專題10圓的基本性質

考點類型

考點5：弧、弦、圓心角關系

考點1：圓的基本認識

考點6：圓周角定理

考點2：垂徑定理

模塊四圖形的性質

考點7：圓周角定理推論

講圓的基本性質

考點3：垂徑定理的推論10

考點8：半徑相等——等腰三角形

考點4：垂徑定理的實際應用

考點9：圓的內接四邊形

口^」知識一遍過

(-)圓的相關概念

(1)圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形.如圖所示的圓記做。。

(2)弦與直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓內最長的弦.

(3)?。簣A上任意兩點間的部分叫做弧，小于半圓的弧叫做劣弧，大于半圓的弧叫做優弧.

(4)圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.

(5)圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓還有一個交點的角叫做圓周角.

(6)弦心距：圓心到弦的距離.

(7)確定圓的條件：過已知一點可作無數個圓,過已知兩點可作無數個圓,過不在同一條直線上的三點可

作一個圓

(二)垂徑定理及推論

(1)定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧;

如圖：CE=,弧BC=MBD,弧AC=3!HAD

(2)推論：①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧;

②弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

（3）延伸：根據圓的對稱性，如圖所示，在以下五條結論中：

①弧AC=MAD；②弧BD=MCB；③CE=DE；@AB±CD；⑤AB是直徑.

只要滿足其中兩個，另外三個結論一定成立，即推二知三.

（三）弧、弦、圓心角的關系

（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦也相等.

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余

各組量都分別相笠.

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關系

三者關系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，

一項相等，其余二項皆相等。

（四）圓周角定理及推論

（1）定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.如圖a,

ZA=-ZO.

2

（2）推論：

①在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.如圖b,ZA=ZC.

②直徑所對的圓周角是直角.如圖c,ZC=90°.

③圓內接四邊形的對角互補.如圖a,ZA+ZC=180°,ZABC+ZADC=180°.

亳2考點一遍過

考點1：圓的基本概念

典例1：（2022上?九年級單元測試）如圖，點4,0,D,點、C,D,E以及點B,0,C分別在一條直線上,

則圓中弦的條數為（）

C

A.2條B.3條C.4條D.5條

【答案】A

【分析】根據弦的定義進行分析，從而得到答案.

【詳解】解：圖中的弦有BC,CE共2條.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了弦的定義，理解弦的定義是解決本題的關鍵.

【變式1］（2023上?安徽六安?九年級?？茧A段練習）若點尸為。。內一點，過點尸的最長弦長為8,最短弦

長為4,則線段OP長為（）

A.2B.V3C.3D.2V3

【答案】D

【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題的關鍵是根據直徑是圓中最長的弦，知該圓的直徑是8；最

短弦即是過點P且垂直于過點P的直徑的弦；根據垂徑定理即可求得CP的長，再根據勾股定理求得OP的長.

【詳解】解：連接。C,如圖所示：

根據題意得：AB=8,CD=4,CD14B于點P,

則。C==4,

CD1AB,

???CP=-CD=2,

2

OP=70c2-cp2=V42-22=2V3,

故選：D.

【變式2］（2023上?山東泰安?九年級東平縣實驗中學?？茧A段練習）如圖，在RtAABC中,AB1BC,AB=6,

BC=4,P是△ABC內部的一個動點，滿足NP4B=NPBC,則線段CP的長的最小值為（）

A

A.2B.4C.5D.7

【答案】A

【分析】本題考查點與圓位置關系、圓周角定理、勾股定理首先證明點P在以48為直徑的。。上，當。、P、

C共線時PC最小，利用勾股定理求出。。即可解決問題.

【詳解】解：如圖所示

AB1BC,

???乙ABP+乙PBC=90°,

???Z.PAB=Z.PBC

???/.BAP+乙ABP=90°,

??.Z.APB=90°,

.?.點P在以力B為直徑的。。上，當0、P、C共線時PC最小，

在RtABC。中，AB=6,BC=4,

OB=-AB=3,

2

?-.OC=yJOB2+BC2=5,

?.PC=OC-OP=5-3=2.

???PC最小值為2.

故選：A.

【變式3］（2023下?江蘇無錫?七年級?？茧A段練習）如圖，一塊四邊形綠化園地，四角都做有半徑為R的

圓形噴水池，則這四個噴水池占去的綠化園地的面積為（）

A.2TTR2B.4TTR2C.TIR2D.不能確定

【答案】C

【分析】根據圖形的特征，四邊形內角和為360。，可得四個噴水池的面積之和正好等于一個半徑為R的圓

的面積.

【詳解】解：因為四邊形內角和為360。，

所以四個噴水池的面積之和正好等于一個半徑為R的圓的面積，

即這四個噴水池占去的綠化園地的面積為7TR2.

