清單07指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

(個考點梳理+題型解讀+提升訓練)

考點儕單

指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

【清單01】整數(shù)指數(shù)塞

1、正整數(shù)指數(shù)哥的定義："=gaa：aaa八其中，成N*

"個

2、正整數(shù)指數(shù)塞的運算法則：

①?屋=產(chǎn)"(m,neN*)

②a"'+a"=a"'f(a/0,m>n,m,n^N*)

③("=產(chǎn)(m,neN*)

@(aby^ambm(meN*)

m

@(-)m=—(bMmeN*1

bb",

【清單02】根式

1、"次根式定義：

一般地，如果x"=a，那么x叫做。的〃次方根，其中〃>1,且〃eN*.

特別的：

①當"是奇數(shù)時，正數(shù)的〃次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的九次方根是一個負數(shù).這時，。的〃次方根用符號表

示標.

②當〃是偶數(shù)時，正數(shù)的〃次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù).這時，正數(shù)。的正的幾次方根用符號標

表示，叫做a的,次算術根；負的，次方根用符號-折表示.正的〃次方根與負的〃次方根可以合并寫成

土標(a>0).

③負數(shù)沒有偶次方根；

④。的任何次方根都是0,記作而=0

2、根式：

式子標叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

在根式符號后中，注意：

①〃>1,ne2V*

②當〃為奇數(shù)時，而對任意aeR都有意義

③當〃為偶數(shù)時，而只有當a20時才有意義.

3、?石)"與防"的區(qū)別：

①當"為奇數(shù)時，(正)"=a(aeH)

②當〃為偶數(shù)時，(呵=a(a>0)

③當“為奇數(shù)時，且〃>1,=a

④〃為偶數(shù)時，且“>1,=\a\=[a，a~0

-a,a<0

【清單03】分式指數(shù)幕

m___

1、正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)易的意義是(a〉0,m,neN*,〃>1)于是，在條件。>0,

m,neN\〃>1下，根式都可以寫成分數(shù)指數(shù)塞的形式.

--11

2、正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)塞的意義與負整數(shù)指數(shù)嘉的意義相仿，我們規(guī)定，a"=-==(。>(),

〃〃77]a

m,n&N*,>1).

3、0的正分數(shù)指數(shù)暴等于0,0的負分數(shù)指數(shù)幕沒有意義.

【清單04]有理數(shù)指數(shù)塞

①(a>0,r,seQ)

②(a>0,r,seQ)

③(ab)，=aE(a>0,b>0reQ)

知識點05：無理數(shù)指數(shù)塞

①a"=cT'(a>0,r,seR)

②(a>0,r,seR)

③(ab)，=aE(a>Q,b>0rGR)

【清單05】指數(shù)函數(shù)的概念

1、一般地，函數(shù)了=優(yōu)(。>0,且awl)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，底數(shù)。是一個大于0且不等

于1的常量，定義域是R.

2、學習指數(shù)函數(shù)的定義，注意一下幾點

(1)定義域為：R

(2)規(guī)定。>0,且awl是因為：

①若a=l,則丁=優(yōu)三1(恒等于1)沒有研究價值；

②若a=0,則x>0時，y=/三0(恒等于0),而當xWO時，優(yōu)無意義；

③若a<0,則中加為偶數(shù)，〃為奇數(shù)時，”無意義.

④只有當0<。<1或。>1時，即a>0,且awl,x可以是任意實數(shù).,只有一個自變量

(3)函數(shù)解析式形式要求：系數(shù)《、底數(shù)大于0且不等于1

指數(shù)函數(shù)只是一個新式定義，判斷一個函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的關鍵有三點：①小

的系數(shù)必須為1；②底數(shù)為大于。且不等于1的常數(shù)，不能是自變量；③指數(shù)處只有一個自變量，而不是含

自變量的多項式.

【清單06】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、函數(shù)y=a'(a>0,且awl)的圖象和性質(zhì)如下表：

底數(shù)a>l0<〃<1

y\y=ax丁

y=ax

圖象

y=i

(0,1)

(0,1)

oX

0X

定義域R

值域(0,+co)

定點圖象過定點(。,1)

性

單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)

質(zhì)當%>0時，ax>1當x＞0時，0＜々，＜1

函數(shù)值的當x=0時，ax=1當x=0時，ax=l

變化情況

當x<0時，0<a*<l當x＜0時，ax＞1

對稱性

函數(shù)y=優(yōu)與y=（-）A的圖象關于,軸對稱

a

2、指數(shù)函數(shù)y=a%a〉O且awl）的底數(shù)。對圖象的影響

觀察圖象，我們有如下結論：

2.1.底數(shù)。與1的大小關系決定了指數(shù)函數(shù)了=相（。＞0且口/1）圖象的“升”與“降”.

