中考小獨致一三角形、四邊形稼合

解題方法

1.線段、角的計算與證明問題

中考的解答題一般是分兩到三部分的。第一部分基本上都是一些簡單題或者中檔題，目的在于考察基礎。

第二部分往往就是開始拉分的中難題了。對這些題輕松掌握的意義不僅僅在于獲得分數，更重要的是對

于整個做題過程中士氣，軍心的影響。線段與角的計算和證明，一般來說難度不會很大，只要找到關鍵“題

眼”，后面的路子自己就“通”了。

2.圖形位置關系

中學數學當中，圖形位置關系主要包括點、線、三角形、矩形/正方形以及圓這么幾類圖形之間的關系。在

中考中會包含在函數，坐標系以及幾何問題當中，但主要還是通過圓與其他圖形的關系來考察，這其中最

重要的就是圓與三角形的各種問題。

3.動態幾何

從歷年中考來看，動態問題經常作為壓軸題目出現，得分率也是最低的。動態問題一般分兩類，一類是代

數綜合方面，在坐標系中有動點，動直線，一般是利用多種函數交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯

形，矩形，三角形中設立動點、線以及整體平移翻轉，對考生的綜合分析能力進行考察。

4.幾何圖形的歸納、猜想問題

中考加大了對考生歸納，總結，猜想這方面能力的考察，但是由于數列的系統知識要到高中才會正式考察，

所以大多放在填空壓軸題來出。對于這類歸納總結問題來說，思考的方法是最重要的。

5.閱讀理解問題

如今中考題型越來越活，閱讀理解題出現在數學當中就是最大的一個亮點。閱讀理解往往是先給一個材

料，或介紹一個超綱的知識，或給出針對某一種題目的解法，然后再給條件出題。對于這種題來說,如果考

生為求快速而完全無視閱讀材料而直接去做題的話，往往浪費大量時間也沒有思路，得不償失。所以如何

讀懂題以及如何利用題就成為了關鍵。

解題策略

1.學會運用數形結合思想

數形結合思想是指從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質研究數量關系，尋求代數問題的解決方法（以

形助數），或利用數量關系來研究幾何圖形的性質，解決幾何問題（以數助形）的一種數學思想.數形結合思

想使數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，使問題得以解決。

縱觀近幾年全國各地的中考壓軸題，絕大部分都是與平面直角坐標系有關，其特點是通過建立點與數即坐

標之間的對應關系，一方面可用代數方法研究幾何圖形的性質，另一方面又可借助幾何直觀，得到某些代

數問題的解答。

2.學會運用分類討論的思想

分類討論思想可用來檢測學生思維的準確性與嚴密性，常常通過條件的多變性或結論的不確定性來進行

考察，有些問題，如果不注意對各種情況分類討論，就有可能造成錯解或漏解，縱觀近幾年的中考壓軸題分

類討論思想解題已成為新的熱點。

在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這

就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它

體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。

分類的原則：（1）分類中的每一部分是相互獨立的；（2）一次分類按一個標準；（3）分類討論應逐級進行.正

確的分類必須是周全的，既不重復、也不遺漏。

題型歸納

題型1：相似三角形、解直角三角形在三角形、四邊形中的應用

題型2:最值問題

題型3:折疊問題

題型4：旋轉問題

題型5：對稱問題

題型6：三點共線問題

題型7：列函數關系式問題

題型8：動點問題

題型9：情景探究題

題型1：相似三角形、解直角三角形在三角形、四邊形中的應用

遮目不（2024.江蘇揚州.一模）如圖1,在Rt/\ABC中，90°,AC=6,ABAC=60°,點D在線段BC上,

將△ACD沿AD折疊使得點。落在AB上。點處.

⑴則CD的長為；

（2）過點D作DE//AC交4B于點E,點河是線段AD上的動點,連接并延長分別交DE,人。于點F、

G.

①如圖2,若點朋?是線段AD的中點，求答的值；

Ur

②請問當的長滿足什么條件時,在線段DE上恰好只有一點P,使得ZCFG=60°?請說明理由.

題目區（2024.江蘇蘇州.一模）已知矩形ABCD中，E是BC的中點于點F.

圖1

（1）如圖1,若BE=2,求AE-AF的值；

⑵如圖2,連接AC交DF于點G,若叁=京求cos/FCE的值；

（3）如圖3,延長DF交AB于點G,若G點恰好為AB的中點，過A作AK〃F。交FD于K,設△ADK的面

積為Si,/XCDF的面積為S2,則獸的值為

「題目區（2024.安徽六安.一模）如圖，在OABCD中，E,F分別是AD,AB上的動點.

