第一章數(shù)與式

第04講二次根式

（思維導(dǎo)圖+2考點(diǎn)+2命題點(diǎn)12種題型（含6種解題技巧））

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航??題型04二次根式與數(shù)軸

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航命題點(diǎn)二二次根式的運(yùn)算

03考點(diǎn)突破?考法探究＞題型01應(yīng)用乘法公式求二次根式的值

考點(diǎn)一二次根式的相關(guān)概念＞題型02最簡二次公式的判斷

考點(diǎn)二二次根式的性質(zhì)與化簡＞題型03分母有理化

考點(diǎn)三二次根式的運(yùn)算??題型04二次根式的混合運(yùn)算

04題型精研?考向洞悉??題型05二次根式估值

命題點(diǎn)一二次根式的性質(zhì)與化簡??題型06與二次根式有關(guān)的新定義問題

＞題型01二次根式有意義的條件＞題型07與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究

＞題型02與二次根式有關(guān)的開放性試題??題型08二次根式的應(yīng)用

??題型03利用二次根式的性質(zhì)化簡

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

中考考點(diǎn)考直頻率新課標(biāo)要求

二次根式的相關(guān)概念★★了解二次根式、最簡二次根式的概念

二次根式的性質(zhì)★★掌握二次根式的性質(zhì)

二次根式的運(yùn)算★★了解二次根式（根號(hào)下僅限于數(shù)）加，減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)

用它們進(jìn)行簡單的四則運(yùn)算

【考情分析】中考中，對(duì)二次根式的考察主要集中在對(duì)其取值范圍、化簡計(jì)算等方面，其中取值范圍類

考點(diǎn)多出選擇題、填空題形式出現(xiàn)，而化簡計(jì)算則多以解答題形式考察.此外，二次根式還常和銳角三角

函數(shù)、實(shí)數(shù)、其他幾何圖形等結(jié)合出題，難度不大，但是也多屬于中考必考題.

知識(shí)導(dǎo)圖?思維弓I航

被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)

定義形如Va（a>0）的式子

能判斷二次就是否是最簡二次定義

取簡一不含分母

能判斷二個(gè)二次根式是否是同類二次演根式被開方數(shù)I----------------

相關(guān)概念-------------------『不含能開的盡方的因數(shù)或因式

\a\a2,匣都是非負(fù)數(shù)

f同類二

亞a20時(shí)聯(lián)系性質(zhì)次中艮式被開方數(shù)相同的二次根式

取值范圍不同亞與（?）--20非負(fù)性

知

學(xué)

識(shí)

意義不同區(qū)別法雌（向2=q

梳

運(yùn)算結(jié)果不同指

二次根式亞=|小一儂。）

理

導(dǎo)

y/aJb=y/ab（o>0?Z>>0）-a（a<0）

4邛(應(yīng)0,6>0)運(yùn)算加減一相加兩不變

y/a-y[b=^ab(t7>0,b>0)

運(yùn)算

處網(wǎng)應(yīng)0,b>0)

1_&+/分母有理化

^a-y/ba-b混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)混合運(yùn)算相同

考點(diǎn)突破?考法探究I

考點(diǎn)一二次根式的相關(guān)概念

1.二次根式

二次根式的定義：一般地,我們把形如五（a20）的式子叫做二次根式，一”稱為二次根號(hào)，a叫做被

開方數(shù).

【易錯(cuò)易混】

1）二次根式的兩個(gè)要素（判斷依據(jù)）：含有二次根號(hào)“「,且根指數(shù)為2；被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；

2）二次根式定義中規(guī)定，任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結(jié)果，如：-我都

是二次根式；

3）二次根式的被開方數(shù)a可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)式子，但都要滿足a20；

4）在具體問題中，如果已知?dú)v是二次根式，相當(dāng)于給出了aNO.

2.二次根式有意義的條件

1）單個(gè)二次根式，如歷有意義的條件是a'O；

1

2）二次根式作為分母時(shí)，如.有意義的條件是。>0；

yja

1

3）二次根式與分式相加，如G+五有意義的條件是@20且b>0.

