重難點幾何最值問題

命題趨勢

中考數學中《幾何最值問題》部分主要考向分為五類:

一、將軍飲馬類最值

二、動點輔助圓類最值

三、四點共圓類最值

四、瓜豆原理類最值

五、胡不歸類最值

幾何最值問題雖然在中考數學中經常考察的是將軍飲馬類和輔助圓類，剩余幾種雖然不經常考察，但

是考到的時候難度都比較大，所以也需要理解并掌握不同類型的幾何最值問題的處理辦法，這樣到考到的

時候才能有捷徑應對。

熱考題型解讀

考向一：將軍飲馬類最值

滿分技巧

將軍飲馬:

作添

普通?B

異側PA*PH的■小■為

“兩定AS,Ha之間.die

一動”??

在/上tt一點。■/M?

戶■■小

普通

修.《關于的對期

同側AP*BP*A*B.R

AAr.淳?人‘瓦AF

“兩定點N網.

在■!!I上事一點P,?與■（!，’19交點?為育P

一動”

AP?BP?小

分刈作點P關于福■■

PMaMN/PN?

定期河除點尸?X?逐察

P尸.U點N同.a

兩產r,■離■&爻點?

在?&八?h上分■求點IS”

為tM,N

動”M,N,侵的?長

■小

“兩分別作點九Q關于■口

PQ.PM.MN.網-

定ls的時除3P,.

PQ*尸Q"?馬點之

兩Q.??PQr.wa

在■線0.h上分射求點間,ttttav

動”理的文為盒M,N

M.N.使四0彩PMNQ

構造平行四邊形AMNA',

的M長?小

轉化AM為A'N,之后再對

稱連接求A'N+NB的最小

WAASWSu個■位

A梏日n4

同側?Ar.他N關于■■1

AM。MN*

的對密點人、■?A'

“兩定/VB.網點之0.tt

在■紇/上求漏點M.NB,A'B痛■靖/交點⑷

兩動”

（M在左）.使?MN-V.?零

并使人“?MNNB

??。個?&卻為點M

勒______________

例I,村住A和，、于一條卜何的兩偏：若河岸nut隼檸，妻巢在一即不可才看面的

橋.橋址應如何選擇,才使A與B之間的距離量坦？

AV4

異側構造平行四邊形AA'NM,

則AM轉化為A'N,之后

“兩定

，一A'再依據兩點之間線段最

兩動”

/N短，連接A'B即為A、B

之間陸地距離的最小值

1.（2023?綏化）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點E為高20上的動點.連接CE,將CE繞點C

順時針旋轉60°得到CF.連接AFEF,DF,則△CDF周長的最小值是

2.（2023?德州）如圖，在四邊形ABCD中，ZA=90°,AD//BC,AB=3,BC=4,點E在AB上，且AE

=1.F,G為邊上的兩個動點，且FG=1.當四邊形CGFE的周長最小時，CG的長為

考向二：動點輔助圓類最值

蔽函

動點運動軌跡為輔助圓的三種類型：

定義法一一若一動點到定點的距離恒等于固定長，則該點的運動軌跡為以定點為圓心，定長為半徑

的圓（或圓弧）

二.定邊對直角

模型原理：直徑所對的圓周角是直角

思路構造：若一條定邊所對的“動角”始終為直角，則直角頂點運動軌跡是以該定邊為直徑的圓（或圓

弧）

三.定邊對定角

模型原理：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等

思路構造：若一條定邊所對的“動角”始終為定角，則該定角頂點運動軌跡是以該定角為圓周角，該定

邊為弦的圓（或圓弧）

徑列3而117巷Rt入入反7幣廠二不Hd：二石1三不屏三丁百萬茬近瓦匚匚一蔣。而招工萬折著;

使點C落在點C'處，連接3C',則2C，的最小值為

A

2.（2023?黑龍江）如圖，在中，ZBAC=3Q°,CB=2,點￡是斜邊A2的中點，把RtZ^ABC繞

點A順時針旋轉，得RtZVlED,點C,點B旋轉后的對應點分別是點D,點R連接CREF,CE,在

旋轉的過程中，△（?￡/面積的最大值是.

