一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項符合題目要求.

1.已知等差數列｛""｝的前〃項和為若。2+%+。6=6,則邑=()

A.7B.14C.21D.42

2.已知復數2=匕，則以如―z2025|=()

1+i11

A.2B.72C.1D.0

3.已知直線4:+2y+3=0和4：x+(a—1)y+1=0,貝！j"a=2"是"/J/"”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知圓C：x2+y2=4,直線L：y=kx+m,則當左的值發生變化時，直線被圓。所截的弦長的最小

值為2,則機的取值為()

A.±2B.+72C.±73D.±3

5.已知橢圓左、右焦點分別為《，用，其右頂點為4若橢圓上一點尸，使得/尸片?=15°,=75。，

則橢圓的離心率為()

A.-B.@C.叵D.在

2233

22

6.已知雙曲線。：亍-=1的左、右焦點分別為片、歹2,過坐標原點的直線與雙曲線C交于A、B兩點,

若忻刈=2國同，則|AB|=()

A.4A/7B.277C.4后D.4

7.已知拋物線C：>2=4X的焦點為F，直線y=g(x+l)與C交于A,8兩點，貝I]|/刊+怛M=()

A.18B.16C.6D.4

8.設無窮等差數列｛4｝的公差為d,集合T=,f=sinq”〃eN*｝.則()

A.T不可能有無數個元素

B.當且僅當d=O時，T只有1個元素

C.當了只有2個元素時，這2個元素的乘積有可能為L

2

2兀

D.當d=—次22,左eN*時，T最多有女個元素，且這左個元素的和為0

k

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.

9.在數列｛。“｝和也｝中，q=4=l,a“+]-a“=〃+l,痣二■一J￡=1,〃GN*,下列說法正確的有（）

("+1)(”+2)

A.b”=IB-%

2

De1<-

C.36是｛4｝與也｝的公共項-ibM-aM

10.已知橢圓上+y2=i,不經過原點。、斜率為左的直線/與橢圓相交于A,8兩點，4為線段的

4

中點.下列結論正確的是（）

A.直線AB與垂直

B.若點M坐標為,則直線/方程為x+2y—2=0

￡2

c.若直線/方程y=x+i,則點/坐標為

3'3

若直線/方程為y=x+2,則|人同=警

D.

11.已知直線/經過點A（T,—2）,曲線。：（f+）?）2=4（x+y）2,下列說法正確的（）

17

A.當直線/與曲線。有2個公共點時，直線/斜率的取值范圍為（-,，w）U｛l｝

B.當直線/與曲線。有奇數個公共點時，直線/斜率的取值共有4個

711

c.當直線/與曲線。有4個公共點時，直線/斜率的取值范圍為（行，5）u（a，i）

D.存在定點。，使得過。的任意直線與曲線Q的公共點的個數都不可能為2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.過拋物線C：V=4x焦點產的直線交拋物線于A,B兩點,若點A在第一象限，且恒司=3|EB|,則

直線AB的傾斜角為.

13.已知圓。：好+/=4,直線/：nu+y—m―1=0,直線/被圓C截得的最短弦長為.

14.橢圓C：3+y2=1的左右焦點分別為《、尸2,點M為其上的動點.當/片河片為鈍角時，點M的橫

坐標的取值范圍是

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知圓C的半徑為1,圓心既在直線y=2x—4上又在直線>=彳-1上.

(1)求圓c的標準方程

(2)過點4(2,0)作圓C的切線，求切線方程.

16.已知雙曲線C：——丁2=。2(。>0)與橢圓,+3=1有相同的焦點.

(1)求雙曲線。的方程；

(2)以p(l,2)為中點作雙曲線c的一條弦AB，求弦所在直線的方程.

17.某研發團隊實現了從單點光譜儀到超光譜成像芯片的跨越.為制定下一年的研發投入計劃，該研發團隊

需要了解年研發資金投入量x(單位：億元)對年銷售額y(單位：億元)的影響.結合近12年的年研發

資金投入量x和年銷售額y,該團隊建立了兩個函數模型：①丫二夕+月^,②》二一日，其中以/均

為常數，e為自然對數的底數.經對歷史數據的初步處理，得到散點圖如圖.令

%=lny(i=L2,…,12),計算得到如下數據.

AjV億元

80.

