圓解答題培優(yōu)訓練

精選最值和定值問題30道

【類型一最值問題】

1.如圖，在。。中，點C是AB上的一點,作2D||BC交。。于點D,連接4B.

(1)求證：AC=BD-,

(2)連接B。并延長B。交。。于點E,交弦AD于點F,連接CE交4。于點G,連接ZE、4C,請根據題意畫圖.已

知BE=8,AB=4V3.

①若CE=4VL求AF的長度；

②若點C從點A沿至運動點B時，求線段BG的長度最小值.

2.如圖，48是O。的直徑，71B=4,CD是。。的弦；形的度數為75。，氏D的度數為15。，動點P在線段48上,

則點P在運動過程中：

⑴當PC=PD時，直接寫出PC的長.

⑵求出PC+PD的最小值.

⑶當△PCD為以CD為斜邊的Rt△時，直接寫出點P到直線CD的距離.

3.如圖，線段力B=6,C在線段AB的一個動點，以力C、BC為邊作等邊三角形△4CD和等邊三角形ABCE,

O。外接△DCE,

E

（l）ZXDCE的外接圓的圓心是△DCE的（外心或內心）；點。的位置是否發(fā)生改變（變或不

變）.

（2）若4C=x,△￡＞（7￡為直角三角形時，求其的值.

⑶點。在△￡）0后的內部，直接寫出x的取值范圍.

⑷求O。半徑的最小值.

4.如圖，。。為等邊△4BC的外接圓，半徑為2,點。在劣弧上運動（不與點4,8重合），連接DB,

DC.

（1）求證：DC是乙4D8的平分線；

（2）設線段DC的長為x,請你通過計算用含x的代數式表示四邊形ADBC的面積S；

⑶若點分別在線段C4CB上運動（不含端點），經過探究發(fā)現，點D運動到每一個確定的位置，△0〃可

的周長有最小值，隨著點。的運動，△DMN的周長的最小值也會發(fā)生變化，則在△DMN周長的所有最小值

中的最大值為.

5.如圖，48是O。的直徑，AB=6近M是4B的中點，0C上OD,ACOD繞點。旋轉與A2MB的兩邊分別

交于E、F(點E、尸與點力、B、M均不重合),與。。分別交于P、Q兩點.

(1)求證：0E=OF；

(2)連接PM、QM,試探究：在AC。。繞點。旋轉的過程中，NPMQ是否為定值？若是，求出"MQ的大小；

若不是，請說明理由；

⑶連接EF,試探究：在AC。。繞點。旋轉的過程中，AEFM的周長是否存在最小值？若存在，求出其最小值;

若不存在，請說明理由.

6.已知O。的直徑為10,。為。。上一動點(不與/、8重合)，連接BD.

圖I圖2

⑴如圖1,若/。=8,求AD的值；

(2)如圖2,弦DC平分UDB,過點工作NE1CZ)于點E,連接2E.

①當△ADE為直角三角形時，求3E的值；

②在點。的運動過程中，的值是否存在最小值？若存在，請直接寫出2E的最小值；若不存在，請說

明理由.

7.(1)問題發(fā)現：如圖①，RtZiABC中，ZA=90°,AB=AC,求證：BC=V2AB

(2)問題探究：如圖①，BC是。。的直徑，點A在。。上，AB=AC,P為BmC上一動點(不與B,C重合),

求證：V2PA=PB+PC.請你根據圖中所給的輔助線，請你給出具體畫法并完成證明過程.

(3)類比遷移：如圖②，。。的半徑為3,點A,B在上，C為內一點，AB=AC,AB1AC,垂足為

A,求0C的最小值.

圖①

8.如圖1,點。為△/L8C的外接圓上的一動點(點。在江上，且不與點4,C重合)，乙4DB=4B4c=60°.

(1)求證：A42c是等邊三角形;

(2)連接CD,探究4D,BD,CD三者之間的數量關系，并說明理由；

(3)如圖2,記BD與AC交于點E,過點E分別作風0」/2于點EN13C于點N,連接若48=6,

求"N的最小值.

9.綜合與實踐

數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖，已知三只螞蟻/、B、C在半徑為1的。。上靜止不動，第四只

螞蟻P在。。上的移動，并始終保持乙4PC=4CPB=60°.

⑴請判斷△NBC的形狀；"數學希望小組”很快得出結論，請你回答這個結論：△ABC是三角形；

（2廣數學智慧小組”繼續(xù)研究發(fā)現：當第四只螞蟻P在。。上的移動時，線段24、PB、PC三者之間存在一種

數量關系：請你寫出這種數量關系：,并加以證明；

（3）"數學攀峰小組”突發(fā)奇想，深入探究發(fā)現：若第五只螞蟻M同時隨著螞蟻P的移動而移動，且始終位于線

段PC的中點，在這個運動過程中，線段的長度一定存在最小值，請你求出線段的最小值是（不

寫解答過程，直接寫出結果）.