（1）當。＞1時，指數(shù)函數(shù)的圖象是“上升”的，且當x＞0時，底數(shù)。的值越大，函數(shù)的圖象越“陡”，

說明其函數(shù)值增長的越快.

（2）當0＜。＜1時，指數(shù)函數(shù)的圖象是“下降”的，且當光＜0時，底數(shù)。的值越小，函數(shù)的圖象越“陡”，

說明其函數(shù)值減小的越快.

2.2.底數(shù)。的大小決定了圖象相對位置的高低：不論是。＞1還是底數(shù)越大，在第一象限內(nèi)的函

數(shù)圖象越“靠上”.

在同一平面直角坐標系中，底數(shù)。的大小決定了圖象相對位置的高低；

在V軸右側(cè)，圖象從上到下相應的底數(shù)由大變小，即“底數(shù)大圖象高”；

在y軸左側(cè)，圖象從上到下相應的底數(shù)由小變大，即“底數(shù)大圖象低”；

【清單07】指數(shù)函數(shù)的定義域與值域

1、定義域：

（1）指數(shù)函數(shù)了=優(yōu)（。〉0且awl）的定義域為R

（2）y=afM（a＞0且。牛1）的定義域與函數(shù)y=f（x）的定義域相同

（3）y=/（優(yōu)）的定義域與函數(shù)y=/（%）的定義域不一定相同.

2、值域

（1）指數(shù)函數(shù)v=a\a>0且a主1）的值域為（0,+co）

（2）求形如y=〃⑶的函數(shù)的值域，先求/（%）的值域，然后結合了=罐（?！?且。彳1）得性質(zhì)確定

y=afM的值域

（3）求形如>=/（相）的值域，轉(zhuǎn)化為先求/=優(yōu)（?！?且awl）的值域，再將f的取值范圍代入函數(shù)

y=/?）中.

【清單08】指數(shù)函數(shù)的圖象變換

已知函數(shù)y=ax{a>0且a豐1）

1、平移變換

@y=ax向上平移上個單位長度,"°）>y=ax+k

xx

@y=a向下平移4個單位長度5>y=a-k

⑸向左平移個單位長度

x5-\ZyL4-X/I">0）ry_C4-x+h

/T\_x向右平移九個單位長度（%>0）、_x-/z

\3zy-ClTy-CL

2、對稱變換

@y=ax關于丫軸對稱>y=ax

②y=優(yōu)關于X軸對稱>y=_優(yōu)

@y=ax關于原點對稱>y=-a-x

3、翻折變換

①y=a"膏饕>丁=臚（去掉V軸左側(cè)圖象，保留V軸右側(cè)圖象；將V軸右側(cè)圖象翻折到V軸左側(cè)）

②丁=優(yōu)合>y="l（保留X軸上方的圖象，將X軸下方的圖象翻折到X軸上方）

題型儕單

【考點題型一】根式的化簡求值

核心方法：①當〃為奇數(shù)時，函）"=a（aeR）

②當"為偶數(shù)時，班）"=a（a>0）

③當“為奇數(shù)時，且〃>1,

④〃為偶數(shù)時，且〃>1,"=|。|="'""。八

-a,a<0

【例1】（24-25高一上?上海浦東新?期中）當3<a<6時，化簡yla2-6a+9+Va2-14fl+49=.

【答案】4

【知識點】根式的化簡求值

【分析】將根式里面進行配方，結合a的范圍即可化簡.

【詳解】因為3<a<7,所以a-3>0,a-7<0,

所以6a+9+Va2-14a+49=J（a-3f+?a-7?=（a-3）+（7-a）=4,

故答案為：4.

【變式1-1]（24-25高一上?江蘇徐州?期中）已知。<1,則府加+"=（）

A.-1B.1C.2（z-lD.l-2a

【答案】B

【知識點】根式的化簡求值

【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)化簡求值即可.

【詳解】因為。<1,

以Q（a-I）?+國“3—l|+a=l—a+o=l,

故選：B

【變式1-21（多選）（24-25高一上?浙江?期中）下列計算正確的是（）

A.31+VO.Ol=—B.（a，）=a，（a>0）

C.2聞（萬-4『°”=4-7rD.?也臟=a（a>0）

【答案】CD

【知識點】根式的化簡求值、指數(shù)塞的運算

【分析】根據(jù)指數(shù)易的運算法則即可判斷.

【詳解】對A,3-1+<01=1+^=^,故A錯誤；

對B,（a3）2=a6（a>0）,故B錯誤；

對C,20區(qū)（%_4產(chǎn)4=4—%,故C正確；

111

對D,y[ay/a\[a=a^?=a（a>0）?故D正確.

故選：CD.