故選：C

【點睛】本題主要考查了四邊形的內角和以及圓面積公式，解答本題的關鍵是根據四邊形的內角和為360。。

得到四個噴水池的面積之和正好等于一個半徑為R的圓的面積.

考點2：垂徑定理

典例2：（2023上?陜西渭南?九年級統考期末）如圖，一條公路的轉彎處是一段圓?。▓D中的弧初），點。是

這段弧所在圓的圓心，點C是上一點，0C12B,垂足為點D,AB=300m,CD=50m,則弧池所在圓

的半徑是（）

B.250mC.300mD.350m

【答案】B

【分析】本題主要考查垂徑定理的應用、勾股定理的應用，關鍵在于設出半徑為廠后，用廠表示出。ZXOB的

長度.根據題意，可以推出4D=8。=150,若設半徑為r,貝UOD=r—50,OB=r,結合勾股定理可推

出半徑r的值.

【詳解】解：???OC1AB,

AD=DB=150m,

在RtAA。。中，。42=。。2+4。2,

設半徑為r得：r2=（r-50）2+1502,

解得：r=250m,

???這段彎路的半徑為250m；

故選擇:B.

【變式1】（2023上?內蒙古通遼?九年級校聯考期中）回。的半徑是10,弦4BIICD,AB=16,CD=12,則

弦48與CD的距離是（）

A.2B.14C.2或14D.7或1

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理的應用.作。E于E,OF1CD于尸，由垂徑定理得4E=（48=8,CF=

\CD=6,由于4BIICD,易得E、0、/三點共線，在Rt△40E和Rt△OCF中，利用勾股定理分別計算出。E與

OF,然后討論：當圓心。在弦4B與CD之間時，與CD的距離=OF+OE；當圓心。在弦2B與CD的外部

時，與的距離=。/一OE.

【詳解】解：如圖，作。EJ.4B于E,OF_LCD于凡連。力，OC,OA=OC=10,

----、P

W

^AE=lAB=Q,CF=lCD=6,

^ABWCD,

SE、0、尸三點共線，

在RtAAOE中，0E=70A2-4￡2="。2-82=6,

在RtAOCF中，。尸=1。。2-CF?="。2—62=8,

當圓心。在弦48與之間時，AB與CD的距離。尸+0E==8+6=14；

當圓心。在弦4B與CD的外部時，與CD的距離OF-011=8-6=2.

所以28與CD的距離是14或

故選：C.

【變式2］（2023上?江蘇鹽城?九年級景山中學?？茧A段練習）兩個同心圓，大圓的弦與小圓相切于點C,

則力B=6,那么該圓環的面積為（）

A.37rB.67rC.97rD.127T

【答案】C

【分析】連接OC、OA,構造出RtiaAOC,求出OA2-OC2的值，再乘以it即為環形的面積.

【詳解】解：連接。C、0A,則。CI3AB,

在RtEIAOC中，

OA2-OC2=AC2=（-AB）2=9,

2

所以環形的面積為0A2兀-dC2n=9n,

故選：C.

【點睛】本題考查了切線的性質，勾股定理以及圓面積的計算公式.

【變式3］（2023廣西欽州?統考一模）如圖，點A,B,C,E在。。上,0C1ZB于點。/E=22.5°,OB=2vL

則"的長為（）

EA

5

c

A.等B.雪C.V2TTD.n

【答案】B

【分析】連接。4則CM=OB=2/，根據垂徑定理得到品=AC,由圓周角定理得到乙40C=2乙E=45°,

根據弧長公式計算出熊的長，即可得到糜的長.

【詳解】解：連接。力，貝|。4=。8=2近，

團。C1于點D,

回阮=AC,

團NE=22.5°,

^AOC=2乙E=45°,

團紀的長為竺經坦=每，

1802

回肥的長為雪.

故選：B.

【點睛】此題考查了垂徑定理、圓周角定理、弧長公式等知識，熟練掌握垂徑定理、圓周角定理是解題的

關鍵.

考點3：垂徑定理的推論

典例3：（2023上?廣西南寧?九年級南寧市第四十七中學校聯考階段練習）如圖，點4B在。。上，直徑MN1

48于點C,下列結論中不一定成立的是（）

A.AC=CBB.OC=CNC.AN=BND.AM=BM

【答案】B

【分析】本題主要考查的是垂徑定理.由題意可知為垂直于弦的直徑，根據垂徑定理即可做出正確的判

斷.

【詳解】解：根據MN為。。的直徑，且MN14B,垂足為C,則是垂直于弦的直徑，滿足垂徑定理.

所以MN是4B的垂直平分線,

因而4C=C8,AN=BN,AM=BM,都是正確的.

所以選項B、OC=CN不一定成立.

故選：B.

