第12講實(shí)數(shù)（5種題型）

【知識梳理】

一、有理數(shù)與無理數(shù)

有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).

要點(diǎn):

（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式.

（2）常見的無理數(shù)有三種形式：①含“類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113nl…….③帶有根

號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如6.

二、實(shí)數(shù)

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

i.實(shí)數(shù)的分類

按定義分:

’有理數(shù)：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)

無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)

按與0的大小關(guān)系分:

'正有理數(shù)

正數(shù)

正無理數(shù)

實(shí)數(shù)0

,負(fù)有理數(shù)

負(fù)數(shù)

、負(fù)無理數(shù)

2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的關(guān)系

我們嘗試用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示也.

由前面的學(xué)習(xí)，我們知道兩個(gè)邊長為1的小正方形可以拼成一個(gè)面積為2的正方形26切，它的邊長為J5.觀

察正方形/附，可知它的一邊是一個(gè)直角三角形的斜邊，這個(gè)直角三角形的兩條直角邊長都是1.

D

G

0>C2

⑴

這樣，就在數(shù)軸上確定一個(gè)點(diǎn)來表示也.

要點(diǎn)：每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，而且這些點(diǎn)是唯一的；反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)

實(shí)數(shù).數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)。

3.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小

①負(fù)數(shù)小于0,0小于正數(shù)；兩個(gè)正數(shù)絕對值大的數(shù)較大，兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對值大的數(shù)較小；從數(shù)軸上看，右邊的

點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的大。

②數(shù)軸上，如果點(diǎn)A,點(diǎn)B所對應(yīng)的數(shù)分別為a,b,那么A,B兩點(diǎn)的距離AB=\a-l\

4.估算：怎樣估算無理數(shù)而（①誤差小于1）?（②誤差小于0.1）?

誤差小于0.1就是指估算出來的值與準(zhǔn)確值之間的差的絕對值小于0.1.

估算無理數(shù)的方法是：

（1）通過平方運(yùn)算，采用“夾逼法”，確定真正值所在范圍；

（2）根據(jù)問題中誤差允許的范圍內(nèi)取出近似值。

（3）“精確到”與“誤差小于”意義不同。如精確到1m是四舍五入到個(gè)位，答案惟一；誤差小于1m,答案

在真正值左右1m都符合題意，答案不惟一。在本章中誤差小于1m就是估算到個(gè)位，誤差小于10m就是估

算到十位。

記憶常用數(shù)的近似值：72?1.4146Q1.732有Q2.236

’」【考點(diǎn)剖析】

題型一.實(shí)數(shù)

例1、指出下列各數(shù)中的有理數(shù)和無理數(shù)：

V2,—,冗,-79,瘋頓0,1-72,5A/5,0.1010010001……

73

【思路點(diǎn)撥】對實(shí)數(shù)進(jìn)行分類時(shí)，應(yīng)先對某些數(shù)進(jìn)行計(jì)算或化簡，然后根據(jù)它的最后結(jié)果進(jìn)行分類，不能僅

看到根號表示的數(shù)就認(rèn)為是無理數(shù).”是無理數(shù)，化簡后含口的代數(shù)式也是無理數(shù).

【答案與解析】有理數(shù)有絲，―E,魏，0,

73

無理數(shù)有0,肛衿，1-V2,5A/5,0.1010010001

【總結(jié)升華】有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).

常見的無理數(shù)有三種形式：①含11類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：0.1010010001…….③帶有根號的

數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如5石，邪,血，1-3.

【變式1】（2022?樂清市開學(xué)）給出四個(gè)實(shí)數(shù)泥，3.14,0,二，其中無理數(shù)是（）

3

A.捉B.3.14C.0D.」

3

【分析】根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，可得答案.

【解答】解：在實(shí)數(shù)混，3.14,0,二中，無理數(shù)是我.

3

故選：A.

【點(diǎn)評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù).如

IT,疾,0.8080080008—（每兩個(gè)8之間依次多1個(gè)0）等形式.

【變式2】在下列語句中：

①無理數(shù)的相反數(shù)是無理數(shù)；

②一個(gè)數(shù)的絕對值一定是非負(fù)數(shù)；

③有理數(shù)比無理數(shù)小；

④無限小數(shù)不一定是無理數(shù).

其中正確的是（）

A.②③B.②③④C.①②④D.②④

【答案】C；

解：①因?yàn)閷?shí)數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)不可能式有理數(shù)，故本選項(xiàng)正確；

②一個(gè)數(shù)的絕對值一定e0,故本選項(xiàng)正確；

③數(shù)的大小，和它是有理數(shù)還是無理數(shù)無關(guān)，故本選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；

④無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故本選項(xiàng)正確.

