與族轉市關的探究題（之毀制保）

I題自工（2023?北京?統考中考真題）在△ABC中、/B=/。=?（0°<?<45°）,AM±BC于點M,D是線段

MC上的動點（不與點加，。重合），將線段。河繞點。順時針旋轉2a得到線段。E.

⑴如圖1,當點E在線段AC上時,求證：。是MG的中點；

⑵如圖2,若在線段BA1上存在點F（不與點B,M■重合）滿足DF=連接AE,EF,直接寫出AAEF的

大小，并證明.

題目囪（2022.重慶市B卷）在△ABC中,ABAC=90°,AB=AC=22,。為BC的中點，E,F分別為

AC,40上任意一點，連接EF,將線段EF繞點E順時針旋轉90°得到線段EG,連接FG,AG.

（1）如圖1,點E與點。重合，且GF的延長線過點B,若點P為FG的中點，連接PD,求PD的長；

（2）如圖2,EF的延長線交于點加，點N在力。上，NAGN=/AEG且GN=MF,求證：AM+AF=

y/2AE；

（3）如圖3,F為線段AD上一動點，E為AC的中點，連接BE,H為直線BC上一動點，連接EH,將△BEH

沿EH翻折至△48。所在平面內，得到八用由,連接?G,直接寫出線段0G的長度的最小值.

窺目區（2023?四川自貢?統考中考真題）如圖1,一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，N分別是斜邊

DE,AB的中點，DE=2,AB=4.

（1）將△CDE繞頂點。旋轉一周，請直接寫出點河，N距離的最大值和最小值;

（2）將△CDE繞頂點。逆時針旋轉120°（如圖2）,求MN的長.

題目@（湖南省郴州市2021年中考數學試卷）如圖1,在等腰直角三角形ABC中，NBAC=90°.點、E,F分

別為AB,的中點，H為線段EF上一動點（不與點E,F重合），將線段繞點A逆時針方向旋轉90°得

到AG,連接

（1）證明：△AHB篤AAGC；

⑵如圖2,連接GF,HC,AF交AF于點Q.

①證明:在點H的運動過程中，總有AHFG=90°；

②若AB=AC=4,當EH的長度為多少時，AAQG為等腰三角形？

???

題目回（2023?遼寧?統考中考真題）在RtAAB。中，乙4cB=90°,C4=CB,點。為AB的中點，點。在直線

AB上（不與點45重合），連接CD,線段CD繞點。逆時針旋轉90°,得到線段CE,過點B作直線l±BC,

過點E作EF，Z,垂足為點F，直線EF交直線OC于點G.

（1）如圖，當點。與點。重合時,請直接寫出線段人。與線段EF的數量關系；

（2）如圖，當點。在線段AB上時,求證：CG+BD=V2BC；

（3）連接DE,4CDE的面積記為&,/\ABC的面積記為S2,當EF-.BC=1:3時,請直接寫出年的值.

，題目回（2021.四川中考真題）在等腰△ABC中，AB=AC,點。是邊上一點（不與點8、。重合），連結

AD.

（1）如圖1,若60°,點。關于直線AB的對稱點為點E,結AE,DE,則/BDE=；

（2）若=60°,將線段AD繞點A順時針旋轉60°得到線段AE,連結BE.

①在圖2中補全圖形；

②探究CD與BE的數量關系，并證明；

⑶如圖3,若袈=普=%，且/ADE=試探究BE、BD、AC之間滿足的數量關系，并證明.

JDUUh/

???

【超目力（2023?四川樂山?統考中考真題）在學習完《圖形的旋轉》后,劉老師帶領學生開展了一次數學探究活動

【問題情境】

劉老師先引導學生回顧了華東師大版教材七年級下冊第121頁“探索”部分內容：

如圖，將一個三角形紙板△48。繞點A逆時針旋轉9到達4APC的位置,那么可以得到：AB=AF,

=AO,BC=P。；ABAC=AB'AC，/ABC=AAB'C,AACB=AAC'B'（）

劉老師進一步談到：圖形的旋轉蘊含于自然界的運動變化規律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解決圖

形旋轉的關鍵;故數學就是一門哲學.

【問題解決】

（1）上述問題情境中“（）”處應填理由：；

（2）如圖，小王將一個半徑為4cm，圓心角為60°的扇形紙板ABC繞點。逆時針旋轉90°到達扇形紙板AB1

。’的位置.