10.（1）如圖1,A8是O。的弦，點P在。。上，當△刈8是直角三角形時，請在圖1中畫出點P的位置;

（2）如圖2,O。的半徑為4,4、B為O。外固定兩點（。、2、B三點不在同一直線上），且。4=8,P為

O。上的一個動點（點P不在直線48上），以24和4B為鄰邊作平行四邊形B43C,求BC最小值;

（3）如圖3,4、B是。。上的兩個點，過力點作射線AM14B,4M交。。于點C,若2B=3,AC=4,點D是

平面內的一個動點，且CD=2,E為80的中點,在點。的運動過程中，求線段4E長度的最大值與最小值.

圖1

11.如圖，是圓。的直徑，AB=6,。是半圓力DB上的一點，C是弧BD的中點.

DD

備用圖

(1)若NABD=30。，求BC的長和由弦BC、BD和弧CD圍成的圖形面積；

(2)若弧40的度數是120度，在半徑。B上是否存在點P,使得PC+P0的值最小，如果存在，請在備用圖

中面出P的位置，并求PC+PD的最小值，如果不存在，請說明理由.

12.如圖，的直徑AB=8,半徑0C1AB,D為弧BC上一動點(不包括B、C兩點)，DEIOC,DF1AB,

垂足分別為E、F.

(1)求EF的長.

(2)若點E為0c的中點，

①求弧CD的度數.

②若點P為直徑AB上一動點，直接寫出PC+PD的最小值.

13.AABC內接于I為其內心，AI的延長線交0。于D,連0D交BC于E.

(1)求證：0D1BC；

(2)若NBOC=NBIC,求NBAC的度數；

(3)①若DE=2,BE=4,①求。。的半徑r.

②當點A在優(yōu)弧BAC上移動時，是否有最小值，如有請求出最小值，如沒有請說明理由.

14.如圖，48是。。的直徑，點C、。是O。上的點，且。D||BC,4C分另IJ與BD、。。相交于點E、F.

(1)求證：點。為"的中點；

(2)若。。的半徑為5,^DOA=80°,求陰影部分的面積.

(3)若O。的半徑為5,4。。4=80。，點P是線段AB上任意一點，試求出PC+P。的最小值.

15.如圖，48是O。的直徑，弦CD1AB,ACAB=30°

備用圖

(1)求證：△4CD是等邊三角形.

(2)若點E是配的中點，連接4E,過點C作CF14E,垂足為F,若CF=2,求線段。尸的長;

(3)若。。的半徑為4,點Q是弦4C的中點，點P是直線力B上的任意一點，將點P繞點C逆時針旋轉60。得

點P',求線段P'Q的最小值.

16.如圖，是。。的直徑，點C、。是。。上的點，且。D||BC,AC分另IJ與BD、。。相交于點￡、F.

⑴求證：點。為Af的中點；

(2)若CB=6,AB=10,求DF的長;

⑶若。。的半徑為5,AD04=80。，點尸是線段力B上任意一點，試求出PC+PD的最小值.

17.已知：如圖1,在平面直角坐標系中，A(2,-1),以M(-1,0)為圓心，以AM為半徑的圓交y

軸于點B,連結BM并延長交OM于點C,動點P在線段BC上運動，長為|的線段PQIIx軸(點Q在點P右

側)，連結AQ.

(1)求OM的半徑長和點B的坐標；

(2)如圖2,連結AC,交線段PQ于點N,

①求AC所在直線的解析式；

②當PN=QN時，求點Q的坐標；

(3)點P在線段BC上運動的過程中，請直接寫出AQ的最小值和最大值.

18.如圖，點C在以AB為直徑的半圓上，AB=8,NCBA=30。，點D在線段AB上從點A運動到點B,點E與

點D關于AC對稱，DHDE于點D,并交EC的延長線于點F.

(1)求證：CE=CF；

(2)求線段EF的最小值；

(3)當點D從點A運動到點B時，線段EF掃過的面積的大小是

19.如圖，已知的直徑AB=8,過A、B兩點作OO的切線AD、BC.

D

(1)當AD=2,BC=8時，連接OC、OD、CD.

①求△COD的面積.

②試判斷直線CD與。。的位置關系，并說明理由.

（2）若直線CD與。。相切于點E,設AD=x（x>0）,試用含X的式子表示四邊形ABCD的面積S,并探索S

是否存在最小值，寫出探索過程.

20.如圖，半徑為7的。。上有一動點B,點4為半徑0E上一點，且力B最大為10,以為邊向外作正方形

ABCD,連接DE.

（1）請直接寫出04的長；

（2）過點4作4F10E,且4/=。2,連接FD,在點8的運動過程中，FD的長度會發(fā)生變化嗎？變化請說

明理由，不變化請求出尸。的長；

（3）當點/,B,尸三點在一條直線上時，請直接寫DE的長；

（4）請直接寫出DE的最大值和最小值.

【類型二定值問題】

21.如圖，已知P為正方形4BCD的外接圓的劣弧他上任意一點，求證：號詈為定值.

22.如圖，四邊形4BCD的四個頂點在。。上，對角線4C、BD交于點H且AC18。，0E1BC于點E.

⑵求證：4"2+B“2+c”2+。“2為定值.

23.AABC內接于。。，過點。作。”1BC于點H,延長。口交0。于點D連接力D.