【變式3】把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：

A/2,—，，口，,.—,—y/s,--xfs,.一，0,0.3737737773.......（相鄰兩個(gè)3之間7

42V3V9

的個(gè)數(shù)逐次增加1）

有理數(shù)集合無理數(shù)集合

【答案與解析】

有理數(shù)有:|,也

無理數(shù)有：肥，幣，M，血,,-75，0.3737737773

【總結(jié)升華】有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).

常見的無理數(shù)有三種形式：①含“類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：0.3737737773……③帶有根號的

數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如蚯，，，J5,

【變式4】判斷正誤，在后面的括號里對的用“J”，錯(cuò)的記“X”表示，并說明理由.

(1)無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù).()

(2)無理數(shù)都是無限小數(shù).()

(3)無限小數(shù)都是無理數(shù).()

(4)無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負(fù)無理數(shù).()

(5)不帶根號的數(shù)都是有理數(shù).()

(6)帶根號的數(shù)都是無理數(shù).()

(7)有理數(shù)都是有限小數(shù).()

(8)實(shí)數(shù)包括有限小數(shù)和無限小數(shù).()

【答案】

(1)(義)無理數(shù)不只是開方開不盡的數(shù)，還有n,1.020020002…這類的數(shù)也是無理數(shù).

(2)(J)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，是屬于無限小數(shù)范圍內(nèi)的數(shù).

(3)(義)無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)兩類數(shù)，其中無限不循環(huán)小數(shù)才是無理數(shù).

(4)(X)0是有理數(shù).

(5)(X)^JI,雖然不帶根號，但它是無限不循環(huán)小數(shù)，所以是無理數(shù).

(6)(義)如相，雖然帶根號，但病=9,這是有理數(shù).

(7)(X)有理數(shù)還包括無限循環(huán)小數(shù).

(8)(J)有理數(shù)可以用有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)表示，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以實(shí)數(shù)可以用有限

小數(shù)和無限小數(shù)表示.

題型二.實(shí)數(shù)的性質(zhì)

例2.若有一個(gè)實(shí)數(shù)為3-遍，則它的相反數(shù)為()

A.3+A/5B.-A/S+3c.~3D.-3-J^

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義化簡即可得出答案.

【解答】解：-(3-J^)=-3+V5=V5-3,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的相反數(shù)，掌握一個(gè)數(shù)。的相反數(shù)是-。是解題的關(guān)鍵.

【變式的相反數(shù)是-、R.

【分析】直接根據(jù)相反數(shù)的定義進(jìn)行解答即可.

【解答】解：???J7與-正是只有符號不同的兩個(gè)數(shù)，

.??J7的相反數(shù)是-

故答案為：-五.

【點(diǎn)評】本題考查的是上實(shí)數(shù)的性質(zhì)，即只有符號不同的兩個(gè)數(shù)叫互為相反數(shù).

【變式2】在電視臺一檔互動(dòng)節(jié)目中，主持人問這樣一道題目：“。是最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c

是絕對值最小的實(shí)數(shù)，d是倒數(shù)是它本身的數(shù)，”請問：a-b+c+d=3或1.

【分析】根據(jù)題意寫出a.b,c,d的值，然后分兩種情況分別計(jì)算即可.

【解答】解：是最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c是絕對值最小的實(shí)數(shù)，d是倒數(shù)是它本身的數(shù)，

b=-1,c=0,d=±l,

；?當(dāng)d=l時(shí)，a-b+c+c/=l+l+O+l=3；

當(dāng)d=-1時(shí)，a-b+c+d=l+l+O-1=1；

故答案為：3或L

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)，絕對值，倒數(shù)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是掌握乘積為1的兩個(gè)

數(shù)互為倒數(shù)，。沒有倒數(shù).

【變式3】已知a、b互為相反數(shù)，c、。互為倒數(shù)，|m|=2,且mVO；

(1)求2a-(cd)2018+26-3m的值.

(2)若3y=m,c=V4>求b-4d+m的值.

【分析】(1)根據(jù)a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，|m|=2,先確定a+b、cd及m的值，再求代數(shù)式的

值即可；

(2)根據(jù)3j￡=m,c=JW可求出a,b,c,d的值，然后代入所求的代數(shù)式即可.