Vo

針對(duì)訓(xùn)練

1.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）在函數(shù)，=熹++中，自變量x的取值范圍是.

2.（2023?四川綿陽?中考真題）使代數(shù)式4+后育有意義的整數(shù)x有（）

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

考點(diǎn)二二次根式的性質(zhì)與化簡

二次根式的性質(zhì)

1）式子迎（Q?0）既表示二次根式，又表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根（論20）,所以具有雙重非負(fù)性;

2）（VH）2=a（aN0）,即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身；

3）V^=\a\=\即一個(gè)數(shù)平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對(duì)值.

二次根式的化簡

二次根式的化簡：1）利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡；

2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡.

4ab=4a*4b^a>G,b>^,=^^（aNU,b>0）

【易錯(cuò)易混】

1.在使用=Va?VF（a>0,b>0）時(shí)一定要注意a20,b>0的條件限制.

2.在使用嗎=2（a20,b>0）時(shí)一定要注意aNO,b>0的條件限制.

7bA/b

針對(duì)訓(xùn)練

1.（2024.內(nèi)蒙古包頭.中考真題）計(jì)算府二不所得結(jié)果是（）

A.3B.V6C.3V5D.±3V5

2.（2024.四川樂山.中考真題）已知l<x<2,化簡J（x—+比一21的結(jié)果為（）

A.-1B.1C.2%-3D.3-2%

3.（2023?廣東廣州?中考真題）已知關(guān)于x的方程/—（2k-2）x+k2-l=。有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則J（k—一

（立二五）2的化簡結(jié)果是（）

A.-1B.1C.-l-2fcD.2k-3

4.（2022?山東聊城?中考真題）射擊時(shí)，子彈射出槍口時(shí)的速度可用公式u=&而進(jìn)行計(jì)算，其中a為子彈

的加速度，s為槍筒的長.如果a=5xl（）5m/s2,s=0.64m,那么子彈射出槍口時(shí)的速度（用科學(xué)記數(shù)法

表示）為（）

A.0.4x102m/sB.0.8x102m/s

C.4x102m/sD.8x102m/s

5.（2023?湖北黃岡?中考真題）請(qǐng)寫出一個(gè)正整數(shù)機(jī)的值使得師是整數(shù)；m=.

考點(diǎn)三二次根式的運(yùn)算

1.二次根式的乘法

乘法法則：兩個(gè)二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.即：4^-4b=4ab（a>Q,b>Q）

2.二次根式的除法

除法法則：兩個(gè)二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.即：^=^（a>0,b>0）

3.最簡二次根式

定義：1）被開方數(shù)不含分母；2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，把滿足上述兩個(gè)條件的二次

根數(shù)，叫做最簡二次根式.例：2石，立都是最簡二次根式.

10

最簡二次根式必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：

①開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式（分母中不應(yīng)含有根號(hào)）；

②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為L

4.二次根式的加減

同類二次根式：把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同

類二次根式.

【補(bǔ)充】幾個(gè)同類二次根式在沒有化簡前，被開方數(shù)可以完全互不相同，如：/、限/是同類二次根式.

二次根式的加減：一般地，二次根式加減時(shí)，先把各個(gè)二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的

二次根式合并.

【口訣】一化、二找、三合并.

5.二次根式的混合運(yùn)算

內(nèi)容：二次根式的混合運(yùn)算指的是二次根式的加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算.

運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的.

易錯(cuò)易混

1）結(jié)果要化為最簡二次根式或整式；

2）如果含有字母，要注意字母的取值范圍是否能使式子成立，以及其中的隱藏條件.

6.分母有理化

分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號(hào)去掉的過程.

【分母有理化方法】

1）分母為單項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是分母本身帶根號(hào)的部分.即：號(hào)=*=叵

VCLVCLCL

2）分母為多項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是與分母相乘構(gòu)成平方差的另一部分.