①請在圖中作出點O；

②如果6cm,則在旋轉過程中，點8經過的路徑長為；

【問題拓展】

小李突發奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置,另一個

在弧的中點處固定,然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止,此時，兩個紙板重疊部分的面積是多少呢？

如圖所示，請你幫助小李解決這個問題.

???

1題目瓦（2021?浙江嘉興市?中考真題）小王在學習浙教版九上課本第72頁例2后,進一步開展探究活動:將一

個矩形ABCD繞點A順時針旋轉a（0°Va<90°）,得到矩形AB'C'D'

［探究1］如圖1,當a=90°時，點。恰好在DB延長線上.若48=1,求8。的長.

［探究2］如圖2,連結AC,過點。作。“〃AU交BD于點河.線段。河與ZW相等嗎？請說明理由.

［探究3］在探究2的條件下，射線DB分別交AD，，人。于點P,N（如圖3）,MN,PN存在一定的數量關系,

并加以證明.

???

題目回（2023?浙江紹興?統考中考真題）在平行四邊形ABCD中（頂點按逆時針方向排列），AB=

（1）如圖1,求AB邊上的高S的長.

（2）P是邊AB上的一動點，點。，。同時繞點P按逆時針方向旋轉90°得點

①如圖2,當點。'落在射線CA上時，求的長.

②當△AC'。'是直角三角形時，求BP的長.

遮目叵（2021.浙江中考真題）如圖,在菱形ABCD中,乙4BC是銳角，E是BC邊上的動點,將射線AE繞

點A按逆時針方向旋轉,交直線CD于點F.

（1）當AE_LBC,AEAF=NABC時，

①求證：AE—AF\

②連結若普=?,求j?的的值;

bD5b菱形權為

⑵當AEAF=yZBAD時，延長6。交射線AF于點加■，延長。。交射線AE于點N,連結AC,MN,若

4B=4,AC=2,則當CE為何值時，△力上W是等腰三角形.

???

題目R（2023?四川南充?統考中考真題）如圖,正方形ABCD中，點M在邊BC上，點E是AM的中點,連接

ED,EC.

（1）求證：ED=EC；

（2）將BE繞點、E逆時針旋轉，使點B的對應點F落在力。上，連接MB'.當點加在邊上運動時（點M

不與C重合），判斷的形狀，并說明理由.

（3）在（2）的條件下，已知48=1,當=45°時，求的長.

題目回在等腰△ABC中，人。=3。，人4。后是直角三角形，ADAE=90°,/ADE=:乙4。8,連接BD,

BE,點F是BD的中點，連接CF.

（1）當/G4B=45°時.

①如圖1,當頂點D在邊力。上時,請直接寫出NEAB與ACBA的數量關系是.線段BE與線段

CF的數量關系是:

②如圖2,當頂點。在邊上時，（1）中線段BE與線段CF的數量關系是否仍然成立？若成立，請給予證

明，若不成立,請說明理由；

學生經過討論，探究出以下解決問題的思路，僅供大家參考：

思路一:作等腰△ABC底邊上的高CM,并取BE的中點N,再利用三角形全等或相似有關知識來解決問題;

思路二:取OE的中點G,連接AG,CG,并把△CAG繞點。逆時針旋轉90°,再利用旋轉性質、三角形全等

或相似有關知識來解快問題.

（2）當/CAB=30°時，如圖3,當頂點。在邊AC上時,寫出線段跳;與線段CF的數量關系,并說明理由.

圖1圖2圖3

???

【題目叵（2023?江蘇揚州?統考中考真題）【問題情境】

在綜合實踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學用相同的兩塊含30°的三角板開展數學探究活動，兩塊三角板

分別記作4ADB和AHDCZADB=90°,=/C=30°,設AB=2.

【操作探究】

如圖1,先將△4DB和的邊40、AD重合，再將繞著點人按順時針方向旋轉，旋轉角為

&（0°WaW360°），旋轉過程中AADB保持不動，連接BC.

（1）當a=60°時，BC=；當BC=2^/2時，a=°；

（2）當a=90°時，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；

（3）如圖2,取BC的中點F,將繞著點A旋轉一周，點F的運動路徑長為

遮目回（2021.江蘇中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG,正方形力EFG繞點人旋轉一周.

