專題01與特殊三角形有關的分類討論模型解讀與提分精練

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例題講模型］

模型1.等腰三角形的角和邊不確定

模型2.直角三角形的直角頂點不確定

習題練模型］

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模型1.等腰三角形的角和邊不確定

模型解讀

方法解讀：當題干中出現類似“若△ABC為等腰三角形”這樣的表述時，未明確哪兩條邊為腰，需考慮分

類討論：?AB=AC(Ci,C4);?AB=BC(CZC5);?AC=BC［C^)

解題方法：①求角度：根據等腰三角形等邊對等角的性質結合三角形內角和及內外角關系求解；②求線段

長：可用勾股定理、全等三角形、相似三角形的判定與性質求解，若出現30°、45°的角時，可考慮用銳

角三角函數或含30°、45°角的直角三角形的性質求解.

模型運用

例1.(2024?江西南昌?二模)如圖，在ABCD中，AB=2,BC=2g4=45。，點E在射線上，當

VADE為等腰三角形時，NA即的度數為.

【答案】15。或75°或90°

【知識點】等邊對等角、利用平行四邊形的性質求解、三角函數綜合

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的性質，銳角三角函數.當VAOE為等腰三角形

時，有以下三種情況：①當AD=AE=2后時，過點A作AblBC于尸，先求出4尸=應，在Rt但中

利用銳角三角函數可求出NA￡F=30。，則/ZME=NA￡F=30。，進而得的度數；②當

4D=￡>E=20時，又有兩種情況：（回）當點E在線段8C上時，過點。作DG，3c交延長線于G,先

求出。G=0，在RtVDEG中利用銳角三角函數可求出，NDEG=30。,則NADE="EG=30。，進而得

—AED的度數；（回）當點E在BC的延長線上時，過點。作DMLCE于先分別求出=60。，

NCDM=45。，進而得NADE=150。，由此可得NASD的度數；③當短=。七時，過點E作A￡>于"，

根據等腰三角形性質得犯=￡）”=夜，根據平行線間的距離得=應，則==由此得

ZAEH=DEH=45°,進而可得—AED的度數，綜上所述即可得出答案.

【詳解】解：回四邊形ABCD為平行四邊形，

0AB=CD=2,AD=BC=2&ADBC,ABCD,ZB=ZADC=45°,

當V3為等腰三角形時，有以下三種情況：

①當AD=AE=2應時，過點A作A/于憶如圖1所示：

0AF=AB-sinB=2xsin45°=^,

即平行線AD,BC間的距離為血，

在RtAEF中，sinZAEF=—=^==~,

AE2A/22

I3NA￡F=3O°,

SAD//BC,

0ZDAE=ZAEF=30°,

0ZAED=ZADE=1(180°-ZDAE)=1x(180°-30°)=75°；

②當A￡>=OE=2也時，又有兩種情況：

(0)當點E在線段BC上時，過點。作OGL3C交BC延長線于G,如圖2所示:

_________D

D/^7\

ECG

圖2

由①可知：平行線ADBC間的距離為萬，即。G=0，

在RtVDEG中，sinZDEG=—=^-==-,

DE2近2

SZDEG=30°,

^\AD//BC,

團ZADE=NDEG=30°,

0ZAED=ZEAD=1(180°-ZAD￡)=1x(180°-30°)=75°；

(0)當點E在3C的延長線上時，過點。作。暇，CE于如圖3所示：

貝I」DM=應,

在RtADAlE中，sinZDEAf=—=-^=-,

DE2近2

0ZZ>EM=3OO,

0Z.EDM=90°-ADEM=90°-30°=60°,

0ZDCM=ZB=45°,

0VCDM為等腰直角三角形，

0ZCE>M=45°,

0NCDE=Z.CDM+NEDM=45°+60°=105°,

0ZADE=ZADC+ZCDE=45°+105°=150°,

0ZAED=ZEAD=1(180°-ZA￡)E)=1x(180°-150°)=15°；

③當=時，過點E作于H,如圖4所示：

圖4

BAE=DE,EHVAD,

S\AH=DH=-AD=y[2,

2

由①可知￡W=也，

0AH=HD=EH,

國ZAEH=DEH=45。（此時點E與點C重合），

0ZA￡D=9O°.

綜上所述：ZAED的度數為：15。或75。或90。.