【解答】(1)解：b互為相反數(shù)，

o+b=0,

???c、d互為倒數(shù)，

/.cd=l,

V\m\=2且m<0,

；?m=-2,

A2a-(cd)2018+2b-3m

—2(a+b)-(cd)2018-3m

=-1+6

=5；

/.a=m3=-8,

c=V4=2，

"玲

b-4d+m

=8-4X、+(-2)

=8-2-2

=4.

【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算，掌握“互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0”、“互為倒數(shù)的兩數(shù)積為1”是解決本

題的關(guān)鍵.

題型三、實(shí)數(shù)與數(shù)軸

例3.如圖，順次連結(jié)4X4方格四條邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)正方形A8CD.設(shè)每一個(gè)小方格的邊長為1個(gè)單

位.

（1）正方形ABCD的邊長介于哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間，請說明理由.

（2）如果把正方形ABCD放到數(shù)軸上，使得邊AB與數(shù)軸重合，且點(diǎn)A與數(shù)軸的原點(diǎn)重合，數(shù)軸的單位長度

就是小方格的邊長.請寫出點(diǎn)B在數(shù)軸上所表示的數(shù).

【分析】（1）利用大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，求出正方形ABCD的面積，然后再求出邊長

即可；

（2）點(diǎn)8在數(shù)軸上的位置有兩種情況，點(diǎn)8在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)8在原點(diǎn)右側(cè).

【解答】解：（1）正方形ABCD的邊長介于兩個(gè)相鄰的整數(shù)2和3之間，

理由是：?.?正方形A8CD的面積=4X4-4X-lx2X2=8,

2

:加=戲=2A/2>

V22=4,32=9,

.".4<8<9,

.,.V4<V8<V9,

：.2<272<3,

正方形ABC。的邊長介于兩個(gè)相鄰的整數(shù)2和3之間；

（2）分兩種情況：

當(dāng)點(diǎn)8在原點(diǎn)左側(cè)，點(diǎn)8在數(shù)軸上所表示的數(shù)是：一啦,

當(dāng)點(diǎn)8在原點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)8在數(shù)軸上所表示的數(shù)是：272-

...點(diǎn)B在數(shù)軸上所表示的數(shù)是：土啦.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握平方數(shù)是解題的關(guān)鍵.

【變式1】如圖，面積為5的正方形ABCD的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1,若點(diǎn)E在數(shù)軸上，（點(diǎn)E在

點(diǎn)A的右側(cè)）且AB=AE,則E點(diǎn)所表示的數(shù)為（）

B

D

||||||/|I"H''I|4

-4-3-2-101.4234x

A.V5B.l-h/5c.D.Vs+2

2

【分析】根據(jù)正方形的邊長是面積的算術(shù)平方根得AD=AE="后，結(jié)合A點(diǎn)所表示的數(shù)及AE間距離可得點(diǎn)

E所表示的數(shù).

【解答】解：：正方形ABCD的面積為5,且/W=AE,

.'.AD=AE=y/5,

???點(diǎn)4表示的數(shù)是1,且點(diǎn)E在點(diǎn)八右側(cè)，

???點(diǎn)E表示的數(shù)為1+遍.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸及兩點(diǎn)間距離，根據(jù)兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)的位置判斷出點(diǎn)所表示的數(shù)是關(guān)鍵.

【變式2］如圖，實(shí)數(shù)近-1在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)可能是()

HP，0”

-2-101234

A.A點(diǎn)B.B點(diǎn)C.C點(diǎn)D.。點(diǎn)

【分析】先確定我的范圍，再推出&-1的范圍，從而得解.

【解答】解：?；1<如<2,

0<V2-l<l,

-1在在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)可能是c.

故選：C.

【點(diǎn)評】此題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，估算出&的大小是解本題的關(guān)鍵.

【變式3】定義：有A、B兩只電子跳蚤在同一條數(shù)軸上跳動(dòng)，它們在數(shù)軸上對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為a、b.若實(shí)

數(shù)a、b滿足6=3。+2時(shí)，則稱A、B處于“和諧位置”，A、B之間的距離為“和諧距離”.

(1)當(dāng)A在原點(diǎn)位置，且A、B處于“和諧位置”時(shí)，“和諧距離”為2.

(2)當(dāng)4B之間的“和諧距離”為2022時(shí)，求a、b的值.

【分析】(1)將a=0代入b=3a+2中得到b=2,所以和諧距離為2；

(2)根據(jù)A,B的和諧距離為2022列出方程即可求解.