【變式1］（2023上?遼寧葫蘆島?九年級校考期中）如圖，以。為圓心的MN,C、。三等分MN,連MN、CD,

A.乙COM=乙CODB.若OM=MN,貝此408=20。

C.MN||CDD.MN=3CD

【答案】D

【分析】本題考查了圓周角性質，圓心角、弧、弦的關系，垂徑定理.根據圓心角、弧、弦的關系得到弧

相等，再利用等邊三角形的性質得到乙40B=20。，再利用垂徑定理得到弧相等進而得到平行線，據此逐一

判斷即可.

【詳解】解：由題意得==

EIMC=CD=DN,OM=ON=OC=OD,

SMN<MC+CD+DN^3CD,故D選項的結論錯誤;

EIM€=CD=Em,

0乙COM=4COD=4DON,故A選項的結論正確；

如圖，連接ON

0OM=MN,OM=ON,

0AMON是等邊三角形，

B^MON=60°,

EIZXOB=jzMOW=20°,故B選項的結論正確；

作半徑OEICO,如圖，

meg=ETE,

=ME,

BOE1MN,

B1MN||CD,故C選項的結論正確；

故選：D.

【變式2］（2023上?甘肅武威?九年級校聯考階段練習）如圖，CD是。。的直徑，4B是非直徑的弦，4B與CD

相交于點從以下四個條件中任取一個，其中不能得到CD14B的有（）

A

A.AM=BMB.OM=CMC.AC=BED.AD=BD

【答案】B

【分析】本題考查了垂徑定理的逆定理，解題的關鍵是掌握垂徑定理的逆定理."平分弦(不是直徑)的直

徑垂直于弦

【詳解】解：A.^AM=BM,CD是。。的直徑，AB是非直徑的弦，

SAB1CD,故A不符合題意；

B.根據。M=CM無法判斷COLAB,故B符合題意；

C.=扉，CD是。。的直徑，是非直徑的弦，

SAB1CD,故C不符合題意；

D.EL40=CO是O。的直徑，4B是非直徑的弦，

SAB1CD,故D不符合題意.

故選：B.

【變式3](2023上?山東濟寧?九年級統考期中)如圖，平面直角坐標系中，OP與x軸分別交于A、8兩點，

點尸的坐標為(3,—1),4B=2百，若將OP向上平移，則OP與x軸相切時點尸坐標為()

A.(3,2)B.(3,3)C.(3,4)D.(3,5)

【答案】A

【詳解】當尸移到P'點時，OP與無軸相切，過尸作直徑MN14B與連接4P,

由垂徑定理得：AD=BD=^AB=V3,

勸尸=|-1|=1,

由勾股定理得：AP=7AD2+PD2=2,

SPP'=2+1=3,

I3P(3,-1),

EIP'的坐標是(3,2),

故選A.

【分析】本題考查垂徑定理，切線的性質，勾股定理，能理解題意畫出圖形和正確作出輔助線是解題的關

鍵.

考點4：垂徑定理的實際應用

典例4：(2024上?河北保定?九年級統考期末)筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光

啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1,筒車盛水桶的運行軌道是以軸心。為圓心的圓，

如圖2,已知圓心。在水面上方，且。。被水面截得的弦力B長為8米，。。半徑長為5米.若點C為運行軌

道的最低點，則點C到弦所在直線的距離是()

A.1米B.3米C.2米D.1.5米

【答案】C

【分析】本題考查垂徑定理的應用，勾股定理等知識.連接0C交4B于點E.利用垂徑定理以及勾股定理求

出。E,可得結論.

【詳解】解：連接。C交AB于點E.

由題意。CLAB,

04E=BE=^AB=4（米），

在Rtz14E。中，0E=yJOA2-AE2=V52-42=3（米），

SCE=OC-OE=5-3=2（米），

故選：C.

【變式1］（2023上?浙江溫州?九年級統考期中）"圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣

泛的應用，例如古典園林中的門洞如圖1,其數學模型為如圖2所示.園林中的一個圓弧形門洞的地面跨徑

4B=1米，￡＞為圓上一點，DC14B于點C,且CD=BC=0.7米，則門洞的半徑為（）

圖1圖2

A.1.7米B.1.2米C.1.3米D.1.4米

【答案】C

【分析】過。作。N14B于N,過。作DMJ.ON于由垂徑定理得AN=8N=再證四邊形DCNM

是矩形，則MN=CD,DM=CN=BC+BN,設該圓的半徑長為r米，然后由題意列出方程組，解方程組

即可.

【詳解】解:過。作。NJ.AB于N,過。作DM_LON于M,如圖所示:

o

貝！MN=BN=^AB=0.5米，ONC=乙DMN=90°,

0￡）C1AB,

0ZDC/V=90°,

團四邊形DCNM是矩形，

SMN=CD=0.7,OM=ON-0.7,DM=CN=BC+BN=1.2,

設該圓的半徑長為r米，

根據題意得，嬴％）匚”品2

解得：｛。丁匕2，

即門洞的半徑長為1.3米，

故選：C.