故答案為：15。或75。或90。.

例2.（2024?江西九江?模擬預測）如圖所示，在VABC中，ZBCA90°,ZBAC=24°,將VABC繞點C逆

時針旋轉a（0。<a<90。）得DEC.若CO交48于點R當&=時，△A2加為等腰三角形.

【答案】28。或44。

【知識點】根據旋轉的性質求解、等邊對等角、三角形內角和定理的應用、三角形的外角的定義及性質

【分析】本題主要考查了旋轉的性質，等邊對等角，三角形內角和定理和三角形外角的性質，根據旋轉的

性質可得：ZDCA=a,DC=AC,根據等邊對等角可知：ZCDA=ZCAD,再表示出/ZMF,根據三角形

外角的性質可表示出ZDE4,然后分①NADF=NDAF,@ZADF=ZDFA,③NZM產=NDE4三種情況

討論求解即可.

【詳解】解：由旋轉的性質可得NDC4=CGDC=AC,

0ZCDA=ZCAD=1（18O°-tz）=9O°-1a,

0ZBAC=24°,

0ZDAF=NCAD-ABAC=90°--a-24°

2

根據三角形的外角性質可得：ZDFA+ABAC+ZDCA=24°+a,

△AD/是等腰三角形，分三種情況討論：

①當=時，則NADF=NDAF,90o-|rz=90°-1a-24°,此時無解；

②當AF=AD時，則NAD尸=NDE4,90°-gc=24°+a,解得:a=44°；

③當DF=AD時，則NZMF=NDE4,90°-1a-24°=24°+a,解得：a=28。；

綜上所述，旋轉角a度數為28。或44。，

故答案為：28。或44。.

例3.（2024?江西撫州?模擬預測）如圖，VA8C中，AB=4,BC=^26,AC=5jL點尸為AC邊上的動

點，當尸是等腰三解形時，AP的長為.

A

【答案】4.2&或4應

【知識點】用勾股定理解三角形、三線合一、等腰三角形的性質和判定

【分析】本題考查等腰三角形綜合，涉及等腰三角形性質、勾股定理及解方程等知識，由一尸是等腰三解

形，分三種情況：AB=AP；BA=B尸;=作出圖形，構造直角三角形，解直角三角形即可得到答案,

熟練掌握等腰三角形性質、勾股定理求線段長是解決問題的關鍵.

【詳解】解：AB尸是等腰三解形，

???分三種情況：AB=AP-BA=BP;PA=PB..

①當AP=AB=4時，AB尸是等腰三解形；

②當54=5尸時，

AB=4<726=BC,

.??點P的位置如圖所示：

A

由等腰三角形三線合一性質得到3。是陽的中線，^DA=DP,

設DA=Z)P=x,則OC=AC-AD=5近一x，

在RtA4B￡)中，AIJr+BD1=AB1>^x2+BD2=42；

在RtZ\C3D中，CD2+BD1=CB2,即卜及+瓦爐=（后『；

（5A/^—x）—x2=26—16,10s/2x=40>解得x=，

AP=2尤=4>/2;

當上4=P5時，如圖所示：

A

由②中=3尸=4,AP=40可知,AB尸是等腰直角三角形，即NA=45。，

???當24=尸5時，ZPBA=ZA=45°,則/APB=90。，即二AB尸是等腰直角三角形，

.-.AP^+PB2=AB2>則2A產=16，解得AP=2也；

綜上所述，AP的長為4,2加或40\

故答案為：4,2a或4阪.

例4.(2024?江西南昌?模擬預測)如圖，在"CB中，ZACB=90°,BC=43,VABC的外接圓O的半

徑為3,。是邊BC延長線上一點，連接A。，交（。于點E,連接CE.若△CED為等腰三角形，則線段30

的長度為.

【答案】6或6#或2后

【知識點】90度的圓周角所對的弦是直徑、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性質和判定、圓周角定理

【分析】本題考查了三角形外接圓與外心，等腰三角形的性質，勾股定理，分類討論是解題的關鍵.根據

勾股定理得到47=，鈿2_302=屈,①當CE=OE時，②當。C=OE時，③當CE=8時，根據圓

內接四邊形的性質和等腰三角形的性質以及勾股定理即可得到結論.