⑴如圖①，連接BG、CF,求黑的值；

JDCT

（2）當正方形AEFG旋轉至圖②位置時，連接CF、BE,分別去CF、BE的中點M、N,連接7W、試探究:

與BE的關系，并說明理由；

（3）連接BE、BF，分別取BE、BF的中點N、Q,連接QN,AE=6,請直接寫出線段QN掃過的面積.

;遨目3（2023?湖南?統考中考真題）（1）［問題探究］

如圖1,在正方形ABCD中，對角線AC.BD相交于點O.在線段AO上任取一點P（端點除外），連接PD、

①求證：PD=PB；

②將線段DP繞點P逆時針旋轉，使點D落在BA的延長線上的點Q處.當點P在線段AO上的位置發生

變化時，/DPQ的大小是否發生變化？請說明理由；

③探究AQ與OP的數量關系,并說明理由.

（2）［遷移探究］

如圖2,將正方形ABCD換成菱形ABCD,且AABC=60°,其他條件不變.試探究AQ與CP的數量關系，

題目,如圖,正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（不與A、C重合），連結BP,將BP繞點B順

時針旋轉90°到BQ,連結QP交BC于點、E,QP延長線與邊AD交于點F.

（1）連結CQ,求證：AP^CQ-,

⑵若AP=?力。，求CE：的值；

（3）求證：=

B

???

;題目5（2023?湖北隨州?統考中考真題）1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題:給定不在同一

條直線上的三個點求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托

里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

（1）下面是該問題的一種常見的解決方法,請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數,④處填寫該三

角形的某個頂點）

當△ABC的三個內角均小于120°時，

如圖1,將△4PC繞,點。順時針旋轉60°得到△APC,連接PP,

由PC=PC,4PCP=60°,可知△PCP為______三角形,故PP=PC,又P'A=PA,故PA+PB+PC

^PA+PB+PP>AB,

由可知，當B,P,P,A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為AB,此時

的P點為該三角形的“費馬點”，且有乙4PC=2BPC=NAPB=；

已知當△ABC有一個內角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若/BAC>120°,

則該三角形的“費馬點”為點.

⑵如圖4,在△ABC中，三個內角均小于120°,且AC=3,及7=4,乙4cB=30°,已知點P為△ABC的“費

馬點”，求PA++PC的值；

CBCB

（3）如圖5,設村莊A,3,C的連線構成一個三角形,且已知AC=4km,BC=2V3km,AACB=60°.現欲

建一中轉站P沿直線向A,三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A,的鋪設成本分別為a

元/km,a元/km,元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為元.（結果用含a

的式子表示）

???

題目區|如圖1,在等腰直角三角形ADC中，乙4。。=90°,AD=4.點E是AD的中點，以OE為邊作正方

形。EFG,連接AG,CE.將正方形DEFG繞點。順時針旋轉，旋轉角為N（O°V&V9O°）.

（1）如圖2,在旋轉過程中，

①判斷4AGD與△CED是否全等,并說明理由；

②當CE=CD時，AG與EF交于點H,求GH的長.

（2）如圖3,延長CE交直線AG于點P.

①求證：AG_LCP；

②在旋轉過程中，線段PC的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值;若不存在,請說明理由.

題目畫（2023?湖北黃岡?統考中考真題）【問題呈現】

△CAB和4CDE都是直角三角形，NACB=4DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD,連接AD,BE,探究

AD,BE的位置關系.

⑴如圖1,當館=1時,直接寫出AD,BE的位置關系：；

（2）如圖2,當巾A1時，（1）中的結論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.

【拓展應用】

⑶當m=73,AB=4?DE=4時，將△CDE繞點。旋轉,使ARE三點恰好在同一直線上,求跳;的長.

:題目組（2023?內蒙古赤峰?統考中考真題）數學興趣小組探究了以下幾何圖形.如圖①，把一個含有45°角

的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的頂點始終與正方形的頂點。重合，繞點。旋轉三角尺時，45°角

的兩邊CM，CN始終與正方形的邊AD,AB所在直線分別相交于點Al,N,連接AW,可得4CMN.

【探究一】如圖②，把△CDM■繞點。逆時針旋轉90°得到△CB",同時得到點H在直線AB±..求證:

ZC7W=ZCW；

【探究二】在圖②中，連接BD,分別交CH,CN于點、E,F.求證：△CEF?△C7W；

【探究三】把三角尺旋轉到如圖③所示位置，直線與三角尺45°角兩邊。N,CN分別交于點E,F.連接

AC交BD于點O,求曷的值.

???