【考點題型二】分數(shù)指數(shù)塞的化簡求值

核心方法：根據(jù)分數(shù)指數(shù)塞定義

①6=（〃>0,m,neN,n>l）

--11

②""=~詬^（〃>。，m,neN*,幾〉1）

【例2】（24?25高一上?天津?期中）計算下列各式:

⑴彳片（其中a>0,結果化為嘉的形式）；

/21「

旅僑-31加

(3)——(a>0,b〉0).

112

—a6b6

3

【答案】⑴/

⑵兀

（3）-9。

【知識點】指數(shù)募的運算、分數(shù)指數(shù)事與根式的互化、指數(shù)塞的化簡、求值

【分析】（1）根據(jù)根式的運算與指數(shù)募的運算法則化簡即可;

（2）根據(jù)根式的性質(zhì)與指數(shù)事的運算法則化簡即可；

（3）根據(jù)指數(shù)塞的運算法則化簡即可.

a

1

【詳解】（1）原式

a-a2

127171

(2)原式=-H-------1-71—3=----1■兀一3二兀；

88222

卜臣[一3T2一一5

(3)原式=<_\_2=_9涼+5%廬々飛=-9a.

1II

-a6b6

3

【變式2-1]（24-25高一上?廣東深圳?期中）計算：（0.25）-。5+（：了一版=

【答案】3

【知識點】分數(shù)指數(shù)幕與根式的互化、指數(shù)塞的化簡、求值

【分析】利用指數(shù)募的運算法則，結合根式與指數(shù)嘉的互化即可得解.

」_1

【詳解】(0.25)45+((]_阮=2]2+2V-32s

-3x-5x-

=42+33-25=2+3-2=3-

故答案為：3.

（高一上?福建漳州?期中）計算:

【變式2-2]24-25[2]-(0.125#+(11-近)°=

io

【答案】---

27

【知識點】指數(shù)塞的化簡、求值

【分析】根據(jù)分數(shù)指數(shù)幕運算法則計算可得結果.

3

【詳解】易知原式=:（（。-5）3廠+1=5-（。5廠+1*-2+1=一1|;

19

故答案為：--

【考點題型三】條件求值

核心方法：完全平方公式；立方公式

2211

【例3】（24-25高一上?上海?期中）已知戶+￡§=5（%>0），那么J+ja等于.

【答案】幣

【知識點】指數(shù)塞的化簡、求值

/_￡A22_2［］

【分析】根據(jù)X3+x3=x3+x3+2,再結合%>0時，則聲即可求解.

\7

］__J_A22_2

（=/+”+2=5+2=7,

因為則戶>0,%3〉0，

故產(chǎn)+%,>0，即得戶+x§=",

故答案為：幣.

【變式3-1］（24-25高一上?寧夏吳忠?期中）（1）已C知lICt一—J3,求下列各式的值：

①a+4一；

②/+a1.

【答案】①7；②47

【知識點】根式的化簡求值、指數(shù)基的化簡、求值

【分析】（1）根據(jù)分數(shù)指數(shù)塞以及根式的運算性質(zhì)計算出結果；

「工」Y2

①由a+°T=/+”-2求解出結果；②由。2+。-2=（4+。-）--2求解出結果.

【詳解】①因為/+/=3,所以1a2+a2>l=9,即〃+QT+2=9,所以Q+QT=7;

CtIH-J,

②由①知“+a-=7,兩邊平方得/+2+4-2=49,.?.6+0-2=47.

【變式3-2］（24-25高一上?江蘇南通?階段練習）已知。+廣匕3,求下列各式的值:

①〃+々一1;

②a土

【答案】（1）7—49；（2）①7；②右

【知識點】根式的化簡求值、指數(shù)塞的運算、指數(shù)塞的化簡、求值

【分析】利用平方關系求解.

11（1」丫

【詳解】①因為〃5+”7，所以屋+“2,即°+/+2=9,所以”+人=7

U-I-J|=9

\7

（11A1111

②因為a4+a4=a2+a2+2=3+2=5,又因為啟+->0,所以萬+戶一、六

\7

【考點題型四】指數(shù)耨的綜合運算

【例4】（23-24高一上?天津南開?期中）計算：

【答案】⑴-/

5

⑵°+相2

【知識點】指數(shù)塞的運算

【分析】根據(jù)塞的運算性質(zhì)，可得答案.

=-+10^/5-1075-20+16=--.

99

（2）（=?J?

14^++y/jj=++

【變式4-1］（23-24高一上?山西太原?期中）計算下列各式的值

⑵Sa3b3c2a2b3H--4a6be2

【答案】（1）0

(2)-2Z;C2

【知識點】指數(shù)基的運算、指數(shù)塞的化簡、求值

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)運算公式直接求值；

(2)根據(jù)指數(shù)運算公式化簡求值.

=1-3+4-2

=0；

C12L5

(2)8a3。5c5H--4a^bc，

IJ\7

__芻巖-i—+9M4)

4

=-2a0blc2

=-Ibc1.

