第21講重難點拓展：二次函數綜合之三種線段問題

題型一：線段的數量關系題型二：線段最值問題

題型三：周長最值問題

s?@?

一、線段的數量關系

此類問題一般是求滿足線段數量關系的點的坐標，針對這種情況應先在圖中找出對

應線段，弄清已知點和未知點；再聯系二次函數和一次函數，設出未知點的坐標，使其

只含一個未知數；最后表示出線段的長度，列出滿足線段數量關系的等式，從而求出未

知數的值；

二、線段最值問題

此類問題通常有兩類：

①設出關鍵的點的未知數（通常是一個跟所求線段關系緊密的點的橫坐標），通過題

目中的函數和圖形關系，用該點的橫坐標表示出有關線段端點的坐標，進而表示出線段

的長，通過二次函數的性質求最值，繼而得到線段的最大值或最小值；

②在求線段最小值的時候可以利用軸對稱模型.此類問題一般是要尋找一個動點，使

其到兩個頂點的距離最小，通常是作一個定點關于動點所在直線的對稱點，連接這個對

稱點與另一個定點的線段即為所求的最小值；

三、周長最值問題

此類問題一般為所求圖形中有一動點，對其求周長最值，解決此類問題時應利用轉

化思想，即先觀察圖形，結合題目，分清楚定線段和不定線段，然后將其所求圖形周長

的最值轉化到求不定線段和的最值，進而轉化為求線段最值問題，其方法同（2）.

A題型歸納

題型一：線段的數量關系

【例1】（2024?安徽合肥?一模）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=af+6x+4的對稱軸為直

線x=與x軸交于4,5兩點，與歹軸交于點C,已知5（4,0）.

第1頁共34頁

(1)求a,6的值；

(2)已知橫坐標為t的點P為對稱軸左側的拋物線上一動點，過點尸作x軸的平行線交拋物線于另一點M,

①若△OCP與AOCM的面積之和為8,求才的值；

②過點尸作x軸的垂線尸N,垂足為N,直線九W交線段8C于點￡>,是否存在這樣的點尸，梗MN=2MD?

若存在，求出1的值；若不存在，請說明理由.

\a——1

【答案】⑴八.

(2)①-;；②存在，且/的值為上黃.

【分析】(1)根據題意列方程組，解方程組即可得到結論；

(2)①由(1)知，拋物線的函數表達式為y=-/+3x+4,求得點C的坐標為(0,4),由題意知％)t,

3

-/+3,+4),M(3-t,-t2+3t+4),當0</<5時，當”0時，根據三角形的面積公式列方程即可得到結論；

②根據待定系數法求得直線3C的函數表達式為y=-x+4,由=得到點。為線段MN的中點，

求得點。的橫坐標為三產=g,得到。弓］)，根據題意列方程即可得到結論.

本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法求函數解析式，線段中點的定義，三角形的面積公式，正確地

求得二次函數的解析式是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：由題意得把8(4,0)代入了=加+次+4

3

且結合對稱軸x

2

3

得，2。2,

16。+46+4=0

y=—X2+3x+4；

(2)解:①由(1)知，拋物線的函數表達式為》=-/+3工+4,

.??點C的坐標為(0,4),

由題意知P(f,—廣+3/+4),M(3—f,T°+3?+4),

當0</<3時，ZkOC尸的面積=夫4*=2,,AOCM的面積=；x4x(3-t)=6-2，，

此時△OC尸與AOCM的面積之和為6,不符合題意；

當/<0時，△OC尸的面積=；x4x(-t)=-2f,AOCA/的面積=gx4x(37)=6-2,；

第2頁共34頁

△OCF與AOCM的面積之和為6-4t,此時6-4/=8,

解得:4；

綜上，，的值為-；；

???8（4,0）,C（0,4）,

二直線3c的函數表達式為y=-x+4,

MN=2MD,

「?點。為線段MN的中點，

二點。的橫坐標為三詈=g,

???點。在直線8C上，

."（翡），

，點〃■的縱坐標為5,則-『+3，+4=5,

解得:三5或/（不合題意，舍去），

22

，存在，f的值為匚區(qū).

2

【變式1-1］（2024?湖北武漢?模擬預測）如圖1,拋物線歹="2+樂+3與x軸交于點/（-1，0）,8（3,0）兩

點，與y軸交于點。、頂點為D.

第3頁共34頁

(1)求拋物線的解析式；

(2)尸是x軸上一動點，將頂點。繞點尸順時針旋轉90。剛好落在拋物線上的點￡處，求點P的坐標；

(3)如圖2、點G,〃為x軸上方的拋物線上兩點(點G在點〃的左邊)，直線3G、58與y軸分別交于S,

T兩點，若OSOT=9,試探究直線G”是否經過定點，若是，求定點坐標；若不是、請說明理由.