日口1_Va+VK_Va+VK

?Va-VF（Va-V&）（Va+VF）a-b'

針對(duì)訓(xùn)練

1.（2024.山東濟(jì)寧.中考真題）下列運(yùn)算正確的是（）

A.V2+V3=V5B.V2xV5=V10

C.2-V2=1D.J（一5尸=-5

2.（2024?重慶?中考真題）估計(jì)S泛（a+百）的值應(yīng)在（）

A.8和9之間B.9和10之間C.10和11之間D.11和12之間

3.（2023?湖南?中考真題）對(duì)于二次根式的乘法運(yùn)算，一般地，有正?四=病.該運(yùn)算法則成立的條件是

（）

A.a>0,b>0B.a<0,b<0C.a<0,b<0D.a>0,b>0

4.（2023?山東濰坊?中考真題）從-VLV3,聲中任意選擇兩個(gè)數(shù)，分別填在算式（口+。）2+/里面的“口”

與“?！敝?，計(jì)算該算式的結(jié)果是.（只需寫出一種結(jié)果）

5.（2024.四川遂寧?中考真題）計(jì)算：sin45°+|y-11+V4+.

題型精研?考向洞悉

命題點(diǎn)一二次根式的性質(zhì)與化簡

A題型01二次根式有意義的條件

方法技巧

1）如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開方數(shù)都必須是非

負(fù)數(shù).

2）如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零.

1.（2023?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)尤的取值范圍在數(shù)軸上表示

為（）

-I——?——J」a-J——I——I1?

A.-1012B.-1012

??1——?~?_?_>

C.-1012D.-1012

2.（2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?中考真題）若代數(shù)式盤在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，貝卜的取值范圍是（）

A.%<2B.x>2C.x>2D.%<2

3.（2024?上海?中考真題）已知1=1,則％=.

4.（2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）在函數(shù)y=冊(cè)+力中，自變量x的取值范圍是.

>題型02與二次根式有關(guān)的開放性試題

1.（2023?四川綿陽?中考真題）使代數(shù)式高+^有意義的整數(shù)支有（）

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

2.（2022.四川南充?中考真題）若回行為整數(shù)，x為正整數(shù)，則尤的值是.

3.（2023?湖南永州?中考真題）己知x為正整數(shù)，寫出一個(gè)使在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)澧:有意義的x值是

4.（2023?湖北黃岡?中考真題）請(qǐng)寫出一個(gè)正整數(shù)機(jī)的值使得河是整數(shù)；m=.

>題型03利用二次根式的性質(zhì)化簡

方法技巧

j1）利用二次根式性質(zhì)化簡時(shí)，如果題目中對(duì)根號(hào)內(nèi)的字母給出了取值范圍，那么應(yīng)

在這個(gè)范圍內(nèi)對(duì)根式進(jìn)行化簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應(yīng)注意對(duì)題目條件的挖掘，把

隱含在題目條件中所限定的取值范圍顯現(xiàn)出來，在允許的取值范圍內(nèi)進(jìn)行化簡.

2）化簡后的最后結(jié)果應(yīng)為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式.

1.（2020.湖北武漢.中考真題）化簡二次根式而羿的結(jié)果等于.

2.（2023?湖北宜昌?中考真題）下列運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)是（）.

①|(zhì)2023|=2023；②2023°=1；③2023T=/；④同莎=2023.

A.4B.3C.2D.1

3.（2023?四川涼山?中考真題）計(jì)算（兀―3.14）。+J（應(yīng)一Ip=.

4.（2022?四川宜賓?中考真題）《數(shù)書九章》是中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了已知三

角形三邊.、b、c求面積的公式，其求法是：“以小斜幕并大斜塞減中斜塞，余半之，自乘于上，以小斜累

乘大斜幕減上，余四約之，為實(shí).一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即為S=

1巧―盧三升.現(xiàn)有周長為18的三角形的三邊滿足a:b:c=4:3:2,則用以上給出的公式求得這

個(gè)三角形的面積為.