與族轉嘴屬的探究觀（考毀制稼）

I題自工（2023?北京?統考中考真題）在△ABC中、/B=/。=?（0°<?<45°）,AM1.BC于點M,D是線段

MC上的動點（不與點加，。重合），將線段。河繞點。順時針旋轉2a得到線段。E.

⑴如圖1,當點E在線段AC上時,求證：。是MG的中點；

⑵如圖2,若在線段上存在點F（不與點B,“重合）滿足DF=連接AE,EF,直接寫出AAEF的

大小，并證明.

【答案】（1）見解析

⑵NAEF=90°,證明見解析

【分析】（1）由旋轉的性質得/MDE=2a,利用三角形外角的性質求出/DEC=a=NC,可得

=等量代換得到即可；

（2）延長FE到X使迎=EH,連接S,_，可得_DE是4FCH的中位線，然后求出,設DM

=DE=m,CD=n,錄出BF=2m=CH,證明AABFxLACH（SAS）,得至［AF=AH,再根據等腰三角形

三線合一證明AE_LPH即可.

【詳解】（1）證明：由旋轉的性質得：DM=DE,NMDE=2a,

?：AC=a,

：.NDEC=AMDE-/C=a,

:"C=2DEC,

：.DE=DC,

：.DM=DC,即。是MC的中點；

（2）ZASF=90°;

證明：如圖2，延長FE到H使FE=EH,連接CH,AH,

?：DF=DC,

DE是△FS的中位線，

：.DE//CH,CH=2DE,

由旋轉的性質得：。AMDE=2a,

：.NFCH=2a,

?：/B=/C=a,

ANACH=a,△ABC是等腰三角形，

NB=ZACH,AB^AC,

設DM=DE=m,CD=n，則CH=2m,CM=m+n,

/.DF—CD—n,

：.FM—DF—DM—n—m,

?.?AM±BC,

BM=CM=m+n,

/.BF—BM—FM—m+n—（n—m）=2m,

:,CH=BF,

（AB=AC

在AABF和/XACH中，（=ZACH,

[BF=CH

/\ABF=4ACH（SAS）,

AF=AH,

?：FE=EH,

：.AE_LFH,^NAEF=90°.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，旋轉的性質，三角形外角的性質，三角形中位線定理以及全等

三角形的判定和性質等知識，作出合適的輔助線，構造出全等三角形是解題的關鍵.

I題目區（2022?重慶市B卷）在△ABC中,ZBAC=90°,4B=AC=2四，。為BC的中點，E,F分別為

AC,AD上任意一點，連接EF,將線段EF繞點E順時針旋轉90°得到線段EG,連接FG,AG.

⑴如圖1,點E與點。重合，且GF的延長線過點B,若點P為FG的中點，連接PD,求PD的長；

⑵如圖2,EP的延長線交AB于點加，點N在AC上，乙4GN=/AEG且GN=MR,求證：AM+AF=

y/2AE；

（3）如圖3,F為線段AD上一動點，石為人。的中點，連接BE,H為直線BC上一動點，連接,將/XBEH

沿EH翻折至△48。所在平面內，得到連接EG,直接寫出線段B'G的長度的最小值.

【答案】（1）解:如圖1,連接CP,

由旋轉知,CF=CG,4FCG=90°,

△?加為等腰直角三角形,

?.?點P是FG的中點，

:.CP±FG,

?.?點。是的中點，

:.DP=[BC,

在Rt^ABC中，AB=AC=2A/2,

：.BC=V2AB=4：,

：.DP=2-

（2）證明：如圖2,

過點E作EH_LAE交AD的延長線于H,

/AEH=90°,

由旋轉知，EG=EF,/FEG=90°,???

??.NFEG=/AEH,

???/AEG=NHEF,

???AB=4C,點。是的中點，

???ABAD=ACAD=?|■Za4。=45°,

??.ZH=90°-ACAD=45°=/CAD,

：,AE=HE,

???/^EGA空/XEFH(SAS),

:?AG=FH,44G=/H=45°,

??.NEAG=NBAD=45°,

???ZAMF=180°-ZBAD-ZAFM=135°-Z.AFM,

???AAFM=4EFH,

：.AAMF=135°-ZEFH,

???/HEF=180°-AEFH-ZH=135°一/EFH,H

：./AMF=AHEF,

???/\EGAm4EFH,

：./AEG=/HEF,

???ZAGN=4AEG,

??.AAGN=4HEF,

??.AAGN=AAMF,

?：GN=MF,

???/\AGN咨^AMF(AAS),

??.AG=AM,

???AG=FH,

：.AM=FH,

：.AFA-AM=AF+FH=AH=V2AE;