75■:

70-

65-,

60■

OT1015202530

121212

S(x-y)2

Xy

Z=1i=\i=l

206677020014

121212

E(^-v)2

uVz(%一筋)(%—方

Z=1Z=1Z=1

4604.203125000030821500

(1)設變量”和變量，的樣本相關系數為"，變量X和變量V的樣本相關系數為4,請從樣本相關系數的

角度，選擇一個y與*相關性較強的模型.

(2)(i)根據(1)的選擇及表中數據，建立y關于x的經驗回歸方程(系數精確到o.oi)；

(ii)若下一年銷售額需達到80億元，預測下一年的研發資金投入量.

i=l

附：780?8,9443,e4-3820?80;樣本相關系數廠=；經驗回歸方程$=6+%,

可苣5-寸

Vi=li=l

。￡（%-可（%-刃-

其中b=~^—^-------，&=y-bx.

￡（受-可2

Z=1

22

18.已知橢圓。：.+方=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為耳卜6,0)、月(、6刀)，左頂點為

4點P、。為C上關于坐標原點。對稱的兩點，且忸。|=閨月|，且四邊形咫。鳥的面積為g/.

(1)求橢圓C標準方程；

(2)若斜率不為。的直線/過橢圓C的右焦點F?且與橢圓C交于G、”兩點，直線AG、AH與直線x=4

分別交于點M、N.求證：M、N兩點的縱坐標之積為定值.

19.已知函數/(x)=e*+i+ox2—ax-Z?(a,Z?wR).

(1)若曲線y=/(x)和直線丁=一公一6相切，求。的值；

(2)若存在兩個不同a,使得了(%)的最小值為0,求證：0<b<e.

重慶南開中學高2025級高三(上)數學測試(12.1)

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項符合題目要求.

1.

【答案】B

2.

【答案】B

3.

【答案】A

4.

【答案】C

5.

【答案】B

6.

【答案】A

7.

【答案】B

8.

【答案】D

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.

9.

【答案】ACD

10.

【答案】BD

11.

【答案】ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.

71

【答案】-##60°

3

13.【答案】2行

14.

【答案】一+，+

[33J

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

15.

【分析】（1）由圓心既在直線y=2x-4上又在直線y=x-1上，所以條直線的交點即為圓心.（2）分別討

論斜率存在和不存在時兩種情況，再利用相切時點到直線的距離等于半徑即可.

y=2x-4ix=3

【詳解】⑴聯立4?，得力則圓C的圓C坐標為（3,2）.

y=x-l[y=2

因為圓C的半徑為1,所以圓C的方程為：（x—3）2+（y—2）2=1.

（2）如果左不存在，則方程為x=2,是圓的切線；如果斜率存在，設切線方程為：y=k{x-2）,即

,\k-2\?3

kx-y-2k=0.運用距離公式d=c—=1，解得上=—.方程為3x+4y—12=0.

yjk2+l4

綜上所述切線方程為：％=2和3%-4、-6=0.

16.

【解析】

【分析】

（1）根據橢圓的方程和題意，得到雙曲線C的焦點坐標，求出c=2,再由等軸雙曲線的性質，以及

°2="+廿，即可求出結果;

（2）先討論所在直線斜率不存在時，根據題意，可直接排除；再討論所在直線斜率存在時，聯立

直線與雙曲線方程，根據韋達定理，以及中點坐標公式，即可求出結果.

22

【詳解】（1）由已知橢圓上+乙=1

84

得雙曲線C的焦點為月（—2,0）,鳥（2,0）,即c=2,

由等軸雙曲線的性質a=匕及c?=4+^,

則a=及

所求雙曲線C的方程為V—V=2

（2）當所在直線斜率不存在時，由對稱性可知，中點不可為P（l,2）,

故此時不滿足題意;

當AB所在直線斜率存在時，設AB所在直線的方程為y=kx+m,

y=kx+m2

聯立方程組《得（1—42卜2-2kmx-^m+2）=0

x2一丁2=2c

2km

=2①

1-1-k2

點P（l,2）在AB所在的直線＞=區+加上，即2=左+加②.

13

聯立①②兩式，解得k=二,m=x，

22

經檢驗，直線方程x-2y+3=0即為所求.

17.

【解析】

【分析】（1）分別將表中數據代入相關系數公式求出廠，比較大小即可判斷;

（2）（i）由＞=/+,取對數，換元得v=f+Xx,由表中數據分別求幾和，，得經驗回歸方程

v=0.02X+3,84-利用指數式和對數式的互化，即得》=e°g+3.84；

（ii）將y=80代入回歸方程，利用題設條件，即可預測下一年的研發資金投入量.