>題型04二次根式與數(shù)軸

1.（2023?內(nèi)蒙古?中考真題）實(shí)數(shù)小在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡：癡—2）2=

2.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示，則四二TR-（6-a-2）的

化簡結(jié)果是（）

121I??1A

-3-2-1012

A.2B.2a-2C.2-2bD.-2

3.（2024武威四中二模）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，則J（a—4尸一J（a-114化簡后為（）

1--------------1-------?------>

05a10

A.7B.-7C.15-2aD.2a-15

4.（2022?四川遂寧?中考真題）實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡|a+1]—-1尸+

-b）2=.

ab

-4-3-2-101234

命題點(diǎn)二二次根式的運(yùn)算

＞題型01應(yīng)用乘法公式求二次根式的值

方法技巧

1)(y/a+(A/^—V^)=(A/^)2—(v^)2=

2)(±V^)2=a+b±2y/~ab;

1.(2024.天津中考真題)計(jì)算(VH-1)(VTT+1)的結(jié)果為

2.(2023.內(nèi)蒙古.中考真題)先化簡，再求值：(2%+y)2+(%-y)(x+y)-5x(x-y),其中％=傷一1,

y=V6+1.

3.(2023?山東淄博?中考真題)先化簡，再求值：(%—2y)2+x(5y—x)—4y2,其中乂=笞，y=等.

4.(2023?湖南張家界?中考真題)閱讀下面材料：

將邊長分別為a,a+Vb,a+2y[b,a+3dF的正方形面積分別記為S「S2＞S3,S4.

則S2—S1=(a+VK)2—a?

=[(a+VF)+a]-[(a+Vh)-a]

=(2a+Vh)-VF

=b+2aVF

例如：當(dāng)a=L6=3時(shí)，$2—Si=3+2汽

根據(jù)以上材料解答下列問題：

(1)當(dāng)a=1,6=3時(shí)，S3—S2—,S4—S3—；

(2)當(dāng)a=1,6=3時(shí)，把邊長為a+nVF的正方形面積記作與+1，其中九是正整數(shù)，從(1)中的計(jì)算結(jié)果，

你能猜出土+i-5日等于多少嗎？并證明你的猜想；

(3)當(dāng)a=1,6=3時(shí)，令t[=52—S]，I2=S31s2,J=S41s3,…，tn=Sn+i—Sn,且T=t]+t2+±3+

…+t50,求T的值.

＞題型02最簡二次公式的判斷

最簡二次根式必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：

①開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式(分母中不應(yīng)含有根號(hào))；

②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為L

[補(bǔ)充]

①不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2,3,5,a（a》0）,x+y等；

②含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4,9,?2,（x+,x2+2xy+y1等.

1.（2021.湖南益陽?中考真題）將[葭化為最簡二次根式，其結(jié)果是（）

AV45DV90c9mD.亞

D.-------C.-------

A.-2-222

2.（2021.廣西桂林?中考真題）下列根式中，是最簡二次根式的是（）

A.B.V4C.后D.Va+b

3.（2021?上海?中考真題）下列實(shí)數(shù)中，有理數(shù)是（）

C.p

A.\2pB.\3p\4

4.（2022?廣西桂林?中考真題）化簡的結(jié)果是（）

A.2V3B.3C.2V2D.2

＞題型03分母有理化

?【分母有理化方法】

1）分母為單項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是分母本身帶根號(hào)的部分.即：2=尋=也

2）分母為多項(xiàng)式時(shí)，分母的有理化因式是與分母相乘構(gòu)成平方差的另一部分.

日「1_V^+VK_Vtt+VF

?y[a-4b（V?-Vb）（Va+VF）a-b'

1.（2024.江蘇宿遷?中考真題）先化簡再求值：（1+京）?思，其中x=W+3.

2.（2023?湖北恩施?中考真題）先化簡，再求值：號(hào)+（1—/），其中乂=逐一2.

3.（2023?黑龍江哈爾濱?中考真題）先化簡，再求代數(shù)式（殺捻篤-熹）+三^的值，其中％=2COS45。-1.

＞題型04二次根式的混合運(yùn)算

方法技巧

運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的.