3.（2023?大慶模擬）如圖，AB是。。的直徑，AB=4,C為篇的三等分點（更靠近A點），點尸是。。上

個動點，取弦AP的中點O,則線段CZ）的最大值為（）

B.41C.273D.丙+1

考向三：四點共圓類最值

薪函

對角互補的四邊形必有四點共圓，即輔助圓產生

模型原理：圓內接四邊形對角互補

匚五畫;一而兀癡個幣；一7了而三幫mm；一反三了一瓦三:一連接一靛:一僅-靛一為新加巨靠的方硼作喜

腰直角P是AE邊上的一點，連接PC和CZ）,當/PC。=45°,則PE長為

，/)

考向四：瓜豆原理類最值

滿分技巧

瓜豆原理的特征和結論:

I

1動點:軌跡（21.跖產可求的機;口勸5i

1兩動一定從動點:軌跡未知,路徑恃求的那個動點

定點：與七、從動點都有連接的個定點

2.定比值」人馬點到用迎電線收生一建為止常數）

持征識別

1：動點到定點間的理段長

3定.夾角:1-動點和定點組成的線段與從動點和定點

加成的線段間的夾角■冏定角度a

1狀邊：從動點的運動軌城:同主動點的坨動軌旌fT?所以

”“■牛網.—AT的1ft睹

從動點壇動好陞長=定比躍

模型應用2施柱長

?卞動點運動感杼長

線吳，從動息的匕遜所在汽線。1/J)3的

運動紈進所在以線所或央角=。

3定義向.MI'110美,從4點所CiMrjim心到ttil喋的線段

'jM動力所在IW的國心到定點組成的線

收附成的大用=a

1.（2023?金平區三模）如圖，長方形ABCD中，AB=6,BC=，芻,E為BC上一點，且8￡=三，F為AB

22

邊上的一個動點，連接EF,將EF繞著點E順時針旋轉45°到EG的位置，連接FG和CG,則CG的

最小值為.

BE

2.（2023?宿城區二模）如圖，矩形48口）中,4）=6,“：=8,點E為對角線AC上一動點，BE1,B凡坨-_1,

BF3

3GL所于點G,連接CG,當CG最小時，CE的長為.

考向五：胡不歸類最值

滿分技巧

胡不歸模型解決步驟：

模型具體化：如圖，已知兩定點A、B,在定直線BC上找一點P,使

從B走道P,再從P走到A的總時間最小--J—*---

解決步驟：；弋.

由系數k?PB確定分割線為PB

PA在分割線一側，在分割線PB另一側依定點B構a角，使sina=k,

a角另一邊為BD

過點P作PQ1BD,轉化kPB=PQ

過定點A作AH±BD,轉化（PA+k?PB）min=AH,再依“勾股法”求AH的長即可。

7775655；鋪麗y五面廠茬花2c5T幣72XE1萬二'5。丁丁2入萬日與「接下友彥彝作畫7"①布工c

和AB上分別截取AD,AE,使AD=AE.②分別以點。和點E為圓心，以大于的長為半徑作弧，

2

兩弧在/BAC內交于點M.③作射線AM交8C于點況若點尸是線段AF上的一個動點，連接CP,則

2.（2023?合肥三模）如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,ZB=60°,AB=4,若。是BC邊上的動點，則

2AD+DC的最小值是（）

C.10D.12

?G難通關練（建議用時：20分鐘）

1.（2023?瀘州）如圖，E,尸是正方形ABCO的邊AB的三等分點，P是對角線AC上的動點，當PE+PF

2

7

2.（2023?鄂州）如圖，在平面直角坐標系中，。為原點，0A=。2=34號，點C為平面內一動點，BC=±,

2

連接AC,點M是線段AC上的一點，且滿足CM：MA=1：2.當線段取最大值時，點/的坐標是

B.

D.