【答案】⑴V=-x?+2x+3

,,,?、r7+J33?J33—7

(2)點P的坐標為1-----------,0)或1—--,0

(3)直線G”經過定點(-U)

【分析】(1)運用待定系數法即可求得答案；

(2)設尸億0),過點E作EFLx軸于點尸，設拋物線的對稱軸交x軸于點K,則尸K=1T,DK=4,設

E(e,-e2+2e+3)5”(e,0),可證得APET&ADPK(AAS),得出防=PK,PF=DK,建立方程組求解即

可求得答案；

⑶設G?,-/+2m+3),"(",_/+2"+3),運用待定系數法可得：直線G"的解析式為

y=^-m-n+2)x+mn+3,直線BG的解析式為＞=一(機+1)(無一3),直線瓦7的解析式為＞=一(〃+1)@一3),

令x=0,貝!J為=3(加+1),%=3(〃+1),可得OS=3(7"+1),

。7=3(〃+1),根據題意推出加+〃=-加〃，代入直線GH的解析式得y=(m〃+2)x+7W7+3,當x=-l時，

y=l,即直線G"經過定點

【詳解】(1)??,拋物線^=融2+6尤+3與》軸交于點/(-1,0),3(3,0)兩點，

[〃-6+3=0

.19“+36+3=0'

\a=—\

解得：[=2,

拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

第4頁共34頁

(2)設尸&0),過點￡作斯，x軸于點尸，設拋物線的對稱軸交工軸于點K,如圖1,

則ZDKP=ZPFE=90°,

-l)2+4,

圖1

???頂點」(1,4),K(l,0),

:.PK=l-t,DK=4,

設E(e,—e2+2e+3),則尸(e,0),

EF=_(_/+2e+3)=/—2e—3,PF=e-t,

由旋轉得：PE=PD,NDPE=9。。,

:./DPK+/EPF=90。,

?;/DPK+/PDK=90。，

NEPF=ZPDK,

「.△PE尸為。QK(AAS),

:.EF=PK,PF=DK,

/-2e-3=1-，

e-t=4

I-A/331+V33

q二

22

解得：,

7+V33V33-7

2

.??點P的坐標為一V，°或

\7

(3)直線GH經過定點理由如下:

設G0”,一加2+2/M+3),H(",-〃2+2〃+3),

設直線GH的解析式為y=6+4則

mk+b=-m2+2m+3

nk+d=-n2+2〃+3

第5頁共34頁

k=—m—n+2

解得:

d=mn+3

二直線G〃的解析式為y=(-〃L〃+2)X+?7〃+3,

同理可得：直線3G的解析式為y=-(〃z+D(x-3),

直線8H的解析式為了=-(〃+1)(尤-3),

令x=0,貝！］%=3(m+l),力=3(〃+1),

.?.0S=3(加+1),OT=3(〃+1),

■：OSOT=9,

3(加+1)x3(〃+1)=9,

:.m+n=-mn,

代入直線的解析式得y=(mn+2)x+mn+?>,

?.?當x=T時，y=l,

二直線G”經過定點(-U).

【點睛】本題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特

征，全等三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的

思想解答.

【變式1-2］(2024?山東荷澤,二模)如圖，拋物線y=&+bx-4與x軸相交于點/(-2,0),點C,與y軸

相交于點￡其對稱軸為直線x=l.

W

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)若點M在直線A3上，且在第四象限，過點M作MNLx軸于點N.

①若點N在線段OC上，旦MN=3NC,求點"的坐標；

②以兒W為對角線作正方形MPN。(點尸在龍W右側)，當點尸在拋物線上時，設點N的坐標為?，0),求

t的值.

［答案］⑴尸;X。一x—4

第6頁共34頁

②

【分析】本題主要考查了二次函數的綜合題，熟練掌握二次函數的圖形和性質，正方形的性質，一次函數

的圖象和性質是解題的關鍵.

（1）先根據對稱軸公式得到6=-2。，再利用待定系數解答，即可求解；

（2）①先求出直線N5的表達式為夕=-2尤-4,然后設點N的坐標為（加,0）.可得河（%-2加-4）.可得到

MN=2m+4,NC=4-m.再由"N=3NC,即可求解；②連接尸。與A/N交與點設點M的坐標為

則點N的坐標為&0）,根據正方形的性質可得E的坐標為&V-2）,進而得到尸的坐標

⑵+2,V-2）.再由點P在拋物線上，即可求解.