【補(bǔ)充】1）在二次根式的混合運(yùn)算中，乘方公式和實(shí)數(shù)的運(yùn)算律仍然適用；

2）在二次根式混合運(yùn)算中，要結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì).

二次根式運(yùn)算時(shí)的注意事項(xiàng):

1）結(jié)果要化為最簡二次根式或整式；

2）如果含有字母，要注意字母的取值范圍是否能使式子成立，以及其中的隱藏條件.

1.（2023?甘肅武威?中考真題）計(jì)算：V27-yX2V2-6^2.

2.（2023?四川內(nèi)江?中考真題）計(jì)算：（-1）2023+（1）~23+3tan30°-（3-7r）°+|V3-2|

3.（2024?上海?中考真題）計(jì)算：|1-V3|+242+-（1-V3）°.

4.（2024?四川涼山,中考真題）計(jì)算：+|2—V3|+2-1+cos30°—（—1）°.

＞題型05二次根式估值

1.（23-24八年級(jí)下?山西呂梁?階段練習(xí)）關(guān)于回，下列說法不正確的是（）

A.是無理數(shù)B.能與V7合并

C.整數(shù)部分是4D.一定能夠在數(shù)軸上找到表示畫的點(diǎn)

2.（2024?江蘇鹽城?中考真題）矩形相鄰兩邊長分別為夜cm、V5cm,設(shè)其面積為Scm?,則S在哪兩個(gè)連續(xù)

整數(shù)之間（）

A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5

3.（2024?河北石家莊?三模）計(jì)算/（連-魚）的結(jié)果為,這個(gè)數(shù)落在了數(shù)軸上的段.

①②③④

——一一?一一?——?《?.

/、/、

/、/X/、/\

/\/\/\/\

/\/\/\/\

III11A

01234

4.（2023?湖北荊州?中考真題）已知k=&（而+百）?（近-皆），則與k最接近的整數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

5.（2022?湖北荊州?中考真題）若3-&的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b,則代數(shù)式（2+V2a）-b的值是.

.題型06與二次根式有關(guān)的新定義問題

1.（2023?湖南婁底?一模）定義一種運(yùn)算：cos（a+。）=cosacos。一sinasin夕，cos（a—S）=cosacos^+

sinasin/?.例如：當(dāng)a=60。，￡=45。時(shí)，cos（60°-45°）=|xy+yXy=則cos75。的值為（）

AV6+V2DV6-V2「V6-V2門V6+V2

4422

2.（2020.青海?中考真題）對(duì)于任意不相等的兩個(gè)數(shù)a,b,定義一種運(yùn)算※如下：a回b=如3團(tuán)2=—=

a—b3—2

V5.那么12回4=.

3.（2020?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）用※定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m和"，規(guī)定mEln=m2n-mn—3n,

如：102=l2x2-1x2-3x2=-6.

-4-3-2-I01234

(1)求(一2)回百；

(2)若3團(tuán)62-6,求機(jī)的取值范圍，并在所給的數(shù)軸上表示出解集.

4.(2024?廣東?模擬預(yù)測)【代數(shù)推理】代數(shù)推理指從一定條件出發(fā)，依據(jù)代數(shù)的定義、公式、運(yùn)算法則、

等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等證明已知結(jié)果或結(jié)論.

【發(fā)現(xiàn)問題】小明在計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)：對(duì)于任意兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)機(jī)、n,它們的乘積q(q=nm)與較大數(shù)的和

一定為較大數(shù)的平方.

(1)舉例驗(yàn)證：當(dāng)m=4,n=5,則q+n=4x5+5=25=52

(2)推理證明：小明同學(xué)做了如下的證明：

設(shè)m<n,nt、九是連續(xù)的正整數(shù)，

/.n=m+1；q=mn,.'.q+n=mn+n=n(jn+1)=n2.

?*.q+一定是正數(shù)n的平方數(shù).

【類比猜想】小紅同學(xué)提出：任意兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的乘積與較小數(shù)的差是較小數(shù)的平方.