_2

【變式4-2(23-24高一上?山東泰安?期中)(1)計算：3+(將x四)6;

(2)已知10,=2,10,=8,求"冶的值.

【答案】⑴108；(2)2

【知識點】指數(shù)塞的運算

【分析】根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)分別計算即可.

22

【詳解】⑴原式=Q3)3x(3-3戶+既)6*(偽6

3x2(-3)xf-1'|1x6-x6

=23義313j+yx22

=22X32+32X23=36+72=108;

y1

(2)因為10*=2,10V=8,所以]()2x=4,]0]=8)=2,

所以/4=1()2、后=2-

【考點題型五】指數(shù)函數(shù)的定義與求值(參數(shù))

【例5】(24-25高一上?河北張家口?階段練習)已知指數(shù)函數(shù)/(x)=(2/-5a+3)罐在R上單調(diào)遞增，則

。的值為()

13

A.3B.2C.-D.-

22

【答案】B

【知識點】由指數(shù)(型)的單調(diào)性求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)

【分析】令系數(shù)為1,解出。的值，又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，可得答案.

【詳解】2。2_5。+3=1解得。=2,a=\,

2

又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則。=2,=T

故選：B

【變式5-1](24-25高一上?云南紅河?階段練習)已知指數(shù)函數(shù)/(x)=(〃-24-2)a，，則/(3)的值

為.

【答案】27

【知識點】求函數(shù)值、根據(jù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義求得。=3,進而代入求解即可.

【詳解】因為〃力=(片一2°-2)優(yōu)為指數(shù)式，貝!)4一2。一2=1,解得a=3或。=一1,

又因為a>0且arl,可得a=3,即〃x)=3",

所以"3)=33=27.

故答案為：27.

【變式5-2](2024高三?全國?專題練習)函數(shù)y=(2/-3a+2)優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，則a的取值范圍是

【答案】事

【知識點】根據(jù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)

【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義要滿足條件得到關于。的取值范圍.

【詳解】解：：函數(shù)y=(2/-3a+2)優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，，2a2_3a+2=l且。>0,由2a?一3。+2=1解得

a=l或二"：.所以a的取值范圍為：

故答案為：

【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)定義的應用，屬于基礎題.

【考點題型六】指數(shù)函數(shù)的圖象過定點

核心方法：a°-1

[例6](24-25高三上?河北?階段練習)函數(shù)/(x)="-3+2x(°>0,awl)的圖象恒過的定點為.

【答案】(3,7)

【知識點】指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題

【分析】根據(jù)題意結合指數(shù)函數(shù)定點分析求解即可.

【詳解】令x—3=0,解得x=3,且/(3)=7,

所以函數(shù)/(x)的圖象恒過的定點為(3,7).

故答案為：（3,7）.

【變式6-1］（24-25高一上?福建龍巖?階段練習）已知函數(shù)＞=a-+1（。＞0,awl）的圖像恒過定點A,且點

A在直線y=（加,九＞0）上，則的最小值為（）

mn

A.4B.1C.2D.-

2

【答案】C

【知識點】指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題、基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得定點坐標，代入直線方程得以〃的關系，然后由基本不等式求得最小值.

【詳解】由x-l=0得尤=1,又/⑴=2,所以定點為41,2）,

從而〃z+〃=2,

-+—==-（2+—+—）＞—（2+2J-------）=2,當且僅當"7="=彳時等節(jié)成乂，

nin2mn2nm2\nm2

故選：C

【變式6-2］（24-25高一上?上海?期中）已知函數(shù)y=a-+3（a＞0且"1）的圖象恒過定點尸，尸點的

坐標是.

【答案】（2,4）

【知識點】指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點的性質(zhì)即可確定尸的坐標.

【詳解】令X—2=0,解得尤=2,此時y=a°+3=4,

，點尸的坐標為（2,4）.

故答案為：（2,4）.

【考點題型七】指數(shù)（型）函數(shù)圖象的識別

【例7】（24-25高一上?北京?期中）函數(shù)y=3國的大致圖象是（）

【知識點】判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀

【分析】根據(jù)函數(shù)的值域，以及指數(shù)函數(shù)的圖象特征，即可判斷選項.

【詳解】|x|>0,所以3心1,排除AC,且3?=］；；：：。，排除口

故選：B

【變式7-1］（24-25高一上?江蘇無錫?期中）函數(shù)>=出二的部分圖象大致為（）

【答案】A

【知識點】函數(shù)圖像的識別、判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀、指數(shù)函數(shù)圖像應用

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結合特殊值排除即可.

【詳解】/。）=\^定義域為口，且/（-x）=f^=-/（x）,則原函數(shù)為奇函數(shù).排除B.

ee

心i—e-11

再取特殊值〃1）==且為正數(shù).排除D.

ee

當x>0時，/（》）==二x越大函數(shù)值越接近1,排除C.

ee

故選:A.