【解答】解：(1)將a=0代入b=3o+2中得到b=2,

所以和諧距離為2；

故答案為：2；

(2)V4,8處于和諧位置，

.,.b=3a+2,

|Z\B|—\b-a\—|2a+2|=2022,

：.2a+2=±2022,

.,.a=1010,b=3032或a=-1012,b=-3034.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，新定義，體現(xiàn)了方程思想，根據(jù)4B的和諧距離為2022列出方程是解

題的關(guān)鍵.

【變式4】設(shè)a,b在數(shù)軸上表示的實(shí)數(shù)到原點(diǎn)的距離相等，且位于原點(diǎn)的兩側(cè)，c,d互為倒數(shù)，e的絕對

值為3,請求出下列代數(shù)式的值：5a+5b-也+e.

3

【分析】根據(jù)題意得：a+b=0,cd=l,e=3或e=-3,然后分兩種情況分別代入代數(shù)式求值即可.

【解答】解：：。，b在數(shù)軸上表示的實(shí)數(shù)到原點(diǎn)的距離相等，且位于原點(diǎn)的兩側(cè)，

a+fa=0,

??,c,d互為倒數(shù)，

/.cd=l,

Ye的絕對值為3,

/.e=3或e=-3,

當(dāng)e=3時(shí)，原式=5(o+b)-紅＞+6=0-工+3=當(dāng)；

333

當(dāng)e=-3時(shí)，原式=5(。+匕)-也+e=0-工-3=二^.

333

綜上所述，代數(shù)式的值為旦或

33

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，絕對值，倒數(shù)，實(shí)數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的思想，掌握絕對值等于一

個(gè)正數(shù)的數(shù)有2個(gè)是解題的關(guān)鍵，不要漏解.

【變式5】數(shù)軸是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起一一對應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之

間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ).

【閱讀理解】

|3-1|表示3與1的差的絕對值，也可理解為3與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；同理|x-l|可

以理解為X與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，|x+l|=|x-(-1)I就表示X在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)

到-1的距離.

(1)【嘗試應(yīng)用】

①數(shù)軸上表示-4和2的兩點(diǎn)之間的距離是(寫出最后結(jié)果)；

②若|x-(-2)|=3,則x=1或-5；

(2)【動(dòng)手探究】小明在草稿紙上畫了一條數(shù)軸，并折疊紙面，若表示2的點(diǎn)與表示-4的點(diǎn)重合.

①則表示10的點(diǎn)與表示-12的點(diǎn)重合;

②這時(shí)如果A,B(A在B的左側(cè))兩點(diǎn)之間的距離為2022,且A,B兩點(diǎn)經(jīng)過折疊后重合，則A表示的數(shù)

是-1012,B表示的數(shù)是1010；

③若點(diǎn)A表示的數(shù)為a,點(diǎn)B表示的數(shù)為b(A在B的左側(cè))，且A,B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后剛好重合，那么a與b

之間的數(shù)量關(guān)系是a+b=-2；

(3)【拓展延伸】

①當(dāng)x=1時(shí),|x+2|+|x-l|+|x-3|有最小值，最小值是5；

②|x+l|-|x-4|有最大值，最大值是5,|x+l|-|x-4|有最小值，最小值是-5.

-5-4-3-2-1O12345

【分析】(1)①根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得答案；②根據(jù)絕對值的定義可以解答；

(2)①首先求出折疊點(diǎn)是-1,列式為-1-(10+1)可得答案；②根據(jù)折疊點(diǎn)為-1可列式解答；③由題

意得,A(a+b)=-1,整理可得答案；

2

(3)根據(jù)絕對值的定義和分類討論的數(shù)學(xué)思想可以解答本題.

