中考幾何五大最值問題

?^模型解密

模型一:將軍飲馬問題

1.

己知:如圖，定點分布在定直線Z兩側；

要求：在直線I上找一點P,使PA+PB的值最小

解:連接4B交直線I于點P,點P即為所求，

PA+PB的最小值即為線段AB的長度

理由:在，上任取異于點P的一點P',連接AP'、BP',

在中，AP'+BP'>AB,即AP'+BP,>AP+BP

：.P為直線AB與直線，的交點時，P4+PB最小.

2.

已知:如圖，定點A和定點3在定直線Z的同側

要求:在直線，上找一點P,使得PA+PB值最小

（或△4班的周長最小）

解:作點A關于直線，的對稱點A',連接A'B交，于P,

點P即為所求；

理由：根據軸對稱的性質知直線I為線段'的中垂線，

由中垂線的性質得：PA=PA',要使PA+PB最小，則

需PA'+PB值最小,從而轉化為模型1.

方法總結：

1.兩點之間，線段最短；2.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊;

3.中垂線上的點到線段兩端點的距離相等；4.垂線段最短.

模型二:阿氏圓問題

阿氏圓問題

問題:求解“AP+類加權線段和最小值

方法:①定:定系數,并確定是半徑和哪條線段的比值

②造：根據線段比,構造母子型相似

③算:根據母子型結論,計算定點位置

④轉:“AP+nPB”轉化為“AP+PM”問題

關鍵:①可解性:半徑長與圓心到加權線段中定點距離比等于加權系數

②系數小于1:內部構造母子型

③系數大于1：外部構造母子型

模型三:胡不歸問題

識別條件:動點P的運動軌跡是直線（或線段）

方法：

1、將所求線段和改為kAP+BP的形式（卜<1）

2、作ACAD=。,使sinJ=k

3、過點B作跳；，40交人。于點。

4、kAP+BP的最小值轉化為垂線段的長

注意:當k>1時，kAP+BP=k（AP+^BP）按常規模型算即可

模型四:隱圓

（一）：定點定長作圓

點A為定點，點B為動點，且長度固定，

則點B的軌跡是以點人為圓心，長為半徑的圓。

（二）:點圓最值

已知平面內一定點。和口O,點E是口。上一動點，設點。與點。之間距離為d,口。半徑為r.

位置關系點。在圓。內點。在圓。上點。在圓。外

0

圖示

DE的最大值d+r2rd+r

此時點E的位置連接DO并延長交口。于點E

DE的最小值r—d0d—r

連接OD并延長交

此時點E的位置點E與點。重合連接OD交。于點E

□O于點E

(三)定弦定角解決問題的步驟：

⑴讓動點動一下,觀察另一個動點的運動軌跡，發現另一個動點的運動軌跡為一段弧。

(2)找不變的張角(這個時候一般是找出張角的補角)，(這個補角一般為60、45)

(3)找張角所對的定弦，根據三點確定隱形圓,確定圓心位置

(4)計算隱形圓的半徑

(5)圓心與所求線段上定點的距離可以求出來

(6)最小值等于圓心到定點之間的距離減去半徑

模型五:費馬點

【費馬點問題】

問題:如圖1,如何找點P使它到△ABC三個頂點的距離之和PA+PB+PC最小？

圖文解析：

如圖1,把△APC繞C點順時針旋轉60°得至U/XA'P'C,連接PP'.則△CPP

為等邊三角形，CP=PP,PA=P'A',

/.PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'BC.

?.?點4可看成是線段CA繞C點順時針旋轉60°而得的定點，BA'為定長

/.當B、P、P、A'四點在同一直線上時，PA+PB+PC最小.最小值為BA：

【如圖1和圖2,利用旋轉、等邊等條件轉化相等線段.】

/.AAPC=ZA'P'C=180°-ZCP'P=180°-60°=120°,

NBPC=180°—4PPC=180°-60°=120°,

/APC=360°-ZBPC-/APC=360°-120°-120°=120°.

因此，當△ABC的每一個內角都小于120°時，所求的點P對三角形每邊的張角都是120°；當有一內角大于或等

于120°時,所求的P點就是鈍角的頂點.費馬點問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，

解決問題的方法是運用旋轉變換.