【詳解】（1）解：：對稱軸為直線x=l

---=1,即6=-2a,

2a

把4（-2,0）代入>=爾+為-4得4〃-26-4=0,

??4a+4。—4=0,

.1

a=一,

：.<2

b=-1,

，拋物線的表達式為J=1X2-X-4.

（2）解：①設直線48的表達式為了=丘+〃.

???點/,2的坐標為/（-2,0）,5（0,-4）,

[一2左+〃=0[k=-2

???”,解得：”，

[n=-4=一4

直線AB的表達式為k-2x-4.

根據題意得：點C與點/（-2,0）關于對稱軸直線無=1對稱，

.?,C（4,0）.

設點N的坐標為（H,0）.

MN_Lx軸，

：.MN=2m+4

:.NC=4-m.

?:MN=3NC

2加+4=3（4—加）,

第7頁共34頁

Q

解，得加二丁

.,.點M的坐標K，—I；

②連接尸。與跖V交與點￡.

設點河的坐標為(t,-2t-4),則點N的坐標為&0)

?.?四邊形〃PN0是正方形，

PQ1MN,NE=EP,NE=-MN.

2

軸，

POIIx軸.

的坐標為

NE=t+2.

ON+EP=ON+NE=t+t+2=2t+2.

，尸的坐標(2t+2,V-2).

???點尸在拋物線＞=-x-4上，

.-.1(2?+2)2-(2?+2)-4=-Z-2.

解，得4=；,t[=-2.

???點尸在第四象限，

/.t=—2舍去.

即％=L

2

【變式1-3](2024?湖北恩施?二模)如圖1,二次函數歹=/+fcr+c的圖像與x軸交于4、B兩點，與歹軸

交于。點，直線/：＞='-3經過5、C兩點.

Jx

1/fiTz*\/

1/

1//

平V/,

圖1ffl2

(1)求出該二次函數的解析式.

(2)已知點P為直線/上的一點,設其橫坐標為f,過點P作X軸的垂線與該二次函數的圖像相交于點再

第8頁共34頁

過點〃■作y軸的垂線與該二次函數的圖像相交于另一點N.

①當九W時，求點尸的橫坐標.

2

②當aM的長度隨1的增大而增大時，直接寫出/的取值范圍.

(3)如圖2,將二次函數yuf+bx+c在x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸的上方，圖象的其余部分不變，得

到一個“正，形狀的新圖象，再將直線/向上平移〃個單位長度，得到直線廠，當直線/'與這個新圖象有3個

公共點時，求"的值.

【答案】⑴y=--2x-3

⑵①尸點橫坐標為1+夜或1-&或2+有或2-g；②0</<5或/>3

,25

(3)〃=4或〃=彳

【分析】本題考查二次函數的綜合應用，正確的求出函數解析式，利用數形結合的思想進行求解，是解題

的關鍵.

(1)求出民C的坐標，待定系數法求出函數解析式即可；

(2)①設尸一3),貝進而得到N(27,產一2/3),根據尸兒W,進行求解即可；

②根據尸河=|產-；3""013)結合二次函數的性質，進行求解即可；

11[-Z2+3Z(O<?<3)

(3)根據題意，畫出圖象，利用數形結合的思想進行求解即可.

【詳解】(1)解：???直線/：y=x-3經過3、C兩點，當x=0時，y=-3,當y=0時，x=3,

.-.5(3,0),C(0,-3)

將3(3,0),C(0,-3)代入>=/+6尤+c得：

f9+36+c=0仍=一2

w解得：o

[c=-3[c=—3

..，二次函數的解析式為：y=x2-2x-3；

(2)①設小,1一3),則「一2”3),

V=x2-2%-3=(x-1)2-4,

對稱軸為直線x=l,

：.N[2-t,t2-2t-3),

:.PM=\t2-3t\,A4N=\2-2t\,

■：PM=-MN,

2

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E-3z|=^-|2-2z|,

解得f=1+V2或f=1--\/2或/=2+y/3或/=2-V3，

，2點橫坐標為1+也或1-&或2+百或2-6；

②：尸〃十-3小

當r-3/=0時，f=0或，=3,

.?.當0<1<3時，〃一3f<0,

「一3”《0力3)

/.PM=\t~—3z|="

—t~+3/(0<t<3)

二當/<0時，尸M隨x的增大而減小；當/>3時，尸M隨x的增大而增大，

當0</<3時，PM=-t2+3t=-^t-^+：,

3

.?.當0</<；時，P/欣隨x的增大而增大，

2

3

綜上：0</<—或Z>3；

2

(3)將拋物線y=x--2x-3的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，則翻折上來的部分的解析式

Jqy——x^+2,x+3.

直線/向上平移〃個單位長度，得到直線[：y=x-3+〃

???當直線r經過點/或與y=-，+2X+3只有一個交點時，直線/'與新圖象恰好有三個不同的交點.