(3)解：??,點石是4。的中點，

AE—~^-AC—A/2,

根據勾股定理得，BE=^JAE^AB1=V10,

由折疊直，BE=B'E=6個,

?,?點是以點E為圓心，視為半徑的圓上，

由旋轉知，EF=EG,

???點G是以點石為圓心，EG為半徑的圓上，

???HG的最小值為BE-EG,

要BG最小，則EG最大，即EF最大，

??,點F在4D上，

???點在點4或點。時，石F最大，最大值為血，

???線段BG的長度的最小值何一方.

￥1區（2023?四川自貢?統考中考真題）如圖1,一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，M,N分別是斜邊

DE,AB的中點，DE=2,AB=4.???

（1）將△CDE繞頂點。旋轉一周,請直接寫出點“，N距離的最大值和最小值；

（2）將△CDE繞頂點。逆時針旋轉120°（如圖2）,求的長.

【答案】（1）最大值為3,最小值為1

⑵。

【分析】（1）根據直角三角形斜邊上的中線，得出CM,CW的值,進而根據題意求得最大值與最小值即可求

解；

（2）過點N作NP_L,交7WC的延長線于點P,根據旋轉的性質求得ZMCN=120°,進而得出ANCP=

60°,進而可得CP=1,勾股定理解Rt^NCP,RtAMCP，即可求解.

【詳解】⑴解:依題意，CM=3DE=1,CN=^AB=2,

當M■在M7的延長線上時，M,N的距離最大，最大值為CM+CN^l+2=3,

當M在線段CN上時，的距離最小，最小值為CN—CN=2—1=\;

（2）解:如圖所示，過點N作。，交的延長線于點P,

???/XCDE繞頂點。逆時針旋轉120°,

ZBCE=120°,

?/NBCN=AECM=45°,

NMCN=ABCM-2ECM=NBCE=120°,

ZNCP=60°,

：.ZCNP=30°,

在Rt/\CNP中，NP=NNd—CP。=瓜,

在AtAMMP中，MP=MC+CP=1+1=2,

MN=^NP'2+MP2=V3+4=V7.

【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，旋轉的性質，含30度角的直角三角

形的性質，熟練掌握旋轉的性質，勾股定理是解題的關鍵.

題目@（湖南省郴州市2021年中考數學試卷）如圖1,在等腰直角三角形ABC中，/B4C=90°.點E,F分

?

別為AB,AC的中點，H為線段EF上一動點（不與點E,F重合），將線段AH■繞點A逆時針方向旋轉90°得

到AG,連接

（1）證明：AAHB篤AAGC；

⑵如圖2,連接GF,HC,AF交AF于點Q.

①證明:在點H的運動過程中，總有AHFG=90°；

②若AB=AC=4,當EH的長度為多少時，AAQG為等腰三角形？

【答案】（1）見詳解；（2）①見詳解;②當EH的長度為2或2時，為等腰三角形

【分析】

（1）由旋轉的性質得4^=HG,〃MG=90°,從而得/B4H=/C4G,進而即可得到結論；

（2）①由AAHB咨AAGC,得AH=AG,再證明AAEH%/XAFG,進而即可得到結論;②△AQG為等腰三

角形，分3種情況：（a）當/Q4G=/QG4=45°時，（b）當/G4Q=/GQA=67.5°時，（c）當AAQG=

乙4GQ=45°時，分別畫出圖形求解，即可.

【詳解】

解：（1）???線段■繞點A逆時針方向旋轉90°得至「JAG,

：.AH=AG,/HAG=90°,

?.?在等腰直角三角形ABC中，/區4。=90°,AB=AC,

ZBAH=90°-ACAH=ACAG,

：.4AHB咨/\AGC;

（2）①?.?在等腰直角三角形ABC中，AB=AC,點E,F分別為AB,力。的中點，

AE^AF,^AEF是等腰直角三角形，

AH=AG,NBAH=ACAG,

△AEH第A4FG,

乙4EH=/4FG=45°,

AHFG=AAFG+NAFE=45°+45°=90°，即：AHFG=90°;

②AB=AC=4,點分別為AB,AC的中點，

AE-AF-2,

?：/AGH=45°,AAQG為等腰三角形，分3種情況：

（a）當AQAG=AQGA=45°時，如圖，則NHAF=90°-45°=45°,

AH平分/EAF,

.,.點〃是EF的中點，

EH=^AE'2+AF2=JxV22+22=V2;???