【變式7-2］（24-25高三上?遼寧沈陽?階段練習）函數(shù)/的大致圖象是（）

【答案】D

【知識點】函數(shù)奇偶性的應用、函數(shù)圖像的識別、具體函數(shù)的定義域

【分析】由奇偶性及函數(shù)值即可判斷.

尤2

【詳解】由"工）=黃弟知：XX±1,

〃-》）=粵=鼻=〃止偶函數(shù)，AC錯,

八2）=白

<0,B錯,

故選：D

【變式7-3］（多選）（24-25高一上?廣東?期中）函數(shù)〃尤）=,-4（"0且"I）的圖象可能為（）

【答案】BC

【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、函數(shù)圖像的識別、判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀、指數(shù)函數(shù)圖像應用

【分析】結合指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)，分。＞1,0＜。＜1分別研究單調(diào)性和漸近線，進而得到答案.

【詳解】當時，?。?口一：":，

\a—a,x＜1

顯然當X1時，函數(shù)單調(diào)遞增，當尤＜1時，函數(shù)單調(diào)遞減，

函數(shù)圖象的漸近線為y=。，而。＞1,故A,B不符合；

對于C,D,因為漸近線為y=2,故。=2,故x=O時，y=l,故選項C符合，D不符合;

ax-a,x<l

當0＜。＜1時,〃x)=

a—ax,x>l

當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當x＜l時，函數(shù)單調(diào)遞減，

函數(shù)圖象的漸近線為y=。，而故B符合，A,C,D不符合;

故選：BC.

【考點題型八】畫指數(shù)（型）函數(shù)圖象

核心方法：根據(jù)函數(shù)圖象變換方法

【例8】（2024高三?全國?專題練習）作出函數(shù)丁=-1的圖象.

【答案】圖象見解析

【知識點】指數(shù)函數(shù)圖像應用

【分析】根據(jù)圖象變換的知識，由y的圖象進行圖象變換，從而畫出函數(shù)-1的圖象.

【詳解】設〃（x）=y=，j'〔i,其圖象可看作由函數(shù)y=的圖象向右平移1個單位,

再向下平移1個單位得到，

而片、［：1』其圖象可由y=（g『的圖象保留轉(zhuǎn)0時的圖象，

'；卜，尤<0

然后將該部分關于y軸對稱得到，

【變式8-1］（24-25高一上?全國?課前預習）已知直線>=2。與函數(shù)、=|2*-2|的圖象有兩個公共點，求實

數(shù)。的取值范圍.

【答案】（0,1）.

【知識點】畫出具體函數(shù)圖象、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、指數(shù)函數(shù)圖像應用

【分析】依題意，作出函數(shù)y=|2'-2|的圖象，要使兩者有兩個公共點，需使0<2a<2,即可求得參數(shù)范

圍.

【詳解】

由鵬-叫2。,二］，作出函數(shù)的圖象如圖?

由圖知，要使直線y=2a與該圖象有兩個公共點，貝?。萦小?lt;2。<2,即0<a<l.

故實數(shù)。的取值范圍為(0,1).

【變式8-2］(2023高三?全國?專題練習)已知，(x)=2*的圖象，指出下列函數(shù)的圖象是由“刈的圖象通

過怎樣的變換得到的.

(1)y=22；

Q)y=2*+1；

⑶y=2「，；

(4)y=2W.

【答案】(1)答案見解析

(2)答案見解析

(3)答案見解析

(4)答案見解析

【知識點】指數(shù)函數(shù)圖像應用

【分析】直接根據(jù)函數(shù)圖像的平移和對稱法則得到答案.

【詳解】(1)y=2前的圖象是由y=2'的圖象向左平移1個單位長度得到的.

(2)y=2'+1的圖象是由丁=2工的圖象向上平移1個單位長度得到的.

(3)>=27與、=2'的圖象關于￥軸對稱，

作y=2工的圖象關于'軸的對稱圖形便可得到y(tǒng)=2r的圖象.

(4)y=小為偶函數(shù)，其圖象關于'軸對稱，

故保留當x?O時，y=2,的圖象，再作其關于>軸的對稱圖形，即可得到、=2忖的圖象.

【考點題型九】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小

核心方法：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

【例9】(多選)(24-25高一上?河南洛陽?期中)下列大小關系正確的是()

【答案】AC

【知識點】比較指數(shù)嘉的大小、判斷一般塞函數(shù)的單調(diào)性

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和塞函數(shù)單調(diào)性來比較各選項中數(shù)的大小.

【詳解】對于A選項，對于指數(shù)函數(shù)>=。尸，因為指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減.

又因為=3=9

26

所以仁戶〈仁戶，A選項正確.

12>=（1是單調(diào)遞減函數(shù)，（｝具（了.