【解答】解：(1)①-4和2的兩點(diǎn)之間的距離是：2-(-4)=6,

故答案為：6；

②??,|x-(-2)|=3,

.*.x=l或-5,

故答案為：1或-5；

(2)二?表示2的點(diǎn)與表示-4的點(diǎn)重合，

?,?折疊點(diǎn)是-1,

①-1-(10+1)=-12,

故答案為：-12；

②2022+2=1011,-1-1011=-1012,-1+1011=1010,

二財(cái)A表示的數(shù)是-1012,B表示的數(shù)是1010,

故答案為：-1012,1010；

③由題意得，—(a+fa)=-1,

2

「?o+b=-2,

故答案為：a+b=-2；

(3)①當(dāng)xW-2時(shí)，|x+2|+|x-l|+|x-3|=-x-2-x+1-x+3=-3x+228,

當(dāng)-2VxWl時(shí)，|x+2|+|x-l|+|x-3|=x+2-x+1-x+3=-x+6,5x+6<8,

當(dāng)l<x^3時(shí)，|x+2|+|x-l|+|x-31=x+2+x-1-x+3=x+4,5<x+4^7,

當(dāng)x>3時(shí)，|x+2|+|x-l|+|x-3|=x+2+x-1+x-3=3x-2>7,

???當(dāng)x=l時(shí)，最小值是5,

故答案為：1,5；

②當(dāng)x<-1時(shí)，|x+l|-|x-4|=-x-1+x-4=-5,

當(dāng)-1WXW4時(shí)，|x+l|-|x-4|=x+l+x-4=2x-3,-5W2x-3<5,

當(dāng)x>4時(shí)，|x+l|-|x-4|=x+l-x+4=5,

???最大值是5,最小值是-5,

故答案為：5,-5.

【點(diǎn)評】本題考查數(shù)軸、絕對值、兩點(diǎn)的距離，解答本題的關(guān)鍵是明確絕對值的定義，利用絕對值的知識和

分類討論的數(shù)學(xué)思想解答.

題型四、實(shí)數(shù)大小比較

例4.實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則」，1,0的大小順序是()

a

II?____________??

—1a01

A.0<1

a

B.0<二^<1

a

C.0<1<-

a

D.0V1且1和二的大小無法確定

a

【分析】根據(jù)數(shù)軸上a所在的位置可用取特殊值的方法比較個(gè)數(shù)的大小.

【解答】解：：-

.,.令a--—,

4

則--;

a3

VO<1<A,

3

.".o<i<-

a

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸之間對應(yīng)關(guān)系及實(shí)數(shù)的大小的比較，當(dāng)給出的未知字母的值在一個(gè)確定

的范圍內(nèi)時(shí)，可用取特殊值的方法進(jìn)行比較，以簡化計(jì)算.

【變式1】若|x-y|-|x-z|=|y-z|,則實(shí)數(shù)x、y、z之間的大小關(guān)系可能為()

A.x>y>zB.z>y>xC.y>x>zD.x>z>y

【分析】根據(jù)各選項(xiàng)中x,y,z的大小關(guān)系分別計(jì)算已知等式的左邊和右邊，看是否相等即可判斷.

【解答】解：4、當(dāng)x>y>z時(shí)，|x-y|-|x-z|=x-y-(x-z)=z-y,|y-z|=y-z,已知等式不成立，

不符合題意；

B、當(dāng)z>y>x時(shí)，|x-y|-|x-z|=y-x-(z-x)=y-z,|y-z|=z-y,已知等式不成立，不符合題意；

C、當(dāng)y>x>z時(shí)，|x-y|-|x-z|=y-x-(x-z)=y+z-2x,\y-z\=y-z,已知等式不成立，不符合題

思；

D、當(dāng)x>z>y時(shí)，|x-y|-|x-z|=x-y-(x-z)—z-y,\y-z\—z-y,已知等式成立，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小和絕對值的意義，正確根據(jù)字母的大小關(guān)系將絕對值化去是解本題的關(guān)

鍵.

【變式2］請用符號將下面實(shí)數(shù)-32,如,-3連接起來-32<-3<V3.

【分析】根據(jù)正數(shù)大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而小判斷即可.

【解答】解：32=-9,|-9|=9,|-3|=3,

；.9>3,

-32<-3,

-32<-3<百，

故答案為：-32<-3<?.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根，熟練掌握兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而小是解題的關(guān)

鍵.

【變式3】已知o,b,c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，且|a|=|b|；

(1)根據(jù)數(shù)軸判斷：a+b=0,c-b<0.(填>,V,=)

(2)\c-a\-|c-b|+|a+b|+|c-1|.

fo*br~"

【分析】(i)根據(jù)絕對值的意義和點(diǎn)在數(shù)軸上的位置可得結(jié)論；

(2)根據(jù)點(diǎn)在直線上的位置，先判斷c-a、c-b、a+b、c-l的正負(fù)，再利用絕對值的意義去掉絕對值，

最后合并同類項(xiàng).

【解答】解：由題圖知oVOVcVb,

(1)V|a|=|b|,

；?0=-b,c<b.

/.a+b=Q,c-b<0.

故答案為：=,V.

(2)Va<O<c<b<l,

?\c-a>0,c-b<0,a+b—Q,c-l<0.

|c-a|-|c-b|+|a+b|+|c-11.