①當直線/'經過點/(-1,0)時，0=-1-3+〃，解得：〃=4

②當y=x-3+〃與y=-/+2x+3只有一個交點時，

[y=x-3+n

2c。只有一組公共解，

[y=-x+2x+3

即方程尤2-x+〃-6=0中判別式等于0,

.?.A=(-1)2-4(H-6)=0,解得:n=—

25

綜上，〃=4或〃=下.

4

第10頁共34頁

題型二：線段最值問題

【例2】(2023?上海?九年級假期作業(yè))如圖，已知拋物線4：y=-x2+5,拋物線瓦與耳關于點(1,0)中心

對稱，居與巴相交于48兩點，點M在拋物線月上，且位于點/和點3之間；點N在拋物線耳上，也

位于點/和點B之間，且血W_Lx軸.

(1)求拋物線耳的表達式；

(2)求線段長度的最大值.

【答案】⑴尸"-2)2-5

⑵8

【分析】(1)先求出拋物線內：＞=--+5的頂點坐標為(0,5),然后求出點(0,5)關于(1,0)對稱后的點坐

標為(2,-5),再拋物線外的解析式為：y=(x-2)2-5；

(2)先求出/、2兩點橫坐標分別為-1和3,設河(°,-02+5),N[a,(a-2＞-5]其中一1＜。＜3,則

MN=-2(a-l)2+8,求出最大值即可.

【詳解】(1)解：拋物線片：y=-/+5的頂點坐標為(0,5),

點(0,5)關于(1,0)對稱后的點坐標為(2,-5),

?.?拋物線巴與拋物線耳關于(1,0)成中心對稱，

???拋物線外的解析式為：J=(X-2)2-5.

(2)解：：拋物線/：＞=-/+5與丹：y=(x-2)2-5交于/、B,

第11頁共34頁

.,.令*+5=(x-2)2一5,

解得：x=-l或x=3,

則/、2兩點橫坐標分別為-1和3,

設M(a,-/+5),N[a,(a其中一l<a<3,

貝I]MN=-a2+5-[(a-2)2-5]=-2a2+4a+6=-2(a-l)2+8,

.?.當4=1時，MN最大為8.

【點睛】本題主要考查了求二次函數解析式，中點坐標公式，二次函數的最值，解題的關鍵是數形結合，

利用對稱的特征，再根據頂點情況求解析式以及根據二次函數解析式求最大值.

【變式2-1](2024九年級下?黑龍江齊齊哈爾?學業(yè)考試)如圖，直線>=。+3與X軸、y軸分別交于A、B

4

(1)求拋物線的表達式；

(2)點。是拋物線在第二象限內的點，過點。作x軸的平行線與直線N8交于點C,求DC的長的最大值.

39

(l)y=X2--x+3

(2)4

【分析】本題主要考查了二次函數綜合，解題的關鍵是掌握待定系數法求函數解析式.

(1)首先求得/、3點的坐標，然后利用待定系數法求拋物線的解析式；

3039

(2)設。(私-1加之加+3),則C(-加2_3冽，--w2--w+3),進而表示出CZ)的長；接下來用含機的二次

4444

函數表示S,根據二次函數的性質，即可解答；

【詳解】(1)?直線y=；x+3與x軸、了軸分別交于A、8兩點，

.?2(-4,0)、8(0,3),

3

丁拋物線V=-7％2+fcr+c經過A、3兩點，

4

J-12-4b+c=0

\c=3

第12頁共34頁

b-

4,

c=3

,-3」+3.

44

(2)設。(切，—13加2—9加+3),

44

???。。平行于工軸，與直線交于點C,

339

.?.令一x+3=—m2m+3,

444

一.x=-m2-3m，

c/2c329

/.C(-m-3m,--m-—m+3),

/.DC=-m2-3m-m=-m2-4m=-(m+2)2+4,

當a=-2時，DC的長取最大值，最大值為4.

【變式2-2](2024?黑龍江雞西?模擬預測)如圖，拋物線了=-/+法+。與x軸交于/,8兩點，點”的坐

標為與y軸交于點C(0,4).注：拋物線了=辦2+瓜+。的對稱軸是五=一二，頂點坐標是

，上4ac-b2}

、2。'4a),

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

(2)點M(〃z,0)是x軸上的一個動點，當MC+KD的值是最小時，請計算此時機的值.

【答案】（l）y=-/+3尤+4,D

24

⑵吁右

【分析】本題主要考查了用待定系數法求解二次函數表達式，根據軸對稱的性質確定最短路徑，解題的關

鍵是熟練掌握用待定系數法求解函數表達式的方法和步驟.