【方法總結】利用旋轉、等邊等條件轉化相等線段，將三條線段轉化成首尾相連的三條線段.

【知識應用】兩點之間線段最短.

典例分析

模型一:將軍飲馬問題

題目刀如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為6,腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC,AB于點E,F,。

為BC邊的中點，河為線段EF上一動點，若△CZW的周長的最小值為13,則等腰三角形ABC的面積為

()

c

題旦⑨已知AAOB=30°,在AAOB內有一定點P,點、M,N分別是。4,上的動點，若"MN的周長

最小值為3,則OP的長為（）

遮目§如圖所示，在△ABC中，乙4BC=68°,B。平分/ABO,P為線段3。上一動點，Q為邊AB上一

動點，當AP+PQ的值最小時，乙4PB的度數是（）

A.118°B.125°C.136°D.124°

題目工］如圖，正方形ABCD中ANCD=22.5°,點P是C7V上一點，若CD=8,CM=V2,則PM+PD的最

題目可如圖，正方形ABCD的邊長為8,河在。。上，且。河=2,N是AC上的一動點，則DN+AW的最

小值為.

題目向如圖，正方形ABCD中，點G是BC邊上一定點，點、E、F、H分別是邊AD,AB、CD上的動點，若

題目⑺如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點3是3。邊的中點，E、F分別是AD和CD邊上的點，則四

邊形BEFG周長的最小值為.

題目回如圖,菱形草地ABCD中,沿對角線修建60米和80米兩條道路［AC<BD),M、N分別是草地邊

BC、CD的中點，在線段BD上有一個流動飲水點P,若要使JW+PN的距離最短,則最短距離是

米.

:題目回如圖，在等邊△ABC中，于D,AD=3cm.點P,Q分別為上的兩個定點且BP

=AQ=1cm,點Af為線段BD上一動點,連接PM,QM，則PM+QM的最小值為cm.

題目叵如圖，在中，乙民4。=90°,AB=3,AC=4,EF垂直平分BO,點P為直線EF上任意一

點，則AP+BP的最小值是

E

模型二:阿氏圓問題

題目兀如圖，在RtZVLBC中，乙4cB=90°,CB=7,AC=9,以。為圓心、3為半徑作。C,P為0。上

一動點，連接AP、BP,則：4P+BF的最小值為()

O

C.4+V10D.2V13

題目叵如圖所示的平面直角坐標系中，A(0,4),B(4,0),P是第一象限內一動點，OP=2,連接AP,BP,

則BP+yAP的最小值是.

頷目包如圖，在。。中，點4點B在。。上，乙4OB=90°,。4=6,點。在OA上，且OC=2AC,點。

是。8的中點,點M是劣弧AB上的動點，則CM+2DM的最小值為.

:題目14如圖,邊長為4的正方形，內切圓記為。。，P是。。上一動點,則V2PA+PB的最小值為

題目也如圖，已知正方ABCD的邊長為6,圓B的半徑為3,點P是圓B上的一個動點，則PD——PC的

最大值為.

題目逗如圖，在7?必48。中，AB=AC=4,點分別是AB,AC的中點，點P是扇形AEF的前上

任意一點，連接BP,CP,則yBP+CP的最小值是.

題目互）如圖，點4B在。。上，且。4=OB=6,且。4LOB,點。是。4的中點，點。在OB上，且

。0=4,動點P在?O上.求2PC+P。的最小值.

模型三:胡不歸問題

鶻目,如圖,在平面直角坐標系中，二次函數y=乎乎2一代的圖象與c軸交于點4。兩點，與夕

軸交于點B,對稱軸與c軸交于點。，若P為y軸上的一個動點,連接PD,則3PB+PD的最小值為

（）

題§T19i如圖，在4ABC中，ABAC=90°,=60°,AB=4,若。是3。邊上的動點，則2AD+的最小

值是（）

題目遠］如圖,在平面直角坐標系中，二次函數"=/—2a;+c的圖象與立軸交于4。兩點，與夕軸交于點口

（0,—3）,若P是2軸上一動點，點0（0,1）在沙軸上，連接PO,則①D+PC的最小值是（）

A.4B.2+2ypiC.2A/2^D.~F

/O

題目互］如圖，在A4BC中，/A=90°,/B=60°,4B=2,若。是BC邊上的動點，則2AD+DC的最小值

A.2V3+6B.6C.A/3+3D.4

題目包|如圖,在平面直角坐標系中，一次函數y=鼻-V3分別交c軸、夕軸于A、5兩點，若。為立軸上

O

的一動點，則2BC+AC的最小值為.