【點睛】本題主要考查了垂徑定理的應用、勾股定理的應用，矩形的判定與性質，以及二元二次方程組的

應用，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關鍵.

【變式2]（2024上?黑龍江齊齊哈爾?九年級統考期末）一次綜合實踐主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，

如何測量一次性紙杯杯口的直徑？小聰同學所在的學習小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯

口，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于四點,然后利用刻度尺量得該紙條的寬為7cm,4B=8cm,

CD=6cm.請你幫忙計算紙杯的直徑為（）

A.5cmB.9.6cmC.10cmD.10.2cm

【答案】C

【分析】本題考查垂徑定理的應用，勾股定理，關鍵是通過作輔助線構造直角三角形，由垂徑定理，勾股

定理求出。M的長.由垂徑定理求出BN,DM的長，設OM=x,由勾股定理得到/+42=（7-x/+32,求

出x的值，得到。M的長，由勾股定理求出。。長，即可求出紙杯的直徑長.

【詳解】解：如圖，過點。做MN1AB于點N,交CD于點

0CD||AB,

MN1CD,

SDM=-CD=-x6=3,BN=-AB=-x8=4,

2222

設。M=%,

由ON=MN—OM=7-x,

S10M2+MD2=OD2,ON2+BN2=OB2,

SOM2+MD2=ON2+BN2,

0x2+32=（7-%）2+42

團％=4,

團。M=4,

0OD=V32+42=5,

回紙杯的直徑為5x2=10.

故選：C.

【變式3]（2023上?浙江杭州?九年級杭州市豐潭中學?？计谥校┖贾輥嗊\會開幕式出現一座古今交匯拱底

橋，橋面呈拱形.該橋的中間拱洞可以看成一種特殊的圓拱橋，此圓拱橋的跨徑（橋拱圓弧所對的弦的長）

3.2m,拱高（橋拱圓弧的中點到弦的距離）約為2m,則此橋拱的半徑是（）

A.1.62mB.1.64mC.1.14mD.3.56m

【答案】B

【分析】該題主要考查了垂徑定理、勾股定理及其應用問題；解題的關鍵是靈活運用有關定理來分析、判

斷、推理或解答.設圓心為0,作0D1A8于點D,。。的延長線交圓弧為點C,設半徑為Rm,根據垂徑定理

得4D=BD=1.6m,?！?=(2-R)m,由勾股定理得：/?2=1.62+(2-/?)2,即可求出答案.

【詳解】解：如圖，設圓心為。，作。。148于點。，。。的延長線交圓弧為點C,則C為優弧48的中點，設

半徑為Rm,

AD—BD--AB—1.6m,CD—2m,

2

.--0D=(2—R)m,

由勾股定理得：。42=。02+4￡)2,

AR2=1.62+(2-R)2,

解得:R=1.64,

故選：B.

考點5：弧、弦、圓心角關系

典例5：(2023上?遼寧鞍山?九年級統考期末)如圖，點A,B,C,。在。。上，乙40C=132°,點2是弧4C的

中點，則AD的度數是()

A.66°B.35.5°C.33°D.24°

【答案】C

【分析】本題考查了同弧或等弧所對的圓心角相等，圓周角定理.熟練掌握同弧或等弧所對的圓心角相等,

圓周角定理是解題的關鍵.

如圖，連接。8,則肪=協3乙408=1乙40C,由圓周角定理可得4。=(乙4。8,計算求解即可.

【詳解】解：如圖，連接0B,

0AB=況，

回乙40B=乙BOC=-Z.AOC=66°,

2

EL4B=AS,

1

0ZD=-Z.AOB=33°,

2

故選：C.

【變式1X2023上?河南周口?九年級校考期中）如圖,2B為o。的直徑,C、D是。。上的兩點，N84C=20°,

AD=CD,貝吐口4c的度數是（）

【答案】B

【分析】此題考查了圓周角定理，以及弦，弧，圓心角三者的關系，作出輔助線，找出未知角與己知角的

聯系，是解此題的關鍵；

根據圓周角定理和弦，弧，圓心角三者的關系即可得到結論.

【詳解】連接。C,。。如圖所示，

???ABAC與NBOC所對的弧都是品，4BAC=20°,

.-.乙BOC=2/.BAC=40°,

AAOC=140°,

又???AD=CD,

.-.乙COD=^AOD=-2Z.AOC=70°,

???NOAC和NO。。所對的弧者B是cs,

1

ADAC=-2ACOD=35°,

故選：B.

