，CG//AB,BG分別交AD、AC于E、F.

求證：BE2=EF-EG.

相關練習：

1、如圖，已知為△ABC的角平分線，EF為/W的垂直平分線.求證：FD2=FB-FC.

2、已知：AD是RtZ^ABC中NA的平分線，ZC=90°,EF是AD的垂直平分線交AD于M,EF、BC的延長線

交于一點N。

求證：(l)AAME^ANMD;(2)ND2=NC?NB

A

5

3、已知：如圖，在AABC中，ZACB=90°,CD_LAB于D,E是AC上一點，CF_LBE于F。

求證：EB?DF=AE?DB

4.在A48C中，AB=AC,高AD與BE交于H,EFLBC,垂足為F,延長AD到G,使DG=EF,M是AH的中點。

求證：ZGBM=90°

5.（本題滿分14分，第（1）小題滿分4分，第（2）、（3）小題滿分各5分）

己知：如圖，在中，Z（=9Q°,BC=2,AC=4,P是斜邊45上的一個動點，PD1AB,交邊47

于點。（點2與點/、C都不重合），￡是射線加上一點，且/9%設4

戶兩點的距離為x,△戚的面積為y.

（第25題圖）

(1)求證：AE=2PE；

(2)求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域;

(3)當△期與相似時，求△應P的面積.

雙垂型

1、如圖，在AABC中，ZA=60°,BD、CE分別是AC、AB上的高

求證：(1)AABD^AACE；(2)AADE^AABC；(3)BC=2ED

2、如圖，已知銳角△ABC,AD、CE分另lj是BC、AB邊上的高，Z^ABC和4BDE的面積分別是27和3,DE=6行,

求：點B到直線AC的距離。

7

共享型相似三角形

1、ZiABC是等邊三角形,D、B、C、E在一條直線上，NDAE」20°,已知BD=1,CE=3,,求等邊三角形的邊

長.

2、已知：如圖，在RtZkABC中，AB=ACfZDAE=45°.

8

2

求證：(1)AABES^ACD；(2)BC=2BE-CD.

一線三等角型相似三角形

例1：如圖，等邊△ABC中，邊長為6,。是BC上動點，ZEDF=60°

(1)求證：△BDEs^CFD

(2)當BO=1,FC=3時，求BE

例2：(D在A4BC中，AB=AC=5,BC=8,點尸、0分別在射線C8、ZC上(點尸不與點。、

點8重合)，且保持NZPQ=NN8C.

①若點尸在線段C8上(如圖)，且8尸=6,求線段C。的長;

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②若BP=x,CQ=y,求y與x之間的函數關系式，并寫出函數的定義域;

(2)正方形48co的邊長為5(如下圖)，點尸、0分別在直繾CB、DCh(點尸不與點。、點8重

合)，且保持N4PQ=90°.當C0=1時，求出線段AP的長.

例3：已知在梯形ABCD中，AD//BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2.

(1)如圖8,P為4D上的一點，滿足NBPC=/4

①求證；AABPS^DPC

②求AP的長.

(2)如果點P在4D邊上移動(點P與點4、。不重合)，且滿足N8PE=/4PE交直線BC于點

E,同時交直線0C于點Q,那么

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①當點Q在線段DC的延長線上時，設AP=x,CQ=y,求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定

義域；

②當CE=1時，寫出4P的長.

例4：如圖，在梯形48CD中，AD//BC,AB=CD=BC=6,40=3.點M為邊8C的中點，以

M為頂點作NEMF=NB,射線"E交腰28于點E,射線"F交腰CD于點/，聯結EF.

(1)求證：AMEFsABEM；

(2)若△8EM是以8/為腰的等腰三角形，求EE的長；

(3)若EF_LCD,求BE的長.

BM

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相關練習:

1、如圖，在^ABC中，AB=AC=8,BC=10,。是8C邊上的一個動點，點E在/C邊上，且

NADE=ZC.

(1)求證：AABDSADCE；A

(2)如果8D=x,AE=y,求y與x的函數解析式，并寫出自變量x的定義域；//\

(3)當點。是的中點時，試說明△ADE是什么三角形，并說明理由.//\F

BDC

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2、如圖，已知在△ABC中，AB=AC=6,BC=5,D是AB上一點，BD=2,E是BC上一動點，聯結0E,并

作NDEF=Z5,射線EF交線段AC于F.

(1)求證：ADBES/\ECF；(2)當F是線段AC中點時，求線段BE的長;

(3)聯結DF,如果△口￡「與△D8E相似，求FC的長.

3、已知在梯形ABCO中，AD//BC,AD<BC,且BC=6,AB=DC=4,點E是AB的中點.

(1)如圖，P為BC上的一點，且BP=2.求證：ABEPs^CPD；

(2)如果點P在BC邊上移動(點P與點B、C不重合)，且滿足NEPF=NC,PF交直線CD于點F,同

時交直線A。于點/W，那么

①當點F在線段CD的延長線上時，設BP=x,DF=y,求y關于X的函數解析式，并寫出函數的定

義域；

(第25題圖)(備用圖)

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4、如圖，已知邊長為3的等邊AABC,點E在邊BC上，CR=1,點E是射線R4上一動點，以線段防

為邊向右側作等邊皿8，直線EG,EG交直線/c于點",N,

(1)寫出圖中與A8EE相似的三角形；

(2)證明其中一對三角形相似；

(3)設BE=x,MN=y,求y與》之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍;

(4)若/E=l,試求的面積.

備用圖

一線三直角型相似三角形

例1、已知矩形ABCD中，CD=2,AD=3,點P是AD上的一個動點，且和點A,D不重合，過點P作尸E_LCP,

交邊AB于點E,設尸￡>=x,/E=y,求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍。

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A02

例2、在A48C中，NC=90°,/C=4,8C=3,。是AB上的一點，且工1=,點P是AC上的一個動

點，尸0,00交線段BC于點Q,(不與點B,C重合)，設4P=x,CQ=y,試求y關于X的函數關系,

并寫出定義域。

【練習1]

3

在直角AA8C中，NC=90°,45=5,tan8=—，點D是BC的中點，點E是AB邊上的動點，DF1DE

交射線AC于點F

⑴、求AC和BC的長

(2)、當EE〃8C時，求BE的長。

(3)、連結EF,當AO所和A48C相似時，求BE的長。

【練習2】

在直角三角形ABC中，NC=90°,Z8=5C,。是AB邊上的一點，E是在AC邊上的一個動點，(與A,C

不重合)，DF1。瓦。廠與射線BC相交于點F.

⑴、當點D是邊AB的中點時，求證：DE=DF

⑵、當W2=掰，求的值

DBDF

4D1

(3)、當/C=3C=6,-=彳，設=歹=y,求y關于x的函數關系式，并寫出定義域

UB2

3

【練習31