（1）已知乙4=90°,EG±EF交DABCD的一邊于點G,tan/EGF=

①如圖1,若點G在CD上,求證：3AF=2DE.

②如圖2,若點G在5C上，且尸4=3,AE=8,求BF的長.

⑵如圖3,乙4W90°,點G在BC上，且/EEG=/B4D,若罪=。笫=1■，求第的值.

題目目（2024.云南.模擬預測）菱形ABCD的對角線AC,相交于點O,0°<ZABO<60°,點G是射線

OD上一個動點，過點G作GE//。。交射線OC于點、E,以OE,OG為鄰邊作矩形EOGF.

圖①

（1）如圖①，當點F在線段。。上時，求證：DF=FC；

⑵若延長AD與邊GF交于點H,將△GDH沿直線AD翻折180°得到

①如圖②，當點河在EG上時,求證：四邊形EOGF為正方形；

②如圖③，當tan乙4B。為定值小時，設DG=k?。。，%為大于0的常數，當且僅當k>2時，點M在矩形

EOGF的外部，求利的值.

題目回（2024?江蘇鹽城?模擬預測）如圖1,在菱形ABCD中，點P是對角線BD上一點,連接AP和CP,在

射線AP上取點E,使得AAEC+AABC=180°,射線CE交射線于點Q,設ZABC=2a.

Q

Q

圖1圖2圖3

（1）如圖2,若a=45°,連接AC,交BD于點O,求證：△OPC?△OCQ；

（2）【探究】如圖3,若0=30°,3。=4。J,請畫出圖形,并求察的值；

【歸納】若=%?DP,穿的值為

.（用含k、a的表達式表示）

O.i

題型2:最值問題

題目回（2024.陜西西安.二模）圖形旋轉是解決幾何問題的一種重要方法.如圖1,正方形48co中，E、F

分別在邊AB.BC上，且NEDF=45°，連接EF,試探究AE,CF、EF之間的數量關系.解決這個問題可

將△川0￡；繞點。逆時針旋轉90°到△CDH的位置（易得出點H在的延長線上），進一步證明ADEF與

△Z汨F全等，即可解決問題.

圖3

（1）如圖1,正方形ABCD中，NEDF=45°,AE=3,CF=2,則EF=；

（2）如圖2,正方形ABCD中，若NEDF=30°,過點E作EMUBC交DF于M點、,請計算AE+CF與EM

的比值，寫出解答過程；

（3）如圖3,若ZEDF=60°,正方形ABCD的邊長AB=8,試探究4DEF面積的最小值.

題目不（2024.重慶開州.二模）在等腰△4BC中，/BAC=45°,=是AC邊上一動點，連接BD,

將BD繞點D順時針旋轉135°,得到DE，連接CE.

E

圖1

⑴如圖1,當點E落在BA邊的延長線上時,連接AE,=42,求S^CD；

⑵如圖2,取CE的中點F,連接。F,AF,求證：AFLDF；

（3）如圖3,當BO，AC時，點G是直線CE上一動點，連接DG,將/XCDG沿著DG翻折得到40DG,連

接AC'、,若AB=4+22,請直接寫出AC+[42—1）BC的最小值.

題型3:折疊問題

Ml回（2024.海南省直轄縣級單位.模擬預測）如圖1,矩形ABCD中，AB=4,BC=3,點E在邊BC上運

動（不與點B和點。重合），將AE繞點A順時針旋轉得到AF,旋轉角等于/歷LC,連接CF,過點F作

，AC于點

（1）求證：4ABE空/\AMF；

（2）當直線■恰好經過點E時，求CF的長；

（3）如圖2,連接。F.

①當DF=CF時，求等的值；

②探究DF是否存在最小值，若存在,請求出這個最小值，若不存在，請說明理由.

題目回（2024?江蘇無錫?一模）如圖，矩形ABCD中，AB=4,AD=t.G為AD邊上的一個動點，沿BG翻

折△ABG,點力落在點F處.

FF

圖1備用圖

（1）如圖1,若AD=8,且點G與點。重合時，。F交8。于點區

①求BE的長；

②若點M在射線歷1上，且AM=孕,求tanZBMF的值.

（2）連接CF,在AD邊上存在兩個不同位置的點G,使得S^CF=/S^ABC，則t的取值范圍是.

〔題目叵（2024河南?一模）如圖①，小穎將矩形紙片ABCD折疊，使點B落在射線BD1.,點B的對應點記

為折痕與邊AD、BC分別交于點E、F.