【變式2］（2023上,甘肅平涼,九年級校考階段練習）如圖所示，在。。中，AB=2C0,那么（）

A.AB>2CDB.AB<2CDC.AB=2CDD.無法比較

【答案】B

【分析】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關系和三角形的三邊關系，在圓上截取物=6,再根據"根據

三角形的三邊關系"可解，熟練掌握圓心角、弧、弦之間的關系和三角形的三邊關系是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，

在圓上截取05=CD,

0AB=2c0,

0AB=CE,

^\AB=CE,

根據三角形的三邊關系知，CD+DE2CD〉CE=AB,

EL4B<2CD,

故選：B.

【變式31（2022上?河北廊坊?九年級?？计谥校┤鐖D，眈=⑶=碓,已知4B是O。的直徑，=35°,

【答案】C

【分析】由此=6=ETE,/.COD=35°,可求得NB。。=乙EOD=4COD=35°,繼而可求得乙40E的度數.

【詳解】解：?.?4'=6=ETE,ACOD=35°,

???4BOC=乙EOD=乙COD=35°,

.-./.AOE=180°-4EOD-乙COD-Z.BOC=75°.

故選：C

【點睛】此題考查了弧與圓心角的關系，掌握數形結合思想的應用是解題的關鍵.

考點6：圓周角定理

典例6：（2023上?遼寧盤錦?九年級?？茧A段練習）如圖，力8是。。直徑，。、￡?是。。上的兩點，且。。IIBC,

連接4C和BD,下列四個結論中：@AD=CD；②。。垂直平分力C；③乙AOD=24DBC；@BD=AC.所

有正確結論的序號是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

【答案】A

【分析】本題考查了圓周角定理、垂徑定理等知識，根據圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關系

判斷求解即可，熟練掌握圓周角定理、垂徑定理是解題的關鍵.

【詳解】回力B是。。直徑，

0ZC=90°,

0BC1AC,

回。。||BC,

回。01AC,

團。。平分ZC,

團。。垂直平分/C,

故②正確，符合題意；

EL4S=m

故①正確，符合題意；

國乙4。。=2乙DBC,

故③正確，符合題意；

根據題意，無法求解BD=4C,

故④錯誤，不符合題意；

故選：A.

【變式1］（2023上?江蘇南京?九年級統考期中）如圖，。。經過菱形A8CD的頂點A,B,C,頂點D在。。

內，延長A。，CD與。。分別交于點E,F,連接BE,BF,下列結論：①BE=BF；②4S=AF=FF；

③N4BC=900+;NEBF,其中正確的結論是（）

B.①③C.②③D.①②③

【答案】B

【分析】①根據菱形的性質得出N4=NC,根據相同的圓周角所對的弦相等，得出BE=BF,即可判斷①

正確；

②根據菱形的性質得出28=8C,AB\ICD,BCWAD,根據平行線的性質得出ZF=44BF,乙E=^CBE,從

而得出NF=A4BF=NE=NCBE,肪=和=廓=），但不能確定48=砰，判斷②錯誤；

③先證明NC=2N4BF,根據平行線的性質得出N4BC+NC=180。，根據乙48F=NCBE,得出4zCBE+

Z.EBF=180°,求出2NCBE=90°-|zFBF,根據4ABe=/.ABF+Z.CBE+即可判斷③正確.

【詳解】解：①團四邊形4BCD為菱形，

團乙4=乙C,

團BE=BF,

WE=BF,故①正確；

②團四邊形/BCD為菱形，

團AB=BC,ABHCDfBC\\AD,

24B=BC,

團乙E=ZF,

國4BIICF,BC\\AEf

國乙F=4ABF,乙E=cCBE,

azF=Z-ABF=Z,E=Z-CBE,

團舫=AF=既=CE,

不能確定加=釬，故②錯誤；

③團加=妤=阮*="

國用F=2AF,

0zC=2Z.ABFf

BABWCF,

團乙4BC+4c=180°,

^ABF+乙EBF+Z.CBE+2乙4BF=180°,

團匕ABF=乙CBE,

⑦4乙CBE+乙EBF=180°,

EI2ZCBF=90°--Z.EBF,

2

⑦乙ABC=/-ABF+Z,CBE+乙EBF

=2乙CBE+Z.EBF

1

=90。-"EBF+NEBF

2

=90°+|zEBF,故③正確；

綜上分析可知，①③正確.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質，平行線的性質，圓周角定理，圓周角和弦的關系，解題的關鍵是熟

練掌握圓的基本性質和菱形的性質.