【詳解】解：NACB=90。，

是。的直徑，

AB=2x3=6,

?.AC=^IAB2-BC2=底,

①當CE=O石時，

"D=/DCE,

ZDCE=ZBAD,

.\ZBAD=ZD,

BD=AB=6,

②當DC=OE時，

二ZDCE=ZDEC,

/DEC=ZABC,ZDCE=ZDAB,

:.ZDBA=ZDAB,

AD=BD,

AE=BC=A/3,

ZACD=ZACB=90°,

s.AD1=AC2+CD\

BD2=33+(a)-a2

BD=6百，

③當CE=CD時，

:.ND=/CED,

ZCED=ZB,

/B=/D,

AB=AD,

AC_LBD,

:.BD=2BC=2區

綜上所述，若△CEO為等腰三角形，線段8。的長度為6或66或26，

故答案為：6或6有或2vL

模型2.直角三角形的直角頂點不確定

模型解讀

方法解讀：當題干中出現類似“若AABC為直角三角形”這樣的表述時，未明確哪個角為直角，需考慮分

類討論：①/A=90°（G）;②NB=90°（C/;③NC=90°（CaC^）;

模型證明

解題方法：①求角度：根據直角三角形的性質結合三角形內角和及內外角關系求解；②求線段長：可用勾

股定理、全等三角形、相似三角形的判定與性質求解；若出現30°、45°的角時，可考慮用銳角三角函數

或含30°、45°角的直角三角形的性質求解；若出現中點，可考慮用直角三角形斜邊中線的性質或者中位

線的性質求解。

模型運用

例5.（2024?江西南昌?模擬預測）在,ABCD中，AB=3,ZA=120°,AD=6,點P為平行四邊形ABCD邊

上的動點，且滿足△BBC是直角三角形，則8P的長度是

【答案】3或36或先

2

【知識點】利用平行四邊形的性質求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，直角三角形的性質，勾股定理，分NBPC=90。和NBCP=9O。兩種

情況畫出圖形解答即可求解，運用分類討論思想解答是解題的關鍵.

【詳解】解：回四邊形ABCD是平行四邊形，

0AD/7BC,

EIZBAC+ZB=180o,BC=AD=6,AB=CD=3,

回/區4c=120°,

0ZB=18OO-12O°=6O°,

(1)當N3PC=90。時,

①作于M,如圖1所示，則/AMB=NAWC=90。,

國4=60°,

0ZBAM=3O°,

39

BC-BM=6——=-,

22

0AB2+AC2=32+(3A/3J"=36,BC2=62=36,

AB2+AC2=BC2,

EIVABC為直角三角形，ABAC=90°,

團此時點P和點A重合,

團此時8P=AB=3；

②當CP=CD=4B=3時，如圖2,BP=^BC2-CP2=^62-32=343：

(2)當/8CP=90。時，如圖3,CP=AM=—

2

回BP=JBC*CP23M

2

綜上，3尸的長度是3或或獨

2

故答案為：3或3g或血.

2

圖1圖2圖3

【點睛】

例6.（2024?江西吉安?三模）如圖，在VA3C中，AB=AC,ZB=30°,BC=9,D為AC上一點，AD=2DC,

P為邊BC上的動點，當為直角三角形時，3尸的長為.

【答案】3或6或7

【知識點】三角函數綜合、相似三角形的判定與性質綜合、等腰三角形的性質和判定、含30度角的直角三

角形

【分析】分血￡>=90。，ZAPD=90°,NAD尸=90。三種情況計算即可.

本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形的性質，三角形相似的判定和性質，三角函數的應用，正確分

類，靈活應用相似和三角函數是解題的關鍵.

【詳解】團在VABC中，AB=AC,ZB=30°,BC=9,

0ZC=ZB=3O°,ZBAC=120°,

過點A作于點M,

^AB=AC,4=30°,BC=9,

0AD=2Z)C,

團旬=26，DC=V3.

①如圖1,當"40=90。時,

則NBA尸=30°,

0ZBAP=ZB,

SAP^BP.

在RtAAPC中,

ZC=30°,

SPC=2AP,

@BC=BP+PC=3BP,

0BP=3

②如圖2,當NAPD=90。時，分別過點A,。作2C的垂線，垂足分別為，F,

A

2

IBA￡=ABsin30o=—,DF=DCsin30°=—,CF=￡>Ccos30°=-.