題目區|如圖，UABCD中/A=60°,=6,AD=2,P為邊CD上一點，則V3PD+2PB的最小值為

題目區j如圖，在△ACE中，CA=CE,/CAE=30°,半徑為5的。。經過點。，CE是圓。的切線,且圓的

直徑AB在線段AE上，設點D是線段AC上任意一點(不含端點),則OD+~CD的最小值為.

題目區［如圖,在平面直角坐標系中,直線,分別交C、沙軸于8、C兩點，點A、C的坐標分別為(3,0).(0.

—3),且40cB=60°,點P是直線I上一動點,連接AP,則AP+乎PC的最小值是.

題耳㈤已知拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)過點力(1,0),5(3,0)兩點，與夕軸交于點C,。。=3,

備用圖

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）點P為拋物線上位于直線BC下方的一動點，當△PBC面積最大時,求點P的坐標；

（3）若點Q為線段OC上的一動點，問：AQ+^-CQ是否存在最小值？若存在，求出這個最小值;若不存

在,請說明理由.

模型四:隱圓

題目互如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E是正方形4BCD內的動點，點。是3。邊上的動點，且

NEAB=/EBC.連結則PD+PE的最小值為（）

D

D.2V15-2

【題目亟如圖，四邊形ABCD為矩形，=3,=4.點P是線段上一動點,點〃■為線段AP上一

點.則■的最小值為（

12

A，—2B-TC.V13—D.V13-2

題目包如圖，Rt^ABC中，AB，,4B=8,BC=6,P是△ABC內部的一個動點，滿足APAB=

/PBC,則線段CP長的最小值為（）

10

B

B.2C.2V13-6D.2V13-4

題目?如圖，在RtAABC中，乙4cB=7?￡/,AC=8cm,BC=3cm.。是BC邊上的一個動點，連接

40,過點。作CELAD于E,連接BE,在點。變化的過程中，線段BE的最小值是()

題目［3?1如圖,菱形ABCD邊長為4,/A=60°,M是AD邊的中點，N是邊上一動點，將4AMN沿

MN所在的直線翻折得到△人如W,連接4C,則4。的最小值是()

［題目叵如圖，矩形ABCD中4B=3,BC=四,E為線段4B上一動點，連接CE,則^-AE+CE的最小值

題目應I如圖，點的坐標分別為A(6,O),B(O,6),。為坐標平面內一點，及7=22,"■為線段AC的

中點，連接■，當。加■取最大值時,點M的坐標為.

題目亙|如圖,在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,點H、F分別是邊AB.BC上的動點，且EF=4,點G是

EF的中點，AG、CG,則四邊形AGCD面積的最小值為.

題目與fj如圖，長方形ABCD中，AB=2通,=2,點E是。。邊上的動點，現將4BEC沿直線BE折疊,

使點。落在點F處,則點。到點F的最短距離為.

題目畫］如圖,正方形ABCD的邊長為4,點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上,且線段EF=4,點G

為線段EF的中點，連接BG、CG,則BG+-j-CG的最小值為.

題目亙如圖，③。的半徑為2,弦AB=2,點P為優弧AB上一動點，入。，4。交直線。3于點。,則

△ABC的最大面積是.

12

38］如圖，AB是半圓。的直徑,點。在半圓。上，AB=13,AD=5,。是弧BD上的一個動點,連接

A。,過。點作DHLAC于H.連接BH,在點。移動的過程中，AH■的最小值是.

、題目亙］如圖，。Af的半徑為4,圓心及■的坐標為（5,12），點P是。M■上的任意一點，PA，PB,且P4、

PB與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關于原點。對稱，則AB的最小值為

題目互|如圖,在矩形ABCD中，AB=2,=3,E是矩形內部的一個動點，且AE，BE,則線段CE的

模型五:費馬點

題目。如圖，在△ABC中，/CAB=90°,AB=AC=1,P是△AB。內一點，求PA+PB+PC的最小值

為.