3.（2023?臺州）如圖，O。的圓心。與正方形的中心重合，已知。。的半徑和正方形的邊長都為4,則圓

上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值為（）

C.4+2V2D.4-25/2

4.（2022?靖江市二模）如圖，AB±BC,AB=5,點E、尸分別是線段AB、射線BC上的動點，以為斜

邊向上作等腰Rt/XOEF,ZEDF=90°,連接A。，則A。的最小值為

?G優爭分練（建議用時：20分鐘）

1.（2023?利州區模擬）如圖，正方形ABCO中，AB=4,動點E從點A出發向點。運動，同時動點廠從點

。出發向點C運動，點E、尸運動的速度相同，當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段AR

BE相交于點P,M是線段BC上任意一點，則MD+MP的最小值為.

2.（2023?營口一模）如圖，等邊三角形ABC和等邊三角形ADE,點N,點M分別為BC,DE的中點，AB

=6,AD=4,繞點A旋轉過程中，的最大值為.

A

BN

3.（2023?宿城區二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線＞=一1^2居x與x軸的正半軸交于點A，B

點為拋物線的頂點，C點為該拋物線對稱軸上一點，則3BC+5AC的最小值為（）

4.（2023?天心區校級三模）如圖1：在O。中，為直徑，C是O。上一點，AC=3,BC=4.過。分別

作。"_LBC于點”，QD_LAC于點。，點E、F分別在線段BC、AC上運動（不含端點），且保持/EQF

=90°.

（1）OC=；四邊形CD。8是（填矩形/菱形/正方形）；S四邊形CDOH=;

（2）當尸和。不重合時，求證：△OFDsAOEH；

（3）①在圖1中，。尸是△CEO的外接圓，設。尸面積為S,求S的最小值，并說明理由；

②如圖2：若。是線段上一動點，且QA：QB=1：n,ZEQF=9Q°,是四邊形CEQF的外接

圓，則當"為何值時，OM的面積最小？最小值為多少？請直接寫出答案.

圖2

重難點幾何最值問題

命題趨勢

中考數學中《幾何最值問題》部分主要考向分為五類:

一、將軍飲馬類最值

二、動點輔助圓類最值

三、四點共圓類最值

四、瓜豆原理類最值

五、胡不歸類最值

幾何最值問題雖然在中考數學中經常考察的是將軍飲馬類和輔助圓類，剩余幾種雖然不經常考察，但

是考到的時候難度都比較大，所以也需要理解并掌握不同類型的幾何最值問題的處理辦法，這樣到考到的

時候才能有捷徑應對。

熱考題型解讀

考向一：將軍飲馬類最值

滿分技巧

將軍飲馬:

作添

普通?B

異側PA*PH的■小■為

“兩定AS,Ha之間.die

一動”??

在/上tt一點。■/M?

戶■■小

普通

修.《關于的對期

同側AP*BP*A*B.R

AAr.淳?人‘瓦AF

“兩定點N網.

在■!!I上事一點P,?與■（!，’19交點?為育P

一動”

AP?BP?小

分刈作點P關于福■■

PMaMN/PN?

定期河除點尸?X?逐察

P尸.U點N同.a

兩產r,■離■&爻點?

在?&八?h上分■求點IS”

為tM,N

動”M,N,侵的?長

■小

“兩分別作點九Q關于■口

PQ.PM.MN.網-

定ls的時除3P,.

PQ*尸Q"?馬點之

兩Q.??PQr.wa

在■線0.h上分射求點間,ttttav

動”理的文為盒M,N

M.N.使四0彩PMNQ

構造平行四邊形AMNA',

的M長?小

轉化AM為A'N,之后再對

稱連接求A'N+NB的最小

WAASWSu個■位

A梏日n4

同側?Ar.他N關于■■1

AM。MN*

的對密點人、■?A'

“兩定/VB.網點之0.tt

在■紇/上求漏點M.NB,A'B痛■靖/交點⑷

兩動”