=c-a-(b-c)+(a+b)+1-c

=c-a-b+c+a+b+1-c

=1+c.

【點(diǎn)評】本題主要考查了絕對值的意義，根據(jù)數(shù)軸確定兩個(gè)數(shù)的和差與零的關(guān)系及掌握絕對值的意義是解決

本題的關(guān)鍵.

題型五、估算無理數(shù)的大小

例5.如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)4B,C,D,E分別對應(yīng)的數(shù)是1,2,3,4,5,那么表示JTI的點(diǎn)應(yīng)在()

OABCDE

—4---------4------4----4----i-----i------>

012345

A.線段48上B.線段8c上C.線段CD上D.線段上

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)平方根的定義估算百1的大小，再結(jié)合數(shù)軸表示數(shù)的方法得出答案.

【解答】解：：32=9,42=16,

?.?數(shù)軸上的點(diǎn)C,。分別對應(yīng)的數(shù)是3,4,

二表示/正的點(diǎn)應(yīng)在線段CD上，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查估算無理數(shù)的大小，掌握算術(shù)平方根的意義是正確解答的前提，估算出/正的大小是得

出正確答案的關(guān)鍵.

【變式1】絕對值小于的整數(shù)有坦個(gè).

【分析】由題意可知，這個(gè)整數(shù)在-值到之間，再由6<舊<7,即可求解.

【解答】解：由題意可知，這個(gè)整數(shù)在到之間，

V6<V41<7,

,滿足的整數(shù)有-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6共13個(gè)，

故答案為13.

【點(diǎn)評】本題考查無理數(shù)的大小；掌握絕對值的意義，能夠準(zhǔn)確估計(jì)無理數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵.

【變式2】/口的整數(shù)部分是3.

【分析】根據(jù)平方根的意義確定W3的范圍，則整數(shù)部分即可求得.

【解答】解：；9<13<16,

?，-3<-/13<4,

???后的整數(shù)部分是3.

故答案是：3.

【點(diǎn)評】本題主要考查了無理數(shù)的估算，解題關(guān)鍵是確定無理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問題.

【變式3】如果一個(gè)正方形ABCD的面積為69.

(1)求正方形ABC。的邊長a.

(2)正方形ABCD的邊長滿足m,。表示兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，求m,n的值.

【分析】(1)根據(jù)正方形的面積是69即可得出答案；

(2)故選J麗的范圍即可求出m,n的值；

【解答】解：(1):正方形ABCD的面積為69,

正方形ABCD的邊長a=J^；

(2)V64<69<81,

/.8<V69<9,

，m=8,c=9；

【過關(guān)檢測】

選擇題（共10小題）

1.（2022秋?嘉興期末）在實(shí)數(shù)3.14,Vo.04.2，中，屬于無理數(shù)的是（）

92

A.3.14B.VO.04C.2D.—

92

【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù).理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整

數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù).

【解答】解：3.14,No.04=0.2,2是有理數(shù)；2L是無理數(shù).

92

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了無理數(shù)的識別，無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見的無理數(shù)有三類:①豆類，

如2m三等;②開方開不盡的數(shù)，如、/],相等;③雖有規(guī)律但卻是無限不循環(huán)的小數(shù),如0.1010010001-

3

（兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0）,0.2121121H2…（兩個(gè)2之間依次增加1個(gè)1）等.

2.（2022秋嘟州區(qū)期末）若整數(shù)。滿足元，則整數(shù)°是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】先計(jì)算（小）2=7，（/記）2=15,然后看哪個(gè)平方數(shù)在7和15之間即可.

【解答】解：V7<9<15,

...如果整數(shù)a滿足小<a<后，則a的值是：3.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，熟練掌握平方數(shù)是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?西湖區(qū)校級期中）下列結(jié)論正確的是（）

A.5的絕對值是-5B.任何實(shí)數(shù)都有倒數(shù)

C.任何實(shí)數(shù)都有相反數(shù)D.-2的倒數(shù)是上

2

【分析】直接利用絕對值的性質(zhì)，以及相反數(shù)、倒數(shù)的定義分析得出答案.

【解答】解：A、5的絕對值是5,不符合題意；

8、0沒有倒數(shù)，不符合題意；

C、任何實(shí)數(shù)都有相反數(shù)，符合題意；

D、-2的倒數(shù)是-工，不符合題意.

2

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，絕對值的性質(zhì)，以及相反數(shù)、倒數(shù)的定義，正確把握相關(guān)定義是

解題關(guān)鍵.