(b)當AGAQ=AGQA=(180°-45°)-4-2=67.5°時，如圖，則/EAH=AGAQ=67.5°,

??.AEHA=180°-45°-67.5°=67.5°,

???/EHA=/EAH,

:,EH=EA=2;

（c）當/4QG=N4GQ=45°時，點H與點F重合，不符合題意，舍去,

綜上所述：當的長度為2或血時，AAQG為等腰三角形.

【點睛】

本題主要考查等腰直角三南形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握全等三角

形的判定定理，根據題意畫出圖形，進行分類討論，是解題的關鍵.

痼目回（2023?遼寧?統考中考真題）在放AABC中，乙4cB=90°,C4=CB,點。為AB的中點，點。在直線

AB上（不與點4B重合）,連接CD，線段CD繞點。逆時針旋轉90°,得到線段CE,過點8作直線I±BC,

過點E作EF_U，垂足為點F,直線EF交直線OC于點G.

???

（1）如圖，當點。與點O重合時,請直接寫出線段AD與線段EF的數量關系；

（2）如圖，當點。在線段AB上時,求證:CG+BD=V2BC；

⑶連接DE,/\CDE的面積記為S、,/\ABC的面積記為S2,當EF-.BC=1:3時,請直接寫出獸的值.

【答案】（1）后尸=掾人。

（2）見解析

⑶（或與

【分析】⑴可先證△BCD空ABCE,得到BD=BE,根據銳角三角函數，可得到BE和EF的數量關系，進而

得到線段AD與線段EF的數量關系.

（2）可先證/\ACD豈/\GEC,得到D4=CG,進而得到CG+BD=DA+BD=AB,題即可得證.

（3）分兩種情況：①點。在線段48上，過點。作CN垂直于FG,交FG于點N,過點E作垂直于BC,

交8。于點W，設EF=a,利用勾股定理，可用含a的代數式表示EC,根據三角形面積公式，即可得到答案.

②點D在線段R4的延長線上，過點E作E7垂直于BC,交BC延長線于點J,令EF交力。于點I,連接

BE,設EF=b,可證An△CEB，進一步證得4EBJ是等腰直角三角形，利用勾股定理，可用

含6的代數式表示EC,根據三角形面積公式，即可得到答案

【詳解】（1）解：EF=^AD.

理由如下：

如圖，連接BE.

根據圖形旋轉的性質可知CD=CE.

由題意可知，△ABC為等腰直角三角形，

丁CD為等腰直角三角形ZVLBC斜邊AB上的中線,

：.ZBCD=45°,AD=BD

又/。CE=90°,

??.ZBCE=45°.

（CD=CE

在"CD和/\BCE中,1/BCD=/BCE

[BC^BC

注叢BCE.

:?BD=BE,/CBE=/CBD=450.

：./EBF=45°.

：.EF=BE-sinAEBF=%BE.

：.EF=^AD.

（2）解：?/CO為等腰直角三角形△ABC斜邊AB上的中線，???

:.AO—BO.

???Z.ACD+Z.DCB=/.BCE+ADCB=90°,

???AACD=ABCE.

?：BC±lfEF±l,

??.BC//EF.

??.NG=NOCB=45°,ZGEC=ABCE.

??.NG=N4AACD=AGEC.

（AACD=AGEC

在△4CD和△GE。中，（/A=/G

[CD=CE

：.^ACD^/\GEC.

:.DA=CG.

:,CG+BD=DA+BD=AB=4^BC.

⑶解：當點。在線段48延長線上時，不滿足條件1:3,故分兩種情況：

①點。在線段4B上，如圖，過點C作CN垂直于FG,交FG于點N;過點E作垂直于BC,交于點

M.

設Eb=Q，則BC—AC—^a.

根據題意可知，四邊形BFEM和CMEN為矩形,△GCW為等腰直角三角形.

：.EF=BM=a,CM=NE=2a.

由（2）證明可知△AC。篤/XGEC,

AC—GE—3a.

:.NG—NC—a.

,-.NC=EM=a.