（M在左）.使?MN-V.?零

并使人“?MNNB

??。個?&卻為點M

勒______________

例I,村住A和，、于一條卜何的兩偏：若河岸nut隼檸，妻巢在一即不可才看面的

橋.橋址應如何選擇,才使A與B之間的距離量坦？

AV4

異側構造平行四邊形AA'NM,

則AM轉化為A'N,之后

“兩定

，一A'再依據兩點之間線段最

兩動”

/N短，連接A'B即為A、B

之間陸地距離的最小值

1.(2023?綏化)如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點E為高20上的動點.連接CE,將CE繞點C

順時針旋轉60°得到C四連接AREF,DF,則△CDP周長的最小值是3+3%尸.

【分析】分析已知，可證明△BCE四△ACR得/。4歹=/。2￡=30°,可知點P在△ABC外，使NCAF

=30°的射線AF上，根據將軍飲馬型，求得。尸+CF的最小值便可求得本題結果.

【解答】解：:△ABC是等邊三角形，

：.AC=BC=6,ZABC=ZBCA=6Q°,

VZECF=60°,

ZBCE=60°-ZECA=ZACF,

,:CE=CF,

...△3CE絲△ACP(SAS),

：.ZCAF=ZCBE,

?.?△ABC是等邊三角形，BD是高,

AZCBE=l.ZABC=30°,CD=AAC=3,

22

過C點作CGLAF,交AF的延長線于點G,延長CG到H,使得GH=CG,連接AH,DH,DH與AG

交于點/,連接C/,FH,

則/ACG=60°,CG=GH=1AC=3,

2

：.CH=AC=6,

.?.△AS為等邊三角形，

：.DH=CD-tan60°=3^3,

AG垂直平分CH,

：.CI=HI,CF=FH,

：.CI+DI=HI+DI=DH=3>.Q,

CF+DF=HF+DF^DH,

當F與/重合時，即D、F、H三點共線時，CF+。尸的值最小為：CF+DF=DH=3y/3,

.,.△CDF的周長的最小值為3+3。三

故答案為：3+3^3，

2.（2023?德州）如圖，在四邊形ABCD中，ZA=90°,AD//BC,AB=3,BC=4,點E在A3上，且AE

=1.F,G為邊AD上的兩個動點，且PG=1.當四邊形CGFE的周長最小時，CG的長為_二_.

【分析】先確定FG和EC的長為確定的值，得到四邊形CGFE的周長最小時，即為CG+EP最小時，平

移CG到CF作點E關于AD對稱點E,連接EC交AD于點G,得至UCG+EF最小時，點G與G重合，

再利用平行線分線段成比例求出CG長即可.

【解答】解：：/A=90°,AD//BC,

：.ZB=90°,

"：AB=3,BC=4,AE=1,

J.BE^AB-AE=3-1=2,

在RtAEBC中，

由勾股定理，得EC=、JBE?+BC3='J22+4*=2＞后，

"：FG=\,

：.四邊形CGFE的周長=CG+FG+EE+EC=CG+EF+1+2A/^，

四邊形CGFE的周長最小時，只要CG+EF最小即可.

過點F作FC//GC交BC于點C,延長BA到E,使AE=AE=1,連接EF,EC,,EC交AD于點

可得垂直平分EE,

：.EF=EF,

D

\9AD//BC,

:?CF=CG,CC=FG=1,

：.CG+EF=CF+EF^EC,

即CG+EF最小時，CG=CG,

EB^AB+AE=3+1=4,BC'=BC-CC=4-1=3,

由勾股定理，得EC=JE，=q42+32=5,

*：AG//BC,

?C'G’=AB即匕匕=3

E'C'E'B54

解得CG=K,

4

即四邊形CGFE的周長最小時，CG的長為三.

4

故答案為：15.