【變式2］（2023上?廣東江門?九年級?？计谥校┤鐖D，在。。中，P是弦的中點，CD是過點P的直徑，則

下列結論中不正確的是（）

C

D

A.AB1CDB./.AOD=ABODC.AD=BDD.PO=PD

【答案】D

【分析】本題主要考查了垂徑定理的推論，弧、弦、圓心角的關系等知識，理解并掌握垂徑定理及其推論

是解題關鍵.平分弦的直徑垂直于這條弦，且平分這條弦所對的兩條??；同弧或等弧所對的弦相等，所對

的圓心角也相等，據此即可獲得答案.

【詳解】解：SP是弦48的中點，CD是過點P的直徑，

EL4B1CD,#9=附，AP=BP,故選項A正確，不符合題意；

BAD=BD,

國乙4。。=4300,AD=BD,故選項B,C正確，不符合題意；

已知條件無法確定P。=PD,故選項D不正確，符合題意.

故選：D.

【變式3］（2022上?湖南長沙?九年級長沙市雅禮實驗中學?？计谥校┤鐖D，在。。中，4。、。、8是。。上

四點，0C、。。交48于E、F,且力E=BF.下列結論不正確的是（）

rC

A

A.OE=OF

B.標=的

C.AC=CD=DB

D.CDWAB

【答案】C

【分析】連接。a,OB,可以利用SAS判定△04E三△OBF,根據全等三角形的對應邊相等，可得到OE=OF,

判斷A選項正確；由全等三角形的對應角相等，可NB4D=N4DC得至IJ乙40E=NBOF,即乙40C=乙BOD,

根據圓心角、弧、弦的關系定理得出AC=屬0,判斷B選項正確；連接4D.由AC=的，根據圓周角定理

得出，貝!]CDII4B,判斷D選項正確；由NB。。=乙4。。不一定等于NCOD,得出此1=仍不一定等于第，那

么AC=BD不一定等于CD,判斷C選項不正確.

【詳解】解：連接。40B,

0A-0B,

Z.OAB=Z.OBA.

在八CME與AOBF中，

-0A=0B

Z.OAE—/.OBF，

.AE=BF

???△OAE=AOBF(SAS),

OE=OF,故A選項正確；

???NAOE=NBOF,即N40C=N8。。,

=KD,故B選項正確；

連接力，

B

w=血

Z.BAD—Z.ADC,

???CDWAB,故D選項正確;

???LBOD=44。。不一定等于〃。。，

0AC="不一定等于6,

EL4C=BD不一定等于CD,故C選項不正確.

故選：C.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，圓心角、弧、弦的關系定理，圓周角定理，平行線的判定，

難度適中.準確作出輔助線利用數形結合思想是解題的關鍵.

考點7：圓周角定理推論

典例7：（2024上?安徽安慶?九年級統考期末）如圖，在。。中，48為直徑，C為圓上一點，ABAC的角平分

線與O。交于點D,若乙4DC=20。，則乙4CD的大小為（）

A.120°B.125°C.130°D.135°

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角定理及其推論、三角形內角和定理、角平分線的定義等知識，根據圓周角定理

和直徑所對圓周角是直角，結合三角形內角和定理即可得出答案，牢記各知識點是解題的關鍵.

【詳解】解：,??乙4。。=20。

NB=20°

在。。中，為直徑

.-.Z.XCB=90°

ABAC=180°-90°-20°=70°

???AD平分NB4C

???^DAC=35°

AACD=180°—35°-20°=125°

故選：B.

【變式1】(2023上?河北石家莊?九年級統考期末)如圖，ABAC=40。,。。的圓心。在48上，且與邊4C相切

于點D,與AB交于點E,F,連接FD,則乙4FD=()

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】C

【分析】本題考查了切線的性質，圓周角定理，連接。。，根據切線的性質得到乙4。。=90。，根據直角三角

形的性質得到乙力。。=90°-40°=50°,根據圓周角定理即可得到結論，正確的作出輔助線構造直角三角形

是解題的關鍵.

【詳解】連接0D,

團O。與邊4C相切于點

國匕ADO=90°,

^BAC=40°,

^AOD=90°-40°=50°,

國匕AFD=-^AOD=ix50°=25°,

22

故選：c.

【變式2］（2024上?北京西城?九年級統考期末）如圖，AB為。。的直徑，弦CO交48于點E,BE=BC.若

^CAB=40°,則4以4。的大小為（）

A.45°B.50°C.55°D.65°

【答案】D

【分析】由直徑所對的圓周角是直角，結合直角三角形兩銳角互余得到乙8二50。，再由等腰三角形性質及

三角形內角和定理即可得到4雙方=乙CEB=65°,再由圓周角定理即可得到答案.

【詳解】解：???為。。的直徑，

???乙ACB=90°,

???Z.CAB=40°,

.?.z_B=90°-40°=50°,

???BE=BC,

乙ECB=乙CEB=—0°-50°=65°,

2

?：BD=

???4BAD=乙BCE=65°,

故選：D.