(1)如圖1,求證：4BAD=NG4D；

(2)如圖2,若OH=DH,求NBAC的度數；

⑶如圖3,在(2)的條件下，過點B作BK1AD于點K,連接HK,若HK=|,試說明線段AB與"的差為

定值.

24.如圖1,E點為無軸正半軸上一點，0石交工軸于4B兩點，交y軸于C、。兩點，P點為劣弧死上一個動

點，且4(一2,0),E(2,0).

⑴品的度數為°；

(2)如圖2,連結PC,取PC中點G,連結0G,貝UOG的最大值為

(3)如圖3,連接24,PC.若CQ平分NPCD交PA于Q點，求線段AQ的長；

⑷如圖4,連接24、PD,當P點運動時(不與B、C兩點重合)，求證：/二為定值,并求出這個定值.

25.已知四邊形4BCD內接于O。，AC1BD,垂足為￡,CF1AB,垂足為尸，交BD于點G,連接4G.

⑴求證:CG=CD；

(2)如圖1,若4G=4,BC=10,求。。的半徑;

(3)如圖2,連接OF,交AC于點“，若N4BD=30。,CH=6,試判斷強+力是否為定值，若是，求出該定

CDCF

值；若不是，說明理由.

26.定義：如果同一平面內的四個點在同一個圓上,那么我們把這稱為四點共圓.

圖1圖2圖3

(1)下列幾何圖形的四個頂點構成四點共圓的有.(填序號)①平行四邊形；②菱形；③矩形；④正

方形；⑤等腰梯形.

(2)已知△4BC中，乙1=40。，如圖1,平面上一點D,使得/、B、C、。四點共圓，試求NADC的度數.

⑶若A42C的外接圓為O。，半徑為r,平面上有兩點E、F,分別與A43C的三個頂點構成四點共圓(E在

N5的左側，尸點在/C的右側)，如圖2.①試判斷乙以"-的值是否為定值？如果是，請求出這個

值；如果不是，請說明理由；②若2c弦的長度與O。的半徑r之比為a：1,并且邊經過圓心。，如

圖3,試求五邊形/E5CF的最大面積(用含r的式子表示).

27.如圖，已知AB是。0中一條固定的弦，點C是優(yōu)弧AB上一個動點（點C不與A,B重合）.

（1）設NACB的角平分線與劣弧AB交于點P,試猜想點P在弧上的位置是否會隨點C的運動而發(fā)生變

化？請說明理由；

（2）如圖②，設A?=8,O0的半徑為5,在（1）的條件下，四邊形ACBP的面積是否為定值？若是定值，

請求出這個定值；若不是定值，試確定四邊形ACBP的面積的取值范圍.

28.MN是。。上的一條不經過圓心的弦，MN=4,在劣弧MN和優(yōu)弧MN上分別有點A,B（不與M,N重合）,

且用V=57V,連接

（1）如圖1,4B是直徑，4B交MN于點C,AABM=30°,求NCM。的度數；

（2）如圖2,連接。過點。作交MN于點D,求證：ZMOD+2ZDMO=90°；

（3）如圖3,連接AN,BN,試猜想4用?“3+47-'8的值是否為定值，若是，請求出這個值；若不是,

請說明理由.

29.如圖，已知正方形4BCD的邊長為1,正方形BEFG中，點E在力B的延長線上，點G在BC上，點。在線段

上，MXO>B0.以。F為半徑的。。與直線4B交于點M、N.

圖2

(1)如圖1,若點。為4B中點，且點。，點C都在。。上，求正方形BEFG的邊長.

(2)如圖2,若點C在。。上，求證：以線段0E和EF1為鄰邊的矩形的面積為定值，并求出這個定值.

(3)如圖3,若點。在。。上，求證：DO1F0.

30.如圖1,扇形408的半徑為6,弧長為21T.

(1)求圓心角乙4。8的度數;

(2)如圖2,將扇形40B繞點。逆時針旋轉60。，連接AB,BC.

①判斷四邊形OABC的形狀并證明；

②如圖3,若NPOQ=60°,將NPOQ繞點。旋轉，與AB,8C分別交于點MN(點M,N與點、A,B,C均不

重合)，判斷MB+NB的值是否為定值，如果是定值請求出；如果不是，說明理由.

圓解答題培優(yōu)訓練

精選最值和定值問題30道

【類型一最值問題】

1.如圖，在。。中，點C是AB上的一點，作力D||BC交。。于點。，連接4B.

(2)連接B。并延長8。交。。于點E,交弦4D于點尸，連接CE交2。于點G,連接ZE、2C,請根據題意畫圖.已

知BE=8,AB=4V3.

①若CE=4V2,求4F的長度；

②若點C從點A沿48運動點B時，求線段BG的長度最小值.

【答案】①見解析

(2)(1)276(2)2713-2

【分析】(1)根據力。IIBC,得到=進而得到Af=AD,即可得證；

(2)①根據題意，作出圖形，根據圓周角定理，得至(UB4E=9(T,N8CE=90。，勾股定理求出4E,8c的

長，進而得到4BE=30。，ACEB=^CBE=45°,利用勾股定理求出4G,EG的長，進而得到FG的長，禾U用

力尸=4G+GF進行求解即可；②易得點G在以2E為直徑的OH上，得到當B,G,H三點共線時，BG取得最小

值為BH-HG,進行求解即可.