（1）如圖②，當點F與點。重合時,請判斷四邊形BEDF的形狀并證明；

（2）在矩形紙片ABCD中，若邊2,BC=273,AC與BD交于點。：

①請判斷4片與對角線AC的位置關系并僅就圖③說明理由；

②當B7?=1時，請直接寫出此時AE的長.

題型4:旋轉問題

題目五（2024?重慶?一模）已知△ABG是等腰直角三角形，=AC,。為平面內一點.

圖1圖2圖3

（1）如圖1,當。點在AB的中點時，連接CD,將CD繞點。逆時針旋轉90°,得到即，若AB=4,求△ADE

的周長；

⑵如圖2,當D點在ZVIB。外部時，夙F分別是AB,BC的中點,連接EF、DE、DF,將DE繞E點逆時

針旋轉90°得到EG,連接CG、DG、FG,若AFDG=/FGE,請探究FD、FG、CG之間的數量關系并給出

證明；

（3）如圖3,當。在△4BC內部時，連接A。,將4D繞點。逆時針旋轉90°,得到ED,若ED經過BC中點

F,連接AE、CE,G為CE的中點，連接GF并延長交AB于點H,當AG最大時，請直接寫出會空的值.

bbAHG

,題目叵（2024?廣東?一模）在△ABC中，CA=CB,乙4cB=&.點P是平面內不與點4C重合的任意一

點.連接AP,將線段4P繞點P逆時針旋轉a得到線段DP,連接AD,BD,CP.

⑴觀察證明如圖1,當a=60°時

①猜想BD與CP的數量關系為，并說明理由.

②直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數是

⑵類比猜想

如圖2,當a=90°時,請直接寫出需的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數

⑶解決問題

當a=90°時，若點E,F分別是CA,CB的中點，點P在直線EF上,請直接寫出點C,P,。在同一直線上

時弟的值.

【數學活動】將三角形紙片ABC進行以下操作:第一步:折疊三角形紙片ABC使點。與點A重合,然后展

開鋪平，得到折痕DE；第二步:然后將△DEC繞點。順時針方向旋轉得到ADFG,點E、。的對應點分

別是點F、G,直線GF與邊力。交于點河（點河不與點4重合），與邊AB交于點N.

（1）折痕。E的長為.

（2）在△DEC繞點。旋轉的過程中，試判斷研與ME的數量關系，并證明你的結論.

（3）在△DEC繞點D旋轉的過程中，探究下列問題：

①如圖2,當直線GF經過點B時，AM的長為.

②如圖3,當直線GF〃47時，求AM■的長.

（4）在△DEC繞點D旋轉的過程中,連接AF,則AF的最小值為

題型5:對稱問題

題目回（2024.河北石家莊.一模）如圖1和圖2,四邊形ABCD中，=6,BC=8,A。=2?7,CD<

AB,/B=/C=90°,點石在AB邊上，且AE=2.動點P從點B出發,沿折線BC—CD—DA運動，到達

點A時停止，設動點P運動的路徑長為x（x>0）.

圖1圖2備用圖

（1）如圖1,①CD=；

②當EP=CP時，求劣的值；

（2）如圖2,當0Vc48時，連接當EP_LPD時,求證：△BEP和4CDP全等；

⑶當0V*<12時，作點B關于EP的對稱點B',連接EB'，設EB，與AB所夾的銳角為a，直接寫出sina

的值（用含c的式子表示）.

題型6：三點共線問題

［題目口53（2024?山西太原?一模）綜合與實踐

問題情境:綜合實踐課上，老師讓同學們以正方形為背景，添加適當的幾何元素后，探究線段之?間的M數量關

系.如圖1,已知四邊形ABCD是正方形,點E在線段BC±（CE>BE）,以CE為邊作正方形EFGC,使

點G在線段CD上.延長CD至點使連接AH,AE,AF.

數學思考：（1）拼搏小組提出如下問題，請你解答：

①求證：AH—AE；

②猜想線段HG與AF之間的數量關系，直接寫出結論；

深入探究：（2）奮進小組將正方形CEFG從圖1中位置開始，繞點E逆時針旋轉（設點。的對應點為提

出如下問題，請你解答：

①如圖2,當點F恰好落到線段AE上時,連接HG.猜想此時線段HG與AF之間的數量關系，并說明理

由；

②若AB=6,BE=2,在正方形CEFG旋轉過程中,直接寫出A,F,G三點在同一直線上時線段的

長.

題型7:列函數關系式問題

［題目［16J（2024?四川南充?一模）如圖，點B是矩形AEFG的邊EF上的動點，以為邊向右上方作正方形

ABCD.