請(qǐng)你舉例驗(yàn)證及推理證明；

【深入思考】若p=Jq+2n+Jq—27n(m,w為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)，0<m<n,q=nm),求證：p一定是

偶數(shù).

>題型07與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究

1.(2024.四川德陽.中考真題)將一組數(shù)企,2,n,2加,71。2百,,“,同,?“，按以下方式進(jìn)行排列：

第一行V2

第二行2V6

第三行2VIV102V3

則第八行左起第1個(gè)數(shù)是（）

A.7V2B.8V2C.V58D.4夕

2.（2023?內(nèi)蒙古?中考真題）觀察下列各式：

S1=（1H--H—-=1H-----，$2=/1H-rd—-=1H-----,S3=/1H—rd---1H-----，…

1y]I2221X2722322X3732423x4

請(qǐng)利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：Si+S2+-+S5o=.

3.（2022?四川眉山?中考真題）將一組數(shù)VL2,V6,2V2,4vL按下列方式進(jìn)行排列:

V2,2,V6,2V2；

同，2V3,V14,4；

若2的位置記為（1,2）,舊的位置記為（2,3）,貝版行的位置記為.

4.（2022?四川達(dá)州?中考真題）人們把亨=0.618這個(gè)數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618

法”就應(yīng)用了黃金比?設(shè)。=亨，°=等，記Si+52=*j+磊，…，Sio。=浸3+富為，

則S]+52+…+S100=.

5.（2024?江蘇鹽城?中考真題）發(fā)現(xiàn)問題

小明買菠蘿時(shí)發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽.

提出問題

銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊(yùn)含著什么數(shù)學(xué)道理呢？

圖1

分析問題

某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成

點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)表示不同的籽.該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯(cuò)規(guī)律排列，每行有〃個(gè)籽，每列有左個(gè)籽，行

上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為d（〃，人均為正整數(shù)，n>k>3,d>0）,如圖1所示.

小明設(shè)計(jì)了如下三種鏟籽方案.

方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為,共鏟行，則鏟除全部籽的路徑總長

為;

方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為；

方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長.

解決問題

在三個(gè)方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請(qǐng)寫出比較過程，并對(duì)銷售員的操作方法進(jìn)行評(píng)價(jià).

-g:舟曲【■…弋N小

圖1圖2圖3

>題型08二次根式的應(yīng)用

1.（2022?湖南常德?中考真題）我們發(fā)現(xiàn)：V6T3=3,76+V6T3=3,、6+&+倔用=3,

6+6+16+…+:6+、6+3=3,~k般地，對(duì)于正整數(shù)a,b)如果滿足

葭個(gè)根號(hào)

b+、1+、6+-+〃+后口=耐,稱(a,6)為一組完美方根數(shù)對(duì).如上面(3,6)是一組完美方根數(shù)

n個(gè)根號(hào)

對(duì).則下面4個(gè)結(jié)論：①(4,12)是完美方根數(shù)對(duì)；②(9,91)是完美方根數(shù)對(duì)；③若(a,380)是完美方根數(shù)對(duì)，

則a=20；④若(x,y)是完美方根數(shù)對(duì)，則點(diǎn)P(x,y)在拋物線y=/-%上.其中正確的結(jié)論有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.(2024.山東荷澤.一模)已知a為整數(shù)，將其除以4所得的商記為n,余數(shù)記為k(kW3),即a=4n+k(n

是整數(shù))，我們稱a屬于數(shù)組[依，記作ae[k],則下列說法正確的是.(直接填寫序號(hào))

①-36[3]；

②若a為4的倍數(shù)，則點(diǎn)4。a)到點(diǎn)8(17,0)的距離的最小值為4舊；

③所有整數(shù)組成的數(shù)組[汨=[1]+[2]+[3]；

④若a—be[0],則a,b屬于同一個(gè)數(shù)組.