222

設石尸=尤，貝iJPB=CE—EP—CF=3—x.

^ZEAP=90-ZEPA=ZFPD,ZAEP=ZPFD=90°,

團ZXAPE^Z^PDF,

AEPE

團-------，

PFDF

2%

0-------~~r，

3-xv3

g

整理得尤2-3x+—=0,

4

3

解得玉=%2=5，

3

團石尸=一，

2

回BP=EP+BE=6；

③如圖3,當/ADP=90。時,

在Rt。尸C中，ZC=30°,

0BP=BC—PC=7.

綜上所述，當△APD為直角三角形時，3P的長為3或6或7.

例7.（2023?江西?中考真題）如圖，在ABCD中，ZB=60°,BC=2AB,將48繞點A逆時針旋轉角a

（0。<&<360。）得至UAP,連接尸C,PD.當△PCD為直角三角形時，旋轉角a的度數為.

【答案】90。或270。或180。

【知識點】等邊三角形的判定和性質、利用平行四邊形的性質求解、根據矩形的性質與判定求角度、根據

旋轉的性質求解

【分析】連接AC,根據已知條件可得N54C=90。，進而分類討論即可求解.

【詳解】解：連接AC,取的中點E,連接AE,如圖所示，

D

團在「ABC。中，ZB=60°,BC=2AB,

BBE=CE=-BC=AB,

2

團_ABE是等邊三角形，

^ZBAE=ZAEB=6Q°,AE=BE,

0AE=EC

回ZEAC=NECA=-ZAEB=30°,

2

國NBAC=900

回AC_LCD,

如圖所示，當點P在AC上時，止匕時NB4P=NB4C=90。，則旋轉角。的度數為90。,

當點月在C4的延長線上時，如圖所示，則。=360。-90。=270。

當尸在B4的延長線上時，則旋轉角。的度數為180。，如圖所示,

⑦PA=PB=CD,PB//CD,

團四邊形PACD是平行四邊形，

^AC±AB

團四邊形尸ACQ是矩形，

^\ZPDC=90°

即△PDC是直角三角形,

綜上所述，旋轉角。的度數為90。或270。或180。

故答案為：90。或270。或180°.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，矩形的性質與判定，旋轉的性

質，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵.

例8.（2024?江西景德鎮?二模）在VABC中，ZC=90°,ZA=35。，點。是AB的中點，將02繞著點。向

三角形外部旋轉a角時（0°<￡<90。），得到。尸，當△ACP恰為軸對稱圖形時，a的值為

【答案】70。或55。或40。

【知識點】根據旋轉的性質求解、等邊對等角、全等的性質和SSS綜合（SSS）、直角三角形的兩個銳角互

余

【分析】本題考查旋轉變換、全等三角形的判定和性質、直角三角形的性質等知識，分三種情形討論①當

AC=AP時，②當PC=PA時，③當C4=C尸時，分別利用全等三角形的性質計算即可.解題的關鍵是學

會分類討論的思想思考問題.

【詳解】解：在中，SZACB=90°,N54c=35。，點。是AB的中點，

團OC=OA=OB,

團ZOAC=ZACO=35°,ZCOB=70°,ZAOC=110°,

①如圖，當AC=AP時,

OA=OA

在△AOC和4Aop中，＜AC=AP,

OC=OP

EIZ\AO&Z\AOP,

^ZAOC=ZAOP=UO°,

^a=ZPOB=10°.

②如圖，當PC=R4時,

同理可證OPA^OPC

0ZPOA=ZPOC=1(360°-ZAOC)=125°

Ela=ZPOB=Z.POC-ZCOB=55°.

③如圖中，當C4=C尸時,

同理可證一CQ4咨COB,

ZCOP=ZAOC=110°,

0a=ZPOB=NPOC-ZCOB=40°,

故答案為：70。或55。或40。.

習題練模型口

一、填空題

1.（2024?江西吉安,模擬預測）已知，正六邊形A3CDEF的邊長為2,點尸在它的邊上，當4ABp為等腰三

角形時，AP的長為.

【答案】2或2壞或加

【知識點】等腰三角形的性質和判定、用勾股定理解三角形、正多邊形和圓的綜合、解直角三角形的相關

計算

【分析】根據題意，分三種情況討論：①當=時，ABP為等腰二角形；②當=3尸時，ABP為

等腰三角形，③當AP=3P時，.尸為等腰三角形，分別求解即可.