題目藥如圖，已知矩形ABC。，AB=4,BC=6,點加■為矩形內一點，點E為3。邊上任意一點，則M4+

MD+ME的最小值為.

題目圣如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=6,且/48。=60°■是菱形內任一點，連接41/,3河,

13

CM,則AM+BM+CM的最小值為.

If國【問題背景】17世紀有著“業余數學家之王”美譽的法國律師皮耶?德?費馬，提出一個問題:求作三角

形內的一個點，使它到三角形三個頂點的距離之和最小后來這點被稱之為“費馬點”.

如圖，點P是△ABC內的一點，將△4PC繞點A逆時針旋轉60°到/XAPC,則可以構造出等邊△APP',

得AP=PP,CP=CF',所以P4++PC的值轉化為PP'+PB+P'。'的值，當B,P,P,C四點共線

時，線段BC的長為所求的最小值，即點P為ZVIBC的“費馬點”.

(1)【拓展應用】

如圖1,點P是等邊△ABC內的一點,連接PA,PB,PC,將△PAC繞點A逆時針旋轉60°得到△AP'C.

①若P4=3,則點P與點P之間的距離是；

②當P4=3,PB=5,PC=4時，求乙4PC'的大小；

(2)如圖2,點P是△ABC內的一點，且/A4C=90°,AB=6,人。=2，§,求PA+PB+PC的最小值.

A

—

中考幾何五大最值問題

?^模型解密

模型一:將軍飲馬問題

1.

己知:如圖，定點分布在定直線Z兩側；

要求：在直線I上找一點P,使PA+PB的值最小

解:連接4B交直線I于點P,點P即為所求，

PA+PB的最小值即為線段AB的長度

理由:在，上任取異于點P的一點P',連接AP'、BP',

在中，AP'+BP'>AB,即AP'+BP,>AP+BP

：.P為直線AB與直線，的交點時，P4+PB最小.

2.

已知:如圖，定點A和定點3在定直線Z的同側

要求:在直線，上找一點P,使得PA+PB值最小

（或△4班的周長最小）

解:作點A關于直線，的對稱點A',連接A'B交，于P,

點P即為所求；

理由：根據軸對稱的性質知直線I為線段'的中垂線，

由中垂線的性質得：PA=PA',要使PA+PB最小，則

需PA'+PB值最小,從而轉化為模型1.

方法總結：

1.兩點之間，線段最短；2.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊;

3.中垂線上的點到線段兩端點的距離相等；4.垂線段最短.

模型二:阿氏圓問題

阿氏圓問題

問題:求解“AP+類加權線段和最小值

方法:①定:定系數,并確定是半徑和哪條線段的比值

②造：根據線段比,構造母子型相似

③算:根據母子型結論,計算定點位置

④轉:“AP+nPB”轉化為“AP+PM”問題

關鍵:①可解性:半徑長與圓心到加權線段中定點距離比等于加權系數

②系數小于1:內部構造母子型

③系數大于1：外部構造母子型

模型三:胡不歸問題

識別條件:動點P的運動軌跡是直線（或線段）

方法：

1、將所求線段和改為kAP+BP的形式（卜<1）

2、作ACAD=。,使sinJ=k

3、過點B作跳；，40交人。于點。

4、kAP+BP的最小值轉化為垂線段的長

注意:當k>1時，kAP+BP=k（AP+^BP）按常規模型算即可

模型四:隱圓

（一）：定點定長作圓

點A為定點，點B為動點，且長度固定，

則點B的軌跡是以點人為圓心，長為半徑的圓。

（二）:點圓最值

已知平面內一定點。和口O,點E是口。上一動點，設點。與點。之間距離為d,口。半徑為r.

位置關系點。在圓。內點。在圓。上點。在圓。外

0

圖示

DE的最大值d+『2rd+r

此時點E的位置連接DO并延長交口。于點E

OE的最小值r—d0d—r

連接OD并延長交

此時點E的位置點E與點。重合連接。。交。于點E

口O于點,E

（三）定弦定角解決問題的步驟:

(1)讓動點動一下，觀察另一個動點的運動軌跡，發現另一個動點的運動軌跡為一段弧。

(2)找不變的張角(這個時候一般是找出張角的補角)，(這個補角一般為60°、45°)

(3)找張角所對的定弦，根據三點確定隱形圓,確定圓心位置

(4)計算隱形圓的半徑

(5)圓心與所求線段上定點的距離可以求出來

(6)最小值等于圓心到定點之間的距離減去半徑

模型五:費馬點

【費馬點問題】

問題:如圖1,如何找點P使它到△ABC三個頂點的距離之和PA+PB+PC最小？

圖文解析：

PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'BC.