【詳解】(1)證明：以。IIBC,

??Z-DAB=Z-ABC,

??.Af=艙,

?-AC—BD.

(2)解：①如圖,

???BE是。。的直徑，

???484E=90°,4BCE=90。，

???BE=8,AB=4V3,CE=4A/2,

ME=^BE2-AB2=4,BC=y/BE2-CE2=4vL

1

-

-'?smZ.EBA2CE=BC,

^Z-ABE=30°,Z.CEB=^CBE=45°,

'MD||BC,

.'.AEGF=乙ECB=90°,乙GFE=乙CBE=45°,

：^EGA=90°,Z-AGC=90°,乙GFE=乙GEF,

-Z.ACG=/.ABE=30°,

設4G=x,貝!J：CG=V3x>

■.EG=CE-CG=4V2-V3x,

22222

在RtZkAGE中,AE=EG+AG9即:4=x+(4V2-V3x),

解得：x=V6-/或％=V6+V2,

當％二巡+/，CG=V3(V6+V2)=3A/2+V6>CE,不符合題意,

?,?%=V6—V2,

?'-AG=V6—V2,CG—3A/2—V6,EG=V2+V6,

'-Z-GFE=Z.GEFf

??GF=EG=V2+V6,

'-AF—AG+GF—V6—V2+V2+V6=2A/6；

②由①可知：乙4GE=90。，

???點G在以ZE為直徑的上，貝lj：BG>BH-HG,

.??當8,G,”三點共線時，BG取得最小值為BH—/7G,如圖：

D

C

由①可知：AE=4,/.BAE=90°,

■■.AH=HG=2,BH=VXB2+AH2=2g,

此時BG=BH—HG=2V13-2.

【點睛】本題考查圓周角定理，解直角二角形，等腰二角形的判定和性質，熟練掌握等弧對等弦，同弧所

對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，是解題的關鍵.

2.如圖，4B是。。的直徑，4B=4,CD是。。的弦；配的度數為75。，附的度數為15。，動點P在線段4B上，

則點P在運動過程中：

⑴當PC=PD時，直接寫出PC的長.

(2)求出PC+PD的最小值.

⑶當△PCD為以CD為斜邊的Rt△時，直接寫出點P到直線CD的距離.

【答案】⑴2

(2)273

⑶迎或日

【分析】(1)當PC=PD時，點P與點。重合，即可求解；

(2汝口圖1,作點。關于28的對稱點E,則點E在圓。上，連接CE交力B于點P,則點P為所求點，進而求解；

⑶當點P與點。重合時，△PCD為以CD為斜邊的Rt△，當點P與點。不重合時，證明C、D、P、。四點共圓,

再利用解直角三角形的方法即可求解.

【詳解】(1)?；此的度數為75。，的的度數為15。，

貝此COD=180°-75°-15°=90°,

當PC=PD時，點P與點。重合，

-1

貝i」PC=0C=y8=2.

(2)如圖1,作點。關于48的對稱點E,則點E在圓。上，連接CE交2B于點P,則點P為所求點,

理由：PC+PD=PC+PE=CE為最小，

-.?〃。。=90°,

???NCED=45。，

???△CD。為等腰三角形，

???ZCDO=45°,

???弧BQ的度數為15。,

???ZDOB=15°,Z.ODB=90°-15°=75°,

故4CDE=45°+75°=120°,

在△(：￡)￡■中，ZJ1DE=12O。，NCEO=45。，CD=y[2CO=2^2,

過點C作CH1DE交EC的延長線于點H,

???CH=CDsinACDH=2A/2xy=V6,HD=^CD=V2,

在等腰直角三角形CHE中，=2百，

??.PC+PD的最小值為2遍.

圖1

(3)如圖2,由(1)知NCOD=90。，

故當點P與點。重合時，△PCD為以CD為斜邊的RtA

過點。作OG1CD,

此時△COD為等腰直角三角形，貝iJOG=1C￡>=V2；

當點P與點。不重合時，則△p(?￡)為直角三角形，

???NC0D=NCPD=90。，故C、D、P、。四點共圓，其圓心為CD的中點G,

設該圓為圓G,

在圓G中，?:乙DCP、NDOP所對的弧均為戶口，

???乙DCP=￡D0P=LD0B=15°,

連接GO、GP,過點P作PM，于點M,

貝|JOG=GP=&,

在等腰△GPC中，NMGP=2/DCP=30。，

在Rtz\GPM中，NMGP=30°,GP=V2,故P"=3GP=￥，

故點P到直線co的距離為企或日.

圖2

【點睛】本題為圓的綜合題，涉及到解直角三角形、點的對稱性等，（3）中，確定C、。、P、。四點共圓是本

題解題的關鍵.

3.如圖，線段力B=6,C在線段AB的一個動點，以AC、BC為邊作等邊三角形△2CD和等邊三角形△8CE,

O。外接△DCE,

（^△DCE的外接圓的圓心是△DCE的（外心或內心）；點。的位置是否發(fā)生改變（變或不

變）.

⑵若AC=￡，△DCE為直角三角形時，求x的值.