⑴如圖1,若點。在FG上，求/BGF的度數；

（2）如圖2,若。是FG的中點，求證：CH=DH；

（3）正方形ABCD的頂點B運動到如圖3位置，若AE=2,EF=3.設EB=x,CG2=沙,求夕與，的函數

解析式（不寫自變量的取值范圍）.

題型8:動點問題

〔題目〔17］（2024.浙江寧波.模擬預測）綜合與實踐.

【問題發現】

（1）如圖1,在正方形ABCD中，E為對角線AC上的動點,過點B作BE的垂線,過點。作AC的垂線，兩條

垂線交于點F,連接EF,求證：=

【類比探究】

（2）如圖2,在矩形ABCD中，E為對角線AC上的動點，過點5作BE的垂線，過點。作AC的垂線，兩條

垂線交于點F,且/"8=60°,連接即,求筆的值.

AE

【拓展延伸】

（3）如圖3,在⑵的條件下,將E改為直線AC上的動點，其余條件不變,取線段EF的中點“，連接AW,

CM.若爪2加，則當\CBM是直角三角形時,請求出CF的長.

題型9：情景探究題

〔題目⑼（2024?遼寧葫蘆島?一模）【問題初探】

（1）如圖1,40是△ABC的中線，BE交AC于點E,交AD于點F,且=求證：AC=BF.

小明和小亮兩名同學從不同角度進行思考，給出了兩種解題思路.

①小明同學的思考過程:如圖2,延長FD到點G,使。G=DF,連接CG,構造△DG。……；

②小亮同學的解題思路與小明基本一致，也是構造三角形,只是構造方法不同.如圖3,過點B作

BGHAC交AD延長線于點G,于是得到△BDG……；請你選擇一名同學的解題思路,寫出解答過程.

【遷移應用】

（2）請你依照上述兩名同學的解題思路或者按照自己的思路，解答下面問題,如圖4,已知等邊△ABC中，

D為BC邊上一動點,連接AD,將AD繞著D順時針旋轉120°得到DE,連接班;，取BE中點F,連接DF,

猜想CD與DF的數量關系，并證明你的猜想；

A

圖5

【能力提升】

（3）如圖5,已知△ABC中，"8="C,Z8/C=90°,點D是斜邊BC上的一點，且BD<CD，連接

4。，將線段4D繞。點順時針旋轉90。，得到線段DE，連接線段BE，點F為線段BE的中

點，連接DF,若/CDEANQFg，求線段CD的長度.

［題目回（2024.江蘇揚州.一模）如圖，4MoN=90。,點4B分別在OM、ON上運動（不與點。重合），BC

是/ABN的平分線，BC的反向延長線交AOAB的平分線于點D.

（1）隨著點人、B的運動，ND的大小會變嗎？如果不會，求的度數;如果會，請說明理由.

（2）如圖1,若OB與AD相交于點E,連接,當。8=6,OE=25時，求ABOD的度數及BD的長度.

（3）如圖2,當點B在ON上固定不動，且OB長度為6,點F為。河上一定點，6,若點G為過三點人、

B、。的圓的圓心，當點A從點O運動到F點，點G也隨之運動,直接寫出點G的運動路徑長.

題目M（2024.遼寧沈陽?模擬預測）【問題初探】：（1）數學活動課上,劉老師給出如下問題:如圖1,在四邊形

ABCD中，人3=人。=。。,/人。。+/8_4。=180°,CE_LAD,垂足為E.求證：BC=2CE.

①如圖2,小涵同學從ZACD+ABAC=180°,這個條件出發，給出如下解題思路:得出ABAC=2ZCAD,

作AF平分乙民4。交于點F,將AACD+ABAC180°轉化為/CAF與/CAD之間的數量關系.

②如圖3,小慧同學從結論的角度出發給出如下的解題思路:延長CE至點G,使CE=EG,連接AG,將線

段CE與之間的數量關系轉化為線段CG與之間的數量關系.

請你選擇一名同學的解題思路，寫出證明過程.

【類比分析】：

（2）劉老師發現之前兩名同學都運用了轉化思想，證明一條線段是另一條線段的2倍,將長的線段平分或將

短的線段倍長，從而轉化為證明兩條線段相等.為了幫助學生更好地感悟轉化思想，劉老師提出了下面的

問題，請你解答.

如圖4,在△ABC中，AC=BC,/ACB=90。，。是4B邊上一點，連接CD,過點B作跳；，。。于點后，

在BE上截取EF=CE,連接AF交CD于點G.求證：BF=2EG.