?.?點4可看成是線段C4繞。點順時針旋轉60°而得的定點，BA'為定長B

.?.當B、P、P、4四點在同一直線上時，PA+PB+PC最小.最小值為BAJA__-,/八，

【如圖1和圖2,利用旋轉、等邊等條件轉化相等線段.】

：.AAPC=AA'P'C=180°-2^^=180°-60°=120°,/

ZBPC=180°-AP'PC=180°-60°=120°,R--------

ZAPC=360°-ZBPC-AAPC=360°-120°-120°=120°.

因此，當△ABC的每一個內角都小于120°時，所求的點P對三角形每邊的張角都是120°；當有一內角大于或等

于120°時,所求的P點就是鈍角的頂點.費馬點問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，

解決問題的方法是運用旋轉變換.

【方法總結】利用旋轉、等邊等條件轉化相等線段，將三條線段轉化成首尾相連的三條線段.

【知識應用】兩點之間線段最短.

色/典例分析

模型一:將軍飲馬問題

題目①如圖，等腰三角形ABC的底邊3。長為6,腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC,4B于點及F,。

為BC邊的中點，河為線段EF上一動點，若△CDM的周長的最小值為13,則等腰三角形ABC的面積為

c

B.39C.42D.30

【答案】。

【詳解】如圖，連接AD,交EF于點M.

?//\ABC是等腰三角形，。是邊的中點，

AD_LBC,CD=^BC=3.

EF是線段AC的垂直平分線，

.?.點。關于直線班1的對稱點為A,AM=CM,

：.此時4CDM的周長最小，

CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=13,

：.AD=13—CD=13—3=10,

SAABC=^-BC-AD=yX6x10=30.

題目為已知ZAOB=30°,在AAOB內有一定點P,點、M,N分別是上的動點，若APMN的周長

最小值為3,則OP的長為（）

D.3V2

【答案】B

【分析】根據題意畫出符合條件的圖形，求出。。=06=0。，/。。七=60°,得出等邊三角形。0后,求出

。￡=3,求出AP7W的周長=￡>E,即可求出答案.

【詳解】解:作P關于。4的對稱點。，作P關于OB的對稱點E,連接。￡交。4于交08于N,連接

PM,PN,則此時△PA4N的周長最小,

連接。D,OE,

關于。4對稱，

：.OD=OP,PM=DM,

同理OE=OP,PN=EN,

：.OD=OE=OP,

???P、O關于。4對稱，

??.OA_LPDf

'：OD—OP,

???ADOAPOA,

同理

???/DOE=2AAOB=2x30°=60°,

；OD=OE,

.?.△DOE是等邊三角形，

:.DE=OD=OP,

?：&PMN的周長是PM+MN+PN=DM+MN+EN=DE=3,

.?.OP=3

故選：B.

【點睛】本題考查了軸對稱一最短路線問題，等邊三角形的判定與性質，關鍵是畫出符合條件的圖形.

題目§如圖所示，在△ABC中，/4BC=68°,BD平分/4BC,P為線段BD上一動點，Q為邊上一

動點，當4P+PQ的值最小時，ZAPB的度數是()

A.118°B.1251C.136°D.124°

【答案】。

［分析】先在上截取BE=BQ,連接PE,證明APBQnAPBE(SAS)，得出PE=PQ,說明4P+PQ

=AP+PE,找出當A、P、E在同一直線上，且AE_LBC時，4P+PE最小，即AP+PQ最小，過點A作

AE，BC于點E,交口。于點P,根據三角形外角的性質可得答案.