(1)利用待定系數法即可求得拋物線的解析式，再根據頂點坐標即可求解；

第13頁共34頁

(2)作點C(0,4)關于x軸的對稱點E(0,-4),連接。E,可知與x軸交點即為MC+MD的值最小時，利用

待定系數法求得DE解析式為卜=二尤-4,令y=0,即可求解.

6

【詳解】⑴解：??,拋物線歹=*+樂+。過點4(TO),C(O,4),

-l-b+c=O

c=4

b=3

=4,

拋物線的解析式為y=-x2+3x+4.

14ac-b2'

:頂點坐標一不

2a4a,

(2)作點。(0,4)關于x軸的對稱點頤0,T),連接。E,

???與x軸交點即為+的值最小時，

設。E解析式為歹=履+6,代入頤0,-4),D

b二—4

生,

2bT

k7=—41

6,

b=—4

412424

,,=不.4,令…，解得＞彳IP-=-.

【變式2-3](2024?江蘇淮安?三模)二次函數y="2-2x+c的圖像與x軸交于。兩點，點C(3,0),與

第14頁共34頁

》軸交于點5(0,—3).

Bk/

(1)〃=_，°=_;

(2)如圖，P是x軸上一動點，點。(0,1)在y軸上，連接尸D,求百尸。+尸C的最小值.并求出此時點P

的坐標.

⑶在(2)成立的前提下，在拋物線y="x2-2x+c是否存在點°,使得靈BCP=SBC2存在，請直接寫出點

。的坐標，不存在請說明理由.

【答案】(1)1,-3

⑵4；尸(1,0)

"3+7171+而’3-屈1-g'

滿足條件的點。的坐標為：20-4),Q(2,-3)

(3)Q-2-，-2--2-，-2-

【分析】本題考查二次函數綜合題、待定系數法、面積問題、線段最值問題；

(1)將。(3,0)、分別2(0,-3)代入〉="2_2》+。得到二元一次方程組，解方程求得。和。即可；

(2)如圖1中，作于％先說明NPCH=45。然后在RtAPS中，有

亞DP+PC=亞產+%PC,拒(PD+PH),由垂線段最短可知，當。、P、//共線時，血DP+PC最

小，最后求得最小值即可；

(3)如圖2中，由％BPC=3，過點E作BC的平行線交拋物線于2、0，根據S.BCP=SBC。，再求出直線Q&

的解析式，然后聯立解方程組即；利用平移可求出。3、。的坐標.

【詳解】(1)解：把C(3,0),3(0,-3)代入y=公2-2尤+C,

解得「

[0=一3

故答案為1,-3.

(2)如圖1中，作PH_LBC于H.

第15頁共34頁

?：OB=OC=3,ZBOC=90°,

：.ZPCH=45°,

6

在Rt△尸C〃中，PH="PC.

2

(亞、

?：42DP+PC=42PD+—PC=C(PD+PH),

I2)

根據垂線段最短可知，當。、P、〃共線時正。尸+尸C最小，最小值為后ZVT，

在Rt△。/中，

V5(O,-3),D(O,1),則50=4,

/DBH'=45°,

5

：.DH,=—BD=2^,

2

42DP+PC的最小值為V2?2V2=4.

,/△。。尸是等腰直角三角形，

：.OP=OD=1

???P(I,O)

???P(1,O),C(3,0)

第16頁共34頁

尸C=3-l=2,

又”(O,-3)

50=3

?*S&BPC=-PCxOZ)=-x2x3=3

22

???過點尸作5C的平行線交拋物線于Q,02,則山田=3,SvBCQ2=3,

設直線3C的解析式為〉=丘+6億WO)

V5(0,-3),C(3,0),

b=-3

3k+b=0

k=l

解得:

b=-3

直線BC的解析式為y=x-3,

???尸(刈

/.直線Q&的解析式為y=x-1,

y=x-l

由

y——2x—3

3+V173-V17

X=----------尤=-------------

2-或＜2

解得r

I+V171-V17'

y=-

'3+后1+c(3-V171-行

，外—J

.*.0-2-l

根據對稱性可知，直線關于直線Be的對稱的直線與拋物線的交點。3、2也滿足條件,

PC=2

：.將BC向右平移2個單位得到&Q的解析式為》=x-5

y=x-5

由

y——2x—3

x=l、x=2

解得了=-4或

3=一3'

.??2(1,-4),2(2,-3),

3+V171+，1s^］，2d,a(2,-3).

綜上所述，滿足條件的點。的坐標為：2.F'一

題型三：周長最值問題

第17頁共34頁

【例3】(2023?湖南張家界?統考中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數y=ax2+fec+c的圖

象與x軸交于點/(-2,0)和點3(6,0)兩點，與>軸交于點C(0,6).點。為線段8c上的一動點.