3.(2024?江蘇南京?二模)樂(w為正整數(shù))的近似值可以這樣估算：傷?半，其中根是最接近”的完全

2Vm

平方數(shù).例如：岳?籌=4.9,這與科學(xué)計(jì)算器計(jì)算內(nèi)的結(jié)果4.8989…很接近.

不妨假設(shè)yfii哦,

其中

⑴按照以上方法，估計(jì)聞的近似值(精確到0.1)；

(2)結(jié)合圖中思路，解釋該方法的合理性.

4.(2024.廣東中山.三模)下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成任務(wù).

用均值不等式求最值

若實(shí)數(shù)a>0,b>0,則有等2倆，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號(hào)，我們稱不等式―2房(a>0,6>0)

為均值不等式.

證明：a>0,b>0

—Vb)>0

a-2y[ab+/?>0

a+b>2y[ab

a+b/—

???--->\ab

由上可知，①當(dāng)a+b為定值的時(shí)候，房有最大值；

②當(dāng)AO為定值的時(shí)候，有a+b最小值.

所以，利用均值不等式可以求一些函數(shù)的最值.

例：已知1>0,求函數(shù)y=%+：的最小值.

解：?.,%>0

1

一〉0

x

y=X+->2lx--=2,當(dāng)且僅當(dāng)％=工，即％=1時(shí)，等號(hào)成立

XyXX

.??當(dāng)即久=1時(shí)，函數(shù)y=久+：取最小值，最小值為2.

任務(wù)：

(1)若x>0,則當(dāng)％=時(shí)，代數(shù)式3久+工取最小值，最小值為；

X

(2)已知若％>2,函數(shù))/=%+三，試說明當(dāng)久取何值時(shí)，y取得最小值，并求出y的最小值；

(3)如圖，已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=：(%>0)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)4(一1,1),則AA。尸的面積的最小值為

第一章數(shù)與式

第04講二次根式

（思維導(dǎo)圖+2考點(diǎn)+2命題點(diǎn)12種題型（含6種解題技巧））

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航??題型04二次根式與數(shù)軸

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航命題點(diǎn)二二次根式的運(yùn)算

03考點(diǎn)突破?考法探究＞題型01應(yīng)用乘法公式求二次根式的值

考點(diǎn)一二次根式的相關(guān)概念＞題型02最簡二次公式的判斷

考點(diǎn)二二次根式的性質(zhì)與化簡＞題型03分母有理化

考點(diǎn)三二次根式的運(yùn)算??題型04二次根式的混合運(yùn)算

04題型精研?考向洞悉??題型05二次根式估值

命題點(diǎn)一二次根式的性質(zhì)與化簡??題型06與二次根式有關(guān)的新定義問題

＞題型01二次根式有意義的條件＞題型07與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究

＞題型02與二次根式有關(guān)的開放性試題??題型08二次根式的應(yīng)用

??題型03利用二次根式的性質(zhì)化簡

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

中考考點(diǎn)考直頻率新課標(biāo)要求

二次根式的相關(guān)概念★★了解二次根式、最簡二次根式的概念

二次根式的性質(zhì)★★掌握二次根式的性質(zhì)

二次根式的運(yùn)算★★了解二次根式（根號(hào)下僅限于數(shù)）加，減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)

用它們進(jìn)行簡單的四則運(yùn)算

【考情分析】中考中，對(duì)二次根式的考察主要集中在對(duì)其取值范圍、化簡計(jì)算等方面，其中取值范圍類

考點(diǎn)多出選擇題、填空題形式出現(xiàn)，而化簡計(jì)算則多以解答題形式考察.此外，二次根式還常和銳角三角

函數(shù)、實(shí)數(shù)、其他幾何圖形等結(jié)合出題，難度不大，但是也多屬于中考必考題.