【點睛】本題考查圓中求角度，涉及圓周角定理、直徑所對的圓周角是直角、直角三角形兩銳角互余、等

腰三角形性質、三角形內角和定理等知識，熟練掌握圓周角定理是解決問題的關鍵.

【變式3］（2023上?浙江杭州?九年級杭州市十三中教育集團（總校）?？茧A段練習）如圖，等腰△ABC內接

于。O，AB=AC,連結OC,過點B作4?的垂線交。。于點。，交。。于點M,交/C于點以連結AD,若ND=a,

A.90°—aB.60°—aC.90°—2aD.45°+a

【答案】A

【分析】本題考查了同弧所對的圓周角相等、全等三角形的判定與性質等知識點，連接。4、0B,證AAOB三

△力。C可得NOAB=ZOXC=jzBXC,求出NB4C,再結合。4=OC即可求解.

【詳解】解：連接。4、OB,如圖所示：

EL4B=AC,OB=OC,OA=OA,

0AAOBSAAOC

^AOAB=^OAC=-Z.BAC

2

團乙BCA=Z-D=a,AB=AC,

^BAC=180°-2(BCA=180°-2a

國乙OAC=90°-a

回。4=OC

團乙OCA=匕OAC=90°-a

故選：A

【變式4］（2023上?吉林長春?九年級校考期末）如圖,AB是半圓。的直徑，點C,D在半圓。上.若N4BC=55°,

則N8DC的度數為（）

C.135°D.125°

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半.半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑.先根據圓周角定理得

到乙4c8=90。，則利用互余計算出N4的度數，然后根據圓內接四邊形的性質計算出48DC的度數.

【詳解】解：?MB是半圓。的直徑，

AACB=90°,

ZX=90°-/.ABC=90°-55°=35°,

???乙BDC+^A=180°,

.-./.BBC=180°-35°=145°.

故選：B.

【變式51（2023上?湖北武漢?九年級武漢市武珞路中學?？茧A段練習）如圖，48是。。切線，點兒E是。。

上的點，CD的直徑，乙4BC=NE=45。，△BCD面積為27,貝的長為（）

A.3B.2V3C.4D.3顯

【答案】D

【分析】此題考查了圓切線的性質，圓周角的定理，弦、弧、圓心角的關系，等腰直角三角形的判定與性

質，解題的關鍵是靈活運用相關性質進行求解.連接。力、AD.AC,利用圓切線的性質定理、圓周角定理等

性質可得4DIIBC,BC=AD,再根據△BCD的面積為27,即可求解.

【詳解】解：連接。4AD.AC,如下圖:

團CD為直徑

團匕CAD=90°,

固4力=AD

^ACD=Z.E=45°,Z.AOD=2乙E=90°

回△AC。、△AOD為等腰直角三角形，

回匕OAD=/-OAC=45°,

團4B與團O相切

回乙OAB=90°,

團4CAB=45°,

團乙4cB=ACAD=90°,△/CB為等腰直角三角形，

回BC||AD,AC=BC,

2

^ShBCD=-BCxAC=-BC=27,

解得BC=3V6,

故選D.

【變式6](2023上?山東濱州?九年級統考期中)如圖，OC過原點0,且與兩坐標軸分別交于點4、B,點人的

坐標為(0,5),點M是第三象限內附上一點，Z.BMO=120°,則。。的半徑為()

【答案】B

【分析】由題意知。4=5,由N力。B=90。，可得為。。的直徑，由4、B、M、。四點共圓，可求NOAB=

180°-ZBMO,則乙48。=30。，然后求直徑，求半徑即可.

【詳解】解：團點2的坐標為(0,5),

團。力=5,

團乙40B=90°,

0XB為OC的直徑，

囿4、B、M、。四點共圓，

IS^OAB=180°-4BMO=60°,

0ZX5O=30°,

SAB=20A=10,

團半徑為5,

故選：B.

【點睛】本題考查了90。的圓周角所對的弦為直徑，圓內接四邊形對角互補，含30。的直角三角形，三角形

內角和定理等知識.熟練掌握90。的圓周角所對的弦為直徑，圓內接四邊形對角互補，含30。的直角三角形

是解題的關鍵.

【變式7］（2023上?全國?九年級期末）如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，點A,B,C都在格點

上，以4B為直徑的圓經過點C,D,貝!JsinNADC的值為（）

A2-3cV13n2V13

A.-B.-C.—D.

32313

【答案】D

【分析】首先根據圓周角定理的推論可知，^ADC=^ABC,然后在RtAACB中，根據銳角三角函數的定義

求出N4BC的正弦值.

本題考查了圓周角定理的推論，解直角三角形，勾股定理，銳角三角函數的定義，解答本題的關鍵是利用

圓周角定理的推論把求乙WC的正弦值轉化成求N4BC的正弦值，本題是一道比較不錯的習題.