【詳解】解:在BC上截取BE=BQ,連接PE,如圖：

BD平分/ABC,AABC=68°,

A/ABD=ACBD=yZABC=34°,

■：BP=BP,

：.APBQnAPBE(SAS),

PE=PQ,

：.AP+PQ-AP+PE,

：.當A、P、E在同一直線上，且AELBC時，AP+PE最小，即AP+PQ最小，過點A作力ELBC于點

E,交BD于點P,如圖：

?//AEB=90°,2CBD=34°,

/APB=NAEB+ACBD=124°.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形全等的判定和性質，垂線段最短，三角形內角和定理與三

角形的外角的性質，解題的關鍵是找出使AP+PQ最小時點P的位置.

題目4I如圖,正方形ABCD中/M7D=22.5°,點P是CN上一點，若CD=8,CM=則_FW+PD的最

小值是.

【答案】5g

【分析】連接AC,在AC上取一點M,使CM'=CM=V2,連接PM',DM',結合全等三角形的性質，可得

PM+PD=PM'+PM>M'D,可確定PM+PD的最小值是M'D的長，再求出M'D的長即可.

【詳解】解:連接AC,在AC上取一點M',使CM'=CM=2，連接PM',DM',過點W作M'E_LCD于點

E,

?.?四邊形48co是正方形，

乙4CD=45°,

?//NCD=22.5°,

AM'CP=AMCP,

在AM'CP和4MCP中,(ZM'CP=ZMCF,

[CP=CP

：./\M'CP空/\MCP(SAS),

:.PM'=PM,

：.PM+PD=PM'+PM>M'D,

：.PM+PD的最小值是M'D的長.

在Rt^M'CE中,CM'=V2,AM'CE=45°,即AM'CE為等腰直角三角形,

:.M'E=CE=1,

?:CD=8,

:?DE=CD—CE=7,

在Rt/XM'DE中,

由勾股定理,得M'D=^/M'E2+DE2=Vl2+72=5V2,

APM+PD的最小值是5V2.

故答案為：52.

【點睛】本題考查最短路線問題，解題中涉及正方形的性質，全等三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性

質，根據“將軍飲馬問題”利用軸對稱將問題轉化為用一條線段的長表示PM+PD的最小值是解題的關

鍵.

題目回如圖，正方形ABCD的邊長為8,加在。。上，且ZW=2,N是AC上的一動點，則。N+M7V的最

小值為.

【答案】10

【分析】要求DN+朋N的最小值，DN,朋N不能直接求，可考慮通過作輔助線轉化。N,MN的值,確定最

小值為的長度，再由勾股定理計算即可.

【詳解】解:如圖所示，

?.?正方形是軸對稱圖形，點B與點。是關于直線力。為對稱軸的對稱點，

連接BN,BD,則直線AC即為BD的垂直平分線，

：.BN=ND,

：.DN+MN=BN+MN,

連接交AC于點P,

；點、N為上的動點，

由三角形兩邊之和大于第三邊，

知當點N運動到點P時，

DN+MN=BP+MP=BM,DN+MN的最小值為BM的長度.

四邊形ABCD為正方形，

:.BC=CD=8,CM=8—2=6,

ABCM=90°,BM=YBClCM?=V82+62=10,

即ON+MN的最小值為10.

故答案為：10

【點睛】本考查正方形的性質和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應用，解題的難點在于確定滿足條件的點

N的位置：利用軸對稱的方法.然后熟練運用勾股定理.

可如圖,正方形中，點G是BC邊上一定點，點E、F、H分別是邊AD、AB、CD上的動點，若

【分析】如圖，作點G關于CD的對稱點Gi,作點Gi關于4D的對稱點G2，作點G關于的對稱點G3,連

接G2G3交AB于點F,交AD于點E,連接EG,,交CD于點連接HG、FG,四邊形EFGH的周長最小，

求出此時GF即可.

【詳解】解:如圖，作點G關于。。的對稱點Gi,作點G關于AD的對稱點Gz,作點G關于48的對稱點

G3,連接G2G3交AB于點F,交AD于點E,連接EG,交CD于點H,連接HG、FG,四邊形EFGH的周長

最小，

由對稱的性質知，GH=G1H,

：.HG+EH=GH+EH>EG］，當E、H、三點、頭線時HG+EH=EG,值最小；

同理可得：GH+EH+EF+FOG2G3,

、、、

當G2EFGS四點點共線時GH+EH+EF+FG=G2G3值最小；

CG=；BC=1,正方形ABCD是正方形；

:.BC=CD=4,AD//BC,/BCD=90°

由對稱的性質知，CGFCG=\,BG§=BG=3,2BC=8,GG=2cp=8,/^3^2=90°,

.?./G3=/G2=45°,

?：FG^FG3,

：.AFGG3是等腰直角三角形，

：.BF=BG=^-GG3=3.