(1)求二次函數的表達式；

(2)如圖1,求△ZOD周長的最小值；

(3)如圖2,過動點。作。P〃工C交拋物線第一象限部分于點尸，連接P4PB,記AP/。與的面積和

為S,當S取得最大值時，求點尸的坐標，并求出此時S的最大值.

【答案】⑴了=-5》2+2X+6

⑵12

⑶，RS最大值后

【分析】(1)根據題意設拋物線的表達式為了=。?+2心-6),將(0,6)代入求解即可；

(2)作點。關于直線的對稱點E,連接EC、E8,根據點坐特點及正方形的判定得出四邊形O3EC為

正方形，￡(6,6),連接/￡,交6c于點。，由對稱性|。￡|=口。|,止匕時|。。|+口/有最小值為NE的長，再

由勾股定理求解即可；

(3)由待定系數法確定直線3C的表達式為>=r+6,直線/C的表達式為y=3x+6,設

P^n,-^m2+2m+6],然后結合圖形及面積之間的關系求解即可.

【詳解】(1)解：由題意可知，設拋物線的表達式為了=a(x+2Xx-6),

將(0,6)代入上式得：6=“0+2)(0-6),

1

a=——

2

所以拋物線的表達式為y=-J，+2x+6；

(2)作點。關于直線3C的對稱點￡,連接EC、EB,

,.,5(6,0),C(0,6),ZBOC=90°,

：.OB=OC=6,

第18頁共34頁

；。、￡關于直線3C對稱，

，四邊形O8EC為正方形，

￡（6,6）,

連接ZE,交BC于點、D,由對稱性=

此時+有最小值為/E的長，

AE=y]AB2+BE2=>/82+62=10

；AAOD的周長為。/+DO+/O,

AO=2,04+DO的最小值為10,

設直線BC的表達式為y=+b,

八/\/、,\6k+b=0（左二一

將8（6,0）,C（0,6）代入y=H+b中,』，解得』

直線BC的表達式為y=-x+6,

同理可得：直線/C的表達式為>=3x+6,

,?PD//AC,

，設直線PD表達式為y=3x+a,

由（1）設尸，，-;加？+2加+6]，代入直線PD的表達式

得：a=-—m2-m+6,

2

，直線的表達式為：y=3x-^m2-m+6,

式[11

ry=-x+6x=—m2+—m

由，12“，得8\.

y=3x--m-m+61,

2V=——m2m+o

iI84

第19頁共34頁

JI111-

—m2+—m,——m2——m+6L

18484)

■:P,。都在第一象限,

??S=S△尸+S^PBD=S2PAB—^/\DAB

=、8一，Y"

2I84

=_2w2+9m=_2(m2

22V

=--3(m,-3。)、-2+—27,

當機=3時，此時尸點為

【點睛】題目主要考查二次函數的綜合應用，包括待定系數法確定函數解析式，周長最短問題及面積問題,

理解題意，熟練掌握運用二次函數的綜合性質是解題關鍵.

【變式3-1](2024?廣東汕頭?二模)如圖，拋物線＞="2+樂-3經過/(-1,0),8(3,0)兩點，與y軸交于

點C.

(1)求拋物線解析式；

(2)點尸是拋物線對稱軸上一點，當的周長最小時，求點尸的坐標.

【答案】⑴尸/_2一

第20頁共34頁

⑵(L2)

【分析】本題主要考查的是二次函數的綜合應用，一次函數的圖象與性質，軸對稱的性質等知識點，依據

軸對稱路徑最短問題確定出點P的位置是解題的關鍵.

(1)根據待定系數法即可求得；

(2)連接交拋物線的對稱軸于點尸，連接尸區(qū),依據軸對稱圖形的性質可得到尸/=PB,則的周

長=/。+"+尸C,故當點C、P、3在一條直線上時，△刈€?的周長最小值，然后求得直線8C的解析式,

從而可得到點尸的坐標.

【詳解】(1)解：：拋物線y=a/+6x-3經過么(-1,0)、8(3,0)兩點,

[a-b-3=0

[9a+3b-3=0

4Z—1

解得

b=-2

???拋物線的解析式為歹=——2x—3；

(2)?.?當x=0時，y=x2-2x-3=-3,

AC(0,-3),

???點尸是拋物線對稱軸上一點，

PA=PB,

：.AP+PC=CP+PB.

當點P、C、3在一條直線上時，/尸+PC有最小值，即8C的長度.

如圖，連接6C交拋物線的對稱軸于點P,

,此時，△/PC的周長最小.