⑶點。在△DCE的內部，直接寫出x的取值范圍.

⑷求。。半徑的最小值.

【答案】①外心、不變

(2)2或4

(3)2<x<4

(4)73

【分析】(1)根據三角形的外接圓的定義，即可求解；

(2)根據等邊三角形的性質可得ADCE=60。，然后分兩種情況：當NEDC=90。時，當4DEC=90。時，即

可求解；

(3)求出當圓心O在CE邊上時，當圓心。在DE邊上時，x的值，即可求解；

(4)分別作NC4D,CBE的平分線交于點P,可得點。與點P重合，連接。C,當。C14B時，OC最小，然后

根據直角三角形的性質求出OC,即可求解.

【詳解】(1)解：△DCE的外接圓的圓心是的外心(外心或內心)；

如圖，分別作NC4D,CBE的平分線交于點P,

???△力。。和4都是等邊三角形，

.?.力P垂直平分CD,BP垂直平分CE,AOAC=AOBC=30°,

?-?O。外接△DCE,

.??點O在CO和CE的垂直平分線上，

二點。與點P重合，

.??點。的位置是不變；

故答案為：外心、不變；

(2)解：???△4C0和△BCE都是等邊三角形,

：.^ACD=乙BCE=60°,AC=CD,CE=CB,

:.乙DCE=60°,

當ZEDC=9O。時，ACED=30°,

■■.CD=-CE,

2

即ac=沏，

,-AB=6,

--AC=2,

即％=2；

當乙DEC=90。時，乙CDE=30°,

-1-1

：.CE^-CD,即BC=》C,

22

"AB=6,

?'-AC=2,

即x=4；

(3)解：當圓心。在CE邊上時，乙EDC=90°,

由(2)得：此時％=2；

當圓心。在DE邊上時，ADEC=90°,

由(2)得：此時x=4；

.?.點。在△DCE的內部，x的取值范圍為2<x<4；

(4)解：如圖,連接OC,

由（1）得：當。C14B時，OC最小，

???Z04C=NOBC=30°,AB=6,

■■.AC=BC=-AB=3,OA=2OC,

2

???Vox2-OC2=V（2OC）2-OC2=V3OC=3,

解得：oc=V5,

即O。半徑的最小值為百.

【點睛】本題主要考查了三角形的外接圓，等邊三角形的性質，直角三角形的性質，垂徑定理，熟練掌握

三角形的外接圓的性質，直角三角形的性質，等邊三角形的性質是解題的關鍵.

4.如圖，。。為等邊△力BC的外接圓，半徑為2,點。在劣弧上運動（不與點N,3重合），連接DB,

DC.

⑴求證：DC是〃DB的平分線；

⑵設線段DC的長為x,請你通過計算用含x的代數式表示四邊形4DBC的面積S；

⑶若點分別在線段CB上運動（不含端點），經過探究發(fā)現，點。運動到每一個確定的位置，△DMN

的周長有最小值，隨著點。的運動，△DMN的周長的最小值也會發(fā)生變化，則在△DMN周長的所有最小值

中的最大值為.

【答案】⑴見解析

（2B=梟2

（3）4A/3

【分析】（1）根據等弧所對的圓周角相等即可證明；

（2）在DA延長線上截取=BD,證明△4HC三△BDC（SAS）即可求解；

（3）作點D關于直線2C的對稱點E,作點D關于直線BC的對稱點F,根據對稱性可得出當點E,點M,點

N,點F四點共線時，的周長有最小值，連接EF,交4C于M,交于N,連接CE,CF,DE,DF,

作CP1EF于P,再證明NECF=120°,EP=PF,即有NCEP=30°,即可得PC=|fC,PE=V3PC=yEC,

進而有EF=2PE=V3FC=V3CO,則可知CD為直徑時，CD有最大值4,此時EF有最大值，問題隨之得解.

【詳解】（1）???在等邊△ABC中，有4c=BC,

??Z-BDC=Z.ADC,

.??OC是乙408的平分線;

(2)在DA延長線上截取4H=BD,如圖,

H

在等邊△4BC中，有力C=BC,AACB=^ABC=/.CAB=60°,

?：Z-ABD=Z.ACD,

■.Z-HAC=Z.ADC+Z.ACD=/.ADC+/.ABD,

■.■/.ADC=/.ABC,

■■.Z.DBC=Z.ABD+/.ABC=/.ABD+/.ADC,

:/DBC=乙HAC,

■.■AH=BD,AC=BC,

三△BDC(SAS),

：.HC=DC,乙DCB=LHCA,

“DCB+^ACD=4ACB=60°,

：.^HCA+N力CD=60°,

??.△CD”是等邊三角形，

???△4HC三△BDC(SAS),

.??四邊形4DBC的面積即是等邊aCDH的面積，即S四邊形ADBC=S&CDH，

下面推導等邊三角形的面積公式：

正axyz的邊長為u,過頂點x作XV1YZ,V為垂足，如圖，

X

在正axyz中，有NY=60。，XZ=XY=YZ=u,

-XV1YZ,

1i

：,YV=VZ=-YZ=-u,^XVY=90°,

22

.?.在Rt△xyv中，有AV=Vxr2-YV2=Ju2-(|u)2=yii,

正axyz的面積為：S=[xYZxXV=彳/，

:邊長DC=x,

?',S四邊形4DBC=S&CDH=Y%2;