【學以致用】：

（3）如圖5,在△ABC中，AB=AC,sinB=。是BC中點，點E在線段BD上，連接AE,延長AC至點

5

F,使CF=BE,連接DF,若/CDF=/BAE.求嘴的值.

AB

題目a1（2024.河南周口.一模）【綜合與實踐】綜合實踐課上，老師帶領同學們研究“菱形背景下的旋轉問

題”.

問題情境:在菱形ABCD中,/ABC=60°為邊AD上一點（與A,O不重合）,連接BE,并將射線班繞點

B在平面內順時針旋轉,記旋轉角為&（0°<&<360°）.

操作感知：（1）小華取4=60°,如圖1,射線BE與射線AC交于點F,請你幫小華同學補全下面兩個問題的

答案:①線段BE與BF的數量關系是；②線段AB,AE,AF的數量關系是.

圖1圖2

猜想論證：（2）小夏取1=120。，如圖1,射線.與射線交于點干,小夏在筆記本上記錄了自己的思考

過程：

線段BE與BF的數量關系與（1）①相同……

但線段AB,AE,AF的數量關系好像不再成立……

我發現線段之間好像具有與⑴②類似的數量關系……

請你幫小夏同學完成線段之間數量關系的猜想并給出證明.

拓展探究：（3）小夢測量得到AB=2,BE=3,如圖2,在旋轉過程中，設點H的對應點為F,當點F落在菱

形ABCD的邊或對角線所在直線上時，記點F到直線BC的距離為d,請你幫小夢同學直接寫出所有大于

血的d的值.