根據勾股定理可知

CE=y/EM2+CM2=V（2a）2+a2=V5a,

△CDE的面積&與△ABC的面積52之比

Sj=±CE'2=景島）2=2

52|（3a）29

②點。在線段BA的延長線上，過點E作E7垂直于,交BC延長線于點J,令E尸交AC于點I,連接

BE,由題意知，四邊形FB陽，FBC7是矩形，

NDCE=NACB=90°

：.ZDCE-NACE=AACB-ZACE

即ADCA=2ECB

—D=CE,CA=CB

△CEL4g△CEB

ANDAC=AEBC

而ADAC^180°—/CAB=180°-45°=135°

4EBC=135°

AEBJ=180°—NEBC=45°

AEBJ是等腰直角三角形，E7=BJ

設EF=b,則BC=IF=3b,EJ=BJ=CI=b

：.EI=EF+IF=4b

RtACIE中，CE=y/CI2+EI2=y/b2+（4fe）2=V17b???

△CDE的面積8與△ABC的面積52之比

8_W_17

S21BC2景3"9

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質、勾股定理以及圖形旋轉的性質，靈活利用全等三角形的判

定及性質是解題的關鍵.

痼目回（2021.四川中考真題）在等腰△ABC中，AB=AC,點。是邊上一點（不與點B、。重合），連結

AD.

⑴如圖1,若60°,點。關于直線AB的對稱點為點E,結AE,DE,則4BDE=；

（2）若60°,將線段AD繞點A順時針旋轉60°得到線段AE,連結BE.

①在圖2中補全圖形；

②探究CD與BE的數量關系，并證明；

（3）如圖3,若善■=需=鼠且NADE=/C,試探究BE、BD、AC之間滿足的數量關系，并證明.

BQUh/

【答案】⑴30°;⑵①見解析;②CD=BE;見解析；（3）AC=k（BD+BE）,見解析

【分析】

（1）先根據題意得出△ABC是等邊三角形，再利用三角形的外角計算即可

（2）①按要求補全圖即可

②先根據已知條件證明△ABC是等邊三角形，再證明△AEBn△ADC,即可得出CD=BE

⑶先證明收=黑，再證明AACB?AADE,得出ABAC=/EAD,從而證明AAEB竺/\ADC,得出

ADUE）

BD+BE=BC,從而證明AC=k（BD+BE）

【詳解】

解：⑴?.?AB=AC,/。=60°

.?.△ABC是等邊三角形

ZB=60°

?.?點。關于直線AB的對稱點為點E

：.AB±DE,

：./BDE=30°

故答案為：30°;

（2）①補全圖如圖2所示；

②CD與BE的數量關系為：CD=BE;

證明：?.?AB=AC,ABAC=60°.

.?.△ABC為正三角形，

又AD繞點A順時針旋轉60°,???

AD^AE,NEAD=60°,

ABAD+NDAC=60°,ABAD+NBAE=60°,

NBAE=ADAC,

:.△AEBW&ADC,

:.CD=BE.

（3）連接AE.

-=kAB=AC?

'BCDE'BCDE

■AC=BC

"^D~^E

又：NADE=NC,

:.4ACB?4ADE,

：.ABAC=NEAD.-：AB^AC,：.AE^AD,

：.ABAD+NDAC=/BAD+/BAE,

ADAC^NBAE,

：./\AEB篤/XADC,CD=BE.

-：BD+DC^BC,

：.BD+BE=BC.

又?*=k

BC~,

：.AC=k(BD+BE).

【點睛】

本題考查相似三角形的證明及性質、全等三角形的證明及性質、三角形的外角、軸對稱，熟練進行角的轉換是

解題的關鍵，相似三角形的證明是重點

更目鼻（2023?四川樂山?統考中考真題）在學習完《圖形的旋轉》后,劉老師帶領學生開展了一次數學探究活動

【問題情境】

劉老師先引導學生回顧了華東師大版教材七年級下冊第121頁“探索”部分內容：

如圖，將一個三角形紙板AABC繞點、A逆時針旋轉9到達的位置,那么可以得到：=AF,AC

=AC',BC=RC'；ABAC=ZB'AC,/ABC=ZAB'C,AACB=AACB'（）

劉老師進一步談到：圖形的旋轉蘊含于自然界的運動變化規律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解決圖

形旋轉的關鍵;故數學就是一門哲學.

【問題解決】

（1）上述問題情境中“（）”處應填理由：；

（2）如圖，小王將一個半徑為4cm,圓心角為60°的扇形紙板ABC繞點。逆時針旋轉90°到達扇形紙板AB

。的位置.???