設直線3c的解析式為、=履+&,

3k+b=Q

則

b=-3

k=l

解得:

b=-3,

第21頁共34頁

...直線的解析式為y=x-3,

將x=1代入V=%-3得：y=—2,

.?.點P的坐標為。，-2),

即當的周長最小時，點P的坐標為(1，-2).

【變式3-2](2024?山東聊城?二模)已知拋物線夕=-/+6x+c與x軸交于,對稱軸為直線尤=1,

頂點為點尸為對稱軸右側第一象限內拋物線上的一點，連接力?與y軸交于點D

圖①圖②

⑴求"c的值；

(2)是否存在以為底邊的等腰若存在，求點。的坐標；若不存在，請說理由;

(3)過動點尸作x軸的平行線交拋物線于點￡,作y軸平行線交x軸于點G,過點￡作成，x軸，垂足為點

F,當四邊形尸EFG周長最大時，求點P的坐標.

【答案】(1)6=2,c=3

(2)不存在，理由見解析

⑶尸(2,3)

【分析】(1)根據對稱軸為直線x=l,/(-1,0)在拋物線〉=-/+區(qū)+。上，建立方程組求解，即可解題;

(2)設OD=x，根據題意得根據結合勾股定理建立等式求解并檢驗，即可解題；

(3)設點P(f,-r+2/+3),則￡(2-「/+2/+3),根據矩形周長公式得到四邊形尸EFG周長表達式，再結

合二次函數的最值，即可解題.

【詳解】(1)解：???對稱軸為直線x=l,/(-1,0)在拋物線了=--+法+°上，

一1-6+。=0

2x(-1)

(2)解：：拋物線y=-*+2x+3=-(x-l)2+4

???頂點河。,4)

設。。=x,若存在以/“為底邊的等腰△4DM,

第22頁共34頁

貝1AD=DM,

/.AD^^+x2,DM2=I2+(4-x)2

：.12+X2=12+(4-X)2

解得：x=2,

此時設直線/v的解析式為y=b+加，

代入小)與/(TO),得y,

解得:斤=2,"7=2,

/?直線AM的解析式為了=2尤+2

.??此時點。(0,2)恰好在直線上，故不存在；

(3)解:設點尸(t,—/+2/+3),則￡(2—1,—/+21+3),

由題意可知四邊形尸EFG為矩形，

四邊形PE尸G的周長=2(-1+2/+3)+2?+/2),

=—2廠++2,

=-2(Z-2)2+10,

-2<0,

.??當7=2時，四邊形周長最大

此時尸(2,3).

【點睛】本題是二次函數綜合題，主要考查待定系數法求二次函數解析式，等腰三角形性質，勾股定理，

矩形的性質，二次函數的性質，以及在二次函數圖象的條件下探究幾何圖形的能力，解題的關鍵在于要靈

活運用二次函數知識解決與其相關的綜合問題.

【變式3-3](2024?山東濟寧?一模)已知二次函數y=-gx2+6x+c,當xW0時，〉的最大值為4；當x>0

時，了的最大值為4.5.

(1)求二次函數的解析式；

(2)二次函數的圖象與x軸交于/、3兩點(點/在點3左邊)，與》軸交于點C,點〃是二次函數圖象的

對稱軸上一點，當A4CM的周長最小時，求點M的坐標；

(3)拋物線的對稱軸上是否存在一點N,使得Z4NC=ZA8C?若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請

說明理由.

【答案】⑴V=-gx,+x+d

⑵河(1，3)

(3)存在，點N的坐標為(1.1+Jid),(1,1-Vio).

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【分析】(1)根據題意得到拋物線的對稱軸一定在V軸右側，且拋物線的最高點的縱坐標為4.5,與了軸交

點縱坐標為4,利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；

(2)由兩點之間線段最短知3M+CM之BC,當8、M、C共線時，8M+CM有最小值，最小值為的

長，據此求解即可；

(3)作“3C的外接圓。/,交拋物線的對稱軸于點乂，N2,由圓周角定理知N4NC=N/N2C=N/3C,

據此求解即可.