【詳解】解：?正六邊形戶的邊長為2,

（6-2）x180°

AB=2,ZABC=---------------=120°,

6

①當AB=AP時,_ABP為等腰三角形,

:.MC=COS30°-BC=?X2=6,

2

:.AP=2也;

③當AP=3尸時，為等腰三角形，連接8。，過點P作PNLAB,

由②可知BO=AC=26，NEDC=120。,ZBDC=30°,

ZEDB=ZEDC-ZBDC=90°,

同理？ABD90?,

PN±AB,

.1四邊形PD8N為矩形，

PN=BD=2百，

..APB為等腰三角形，

：.AN=BN=-x2=l,

2

AP=yjAN2+PN2=Jl2+(2網=岳,

綜上所述AP的長為2或2括或.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓，等腰三角形的性質，解直角三角形的相關計算，勾股定理，多邊形內

角和，解決本題的關鍵是掌握等腰三角形的性質.

3

2.（2024?江西贛州?二模）在Rt^ABC中，已知NC=90。，AB=10,cosB=g，點/在邊AB上，點N在

邊3C上，且4〃=&V,連接"N,當zBMN為等腰三角形時，AM=.

【答案】5或S或行

【知識點】等腰三角形的性質和判定、解直角三角形的相關計算

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質和解直角三角形，分三種情況結合等腰三角形的性質和解直角三

角形討論求解即可.

【詳解】解：當=時，如圖1,

H

圖I

^AM=BN,

^BM=AM，

：.AM=-AB=5；

2

當=時，如圖2,作人位_L3C,則有=-BN=-AM,

22

3

且cos3=g,

圖2

1…

BE3art—AM,公

即/3,

W-5=

10-AM-M

解得：AM=—;

解得：AM=—.

綜上所述，答案為：5或號或

3.（22-23九年級上?江西九江,期末）正方形ABC￡＞的邊長為3,點P、。在正方形不同的邊上與點A構成等

腰三角形，若等腰△AP。的底邊長為2萬，則等腰AAP。的腰長是.

【答案】2或癡或VTT

【知識點】等腰三角形的性質和判定、用勾股定理解三角形、根據矩形的性質與判定求線段長、根據正方

形的性質求線段長

［分析］分三種情況進行討論，當尸、。分別在AD、上，AP=AQ,當P、。分別在CD,BDh,AP=AQ,

當AP=PQ,點P在C。上，點。在48上，分別畫出圖形，根據正方形的性質和勾股定理進行求解即可.

【詳解】解：當P、。分別在AO、上，AP=AQ,zSAP。為等腰宜角三角形，如圖所示:

回PQ=272,

當P、。分別在8、AD上，AP=AQ,如圖所示:

團四邊形ABCD為正方形，

國

AB=AC=BD=CD=3,ZB=ZC=90°f

團Rt.ABQ^Rt.ACP,

回BQ=CP,

@BD—BQ=CD—CP,即。尸=OQ,

團VQPQ為等腰直角三角形，

團產。=2應,

回￡＞尸=￡＞。=華=^^=2,

V2V2

團BQ=3-2=1,

回此時腰長為AQ=JAB?+BQ?=A/32+12=屈;

當AP=PQ,點。在C￡）上，點。在A8上，過點尸作尸于點如圖所示:

QAP=PQ,PMLAB,AQ=2后,

SAM=^AQ=>/2,

^\ZAMP=ZCAM=ZC=90°,

團四邊形AMPC為矩形，

^MP=AC=3,

^AP=^AM2+MP2=+32=A/T1.

綜上分析可知：等腰的腰長是2或炳或舊.

故答案為：2或J記或舊.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質，正方形的性質，勾股定理，矩形的判定和性質，解題

的關鍵是數形結合，熟練掌握相關的判定和性質.

4.（2023?江西新余?一模）在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=i2,D、E分別是邊BC、AB1.

的動點?將VBDE沿直線OE翻折，使點8的對應點B'恰好落在邊AC上?若是等腰三角形，則的

長是.

【答案】6或6拒-6或0

【知識點】等腰三角形的性質和判定、勾股定理與折疊問題、折疊問題

【分析】分三種情況討論：當=時，△AEB'是等腰三角形；當=時，△A￡B'是等腰三角形；

當AE=5右時，△AEB'是等腰三角形，分別根據等腰三角形的性質以及勾股定理進行計算，即可得到C8

的值.