【小問1詳解】

2（%一”）（％一9）

2150021500

由題意知彳=I、'」12=0.86,

口（4-江）苣（X-寸73125000x20025000

Vi=ii=i

12

可（匕-"）

1414

In'?0.91.

154

\￡（七一元）2￡（匕一"）2V770x0.308

V?=11=1

因為0.86＜。91,所以用＜同，

故從樣本相關系數的角度，模型y=e'K‘中V與X的相關性較強.

【小問2詳解】

(i)由>=-*+',得lny=/+2x,即丫=?+忒.

?fa-可(匕-羽)

因A=1=1-----------------=------?0.02,,

匕_、2770

；=1

-14

所以/="—/I元=4.20-------x20?3.84,

770

故v關于x的經驗回歸方程為V=0,02X+3.84，即

]ny=0.02x+3.84，所以夕=e002v+3-84.

（ii）將y=80代入$=e°g+3-“得gQ=e0.02x+3.84.

e4-3820?80,故得0.02x+3.84=4.382,解得x=27.1,

故預測下一年的研發資金投入量是27.1億元.

18.

【解析】

【分析】（1）根據橢圓的定義與勾股定理列式求解a,4c即可得橢圓方程;

（2）直線與橢圓相交確定交點坐標關系，根據坐標運算即可得結論.

【小問1詳解】

因為點尸，。為C上關于坐標原點。對稱的兩點，且忸。=山月|,所以四邊形尸耳。鳥為矩形,

又|尸Q|=|耳7訃所以尸耳,尸巳

}PF^\PF^=2a

所以S矩形網鑿=10片"尸閭’由橢圓定義與勾股定理知＜

」P耳「+|P8「=如

所以歸耳卜歸閭所以尸=（一打所以會合

=2%92=22?2

又C=A/§*，解得a=2.

所以廿=々2—°2=1,故橢圓C的標準方程為—+/=1.

4

【小問2詳解】

因為乙(6,0),所以可設直線/的方程為x=+百.

x=my+A/3

聯立方程組|必

消去尤化簡并整理得(m2+4)/+20ny-1=0.

-1

設Gl%(,%)，H(4，%)，可得%+%=—;——,=

m+4m2+4

因為4(-2,oy所以直線AG的方程為.

y=」(*+2)

設點M、N的縱坐標分別為,yN,令x=4,可得j7，同理可得＞N=一^.

X]i-Z*2十乙

_36yly2「___________36%/_________

所以(xj+2)(x2+2)(州+2+7§'),%+2+君)

=_____________36%%_____________

機~%+(2+6)冽(%+%)+(2+君)

=3673-63.

所以M、N兩點的縱坐標之積為定值.

19.

【解析】

【分析】(1)設切點為/GJ)，結合導數的幾何意義可得。刊+2axi=0,結合題設可得eM+依；=0,

進而求解即可；

6%+1

(2)求出導數后，分。=0、。＜0與。＞0討論函數的調性后，構造函數g(x)=、----結合導數可得

12%

(x；3xo+])e"°M

存在兩個不同的。,使得/(九)的最小值為0等價于存在兩個不同的X。，使得6=再

l—2x°

x2-3x+l)eA+1利用導數研究其單調性后即可得證.

構造函數"(x)=

1-2%

【小問1詳解】

由f(x)=ex+1+ax2-ax-b,則/'(x)=ex+1+lax-a,

設切點為(*1則/'(芯)=6"+2%—a=-a,即e』"+2ax1=0,

又e'1+1+ax；—a%—b=—ctx1—b,即e*+l+ax；=0,

則axf=2axi,解得％=0或%=2,

JC1+1

當為=。時，e+2ax1=e^0,不符合題意，舍去;

3

當玉=2時，由e""i+2〃否=。3+4〃=0,即〃=一(_

3

綜上所述，a=-—e.

4

【小問2詳解】

證明：由/(x)=e"+i+公2一改一人，則/'(%)=?*+1+2以一〃，

令//(x)=ex+1-\-2ax-a,則/J(x)=ex+1+2a,

當〃=。時，r(%)=ex+1>0,/(x)單調遞增，沒有最小值，不滿足題意;

當avO時,考慮％<0這一側，</(x)<e+ax2+|Z?|,

則當X=_J—網—e時,f(x)<o,不滿足題意；

Va

當a>0時，/(％)>