對于B選項，對于（/）5,

1=%在（°，+00）單調(diào)遞增，（*5>（：）5，所以（3戶>（：）'>（：?，B選項錯誤.

對于C選項，審=￡，（，=存=4?

y=也是單調(diào)遞增函數(shù)，|<1.所以（|鼠（|）：C選項正確.

y=G是單調(diào)遞增函數(shù),

所以§/<（》］，D選項錯誤.

故選：AC.

【變式9-1］（浙江省臺州市山海協(xié)作體2024-2025學年高一上學期期中聯(lián)考數(shù)學試題）已知。=0」如，

6=0.1?。1,c=10《」，則下列正確的是（）

A.a<c<bB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a

【答案】D

【知識點】比較指數(shù)累的大小

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷.

【詳解】a=0.r°」，6=0.i,c=O,l01,

y=0.F單調(diào)遞減，0.1>-0.01>-0.1,

所以0.1°」<0,1^01<0.1-°1,即c<6<。.

故選：D

【變式9-2］（24-25高一上?天津南開?期中）若°=1.01°8,6=1.01。9,。=0.6°8,則（）

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>b>cD.b>a>c

【答案】D

【知識點】比較指數(shù)塞的大小

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結合中間量法求解即可.

【詳解】因為函數(shù)y=1.01’是增函數(shù)，

所以1.0產(chǎn)9>1,0評>1,即6>°>1,

又°=0.6。8<1,

所以

故選：D.

【考點題型十】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

核心方法：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

【例10](23-24高一上?重慶?階段練習)已知函數(shù)〃X)=1-.為奇函數(shù).

⑴求實數(shù)加的值及函數(shù)〃x)的值域；

⑵若./'(2/+1)+〃-4)<0,求實數(shù)f的取值范圍.

【答案】(1)1,(TD

⑵y,i)

【知識點】由函數(shù)奇偶性解不等式、由奇偶性求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、判斷指數(shù)型復合函數(shù)

的單調(diào)性

【分析】(1)由奇函數(shù)的性質(zhì)可得7(0)=。，即可求出機的值；由2"+1>1可得-2<-4<0,即可求

2+1

解；

(2)利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可求解.

【詳解】(1)因為的定義域為R,且為奇函數(shù)，

m+1

則有"0)=1--—=0,即m=1,

經(jīng)檢驗，符合題意，所以加=1.

122

又2,+1>1，則0<的<1，即0<^7T<2,即一2<-^7T<0，

則-1<1-乙<1,所以函數(shù)的值域為(-L1).

另解：顯然f=2'+l是R上的增函數(shù)，且re(L”)，

由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可得y=-：在(1,+8)上遞增，

9

即y=l——也在(1,四)上遞增,故當好1時,y=-l,同時

由增函數(shù)性質(zhì)可得T<y<l,故函數(shù)的值域為(-L1).

(2)由/⑵+1)+/?-4)<0,可得〃2/+1)<-加一4),

又函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，貝!!-/Q-4)=/(4T),

所以/(2，+l)</(4T),

2

又y=2,+1是R上的單調(diào)增函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可得V=已是R上的單調(diào)減函數(shù)，

2+1

2

即/(%)=1—^是R上的單調(diào)增函數(shù)，

2X+1

由/(2l+l)<〃4—)可化為2/+1<4一，即/<1,

所以實數(shù)f的取值范圍為

【變式10-1](23-24高一上?廣東深圳?期中)設函數(shù)/(力=丈44(?>0,且awl)是定義域為R

的奇函數(shù)，且了=〃尤)的圖象過點上,

⑴求f和。的值；

(2)^VxeR,/(^-x2)+/(x-l)<0,求實數(shù)4的取值范圍；

【答案】(1"=2,。=2

⑵(-3,1)

【知識點】判斷指數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由奇偶性求參數(shù)、函數(shù)不等式恒

成立問題

【分析】(1)直接利用奇函數(shù)性質(zhì)/(。)=?？傻玫絝的值，再代回解析式看是否符合奇函數(shù)的條件，由函數(shù)

過點代入求a.

(2)利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得了(丘-尤2)</。-月，再由函數(shù)單調(diào)性脫去“/"，轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立求解

即可.

【詳解】(1)因為函數(shù)/⑺/二尸)(。>0,且“rl)是定義域為R的奇函數(shù)，

所以〃x)+〃—x)=O,所以2/(0)"⑼+"-0)=0,

所以/⑼=當』=0,解得仁2,

所以〃x)=F，

因為函數(shù)/(%)=。蟲的定義域為R關于原點對稱，且=V=-/M，

所以函數(shù)是奇函數(shù)，故r=2滿足題意，

又因為y=的圖象過點，

所以——-=—>a>0,且awl,

a2

解得4=2或4=（舍去），

綜上f和a的值分別為2,2.

o2x_11

（2）由⑴可知函數(shù)〃力氣「^一5是奇函數(shù)，

所以不等式VxeRJ（丘一》2）+〃*_1）＜。等價于八日_尤2）＜”1_"，

因為指數(shù)函數(shù)y=2,在R上單調(diào)遞增，

2x

所以由復合函數(shù)單調(diào)性可知/（%）=2-1=丁-51在R上單調(diào)遞增，

所以不等式/（依-/）＜“1-對等價于丘-/＜1-X,

即VxeR,不等式V一伙+1）彳+1＞0恒成立，

當且僅當A=（&+l）2-4＜0,解得一3＜女＜1,

所以實數(shù)左的取值范圍為（-3,1）.