(3)如圖，作點D關于直線力C的對稱點E,作點D關于直線的對稱點F,

F

???點D,點E關于直線4C對稱，

：.EM=DM,同理DN=NF,

.?.△DMN的周長：DM+DN+MN=FN+EM+MN,

二當點E,點M,點N,點F四點共線時，△DMN的周長有最小值，

貝！J連接EF,交4c于M,交BC于N,連接CE,CF,DE,DF,作CP1EF于P,

即aDMN的周長最小值為EF,

???點D,點E關于直線4C對稱，

-，-CE=CD,Z-ACE=Z.ACD,

??,點D,點F關于直線對稱，

；.CF=CD,乙DCB=^FCB,

.'-CD=CE=CF,4ECF=AACE+AACD+乙DCB+乙FCB=2么ACB=120°,

-CP1EF,CE=CF,Z.ECF=120°,

???EP=PF,乙CEP=30°,

：.PC=-EC,PE=y/3PC=—EC,

22

■.EF=2PE=V3￡C=V3CD,

???當CD有最大值時，EF有最大值，

???CD為。。的弦，。。半徑為2,

??.CD為直徑時，CD有最大值4,

二最大值為4次.

即△DMN周長的所有最小值中的最大值為48.

【點睛】點評：本題是圓的綜合題，考查了圓的有關知識，等邊三角形的性質，旋轉的性質，軸對稱的性

質等知識，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵.

5.如圖，4B是。。的直徑，AB=6V2,M是4B的中點，0c1。。，ACOD繞點。旋轉與△力MB的兩邊分別

交于E、F(點E、F與點4、B、M均不重合)，與O。分別交于P、Q兩點.

(1)求證：0E=0F；

(2)連接PM、QM,試探究：在AC。。繞點。旋轉的過程中，NPMQ是否為定值？若是，求出NPMQ的大小；

若不是，請說明理由；

⑶連接EF,試探究：在ACOD繞點。旋轉的過程中，AEFM的周長是否存在最小值？若存在，求出其最小值;

若不存在，請說明理由.

【答案】⑴見解析

(2)是定值，135°

(3)2A/3+6

【分析】(1)根據圓周角定理由4B是。。的直徑得N4MB=90°,由M是的中點得MB=阮4,于是可判

斷△力MB為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得4力BM=NB4M=N0M4=45。，OMVAB,

MB=^AB=6,再利用等角的余角相等得NBOE=NM0F,則△OBE三ZkOMF,所以。E=OF；

(2)根據圓周角定理得至UNBMQ=(N80Q,/.AMP=^/.AOP,則Z_8MQ+N4MP=((zBOQ+N40P)=

45°,所以NPMQ=4BMQ+N4MB+Z71MP=135。；

(3)易得△OEF為等腰直角三角形，則EF=&OE,再由△08E三△OMF得BE=MF,所以△EFM的周

長=5尸+MF+ME=EF+MB=/。E+6,根據垂線段最短得當OE1時，OE最小，此時OE=jfiM=

3,所以的周長的最小值為2b+6.

【詳解】(1)證明：?MB是。。的直徑，

Z.AMB=90°,

M是腦的中點，

???MB=MA,

???MA=MB,

??.A4MB為等腰直角三角形，

???AABM=^BAM=45°,NOMA=45。，OM1AB,MB=—AB=—X6^/2=6,

22

???乙MOE+乙BOE=90°,

???乙COD=90°,

???Z.MOE+Z.MOF=90°,

???乙BOE=Z-MOF,

在AOBE和AOMF中，

NOBE=Z.OMF

OB=OM,

Z.BOE=乙MOF

??.\OBE=AOMFQLSZ),

OE=OF；

(2)解：NPMQ為定值.

11

???(BMQ=/0Q,/.AMP=^AOP,

??.Z.BMQ+乙4Mp=jQBOQ+4/OP),

???(COD=90°,

???/.BOQ+^AOP=90°,

???(BMQ+4AMP=ix90°=45°,

???乙PMQ=(BMQ+AAMB+匕AMP=45°+90°=135°；

(3)解：AEFM的周長有最小值.

OE=OF,

??.AOEF為等腰直角三角形，

EF=V2OF,

???ROBE三AOMF,

BE=MF,

：.AEFM的周長=EF+MF+ME

=EF+BE+ME

=EF+MB

=V2OE+6,

當。EIBM時，OE最小，此時OE=(x6=3,

?-.AEFM的周長的最小值為3夜+6.

【點睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和等腰直角三角形的判定與性質；運用全等三角形

的判定解決線段相等是解題的關鍵.

6.己知。。的直徑為10,。為O。上一動點（不與/、3重合），連接ND、BD.

/-----

A/\一

B

圖2

⑴如圖1,若4D=8,求AD的值；

(2)如圖2,弦DC平分乙4DB,過點/作于點￡,連接8E.

①當為直角三角形時，求8E的值；

②在點。的運動過程中，的值是否存在最小值？若存在，請直接寫出的最小值；若不存在，請說

明理由.