【詳解】解：如圖，連接力C、BC.

???N4DC和乙4BC所對的弧長都是此1,

???根據圓周角定理的推論知，^ADC=AABC.

在RtAACB中，根據銳角三角函數的定義知，

AC

AB

AC=2,BC=3,

AB=y/AC2+BC2=V13,

?,人口「22V13

siviZ-ABC=—；=----,

V1313

.,_2V13

**?siiiZ-ADC----.

13

故選：D.

考點8:半徑相等一一等腰三角形

典例8；（2023?甘肅平涼?統考二模）如圖，A、B、C是圓。上的三點，且四邊形ABC。是平行四邊形，OF1OC

交圓。于點尸，則N40F等于（）

【答案】B

【分析】根據平行四邊形的性質和圓的半徑相等得到AAOB為等邊三角形，根據等腰三角形的三線合一得

到答案.

【詳解】解：

團四邊形力BC。是平行四邊形,

HOC=AB,又。力=OB=OC,

團04=OB=AB,

團AAOB為等邊三角形，

HOF1OC,OCWAB,

EOF1AB,

EIZXOF=乙BOF=30°,

故選：B.

【點睛】本題考查的是圓內半徑相等，平行四邊形的性質定理、等邊三角形的性質的綜合運用，掌握等腰

三角形的三線合一是解題的關鍵.

【變式11（2023?四川廣元?統考一模）如圖，4B為。。的直徑，CD是。。的弦，4B、CD的延長線交于點E,

已知4B=2DE,^AEC=20°,貝！U&OC的度數為（）

【答案】C

【分析】連接。。，根據等腰三角形的判定和性質，得到AD0E=N4EC=20。，再根據三角形外角的性質,

得到NDC。=MD0=40°,利用三角形內角和定理，得到NCOD=100°,即可求出NAOC的度數.

【詳解】解：連接。D,

???AB=2DE,

.?.0D=DE,

???Z-AEC=20°,

???LDOE=20°,

???"0。=Z.DOE+"=40°,

???0C=0D,

???乙DCO=乙CDO=40°,

???乙COD=180°-Z,DCO-乙CDO=100°,

AAOC=180°-4DOE-乙COD=60°,

故選C.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，三角形外角的性質，三角形內角和定理，熟練掌握等腰三

角形等邊對等角的性質是解題關鍵.

【變式2］（2023下?浙江金華?九年級?？茧A段練習）如圖，在扇形40B中，。為弧4B上的點，連接AD并延

長與。B的延長線交于點C,若CD=OA,乙AOC=69°,貝吐。4C的度數為（）

A.35°B.52.5°C.70°D.74°

【答案】D

【分析】連接。。，則CD=OA,OA=。。，設”=a,根據等邊對等角以及三角形外角的性質可得4047=2a,

根據三角形內角和定理即可求得結果.

【詳解】解：如圖，連接。。，如圖所示：

團。力=OD

Z.CAO=Z.ODA

???CD=OA,

團CO=0D,

Z.C=乙DOC

設=a,

???Z-CAO=Z.ODA=Z-DOC+Z.C=2a,

在△AOC中，AAOC=69°

???乙CAO+Nf=180°-69°=111°,

2a+a=111°

???a=37°

???/,CAO=2a=74°,故D正確.

故選：D.

【點睛】本題考查了圓的基本概念，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質，掌握以

上知識是解題的關鍵.

【變式3】（2023上?廣東汕頭?九年級統考期末）如圖，是。。的弦，。。為。。半徑.0C14B,垂足為

C,ODWAB,OD=20C,貝此。為（）度

A.60B.65C.70D.75

【答案】D

【分析】連接。8,貝1]08=00,由0clz8,貝此。8。=30。，再由。。||48,即可求出答案.

【詳解】解：如圖：連接08,貝!）08=。。，

?

：℃*OD，

1

■-OC=-OB,

??,OC1AB,

??.Z.OBC=30°,

?

??OD\\ABf

???乙BOD=乙OBC=30°,

??.Z.OBD=乙ODB=75°,

故選D.

【點睛】本題考查了圓，平行線的性質，等腰三角形的有關知識；正確作出輔助線、利用圓的半徑相等是

解題的關鍵.

考點9：圓的內接四邊形

典例9：（2023上?廣東汕頭?九年級統考期末）如圖，4B為。。的直徑，點C,。在O。上，若乙4DC=130。，

則NB4C的度數為（）

A.30°B.35°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】本題考查了圓內接四邊形對角互補，直徑所對的圓周角是直角，直角三角形兩個銳角互余，根據

圓內接四邊形對角互補求得48,根據直徑所對的圓周角是直角可得乙4c8=90。，根據直角三角形的