GF=yjBF'+BG2=V32+32=3V2

故答案為：32.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質，正方形性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理等知識，利用作軸

對稱圖形解決最值問題是解題關鍵.

題目［7）如圖,在邊長為8的正方形ABCD中，點G是邊的中點，E、F分別是AD和CD邊上的點,則四

邊形BEFG周長的最小值為

【答案】24

【分析】作點G關于CD的對稱點G',作點B關于AD的對稱點B,連接BE、FG',根據對稱的性質

可得BE=BE,FG=FG,再由BE+EF+FG+BG=BE+EF+FG'+BG,B'E+EF+FG'>BG',

可得當BE+EF+FG'=BG'時,四邊形BEFG的周長有最小值，最小值為BG+BG',再利用勾股定理

求得RG=20,最后利用BG+B'G'即可求解.

【詳解】解:如圖，作點G關于CD的對稱點G',作點8關于AD的對稱點,連接呂G'、B'E、FG',

?：BE=B!E,FG=FG',

BE+EF+FG+BG^B'E+EF+FG'+BG,

?：B'E+EF+FG'>BG',

當PE+EF+FG'=B'G'時，四邊形BEFG的周長有最小值，最小值為BG+B'G',

???BG=CG=CG'=加。=4,AB=8,

ABP=AB+AB,=16,BG'=BC+CG'=8+4=12,

BG'=y/BG'2+BB'2=V122+162=20,

BG+EG'=4+20=24,

四邊形BEFG的周長的最小值為24,

故答案為：24.

BGc""Gr

【點睛】本題考查了正方形的性質、軸對稱的性質、勾股定理，三角形的三邊關系，熟練掌握軸對稱的性質，

構造三角形是解題的關鍵.

題目0如圖，菱形草地ABCD中，沿對角線修建60米和80米兩條道路(AC<BD),M、N分別是草地邊

BC、CD的中點，在線段BD上有一個流動飲水點P,若要使JW+PN的距離最短,則最短距離是

米.

【答案】50

【分析】作M關于BD的對稱點Q,連接NQ,交BD于P,連接皿P,當P點與P重合時，皿F+=

+NP'=NQ的值最小，根據菱形的性質和勾股定理求出BC長，即可得出答案.

【詳解】解:作n關于BD的對稱點Q,連接NQ,交BD于P,連接MF',

當P點與P重合時，皿P+NP=A1P'+NP'=NQ的值最小，力

?.?四邊形ABCD是菱形，

:.AC上BD,4QBP=/MBP,

?：MQ±BD,

AAC//MQ,

.?.Al為BC中點，C

：.Q為AB中點，

???N為CD中點，四邊形48co是菱形，

??.BQ//CD,BQ=CN,

四邊形BQNC是平行四邊形，

:.NQ=BC,

設AC與的交點為點O,

?.?四邊形ABCD是菱形，

AC±BD,OC=,AC=30米，OB=］BO=40米，

ABC="以+。。2=50米，

.?.PAf+PN的最小值是50米.

故答案為：50.

【點睛】本題考查了軸對稱一最短路線問題，平行四邊形的性質和判定，菱形的性質，勾股定理的應用，解此

題的關鍵是能根據軸對稱找出P的位置.

題目切如圖,在等邊448。中，5。，人。于。，人0=3011.點9,心分別為48,人。上的兩個定點且現3

=AQ=1cm,點河為線段BD上一動點,連接PM,QM，則PM+QM的最小值為cm.

【答案】5

［分析］如圖所示，作點P關于BD的對稱點尸，且點P在3。上，則PM+QM^P'M+QM,當P,跖Q在

同一條直線上時，有最小值，證明四邊形PPQ4是平行四邊形，尸Q=AP=AB—BP,由此即可求解.