①請在圖中作出點。；

②如果BB=6cm，則在旋轉過程中，點B經過的路徑長為；

【問題拓展】

小李突發奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上,使得一邊位于水平位置,另一個

在弧的中點處固定，然后放開紙板,使其擺動到豎直位置時靜止，此時，兩個紙板重疊部分的面積是多少呢?

如圖所示，請你幫助小李解決這個問題.

B

【答案】問題解決⑴旋轉前后的圖形對應線段相等，對應角相等

（2）①見解析:②item

問題拓展：（-|-7t—）cm2

【分析】問題解決（1）根據旋轉性質得出旋轉前后的圖形對應線段相等，對應角相等；

（2）①分別作BB：和AA的垂直平分線，兩垂直平分線的交點即為所求點O;②根據弧長公式求解即可；

問題拓展，連接P4',交AC于連接P4,PD,A4,由旋轉得30°,已4=。4'=4,在1?杈\24河

和中求出H河和ZW的長，可以求出S陰影部分他「=S扇形BA，p—S"DP，再證明△ADF空△HOP,即

可求出最后結果.

【詳解】解:【問題解決】（1）旋轉前后的圖形對應線段相等，對應角相等

（2）①下圖中，點。為所求

C

②連接OB,OB,

?：扇形紙板ABC繞點O逆時針旋轉90°到達扇形紙板45。的位置,

???/BOP=90°,OB=OB,

VBB—6cm,

設OB=OB—xcm,

/./2=62,

:.OB—OB—3V2cm,

在旋轉過程中，點石經過的路徑長為以點O為圓心，圓心角為90°,為半徑的所對應的弧長,

.?.點B經過的路徑長=9。*置3,=42代小；

lot)2

C

【問題拓展】解:連接PA,交4。于河,連接PA,PD,AA如圖所示

/PAC=[/RAC=30°.

由旋轉得APAB=30°,PA=PA=4.

在①AJXM中，

AM—PM—PA?sinZPAM=4xsin30°=2.

在中，

???/nw=30°,

:.AD=AM2=|V3,

cosZ.DAMcos30°o

DM=^-AD=Jx473=-1V3.

Zi/Jo

?*-S2尺DP=AP=x-1-V3x4=-^V3.

ZZDO

30x7：x42_4

S扇形F/p：―360——可膜

__44/-

?*,S陰影部分？￡)「二S扇形unp—SaH￡)p=-7i^"V3,

在AADP和△4DP中，

AD=AM-DM=2V3一飛瓜==AD,

oo

又/PAD=APAD=30°,PA=PA,

△ADPg△4DP.

又?*S扇形PAC~S扇形BAP,

?e,S陰影部分=2s陰影部分2x

【點睛】本題考查了旋轉的性質，弧長公式,解直角三角形，三角形全等的性質與判定，解題的關鍵是抓住圖

形旋轉前后的對應邊相等，對應角相等，正確作出輔助線構造出直角三角形.

If回(2021?浙江嘉興市?中考真題)小王在學習浙教版九上課本第72頁例2后,進一步開展探究活動:將一

個矩形ABCD繞點A順時針旋轉a(0°<aW90°),得到矩形AB'C'D'???

［探究1］如圖1,當&=90°時，點。恰好在延長線上.若求BC的長.

［探究2］如圖2,連結AO,過點。作Ow〃人。交BD于點線段。河與。河相等嗎？請說明理由.

［探究3］在探究2的條件下，射線DB分別交AD'，力。于點P,N（如圖3）,MN,PN存在一定的數量關系,

并加以證明.

【答案】［探究1］BC=匕笈；［探究2］。河=。河,證明見解析；［探究3pW2=PN-DN,證明見解析

【分析】

［探究1］設根據旋轉和矩形的性質得出〃D4,從而得出ADY7B?AADB,得出比例式

烏斗=察，列出方程解方程即可；

A.L）A.JD

［探究2］先利用SAS得出星ADR4,得出NDAC=NADB,乙4。6=乙4。及■，再結合已知條件

得出2MDD=,即可得出DM=DM;

［探究3］連結AW,先利用SSS得出△ADA/ZAADM,從而證得兒W=AN,再利用兩角對應相等得出

^NPA?ANAD,得出嗎=祟即可得出結論.

ANDN

【詳解】

［探究1］如圖1,

設30=2.

矩形ABCD繞點A順時針旋轉90°得到矩形AB'C'D',???