知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航

被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)

定義形如Va(a>0)的式子

能判斷二次就是否是最簡二次定義

取簡一不含分母

能判斷二個(gè)二次根式是否是同類二次演根式被開方數(shù)I----------------

相關(guān)概念-------------------『不含能開的盡方的因數(shù)或因式

\a\a2,匣都是非負(fù)數(shù)

f同類二

亞a20時(shí)聯(lián)系性質(zhì)次中艮式被開方數(shù)相同的二次根式

取值范圍不同亞與(?)--20非負(fù)性

知

學(xué)

識(shí)

意義不同區(qū)別法雌(向2=q

梳

運(yùn)算結(jié)果不同指

二次根式亞=|小一儂。)

理

導(dǎo)

y/aJb=y/ab(o>0?Z>>0)-a(a<0)

4邛(應(yīng)0,6>0)運(yùn)算加減一相加兩不變

y/a-y[b=^ab(t7>0,b>0)

運(yùn)算

處網(wǎng)應(yīng)0,b>0)

1_&+/分母有理化

^a-y/ba-b混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)混合運(yùn)算相同

考點(diǎn)突破?考法探究I

考點(diǎn)一二次根式的相關(guān)概念

1.二次根式

二次根式的定義：一般地,我們把形如VH(a'O)的式子叫做二次根式，一”稱為二次根號(hào)，a叫做被

開方數(shù).

【易錯(cuò)易混】

1)二次根式的兩個(gè)要素(判斷依據(jù))：含有二次根號(hào)“「,且根指數(shù)為2；被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；

2)二次根式定義中規(guī)定，任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結(jié)果，如：〃，-我都

是二次根式；

3)二次根式的被開方數(shù)a可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)式子，但都要滿足a20；

4）在具體問題中，如果已知?dú)v是二次根式，相當(dāng)于給出了aNO.

2.二次根式有意義的條件

1）單個(gè)二次根式，如歷有意義的條件是a'O；

1

2）二次根式作為分母時(shí)，如.有意義的條件是。>0；

yja

1

3）二次根式與分式相加，如G+五有意義的條件是@20且b>0.

Vo

針對(duì)訓(xùn)練

1.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）在函數(shù)，=熹++中，自變量x的取值范圍是.

【答案】x>—3且％豐-2

【分析】本題考查了求自變量的取值范圍，根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件列出不等式組

解答即可求解，掌握二次根式有意義的條件和分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可得，戶i?3

1%+2W0

解得%>一3且％W-2,

故答案為：尤>一3且久H—2.

2.（2023?四川綿陽?中考真題）使代數(shù)式高+7^育有意義的整數(shù)支有（）

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

【答案】B

【分析】根據(jù)組合代數(shù)式有意義的條件，分別根據(jù)分式有意義的條件和二次根式有意義的條件，列不等式

求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：

%+3>0,4—3%>0

解得一3<xW%

二使代數(shù)式有意義的整數(shù)有-2,-1,0,1.

共有4個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了代數(shù)式有意義的條件，關(guān)鍵是利用分式的分母不為零和二次根式的被開方數(shù)為非

負(fù)數(shù)，列不等式（組）求解，是常考題型，比較簡單.

考點(diǎn)二二次根式的性質(zhì)與化簡

二次根式的性質(zhì)

1）式子6（a20）既表示二次根式，又表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根（傷20）,所以仿具有雙重非負(fù)性;

2）（VH）2=a{a>0）,即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身；

3）V^=\a\=l&（yR即一個(gè)數(shù)平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對(duì)值.

二次根式的化簡

二次根式的化簡：1）利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡；

2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡.

4ab=4a(aN0,b>0)

【易錯(cuò)易混】

1.在使用FF=Va*VK（a>0/6>0>時(shí)一定要注意a>0/b>0的條件限制.

2.在使用嗎=JI（a20,b>0）時(shí)一定要注意a20,b>0的條件限制.

yjbAJb

針對(duì)訓(xùn)練

1.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）計(jì)算每二不所得結(jié)果是（）

A.3B.V6C.3A/5D.±3V5

【答案】C

【分析】本題考查化簡二次根式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，化簡即可.

【詳解】解:V92—62=V81-36=V45=3事）；

故選C.

2.（2024?四川樂山?中考真題）已知l<x<2,化簡—1尸+及一2|的結(jié)果為（）

A.-1B.1C.2.x—