【詳解】解:如圖所示，作點P關于BD的對稱點尸，

AABC是等邊三角形,BDd_AC,

：./.ABD=Z.DBC=jZABC=yX60°=30°,

；.點、P在BC上,

：.PM=PM,則PM+QM=PM+QM,當Q在同一條直線上時，有最小值，

；點、P關于BD的對稱點P,AABD=ADBC=30°,

PP_LBM,BP=BP'=1cm,4

.../BPP=6O。，7\

.?.△BP/是等邊三角形，即/B戶P=NC=60°,/

.?.PP7/47,JLPP=4Q=lcm,//\D

四邊形。尸。4是平行四邊形，/

：.P'Q=AP=AB-BP,\

在RtdABD中，AABD=30°,AD=3,1^1.\

BpC

??.48=240=2X3=6,

ff

.?.AP=PQ=PM+QM=PM+QM=AB-BP=6-l=5f

故答案為：5.

【點睛】本題主要考查動點與等邊三角形，對稱一最短路徑，平行四邊形的判定和性質的綜合，理解并掌握

10

等邊三角形得性質，對稱一最短路徑的計算方法，平行四邊形的判定和性質是解題的關鍵.

題目改I如圖，在/\ABC中，/BAG=90°,AB=3,AC=4,EF垂直平分BC,點P為直線EF上任意一

點，則AP+BP的最小值是.

【答案】4

【分析】由線段垂直平分線的性質可得BP=P。，可得當點A,P,。在一條直線上時，PA+BP有最小值,

最小值為4。的長.

【詳解】解:連接PC.

是的垂直平分線，

：.BP=PC,

：.PA+BP^AP+PC,

：.當點力，P,。在一條直線上時，PA+BP有最小值，最小值為力。=4.

故答案為：4.

【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，明確線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題

的關鍵.

模型二:阿氏圓問題

1題目|11］如圖，在用ZVIBC中，乙4cB=90°,CB=7,47=9,以。為圓心、3為半徑作。為。。上

一動點，連接AP、BP,則+的最小值為（）

O

A.7B.5V2C.4+V10D.2V13

【答案】B

【詳解】思路引領：如圖，在CA上截取CM,使得CM=1,連接PM,PC,BM.利用相似三角形的性質證

明皿尸=可得:AP+BP=PM+PB>BA7,利用勾股定理求出BM即可解決問題.

OO

答案詳解:如圖，在C4上截取CM,使得CM=1,連接PM,PC,BM.

???PC=3,CM=1,CA=9f

2

???PC=CM-CA9

.PCCM

9'~CA~~CP"

???ZPCM=AACP,

：./\PCM-/\ACP,

.PM=PC=\

"PT-AC-y,

：.PM=^-PA,

o

~AF+BP=PM+PB,

o

■：PM+PB>BM,

在RtdBCM中，,:4BCM=90°,CM=1,BC=7,

.-.BM=Vl2+72=5V2,

*P+BP>5侑

o

^-AP+BP的最小值為52.

o

故選：B.

［題目口。如圖所示的平面直角坐標系中，A(0,4),3(4,0),P是第一象限內一動點，OP=2,連接AP、BP,

【分析】取點T(0,1),連接PT,BT.根據OP'OT?04,有器=器，即可證明NOT?/\AOP,即有

界=善?=進而可得PT=則有BB+JP4=PB+PT,利用勾股定理可得BT=JP”=

47,則有BP+yAP>47,問題得解.

【詳解】解:如圖，取點T(0,l),連接PT,BT.

???T（0,l）,A（0,4）,B（4,0）,

07=1,OA=4,OB=4,

?：OP=2,

OP2=OT-OA,

?OP=04

"OT~OP'

?：/POT=NAOP,

：.APOT-/\AOP,

.PT_OPl1

"TA~~OA~^!

：.PT^~PA,

：.PB+yPA=PB+PT,

■：BT=V12+42=A/17,

：.PB+PT>VY7,

.?.BP+]AP>47,（當B、P、T三點共線時取等號）

BP+gpB的最小值為V17.

故答案為：47.

【點睛】本題考查阿氏圓問題，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔

助線，構造相似三角形解決問題.

題目亙如圖，在。。中，點A、點B在。。上，乙408=90°,04=6,點。在。4上，且OC=2AC,點。

是