中考小獨致一三角形、四邊形稼合

解題方法

1.線段、角的計算與證明問題

中考的解答題一般是分兩到三部分的。第一部分基本上都是一些簡單題或者中檔題，目的在于考察基礎。

第二部分往往就是開始拉分的中難題了。對這些題輕松掌握的意義不僅僅在于獲得分數，更重要的是對

于整個做題過程中士氣，軍心的影響。線段與角的計算和證明，一般來說難度不會很大，只要找到關鍵“題

眼”，后面的路子自己就“通”了。

2.圖形位置關系

中學數學當中，圖形位置關系主要包括點、線、三角形、矩形/正方形以及圓這么幾類圖形之間的關系。在

中考中會包含在函數，坐標系以及幾何問題當中，但主要還是通過圓與其他圖形的關系來考察，這其中最

重要的就是圓與三角形的各種問題。

3.動態幾何

從歷年中考來看，動態問題經常作為壓軸題目出現，得分率也是最低的。動態問題一般分兩類，一類是代

數綜合方面，在坐標系中有動點，動直線，一般是利用多種函數交叉求解。另一類就是幾何綜合題，在梯

形，矩形，三角形中設立動點、線以及整體平移翻轉，對考生的綜合分析能力進行考察。

4.幾何圖形的歸納、猜想問題

中考加大了對考生歸納，總結，猜想這方面能力的考察，但是由于數列的系統知識要到高中才會正式考察，

所以大多放在填空壓軸題來出。對于這類歸納總結問題來說，思考的方法是最重要的。

5.閱讀理解問題

如今中考題型越來越活，閱讀理解題出現在數學當中就是最大的一個亮點。閱讀理解往往是先給一個材

料，或介紹一個超綱的知識，或給出針對某一種題目的解法，然后再給條件出題。對于這種題來說,如果考

生為求快速而完全無視閱讀材料而直接去做題的話，往往浪費大量時間也沒有思路，得不償失。所以如何

讀懂題以及如何利用題就成為了關鍵。

解題策略

1.學會運用數形結合思想

數形結合思想是指從幾何直觀的角度，利用幾何圖形的性質研究數量關系，尋求代數問題的解決方法（以

形助數），或利用數量關系來研究幾何圖形的性質，解決幾何問題（以數助形）的一種數學思想.數形結合思

想使數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，使問題得以解決。

縱觀近幾年全國各地的中考壓軸題，絕大部分都是與平面直角坐標系有關，其特點是通過建立點與數即坐

標之間的對應關系，一方面可用代數方法研究幾何圖形的性質，另一方面又可借助幾何直觀，得到某些代

數問題的解答。

2.學會運用分類討論的思想

分類討論思想可用來檢測學生思維的準確性與嚴密性，常常通過條件的多變性或結論的不確定性來進行

考察，有些問題，如果不注意對各種情況分類討論，就有可能造成錯解或漏解，縱觀近幾年的中考壓軸題分

類討論思想解題已成為新的熱點。

在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這

就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它

體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。

分類的原則：（1）分類中的每一部分是相互獨立的；（2）一次分類按一個標準；（3）分類討論應逐級進行.正

確的分類必須是周全的，既不重復、也不遺漏。

題型歸納

題型1：相似三角形、解直角三角形在三角形、四邊形中的應用

題型2:最值問題

題型3:折疊問題

題型4：旋轉問題

題型5：對稱問題

題型6：三點共線問題

題型7：列函數關系式問題

題型8：動點問題

題型9：情景探究題

題型1：相似三角形、解直角三角形在三角形、四邊形中的應用

遮目不（2024.江蘇揚州.一模）如圖1,在Rt/\ABC中，90°,AC=6,ABAC=60°,點D在線段BC上,

將△ACD沿AD折疊使得點。落在AB上。點處.

⑴則CD的長為；

（2）過點D作DE//AC交4B于點E,點河是線段AD上的動點,連接并延長分別交DE,人。于點F、

G.

①如圖2,若點朋?是線段AD的中點，求答的值；

Ur

②請問當的長滿足什么條件時,在線段DE上恰好只有一點P,使得ZCFG=60°?請說明理由.

【答案】⑴2遍

⑵①需=匕②當DM=坐③或竺臣＜DM44V3時，滿足條件的點P只有一個，見解析

Ub375

【分析】⑴由折疊的性質得ADAC=30°,在Rt/\ADC中，根據銳角三角函數正切定義即可求得。。長；

（2）①由題意易求得BC=61,BD=4遍，由全等三角形判定ASA得4DFM名A4GA/,根?據全等M三角形

性質得OF=AG,根據相似三角形判定得ABEF?/\BAG，由相似三角形性質得答=需=等,將

AGrA.B

DF=4G代入即可求得答案;②由圓周角定理可得△CQG是頂角為120°的等腰三角形，再分情況討論：

當OQ與_DE相切時，結合題意畫出圖形,過點。作Qf/工AC,并延長HQ與DE交于點P,連接QC,

QG,設。Q半徑為r,由相似三角形的判定和性質即可求得。“長；當。Q經過點E時，結合題意畫出圖

形，過點。作CK_LAB,設。Q半徑為r,在RtAEQK中,根據勾股定理求得r,再由相似三角形的判定和

性質即可求得DM長;當。Q經過點D時，結合題意畫出圖形，此時點河與點G重合，且恰好在點A處，由

此可得ZW長.

【解析】（1）解：???△47。沿AD折疊使得點。落在AB上。點處，/B4C=60°,

A4DAC=30°.

在RtAADC中，

ADC^AC-tan30°=273,

故答案為：2盜；

（2）解:①???4。=6,ABAC=60°,DC=2y/3,

：.BC=6V3,BD=4V3.

DEIIAC,

NEDA=ADAC,4DFM=AAGM.

AM=DM,

/\DFM^^AGM（ASA）,

AG=DF.

DEIIAC,

△BEF?ABAG,

,EF__BE_BD

**AG-~~AB-BC，

,EF__EF_BD_4V3_2.

,,市一~~^G

②?：乙CPG=60°,過C,P,G作外接圓，圓心為Q,

△CQG是頂角為120°的等腰三角形,

當。Q與DE相切時，如圖1,過Q點作QHLAC,并延長與DE交于點P,連接QC,QG,

設0Q的半徑QP=r則QH=-yr,r+-r=2V3,

解得了=今四.

o

.-.CG=^-V3XV3=4,AG=2.

o

?:DEIIAC,

：?/\DFM?4AGM,

.DM=DF=4

**AM~~AG~~39

.DM_4

，，34D--7，

JDM=-y-V3.

②當。Q經過點E時，如圖2,過。點作CK_LAB,垂足為K.

設。Q的半徑QC—QE=『，則QK—3V3—r.

在放△￡?/<中，12+（3，^一/）2=『2,

解得r=號通，

.-.CG=^V3xV3=^

yo

?：DEIIAC,

：.4DFM~4AGM,

同理可得：。河=4四

5

③當。Q經過點。時，如圖3,

此時點”與點G重合，

且恰好在點A處，

由（2）得DM=4代.

綜上所述，當DM="通或單述＜DM44V3時，滿足條件的點P只有一個.

75

【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質，解直角三角形，圓周角定理等知識，解題

的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，學會利用特殊位置解決數學問題，屬于中考壓軸題.

題目團（2024?江蘇蘇州?一模）已知矩形ABCD中，E是BC的中點，OF，AE于點F.