考向二：動點輔助圓類最值

薪函

動點運動軌跡為輔助圓的三種類型：

一.定義法一一若一動點到定點的距離恒等于固定長，則該點的運動軌跡為以定點為圓心，定長為半徑

的圓（或圓弧）

二.定邊對直角

模型原理：直徑所對的圓周角是直角

思路構造：若一條定邊所對的“動角”始終為直角，則直角頂點運動軌跡是以該定邊為直徑的圓（或圓

弧）

三.定邊對定角

模型原理：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等

思路構造：若一條定邊所對的“動角”始終為定角，則該定角頂點運動軌跡是以該定角為圓周角，該定

邊為弦的圓（或圓弧）

1.（2023?徐州）如圖，在Rt/VIBC中，ZC=90°,CA=CB=3,點D在邊BC上.將△ACD沿AD折疊,

使點C落在點C'處，連接2C',則2C'的最小值為—小75-3_.

【分析】由折疊性質可知AC=AC=3,然后根據三角形的三邊不等關系可進行求解.

【解答】解：VZC=90°,CA=CB=3,

?■-ABLAC?二歷

由折疊的性質可知AC=AC=3,

'JBC^AB-AC,

...當A、C'、2三點在同一條直線時，2C取最小值，最小值即為BC'=AB-AC?=3歷Y，

故答案為3^-3.

2.（2023?黑龍江）如圖，在RtZ\ACB中，ZBAC=30°,CB=2,點E是斜邊AB的中點，把RtZkABC繞

點A順時針旋轉，得RtAAFD,點C,點2旋轉后的對應點分別是點。，點、F,連接CREF,CE,在

旋轉的過程中，△（:所面積的最大值是4+\其.

【分析】線段CE為定值，點尸到CE距離最大時，△（?斯的面積最大，畫出圖形，即可求出答案.

【解答】解：.??線段CE為定值，

點F到CE的距離最大時，叢CEF的面積有最大值.

在Rt/XACB中，ZBAC=30°,E是AB的中點，

Z.AB=2BC=4,CE=AE=J_A3=2,AC^AB-cos300=2百，

2

：.ZECA=ZBAC=30°,

過點A作AG±CE交CE的延長線于點G,

.?.AG=_1AC=。

2

?.,點尸在以A為圓心，長為半徑的圓上，

.?.AF=AB=4,

/.點F到CE的距離最大值為4+73-

SAQF?yCE*(4*75)=4-*V3,

故答案為：4-yl.

3.（2023?大慶模擬）如圖，是。。的直徑，AB=4,C為AB的三等分點（更靠近A點），點P是。。上

)

D.V3*]

【分析】如圖，連接OD,OC,首先證明點。的運動軌跡為以AO為直徑的OK,連接CK,當點D在

CK的延長線上時，C。的值最大，利用勾股定理求出CK即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接OO,OC,

'：AD=DP,

：.OD±PA,

：.ZAD6>=90°,

...點。的運動軌跡為以AO為直徑的OK,連接CK,AC,

當點。在CK的延長線上時，CD的值最大，

為府的三等分點，

/.ZAOC=60°,

△AOC是等邊三角形，

：.CK±OA,

在RtZ\OCK中，9：ZCOA=60°,OC=2,OK=1,

C^=VOC2-OK2=1^3,

'：DK=loA=l,

2

：.CD^\~+1,

.?.CD的最大值為\Q+1,

故選：D.

考向三：四點共圓類最值

蔽贏

對角互補的四邊形必有四點共圓，即輔助圓產生

模型原理：圓內接四邊形對角互補

.匚而氫一茬久還己正：芝標方mmm=5：一反三匚靠二寸蓬瓦函—以蔗一為奈麗茯面而比麗作莓

腰直角△BDE,P是AE邊上的一點，連接PC和C。，當/尸皿=45°,則PE長為2.

【分析】由AE=3得動點E在圓上運動，因為△BOE是等腰直角三角形且/PCO=45°,所以想到瓜豆

原理，可兩次構造三角形相似去解答.

【解答】解：以為斜邊在的右側作等腰直角△ABR連接尸C,FD.