【詳解】解：:NC=90。，ZA=30°,AB=6=12,

.?.4=60。，BC=6,

分三種情況討論：

①如圖所示，當點。與點C重合時，NB=NCB'E=60°,

ZA=30°,

：.ZAEB'=30°,

..ZA=ZA￡B'，

:.AB'=EB',即△AES'是等腰三角形，

此時，CB'=BC=6；

②如圖所示，當=時，是等腰三角形，

__2^彳

CB,

:.ZAB'E=15°,

由折疊可得，ZDB'E=ZABC=60°,

:.ZDB'C=45°,

X-.ZC=90°,

DC?是等腰直角三角形，

設CB'=x=OC,貝=6-

Rt、r）C￡中，x2+x2=（6-x）2,

解得玉=6A/2—6,x2=—6>/2-6（舍去），

:.CB'^6y/2-6;

③如圖所示，當點B'與點C重合時，/B=ZDCE=60。,

J

:.ZEB'A=30°=ZA,

：.AE=B'E,即△AEB'是等腰三角形，

此時CB'=O,

綜上所述，當△A￡B'是等腰三角形時，C&的值是6或60-6或0.

故答案為：6或60-6或0.

【點睛】本題主要考查了折疊問題，等腰三角形的性質，解一元二次方程以及勾股定理的綜合應用，解決

問題的關鍵是依據△A￡B'是等腰三角形，畫出圖形進行分類討論，解題時注意方程思想的運用.

5.（2024?江西吉安?一模）如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=3,點E,點尸分別在AB,8C上，

AE=BE=BF,若尸為矩形邊上一點，當△EFP為直角三角形時，斜邊長為

【答案】2或&或而

【知識點】等腰三角形的性質和判定、用勾股定理解三角形、根據矩形的性質求線段長

【分析】本題考查了矩形的性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理.分三種情況討論，利用矩形

的性質，等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理求解即可.

【詳解】解：回矩形ABC。中，AB=2,BC=3,

SAB=CD=2,BC=AD=3,

團AE=BE=BF,

^AE=BE=\,CF=3-l=2=CD,

ElZkBEF是等腰直角三角形，EF=RBE?+BF?=0

顯然點P與點B重合時，△EFP為直角三角形，

此時斜邊長為所=應；

當點E為頂點時，為直角三角形，如圖，

回ZAEP=180°-45°-90°=45°,

回△AEP是等腰直角三角形，且AE=AP=1,

團PE=jAE2+A尸2=0，

團斜邊長為PF=yjPE1+EF2=2；

當點尸為頂點時，為直角三角形，如圖,

0ZPFG=180°-45°-90°=45°,

過點尸作PGLBC于點G,

0FGP是等腰直角三角形，

團/G=PG=2,此時點尸與點。重合，點G與點C重合，

^PF=yjFG2+PG2=272>

團斜邊長為PE=y/PF2+EF2=回；

綜上，斜邊長為2或a或加，

故答案為：2或6,或可.

6.（2024?江西?二模）如圖，已知正六邊形ABCD跖的邊長為6,連接AE,AD,以點A為原點，AF所在

直線為V軸建立平面直角坐標系，P是射線AO上的點，若AAE尸是等腰三角形，則點尸的坐標可能

【答案】（36,3）或（9,3g）或（96,9）

【知識點】坐標與圖形、等腰三角形的性質和判定、正多邊形和圓的綜合、解直角三角形的相關計算

【分析】本題考查了正六邊形的性質、解直角三角形、等腰三角形的判定與性質、坐標與圖形，分三種情

況：當AP=EP時；當AP=A￡=66時；當AE=EP=6?時；分別作出圖形，利用等腰三角形的性質、

解直角三角形，求解即可得出答案，采用分類討論的思想是解此題的關鍵.