圖1圖3

（1）如圖1,若BE=求AE-AF的值；

⑵如圖2,連接47交DF于點G,若需■=1■，求cos/FCE的值；

（3）如圖3,延長DF交AB于點G,若G點恰好為AB的中點，過A作AK〃F。交FD于K,設△ADK的面

積為S,ACDF的面積為S?，則善的值為

【答案】（1）6;

⑵爭

⑶*

【分析】（1）證明△ABE?/\DFA,得到=第，即可求解；

4AKDAr

⑵延長DF交CB的延長線于H,連接。E、AH,證明△ADG?△CHG,得到需=叁=~|■，推出EH

=BC=AD,進而得到四邊形ADEH是菱形，得到DF=HF,NAEH=AAED,DE=AD=EH=BC,得

出。￡=。￡）￡,即可得/CDE=30°,得到/AEH=/AED=60°,據此得到30°=/CDE,再由

2FCE=ZCFE=J/AEH=30°即可求解；

（3）過F作PQ_L4B于P,交CD于Q,作KH_L人。于X,證明&ABE?ADAG,得到48=4D,推導出

四邊形ABCD是正方形，得到AB=BG=GD=AD=PQ,設AB=BC=CD=AD=PQ=4a,則BE=

AG—2a,可得tanZADG=tanZBAE=AE—DG—2V5a,由三角形面積得到AF=證■明

/o

△APF?AABE,得到AP=,PF=,進而得到CQ=PB=孕a,FQ=畢a,由tan/ADG=嘯

5555DH

4

=9，設KH=rc,則DH=2c,證明AAHK?AFQC,得到AH=卜，由AH+OH=AD可得方程得工+

2力=4Q,解方程得x=~ra,即KH—，再由三角形面積公式即可求解.

55

【解析】（1）解：:石是石。的中點，

??.BC=2BE=20

???四邊形48co是矩形，

??.AD=BC=25,LB=90°,AD//BC,

：./AEB=/DAF,

?：DF_LAEf

：.NATO=900=",

???/\ABE"DFA,

.AE=BE

??亞一羽’

??.AEAF=ADBE=272xV2=4;

⑵解:延長OF交CB的延長線于H,連接OE、如圖2,

???四邊形ABCD是矩形，

??.AD//BC,AD=BC,/BCD=90°,

???4ADG?ACHG,

.AD=-G=2

，9~CH~~CG~~39

.BC=2

??而一.，

???石是BC的中點,

??.BE=CE=BH,

：.EH=BC=AD,

：.四邊形4DEH是平行四邊形,

?：DF±AE9

???四邊形ADE"是菱形，

??.DF=HF,/AEH=/AED,DE=AD=EH=BC,

，CE=[BC=[DE,

sin/CDE=g,

LJEJN

???/CDE=30°,

??.ZCED=90°-30°=60°,

???/AEH=AAED=60°,

?.?DF.LAE9

：./FDE=30°=/CDE,

:.FE=[DE=CE

??.AFCE=ACFE=1/AEH=30°,

???cosZFCE=^;

(3)解:過F作PQ_LAB于P,交CD于Q,作KH_L4D于H,如圖3,

則P。=AD,AP=OQ,PQ〃BC〃AD,

???G是AB的中點，石是BC的中點，

???AB=2AG,BC=2BE,

???四邊形ABCD是矩形，

??.AD=BC,AB=CD,4B=ND4G=90°,

?：DF_LAEf

??.AADF+ZDAF=/RAE+ZDAF=90°,

???/BAE=/ADF,

：.AABE?4DAG,

.AB=BE

?,布一運’

??.ABAG=ADBE,

即yAB2=yAZ?2,

:.AB—AD,

???四邊形ABCD是正方形，

:.AB—BC—CD—AD=PQ,

設AB=BC=CD=AD=PQ=4a,則BE=AG=2Q,

/.tan/ADG=tanZBAE?=,AE=DG=(2a)2+(4a)2=2V5a,

???S^DG=^DG-AF=^AD-AG,

.AG-AD2aX4a475

???PQ//BC,

???AAPF?/\ABE,

.AP=PF=AF

"AB-BE-AEJ

4戰c

即絲二理==

4a2a2V5a

解得AP=§a,PF=3a,

55

CQ=PB=AB—AP=4Q—■=孕a,FQ=PQ—PF=4a-3a=半a,

5555

?：KH±ADf

???tan/ADG=真去=[,

UrL/

設則。H=2N,

?：PQ//AD,AK//FC,

：./DAF=/QFE,ZKAF=ZCFE,

???乙DAK=AQFC,

又???/AHK=ZFQC=90°,

???/XAHK?4FQC,

.HK=AH

??西一溝’

6

即x—4H

暑Q售丁

55

解得

???AH+DH=AD,

4

--X+2rc=4a,

o

解得X—

5

KH—§Q,

5

???/\ADK的面積為S尸^-ADKH,/XCDF的面積為S2=%CDFQ,

八

.S'_KH_石6a「3

"S2~FQ~l^a~8,

故答案為：w

o

【點睛】本題考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定和性質，

正方形的判定和性質，三角函數，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵.