'：ZABF=ZEBD=45°,

：.ZABE=ZFBD,

??ABEB/T

------a35/9>

FBDB

???AABE^AFBD,

FD7"

:.FD=」3L,

2

在四邊形AC8F中，ZACB=ZAFB=9Q°,

；.A、C、B、尸四點共圓，

AZACF=ZABF=45°,ZCAB=ZCFB,

,：ZPCD=45°

：.ZACP=ZFCD,

XV△ABEs"B。，

ZBAE=ZBFD,

：.ZCAP=ZCFD,

.'.△CAPsACFD,

???A-C二AP,

FCFD

在四邊形ACBb中，由對角互補模型得AC+CB="CF>

/.CF=3^2

.2_AP

2

；.AP=1,

：.PE=2,

故答案為：2

考向四：瓜豆原理類最值

滿分技巧

瓜豆原理的特征和結論:

主動點：軌跡已知.略征可求的那個動母

1兩動一定從動點：軌跡未知,路徑恃求的那個動點

CA.與主、從動點都有連接的個定點

比比喈器翳黯登“《小卜：常數）

特征識別

主動點到定點間的線段長

3.定夾角：主動點和定點用成的線段與從動點和定點

制成的線段間的夾角■冏定角度（1

I.狀跡：從動點的ie動軌跡同主動點的運動軌進,村.所rx

H“?牛隕、線1T.it”的mX

模型應用2啼樣K.?臂絲學就?定比《*

主動點地動感桂氏

'踐1線吳?從動點的運動進所在口線。I動戶的

運動物進所在直線所14央用=a

3定義向，IMH從，力點所。Ml的B4I心列定八州孫的，￡區

與主動點所在HI的81心到定點筑成的線

段骷成的頭角-a

1.（2023?金平區三模）如圖，長方形ABCZ）中，AB=6,BC=21,E為BC上一點,且BE=W,F為AB

22

邊上的一個動點，連接EF,將EF繞著點E順時針旋轉45°到EG的位置，連接FG和CG,則CG的

最小值為—,+3>/2—,

【分析】如圖，將線段BE繞點E順時針旋轉45°得到線段￡7,連接DE交CG于J.首先證明NETG

=90°,推出點G的在射線TG上運動，推出當CGLTG時，CG的值最小.

【解答】解：如圖，將線段BE繞點E順時針旋轉45。得到線段ET,連接。E交CG于，

?.?四邊形A2CZ）是矩形,

：.AB=CD^6,/B=NBCD=90°,

'：ZBET=ZFEG=45°,

：.ZBEF=ZTEG,

,:EB=ET,EF=EG,

.,.△ER&ZXETG(SAS),

：./B=/ETG=90°,

.?.點G在射線TG上運動，

當CG,TG時，CG的值最小，

'：BC=^-,BE=三，CD=6,

22

：.CE=CD=6,

：.ZCED=ZBET=45°,

：.ZTEJ=90a=/ETG=NJGT=90°,

四邊形ETGJ是矩形，

J.DE//GT,GJ=TE=BE=二,

2

：.CJ±DE,

:.JE=JD,

：.CJ=\DE=3近,

2

:.CG=CJ+GJ=三+3、叵,

2

；.CG的最小值為

2

故答案為：—+3^2-

2

2.(2023?宿城區二模)如圖，矩形ABCD中,AD=6,DC=S,點E為對角線AC上一動點，BELBF,至-A,

BF3

取于點G,連接CG,當CG最小時，CE的長為—三

【分析】過點B作BPLAC于點P,連接PG,則可得△PBG,進而可知NBPG為定值，因此

CGLPG時，CG最小,通過設元利用三角函數和相似比可表示出PG、CP,即可求出結果.