【變式10-2］（23-24高一上?福建廈門?期中）已知函數(shù)〃x）=^三4-1是奇函數(shù).

⑴求”的值，并判斷“X）的單調(diào)性（注：無需證明的單調(diào)性）；

（2）^/（3-3r）+/（r-2r+3）＜0,求f的取值范圍.

【答案】（1）。=-1,/⑺在（0,+e）和（-8,0）上都是減函數(shù).

⑵2＜r＜3.

【知識點】判斷指數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由奇偶性求參數(shù)、由函數(shù)奇偶性

解不等式

【分析】（1）由奇函數(shù)的定義求得參數(shù)4，再由單調(diào)性定義證明.

（2）利用奇函數(shù)性質(zhì)變形不等式，再由單調(diào)性求解.

【詳解】（1）由題意/（f）=-f（x）恒成立，即-1=-二±1,整理得（〃+1）（2,+1）=0,

2~x+a2x+a

，Q+1=0,a=—19

/（x）=々二=1+，它在（-8,0）和（0,+8）上都是減函數(shù),

2%-12X-1

、.口3丁位,/、乙、2*+12巧+12（2出一2再）

設尤心％且均不為0,/（^）-/（^2）=---=（2X1_1）（2X2_1）,

若0＜%＜々,則1＜24＜2芻，2*-2為＞0,（2再一1）（2*-1）＞0,所以/（不）-八2）〉。，即。（石）＞/⑷,

.../（X）在（0,+/）上是減函數(shù)，

同理若為＜無2＜。，則1＜2甬＜2爸，2迎一2百＞0,（2』-1）（2*-1）＞0,所以/&）—〃z）＞0,即

/（王）＞/（尤2）,

.../(X)在(-8,。)上是減函數(shù).

(2)==+尤>0時，/(%)>1,尤<0時，/(尤)<1,

2%-12%-1

/'(3-3。+/(?_2r+3)<0o/(?-2r+3)<-/(3-3f),/(%)是奇函數(shù)，貝!J/(r2-2r+3)</(3Z-3),

?-2/+3=(?-1)2+2>0,若3/-3<0,則，(*-2/+3)>>(3/-3),不合題意，

工31-3>0且>一2/+3<3/-3,解得2Vt<3.

1_9X

【變式10-3](22-23高一上?新疆烏魯木齊?期末)已知〃尤)=是定義在R上的奇函數(shù)

⑴判斷在R上的單調(diào)性，并用定義證明；

(2)^f(l-a)+/(l-a2)<0,求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(D/(x)在R上單調(diào)遞減，證明見解析；

⑵(-2,1)

【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、判斷指數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等

式、由函數(shù)奇偶性解不等式

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)型復合函數(shù)單調(diào)性判斷，再利用定義證明單調(diào)性的步驟，取值、作差、變形、定

號、下結論即可；

(2)根據(jù)奇函數(shù)和單調(diào)性原不等式等價于即可求解.

【詳解】(D解：因為y=2'+i在R上單調(diào)遞增，

所以“X)在R上單調(diào)遞減，證明如下：

設V%<%,貝！|2獨>2%>0)

112X2-2Xl

所以/(%)―/(馬)_2為+]-2*+1―(2國+1)(2f+1)>0'

因為2也>2%>0,所以2也_24>0,(23+1)(2*+1)>0

所以f&)>/(%)，

所以〃x)在R上是減函數(shù)；

(2)解：因為函數(shù)“X)是奇函數(shù)，

所以〃1-4)+/(1一片)<0成立，等價于“1_°)<-/(1_1)=/(片_1)成立,

因為〃彳)在R上是減函數(shù)，

所以，a2-l<l-a,BPa2+a-2<0,解得：-2<a<l,

所以實數(shù)。的取值范圍為

【考點題型十一】指數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性

核心方法：復合函數(shù)單調(diào)性法則

【例11］（24-25高三上?四川廣安?階段練習）函數(shù)〉=（1）-?-2x+1的單調(diào)遞增區(qū)間是

【答案】（T,+s）

【知識點】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、判斷指數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性

【分析】利用指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性，結合復合函數(shù)單調(diào)性求解即得.