4.（2022秋?新昌縣期末）若實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足aT=b-&=c+l=d+2，則a，b,c,d這四個(gè)實(shí)數(shù)中最

大的是（）

A.aB.bC.cD.d

【分析】根據(jù)題目所給等式進(jìn)行依次變形，然后進(jìn)行比較即可得出答案.

【解答】解：l=b-五，

:?b=a-1+衣，

即b>a,

U?a-l=c+l,

.\a>c,

Vc+l=J+2,

；?c=d+l,

即c>d,

?\b>a>c>d,

:?b最大.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的加減及實(shí)數(shù)大小的比較，掌握實(shí)數(shù)大小的比較方法是關(guān)鍵.

5.（2022秋?金華期末）若正數(shù)x滿足/=18,則下列整數(shù)中與尤最接近的是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】估算。無的大小即可求解.

【解答】解：：正數(shù)x滿足/=18,

x-V18,

V42=16,4.52=20.25,

近最接近4,

二?X最接近的是4.

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查了無理數(shù)的估算，正確的估算J近的大小是解題的關(guān)鍵.

6.（2022秋?南潺區(qū)期末）估算板的值大概在（）

A.-1到0之間B.。到1之間C.1到2之間D.2到3之間

【分析】根據(jù)4<7<9,可得2<近<3,即可求解.

【解答】解：V4<7<9,

2<V7<3,

有的值大概在2到3之間.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵.

7.（2021秋?南潺區(qū)期末）下列關(guān)于注的說法中，正確的是（）

A.、歷是有理數(shù)B.、歷是2的算術(shù)平方根

C.我不是實(shí)數(shù)D.我不是無理數(shù)

【分析】利用實(shí)數(shù)，有理數(shù)無理數(shù)的定義，算術(shù)平方根判斷即可.

【解答】解：我是實(shí)數(shù)，是無理數(shù)，是2的算術(shù)平方根.

.,.只有B選項(xiàng)正確.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握實(shí)數(shù)，有理數(shù)無理數(shù)的定義，算術(shù)平方根.

8.（2021秋?溫州期中）若有一個(gè)實(shí)數(shù)為3-五，則它的相反數(shù)為（）

A.3+V^B.-+3C.-3D.

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義化簡即可得出答案.

【解答】解：-（3-=-3+A/5—V5-3,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的相反數(shù)，掌握一個(gè)數(shù)a的相反數(shù)是-。是解題的關(guān)鍵.

9.（2022秋?拱墅區(qū)期末）如圖，面積為5的正方形A8C。的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1,若點(diǎn)E在

數(shù)軸上，（點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè)）且則E點(diǎn)所表示的數(shù)為（）

B

D

/尸,

Ii|||I||J1||4

-4-3-2-101.4234x

A.娓B.1+V5C.2點(diǎn)D.娓+2

2

【分析】根據(jù)正方形的邊長是面積的算術(shù)平方根得AD=AE=JW，結(jié)合A點(diǎn)所表示的數(shù)及AE間距離可

得點(diǎn)E所表示的數(shù).

【解答】解：：正方形4BC。的面積為5,且AO=AE,

.'.AD=AE=\[^>,

,點(diǎn)A表示的數(shù)是1,且點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)，

.?.點(diǎn)E表示的數(shù)為1+、石.

故選:B.

【點(diǎn)評】本題主要考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸及兩點(diǎn)間距離，根據(jù)兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)的位置判斷出點(diǎn)所表示的數(shù)是關(guān)

鍵.

10.（2020秋?堇B州區(qū)期末）實(shí)數(shù)。在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示.若實(shí)數(shù)b滿足-a<6<a,則方的值

可以是（）

a

------------------------------------------------------—-----------------

-4-3-2-101234

A.-3B.-2C.-1D.2

【分析】根據(jù)點(diǎn)b在數(shù)軸上的位置可求.

【解答】解：將-a,b在數(shù)軸上表示出來如下：

-ab&

--------------------------?———?---------—?—..........--------

-4-3-2-101234

-a<b<a.

在-a和a之間.

選項(xiàng)中只有-1符合條件.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系.找到-a的位置是求解本題的關(guān)鍵.

填空題（共8小題）

11.（2022秋?慈溪市期末）比較大小：遍+1>1A.（填或“<”）

22

【分析】直接利用估算無理數(shù)的大小的方法得出2<返<3,進(jìn)而比較得出答案.

【解答】解：：2〈返<3,

.?.述+1>3,

心>1工

22

故答案為：>.