【解答】解：如圖，過點3作BPLAC于點P,連接尸G,

?.?世__組衛，NABC=NEBF,

BFBC3

AABCsAEBF,

：.ZCAB=ZFEB,

VZAPB=ZEGB=9Q°,

AABPSAEBG,

.?.空=^=___I____/ZABP=ZEBG,

PBGBsinZBACBC3

ZABE=ZPBG,

:.AABEsAPBG,

：.ZBPG=ZBAE,

即在點E的運動過程中，/BPG的大小不變且等于/BAC,

.?.當CG_LPG時,CG最小,

設此時AE=x,

???AEAS="5,

PGPB3

：.PG=^-r,

5x

-：CG±PG,

：.ZPCG=ZBPG=ABAC,

?CP-.5

,?記節’

代入PG=S],解得CP=x,

5x

'：CP=BC'sinZCBP=BC^inZBAC=l^,

5

?丫=18

5

.-.A￡=J^

5

：.CE=^.,

5

故答案為：22?

T

考向五：胡不歸類最值

嬴函

胡不歸模型解決步驟：

模型具體化：如圖，已知兩定點A、B,在定直線BC上找一點P,使

從B走道P,再從P走到A的總時間最小

*1^7------/4-------7

解決步驟：

由系數k-PB確定分割線為PB

PA在分割線一側，在分割線PB另一側依定點B構a角，使sina=k,“

a角另一邊為BD

過點P作PQ^BD,轉化kPB=PQ

過定點A作AH±BD,轉化(PA+k?PB)min=AH,再依“勾股法”求AH的長即可。

1~75應3:鋪刁萬如囪二茬正瓦亞5市「2不苗=56丁「2罰己二命丁丁藪三匚一接下前后彝作囹「①茬7c

和AB上分別截取AD,AE,使AO=AE.②分別以點。和點E為圓心，以大于的長為半徑作弧，

2

兩弧在NR4C內交于點③作射線AM交2c于點尸.若點尸是線段AP上的一個動點，連接CP,則

CP+』AP的最小值是_「-

2

【分析】根據題目中所給的條件，判斷AF為角平分線，由問題可知，需要利用胡不歸模型構建直角三

角形，轉化兩條線段和為一條線段，利用三角函數求出線段長度.

理由如下：由作圖步驟可知，射線AM為/CAB的角平分線,

VZABC=90°，ZB=30°,

AZCAB=60°,

：AM平分NCAB,

ZCAF=ZBAF=AZCAB=3O°,

2

過點C作CNLAB于N,交AF于P,

在Rt/XAPN中，ZBAF=30°，

:.PN=XAP,

2

:.CP+1AP=CP+PN=CN,

2

根據點到直線的距離，垂線段最短，此時CP+PN值最小

在Rtz\ACN中，ZCAN^60°,AC=4,

..gin60._CN,

XAC=x^.=2>/3>

；.CN=sin60°4

2

CP+AAP=CP+PN=CN=「'M，

2

故答案為：2A/3

2.(2023?合肥三模)如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,ZB=60°,AB=4,若。是BC邊上的動點，則

2AO+DC的最小值是()

C.10D.12

【分析】過點C作射線CE,使/BCE=30°,再過動點。作OFLCE,垂足為點尸，連接AO,在Rt

△DFC中,ZDCF=30*,DF=1DC,2AD+DC=2(AD,DC)=2(AD+DF)當兒。尸在同一直線上，

即AFLCE時，AO+D尸的值最小，最小值等于垂線段AF的長.

【解答】解：過點C作射線CE,使N8CE=30°,再過動點。作。EJ_CE,垂足為點F,連接AO,如

圖所示：

A

在RtZXOFC中，Z￡)CF=30°，

?1

??DFUDC，

：2AD+DC=2WWDC）

=2（AD+DF）,

...當A,D,尸在同一直線上，即APJ_CE時，AD+OE的值最小，最小值等于垂線段AF的長，

此時，ZB=ZADB^60°,

...△ABD是等邊三角形，

：.AD^BD^AB=4,

在RtzXABC中，ZA=90°,ZB=60°,AB=4,

：.BC=S,

：.DC=BC-BD=4,

：.2AD+DC=2X4+4=12,

...2AO+DC的最小值為12,

故選：D.

?G難通關練（建議用時：20分鐘）

1.（2023?瀘州）如圖，E,尸是正方形ABCO的邊A8的三等分點，P是對角線AC上的動點，當PE+PF

取得最小