【詳解】函數(shù)y=（'*-2用的定義域為R,令&=一尤2-2元+1,

貝！I函數(shù)M=-尤2-2苫+1在（-應-1）上單調(diào)遞增，在（-1,y）上單調(diào)遞減，

而函數(shù)>=（5"在定義域上單調(diào)遞減，

因此函數(shù)y=在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)y=—的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1,y）.

故答案為：（T,w）

z［、x2+4x+3

【變式11-1］（多選）（24-25高三上?海南省直轄縣級單位?期中）已知函數(shù)y=：,則下列說法正

確的是（）

A.定義域為R

B.值域為（0,2］

C.在［-2,+s）上單調(diào)遞增

D.在［-2,+QO）上單調(diào)遞減

【答案】ABD

【知識點】求指數(shù)型復合函數(shù)的值域、判斷指數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可判斷A；求出y=f+4x+3的值域再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)

復合函數(shù)的單調(diào)性可判斷CD.

z［xX2+4X+3

【詳解】對于A,函數(shù)y=g的定義域為R,故A正確；

9（1?+4x+3

對于B,因為%之+4x+3=（%+2）—1>—1,所以0<［耳）<2,

z［xx2+4x+3

故函數(shù)y=：的值域為（0,2］,故B正確；

對于CD,因為y=（g）'在R上是減函數(shù)，

〃=X2+4》+3=(尤+2)2-1在(-00,-2)上是減函數(shù)，在[-2,上是增函數(shù),

z[\+4x+3

所以函數(shù)y=3在[-2,+8)上單調(diào)遞減，C錯誤，D正確.

故選：ABD.

【變式11-2](2024高一?全國?專題練習)設函數(shù)=">0且"1)在區(qū)間(1,a)上單調(diào)遞

增，貝心的取值范圍是()

A.(1,2]B.[2,+co)C.D.；,1)32,+⑹

【答案】A

【知識點】由指數(shù)(型)的單調(diào)性求參數(shù)、判斷指數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性

【分析】利用指數(shù)函數(shù)及復合函數(shù)的單調(diào)性計算即可.

_、a

2x-a,x>—

【詳解】易知y=|2x-a|=，:,顯然y=|2x_a|在號+eJ上單調(diào)遞增,

a-2x,x<—

2

在「雙u上單調(diào)遞減,

因為/(X)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，結合復合函數(shù)的單調(diào)性可知a>1,且

所以ae(L2].

故選：A

【考點題型十二】與指數(shù)函數(shù)(指數(shù)型復合函數(shù))有關的值域

核心方法：換元法

【例12】(24-25高一上?廣東廣州?期中)已知函數(shù)了(幻=」2,函數(shù)g(x)=|x-a|+Y-l.

2+1

⑴若xe[l,+oo),求函數(shù)/(x)的最小值；

⑵若對都存在尤26[0,+8),使得求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴;7

(131,.P131

⑵[一℃,-1Uy,+°°J

【知識點】求已知指數(shù)型函數(shù)的最值、函數(shù)不等式恒成立問題

【分析】(1)首先利用指數(shù)運算，化簡函數(shù)/■(另=(2'+1)+了力-2,再利用換元，結合對勾函數(shù)的單

調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值；

(2)首先將函數(shù)和g(x)在定義域的最小值設為。力，由題意可知cMb,首先求得c=2,g(O)>2,

確定〃的取值范圍，再討論去絕對值，求6,然后解不等式，即可求解.

【詳解】(1)若xe［l,+e),

(2*+1『-2(2)+1)+4

4

〃％)=(2X+1)+-2,

2'+12A+1

因為xe［l,+oo),令/=2工+123,則'=/+；-2,(框3),

又因為y="；-2在［3,”)上單調(diào)遞增，

7

當/=3,即尤=1時，函數(shù)取得最小值］;

(2)設“X)在［0,+oo)上的最小值為c,g(x)在上的最小值為6,

由題意可知，cWb,

若xe[O,4w),

(2X+1)2-2(2X+1)+4

〃x)=(2X+1)+———2,

2'+1''2A+1

因為xe［O,+<x>),令t=2工+122,則>=/+；-2,(/22),

又因為y=t+--2在［2,+向上單調(diào)遞增，

當/=2,即x=0時，函數(shù)取得最小值2,即c=2；

所以g(x)在［-1』上的最小值6應該滿足，b>2-,

因為g(O)=|a|-lN2,解得：或aW-3,

當a23時，且貝!]再一。<0,

/1]Y5

Pjg(%)=|玉一。|+%；—1=%；—玉+〃-1=[玉——I+6Z——,

可得g(xj的最小值為=則。一.22,解得：a>^-,

1444

當a4一3時，且Xiw[T,l],x1-a>0,

/「1Y5

口Jg(%)=|再一。[+其一]=耳+玉一CL—1=IXj+~I—