【答案】⑴6；

⑵①5或2?,②存在最小值，皿竽&

【分析】(1)利用圓周角定理和勾股定理求解即可；

(2)①ABED為直角三角形，分兩種情況：當N8E￡?=90。或當ND8E=90。，分別進行求解即可；

②取AC中點F,過F作尸于H,利用圓周角定理得乙40090。，用勾股定理求出AC,利用直角三角形

性質求EF,然后求出BF長，最后在A8EF中利用三角形中邊的關系得出BE的最小值.

【詳解】(1)解：如圖［，?.28為。。的直徑，

■■^.ADB=90°,

■■.BD^AB2-AD2^102-82=6；

故BD的值為6.

(2)解：①???乙4。8=90。，DC平分乙40B,

1

???乙ADC=^BDC=-乙/。8=45°,

當NBEO=90。時，如圖2,

,ME1CD,

???乙4￡7”90。，

???24ED+/BEO=90°+90°=180°,

???點E在AB上，

vZ^DC=45°,

.-.zD^E=90°-45°=45°,

???A4B0是以AB為斜邊的等腰直角三角形，

???點E與0重合，

11

.*.BE=-7lB=-xlO=5；

22

當乙DBE=90°時，如圖3,

???NBDC=45°,

-'-BE=BD,

：.DE^BE2+BD2=y/2BE,

■.■AE1CD,^ADC=45°,

-,-AE=DE=y/2BE,

■■.AD=y/AE2+DE2=V2DE=2BE,

又?.?N4DB=90°,

AD2+BD2=AB2BP(2BE)2+BE2=102,

解得8E=2?(BE=-2小舍去)

綜上所述，BE的長為5或26；

②在點D的運動過程中，BE存在最小值，解答如下：

如圖3,連接OC、AC,取AC中點F,連接EF、BF,過點F作FHL4B于H,

-'-CO=AO=2-AB=5,

?.?ZX￡>C=45°,

.'./.A0C=2^ADC=90o,

-AO=COf

'.AC=y/AO2+CO2=V52+52=5V2,△。心45°,

?ME1CZ),F為AC中點，

：

.EF=AF=2-AC=—2,

???/0AC=45°,F”148,

.■.AH=FH=^-AF=l，

5is

.?.BF=VFH2+B/72=Jg)2+(y)2=等

-：BE>BF-EF(當且僅當點E在線段BF上時等號成立)，

...BE2迎鐘即B糜亞當，

222

??.BE的最小值是膂名

【點睛】此題是一道圓的綜合題，主要考查了圓周角定理、勾股定理、直角三角形的性質、三角形中邊的

關系等知識，熟練利用這些性質進行邏輯推理和運用分類的思想方法是解此題的關鍵.

7.（1）問題發(fā)現：如圖①，RtaABC中，ZA=90°,AB=AC,求證：BC=V2AB

（2）問題探究：如圖①，BC是。。的直徑，點A在。。上，AB=AC,P為BTTlC上一動點（不與B,C重合），

求證：/PA=PB+PC.請你根據圖中所給的輔助線，請你給出具體畫法并完成證明過程.

（3）類比遷移：如圖②，。。的半徑為3,點A,B在上，C為內一點，AB=AC,AB1AC,垂足為

A,求0C的最小值.

【答案】（1）見解析；

（2）見解析；（3）3V2-3

【分析】（1）根據等腰直角三角形的判定和性質以及勾股定理即可證明；

（2）將4ACP繞點A順時針旋轉90。到aABCl的位置,由旋轉的性質可得：NQBASCA,AP=AQ,PC=QB,

根據圓的內接四邊形的性質可證點Q,點B,點P共線，根據勾股定理可證&PA=PQ=PB+PC；

（3）連接OA,將ZkOAC繞點A順時針旋轉90oSAEAB,連接OB,OE,則可得EB=OC,AE=OA=3,ZEAB=ZOAC,

根據勾股定理可求0E=3^,根據三角形三邊關系可得BE2OE-OB=3&-3（當點B在0E上時，取等號），即

可求0C的最小值.

【詳解】解：(1)vzA=90°,AB=AC,

??.△ABC是等腰直角三角形，

■.BC=y/AB2+AC2=y[2AB-,

(2)將4ACP繞點A順時針旋轉90。到△ABQ的位置.

證明如下：:BC是直徑

.-?ZBAC=90°=ZBPC

???AB=AC

???NACB=NABC=45°

由旋轉可得NQBA=NPCA,PA=AQ,PC=QB

-.?ZPCA+ZPBA=180°

.-.ZQBA+ZPBA=180°

??.Q,B,P三點共線

.?.NQAB+NBAP=NBAP+NPAC=90°

；.QP2=AP2+AQ2=2AP2

??.QP=&AP=QB+BP=PC+PB,

.-?V2AP=PC+PB；

(3)如圖2：連接OA,將△OAC繞點A順時針旋轉90。至AEAB,連接OB,OE,

?■?AB1AC

.-?ZBAC=90°

由旋轉可得：EB=OC,AE=OA=3,ZEAB=ZOAC

.-.ZEAB+ZBAO=ZBAO+ZOAC=90°

.,.在RtAOAE中，OE=VAE2+4。2=3&,

■?-BE>OE-OB=3V2-3(當點B在OE上時，取等號)

?■?OC最小值是3v^-3.