【詳解】解：如圖，作尸OLAE于。，

正六邊形ABCDEF的邊長為6,

：.AF=EF=6,ZAFE=120°,ZE4D=60°,

ZFAE=NFEA=的-4莊=3Qo,

2

:.AO=AF-cos30°=6x—=3y/3,ZEAD=ZFAD-ZFAE=30°,

2

FO-LAE,

:.AE=2AO=6y/3,

△收是等腰三角形,

回如圖，當AP=EP時，則NPEA=NE4尸=30。=/區4區,

AF//EG,

延長EP交x軸于G,則EGJ_x軸,

AG=-AE=3s/3,

2

ZPAG=90°-ZFAD=30°,

PG=AGtan30。=3岔x[=3,故此時尸3）；

如圖，當AP=AE=66時，作軸于H,

則AH=APcos30o=66xt=9,PH=AP-sin30°=673x1=3>/3,故此時P（9,34）；

如圖，當AE=EP=6石時，作EN_LAP于N,軸于V,

貝UA尸=2A7V=2XAE-COS30°=2><6A/5XL=18,

2

.?.AM=APcos30o=18x#=96，PM=APsin30°=18x1=9,故此時P（9右,9）；

綜上所述，點P的坐標可能是（36,3）或（9,3』）或（9后,9）,

故答案為：卜血,3）或（9,3石）或（94,9）.

7.（2023?江西九江?二模）如圖，在等腰VABC中，AB=AC=2,ZB=30°,。是線段3c上一動點，沿直

線AD將.ADB折疊得到VADE,連接EC.當DEC是以DE為直角邊的直角三角形時，則8。的長

為.

【答案】石+1或百-1或亞

3

【知識點】等邊三角形的判定和性質、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相關計算

【分析】本題考查了解直角三角形、勾股定理、等邊三角形的判定及性質，分類討論：①當NCDE=90。時，

當點E在BC的下方時和當點E在BC的上方時，作利用勾股定理可求得3。，②當NCEE>=90。

時，利用解直角三角形即可求解，利用分類討論思想解決問題是解題的關鍵.

【詳解】解：①當NCDE=90。時，

如圖1,當點E在BC的下方時，作AHL3C,交BC于點H.

ADE由，ADB折疊而來，且DEJ_3C,

ZADE=（360°-90°）-2=135°,\1ADH?ADE?HDE135?90?45?.

在RtZXAB/7中，ZB=30°,AB=2,

:.AH=1,BH=6

在RtAD8中，

NADa=45。，AH=1,

：.DH=1,貝！］==;

圖1

如圖2,當點E在BC的上方時，作AHL3C,交BC于點H.

同理，可求得A〃=l,BH=日AH=DH=1,

BD=A/3+1；

圖2

②如圖3,當NCED=90。時，

NDEC=90°,ZA￡D=30°,

ZAEC=NDEC-ZAED=60°.

AE=AC,

：.AEC是等邊三角形，

..ZE4c=60。.

ABAD=NDAE=-{ABAC-ZEAC)=30°,

2

ZDAC=ZDAE+ZEAC=90°.

在RtZMC中，ZACD=30°,AC=2,

3A。=」=巫,

cosZACDcos3003

.?.BD=BC-CD=2V3--=—.

33

綜上所述，8。的長為g+1或代-1或更.

3

圖3

8.（2024?江西上饒,一模）如圖，在三角形紙片A3C中，ZC=90°,ZB=60°,BC=6,將三角形紙片折疊,

使點B的對應點3'落在AC上，折痕與3CAB分別相交于點E、F,當VAFB'為等腰三角形時，班的長

為.