【詳解】(1)解：

2

二拋物線開口向下，

?.?當x40時，y的最大值為4；

當x>0時，>的最大值為4.5,且4.5>4,

.??拋物線的對稱軸一定在了軸右側，且拋物線的最高點的縱坐標為4.5,

又當xVO時，V隨x的增大而增大，

.?.當xVO時，在x=0時，了取得最大值為4,

C(0,4),即c=4,

設二次函數的解析式為y=-g(x-〃)2+4.5,

把C(0,4)代入得4=_g(OT『+4.5,解得八±1,

;對稱軸一定在了軸右側，

191

二次函數的解析式為>=一3k-1)一+4.5=-丁2+》+4；

1

(2)解：對于歹=一5(%-1)+4.5,對稱軸為直線％=1,

17

令k0,貝ljo=-5(%-1)+4.5,

解得％=4或x=-2,

.??/(-2,0),5(4,0),

?*-AC=A/22+42=2A/5，

連接BC交對稱軸于點由對稱知

由兩點之間線段最短知比飲+CM28C,

.?.當8、M、C共線時，氏W+CM有最小值，最小值為3c的長，

第24頁共34頁

設直線BC的解析式為y=kx+4,

把8(4,0)代入得0=44+4,

解得斤=-1,

/?直線BC的解析式為y=-x+4,

令x=l,則y=-l+4=3,

(3)解：作“BC的外接圓O/,

二點/的橫坐標為1,設點/的坐標為(I,"。,

/.IA2=IC2,

(l+2)2+m2=(4-??)2+12,解得加=1,

點/的坐標為(1,1),

IA=-\/32+12=,

設。/交拋物線的對稱軸于點M，N2,

：.NAN?=ZABC,

同理點生的坐標為(1,1+&可，

綜上，點N的坐標為(1,1+M),(1」-加).

【點睛】本題是二次函數與幾何的綜合題，求二次函數解析式，圓周角定理等等，利用數形結合的思想是

第25頁共34頁

解本題的關鍵.

，過關檢測

1.(2024?湖南?中考真題)已知二次函數＞的圖像經過點”(-2,5),點尸(國,%)，。(9,%)是此二

次函數的圖像上的兩個動點.

(1)求此二次函數的表達式；

(2)如圖1,此二次函數的圖像與x軸的正半軸交于點瓦點尸在直線的上方，過點尸作軸于點C,

交4B于點D,連接NC,。。,尸0.若電=玉+3,求證的值為定值;

^AADC

(3)如圖2,點尸在第二象限，％=-2%，若點M在直線尸。上，且橫坐標為再-1,過點M作AGVLx軸于

點N,求線段九W長度的最大值.

【答案】(1)丁=一一+9

(2)為定值3,證明見解析

37

⑶彳

【分析】(1)用待定系數法求解即可；

(2)先求出直線N3的解析式，尸(X],-x；+9),貝|0卜+3,一(玉+3)2+9),。(西,一看+3),表示出

PZ＞=(x+2)(-x+3),。。=-%+3,代入即可求解；

)△ADC

(3)設P(X1,-x；+9),則°(-2再,-4尤；+9),求出直線尸Q的解析式，把x=±-1代入即可求出線段肱V長

度的最大值.

【詳解】(1)???二次函數＞的圖像經過點/(-2,5),

5=-4+c,

???。=9,

第26頁共34頁

y-—%2+9；

（2）當歹=0時，0=——+9,

??X]——3,%2=3,

???5（3,0）,

設直線45的解析式為V=H+b,

.j-2k+b=5

"[ik+b=0'

“[6k=3-\1

y—~x+3,

設尸（再,r;+9）,則°（玉+3,-（尤]+3）2+9）,D（XJ，F+3）,

PD=—Xj2+9—（―玉+3）=—x，+/+6=（X]+2）（―X]+3）,CD——x^+3.

.S&PDQ_（x+2）（一/+3）（項+3—xj_§

,△ADC（-再+3）（芭+2）

.S/^PDQ

的值為定值;

SZ\ADC

（3）設尸（xp—x；+9）,貝lj0（—2xp—4%；+9）,

設直線PQ的解析式為y=mx+n,

.mxx+n=-xx+9

\-2mxx+n=-4xJ+9'

.[m=xi

9[n=-2x^+9'

y=x1x-2x：+9,

當x=玉_1時，

y二%（七一1）一2/2+9=—6]+g]+彳，

137

?,?當x=-：時，線段MN長度的最大值半.

24

【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式，二次函數與幾何綜合，數形結合是解答本題的關鍵.

2.（2024?甘肅天水?二模）如圖，已知拋物線y=-n2+*+夕的對稱軸為直線X二一3,與>軸交于點。，過

其頂點M的一條直線y=ax+t與該拋物線的另一個交點為N（-1,1）.

第27頁共34頁

(1)求拋物線的解析式.

⑵求A0MV的面積.

(3)在x軸上確定一點尸，使APMN的周長最小，并求出此時AFW的面積.

【答案】(1)k_/-61

⑵3

(3)圖見解析，|

【分析】(1)運用待定系數法即可求解;

(2)分別求出點的坐標，根據S/\QMN=S^QMA-S^QAN即可求解;

(3)過點M作關于x軸對稱的點AT,連接MN交x軸干點尸，則M'(-3,-5),此時APMN的周長最小,

運用待定系數法求直線MN的解析式，分別求出點尸,3的坐標，根據工