題目區（2024.安徽六安.一模）如圖，在AABCD中，E,F分別是AD,4B上的動點.

⑴已知=90°,EG，EF交HABCD的一邊于點G,tan/EGF=.

①如圖1,若點G在CD上,求證：3AF=2DE.

②如圖2,若點G在BC上，且FA=3,AE=8,求的長.

（2）如圖3,乙4W90。,點G在BC上，且乙FEG=/BAD,若笫=看,第=日，求鎧的值.

【答案】（1）①見解析;②9

（分析】⑴①由EG_LEF,tan/EGF=日得出ZAEF+AGED=90°,EF=卷EG，由矩形的判定與性質

OO

得出AADC=/A=90°,NAFE+NAEF=90°,推出AAFE=ADEG,證明/\AEF?^DGE,得出票

2石G

=第==?,即可得證;②作GHX.AD于X,由EG，EF,tan/EGF=?得出AAEF+AGEH

h/GrB/Gr33

=90°,EF=QG,由矩形的判定與性質得出乙4。。=乙4=90°,乙4EE+/ABF=90°,推出/AFE=

tj

2EG

NHEG,證明△AEF?/\HGE，得出架=等=-^―=《■，求出班;=號,后歹=y/AE2+AF2=V73,

HEEGEG32

則EG=得EF=，再由勾股定理求出GH=y/EG2-EH2=12,即可得解；

⑵在AD的延長線上找一點連接GM,使GM=AB,則四邊形ABGM■是等腰梯形，證明4AEF?

△MGE得出篇=部=器結合鋸空罪T，計算即可得出答案.

【解析】⑴①證明：；EG±EF,tan/EGF=磊,

O

???/FEG=9U°,tan"GF=隹=：

9

NAEF+AGED=90°,EF=-^EG,

o

???/A=90°,

??.ZAFE+ZAEF=90°,四邊形ABCD是矩形，

???4AFE=/DEG,Z.ADC=NZ=90°,

???AAEF?/1DGE,

.AF=EF=犯6=2

*'~DE~^G~EG~~39

???3AF=2DE;

②如圖，作GH_L4D于H,

2

???EG工EF,tan/EGF=9，

o

：.NFEG=90°,tan/EGF=需=與,

h/Cjr3

9

ZAEF+ZGEH=90°,EF=￡EG,

o

乙4=90°,

ANAFE+NAEF=90°,四邊形ABCD是矩形,

AAAFE=AHEG，/B=/A=90°,

?：GH±AD,

：.AGHA=/B=NA=90°,

四邊形ABGH是矩形,AAEF?/\HGE,

EF2

AB=CGH,A?

HE~EG3

AE=8fFA=3,

:,HE=J,EF=VAE\AF2=V73,

：.EG=^EF=^^~,

：.GH=y/EC^-EH2=12,

??.AB=GH=12,

：.BF=AB-AF=12-3=9;

⑵解:如圖，在AD的延長線上找一點A/,連接GM,使GM=AB,

則四邊形4BGM是等腰梯形，

??.ZA=ZM,

???/FEG=/BAD,AFEG+ZAEF+4GEM=ZBAD+Z.AEF+Z.AFE=180°,

???4AFE=/GEM,

：.dAEF?/\MGE,

.FE=AE

，9~GE~~GM9

8

??GM—ABAB—AAE_旦

?GM-AB,%。一5，4。一7，

AD

.FE=AE=AE=^=15

--

''~GE~GMAB-±AD28,

5

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、勾股定理、正切的定義，熟練掌握以上知

識點并靈活運用，添加適當的輔助線，是解此題的關鍵，屬于中考壓軸題.

題目回（2024.云南.模擬預測）菱形ABCD的對角線AC,相交于點O,0°<NABO<60°,點G是射線

OD上一個動點，過點G作GE〃O。交射線OC于點、E,以OE,OG為鄰邊作矩形EOGF.

⑴如圖①，當點F在線段。。上時,求證：OF=FC