【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確估算無理數(shù)的大小是解題關(guān)鍵.

12.（2022秋?義烏市校級期中）比較大小:41>2.5（填或"=

【分析】先比較它們的平方數(shù)，平方大的數(shù)就大.

【解答】解:（V7）2=7,2.52=6.25,且7>6.25,

:.我>25,

故答案為：>.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的比較，計(jì)算平方數(shù)是解題的關(guān)鍵.

13.（2022秋?嘉興期末）如圖，己知數(shù)軸上4、2兩點(diǎn)分別對應(yīng)實(shí)數(shù)-1和百，則A、B兩點(diǎn)間的距離為

V3±l_.

AB

IIji?.??>

-3-2-10123

【分析】根據(jù)“線段AB的長=|點(diǎn)B表示的數(shù)-點(diǎn)A表示的數(shù)I”列式計(jì)算即可.

【解答】解:A、B兩點(diǎn)間的距離為我-（-1）=日+L

故答案為：V3+1.

【點(diǎn)評】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，掌握“線段A8的長=|點(diǎn)B表示的數(shù)-點(diǎn)A表示的數(shù)

是解答本題的關(guān)鍵.

14.（2022秋?杭州期中）4,1-TT的相反數(shù)是TT-1.

【分析】利用算術(shù)平方根，相反數(shù)的意義，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：JH=4,1-It的相反數(shù)是TT-1,

故答案為：4,TT-1.

【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根，相反數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵.

15.（2023春?宣恩縣校級期中）比較大小：-n<-3.14（選填

【分析】先比較n和3.14的大小，再根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小”即可比較-nV-3.14的大

小.

【解答】解：因?yàn)門T是無理數(shù)所以冗>3.14,

故-n<-3.14.

故填空答案：<.

【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)的大小的比較，實(shí)數(shù)大小比較法則：（1）正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大

于負(fù)數(shù)；（2）兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小.

16.（2020秋?舟山期中）請寫出一個(gè)大于-4而小于-3的無理數(shù)_-（答案不唯一）.

【分析】先找出-16到-9之間的一個(gè)數(shù)，再把其相反數(shù)進(jìn)行開方即可求解

【解答】解：；-16<-10<-9,

-/16<-7io<-M，

即：-4<-710<-3.

故答案為：--fw（答案不唯一）.

【點(diǎn)評】本題考查的是估算無理數(shù)的大小，屬開放性題目，答案不唯一.

17.（2022秋?越城區(qū)期中）設(shè)〃為正整數(shù)，且門<倔<?1,則n的值為8.

【分析】估算出洞的取值范圍即可解答.

【解答】解：V64<66<81,

8<V66<9,

：<n+1,

故答案為：8.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，掌握“夾逼法”，平方和開平方互逆運(yùn)算是關(guān)鍵.

18.（2022秋?海曙區(qū)校級期中）已知7+J73的整數(shù)部分是m,的小數(shù)部分是〃，則優(yōu)+"=7+7"后.

【分析】先根據(jù)后的范圍，推出7+J石的取值范圍，求出機(jī)，〃的值，再代入求解.

【解答】解：：9<13<16,

?,-3<V13<4,

??.1O<7+V13<11

zi=^/13-3,

.,.m+n=10+,\fl3-3=7+A/13.

故答案為：7+Ji^.

【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小：完全平方數(shù)的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

19.（2022秋?濱江區(qū)校級期中）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并把這些數(shù)按從小到大順序進(jìn)行排列，用“<

連接；TT,4,-1,5,0,-如（不要求精確表示）

-5-4-3-2-1012345

【分析】先求出的近似值，再在數(shù)軸上表示出各數(shù)，并把這些數(shù)按從小到大順序進(jìn)行排列，用

連接起來即可.

【解答】解：-'叵弋-1.414,

如圖，

-5-4-3-2-I012345

故-1.5<-^/2<0<n<4.

【點(diǎn)評】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，熟知數(shù)軸上右邊的數(shù)比左邊的大是解題的關(guān)鍵.

20.（2022秋?北侖區(qū)期中）如圖，一只螞蟻從A點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右直爬2個(gè)單位長度到達(dá)點(diǎn)8,點(diǎn)A表示-

設(shè)點(diǎn)B所表示的數(shù)為m,

（1）求機(jī)的值.

（2）求|m-3|+m+2的值.

，土，，」，，，

-2-1012

【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律：右加左減的規(guī)律可求出機(jī)的值；