【點睛】本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質、勾股定理.三角

形的三邊關系等知識，解題的關鍵是學會利用旋轉法添加常用輔助線，構造全等三角形或相似三角形解決

問題，屬于中考壓軸題.

8.如圖1,點。為A48C的外接圓上的一動點(點。在M上，且不與點C重合)，^ADB=ABAC=60°.

(1)求證：A42c是等邊二角形；

(2)連接CD,探究4D,BD,CD三者之間的數量關系，并說明理由；

(3)如圖2,記BD與4c交于點E,過點E分別作于點/，ENLBC于點、N,連接若48=6,

求的最小值.

【答案】(1)見解析

⑵BD=AD+CD,理由見解析

【分析】(1)由圓周角定理得出NABC=60。，由等邊三角形的判定可得出結論；

(2)把4BCD繞點B逆時針旋轉至△BAM,如圖1,證出4BDM是等邊三角形，由等邊三角形的性質可得

出結論；

(3)取BE的中點0,以。為圓心，0B的長為半徑作圓，連接0M,0N,過點。作0HlMN于點H,求出

ZM0H=izM0N=60o,由直角三角形的性質求出BE的長，則可得出答案.

【詳解】(1)證明：???ZACB=ZADB=6O°,ZBAC=60°,

.-.ZABC=60°,

??.△ABC是等邊三角形；

(2)解：BD=AD+CD.

理由如下：

把4BCD繞點B逆時針旋轉至△BAM,如圖1,

D

B

圖1

???四邊形ABCD是圓內接四邊形，

?,ZBCD+NBAD=180°,

vZBAM=ZBCD,

.-.ZBAD+ZBAM=180°,

，M,A,D二點共線，

vBD=BM,4D=60°,

??.△BDM是等邊三角形，

??.BD=DM=MA+AD=CD+AD；

(3)W：如圖2,取BE的中點0,以。為圓心，0B的長為半徑作圓,

D

B

圖2

vMElAB,NE1CB,

??.M,N在圓。上，

連接0M,0N,過點。作0H1MN于點H,

???NABC=60°,

.-.ZMON=60ox2=120°,

.-.ZMOH=-ZMON=60°,

2

...MO=r=4E,MH=—r=—BE,

224

BE,

2

.?.當BE1AC時，BE最小，止匕時BE的最小值為苧X6=3百，

''-MN的最小值為?X3A/3=|-

【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，旋轉的性質，等邊三角形的判定

和性質，直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，熟練掌握等邊三角形的判定與性

質.

9.綜合與實踐

數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖，已知三只螞蟻/、B、C在半徑為1的。。上靜止不動，第四只

螞蟻P在。。上的移動，并始終保持乙4PC=乙CPB=60°.

備用圖

⑴請判斷△ABC的形狀；"數學希望小組”很快得出結論，請你回答這個結論：△4BC是三角形；

(2廣數學智慧小組”繼續(xù)研究發(fā)現：當第四只螞蟻P在。。上的移動時，線段24、PB、PC三者之間存在一種

數量關系：請你寫出這種數量關系：,并加以證明；

(3)"數學攀峰小組”突發(fā)奇想，深入探究發(fā)現：若第五只螞蟻M同時隨著螞蟻P的移動而移動，且始終位于線

段PC的中點，在這個運動過程中，線段的長度一定存在最小值，請你求出線段的最小值是(不

寫解答過程，直接寫出結果).

【答案】⑴等邊

(2)PC=PA+PB；證明見解析

【分析】(1)根據圓周角定理可得內,對應的圓周角為60。，即2BC=60。、ABAC=60°,說明△ABC為

等邊三角形即可；

(2)如圖，在PC上截取PD=AP,連接4D,先說明△4PD為等邊三角形可得力。=AP=PD,AADP=60°,

^ADC=120°,進而證明AAPB'△4DC(AAS)可得BP=CD,最后根據等量代換即可解答；

(3)如圖：M的軌跡是以。C為直徑的圓，設圓心為0，，連接80，，過0"作。'N1BC于N,過。作O'N1BC,

OQ1BC,根據題意可得ONIIOQ,然后說明O'N是三角形。QC的中位線，進而得到CQ=2CN=：B；再根

據中點的定義可得8c=2CQ=V3,利用勾股定理可得=子,最后根據線段的和差即可解答.

【詳解】(1)解：；“PC=乙CPB=60°,

北對應的圓周角為60。，

???4ABC=60°,4BAC=60°,

???/.ACB=180°-60°-60°=60°,

??.△4BC為等邊三角形.

故答案為：等邊.

(2)解：如圖，在PC上截取PD=AP,連接4D,

???AAPC=60°,

??.△4PD為等邊三角形，

AD=AP=PD,2LADP=60°,AADC=120°,

vAAPB=AAPC+ABPC=120°,

:.Z-ADC=Z.APB,

在△/PB和△ADC中，

2APB=/.ADC

/-ABP=^ACD,

、AP=A