【答案】3或6或12-6后

【知識點】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性質和判定、用勾股定理解三角形、折疊問題

【分析】本題考查了直角三角形的性質，勾股定理，等腰三角形的性質，以及折疊性質，三角形內角和性

質、外角性質，綜合性較強，難度較大，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.先得出

NA=30。，AB=2BC=12,再進行分類討論，進行作圖，結合直角三角形的性質，勾股定理，等腰三角形

的性質，以及折疊性質，三角形內角和性質、外角性質，逐一分析解答，

【詳解】解：回"=90。"=60。,=6,

0ZA=3O°,AB=2BC=12,

如圖：3'尸=入尸時

A

團折疊

團BF=FR=AF,

0F是直角三角形ABC的斜邊上的中點,

SBF=FB'=AF=6,

此時點？與C重合，

回折疊，

BBE=EC=-CB=3；

2

如圖：B'R=AB'時

A

回折疊，

SBF=FB',BE=B'E,ZFB'E=ZFBE=60°,

0ZA=30°,B'F=AB',

團NAFB'=30。，ZFB'C=6O°,

0ZFB'E=NFB'C=60°,

團此時點E與點C重合，

即8E=3C=6；

如圖：AF=AB'^

A

SZA^30°,AF=AB',

0ZAB'F=NAF2'=gx（180°-30°）=75°,

回折疊，

0EB=EB,ZFB'E=ZFBE=60°,

貝ljZEB'C=180°-75°-60°=45°,

0ZC=9O°,

團△ECB'是等腰直角三角形，

^CE=B'C,

^EB'=y/CE2+EB'2>

0EB'=gCE,CE=^=—EB',

V22

B'E+CE=BE+CE=6,

即B'E+—B'E=6,

2

解得B'E=12-6也,

綜上：當VAFB'為等腰三角形時，8E的長為3或6或12-60，

故答案為：3或6或12-6應，

【點睛】本題考查了直角三角形的性質，勾股定理，等腰三角形的性質，以及折疊性質，三角形內角和性

質、外角性質，綜合性較強，難度較大，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.

9.（2023?江蘇泰州?中考真題）如圖，VABC中，AB=AC,ZA=30°,射線CP從射線C4開始繞點C逆時

針旋轉a角（0。<a<75°）,與射線48相交于點D,將ACD沿射線CP翻折至△ACD處，射線CA1與射線AB

相交于點E.若一ADE是等腰三角形，則的度數為.

c

【答案】22.5°或45。或67.5°

【知識點】三角形的外角的定義及性質、三角形折疊中的角度問題、等邊對等角

【分析】分情況討論，禾傭折疊的性質知/A=/A'=30。，ZACP^ZACP^a,再畫出圖形，利用三角形

的外角性質列式計算即可求解.

【詳解】解：由折疊的性質知NA=NA'=30。，ZACP^ZACP'^a,

當AD=DE時，/DE4'=ZA'=30。,

由三角形的外角性質得NDE4'=ZA+ZACD+ZACD,即30。=30°+2a,

此情況不存在;

當AD=A'E時，

N4=30°,NDEA'=ZEDA'=1(180°-30°)=75°,

由三角形的外角性質得75。=30。+2二,

解得a=22.5。；

當石4'=DE時，/EZM=NA'=30。,

c

由三角形的外角性質得120。=30。+20,

解得夕=45。；

當A'￡>=AZ時，ZADE=ZAED=15°,

0ZAZ)C=ZA,DC=-(18OO-15O)=82.5°,

0cz=ZACD=180°-30°-82.5°=67.5°；

綜上，/tz的度數為22.5。或45。或67.5。.

故答案為：22.5。或45。或67.5。.

【點睛】本題考查了折疊的性質，三角形的外角性質，等腰三角形的性質，畫出圖形，數形結合是解題的

關鍵.

10.(2023?江西吉安?模擬預測)如圖，ZAOB=30°,點尸在Q4上，且。尸=若，點C在。4上，點。在

上，若△PCD是以PC為直角邊的等腰直角三角形，則CD的長為.

【知識點】解直角三角形的相關計算、等腰三角形的性質和判定、含30度角的直角三角形

【分析】分為直角邊和斜邊結合C的位置四種情況，利用解直角三角形的知識求解即可.

【詳解】解：如圖1，

B

D

圖1

回△PCD是以PC為直角邊的等腰直角三角形,

0ZDPC=90°,PD=PC,

在Rt0尸￡)中，ZAOB=30°,OP=^3,

[WP=OPtan30°=l,

?CD=柩PD=0，

如圖2,

圖2

回△PCD是以PC為直角邊的等腰直角三角形,

回/OCP=90°,PC=CD,

在Rt^OCD中，ZAOB=30°,CD=tan30°-OC,

設CD—a,則OC=a+#),

3+用

0tan3O°=—==解得a=--------

OCa+上32

回C￡>=2^

2

如圖3,

圖3

回是以尸c為直角邊的等腰直角三角形,

0ZDPC=90°,PD=PC,

在Rt中，ZAOB=30°,。尸=百，

0Z5P=tan3OoOP=l,

0CD=>/2;

如圖4,

回是以尸C為直角邊的等腰直角三角形，

0ZDCP=90°,CD=PC,

在Rt/XOCD中，［2/408=3。。，

0CD=tan30°-OC,

設C￡）=b,則。C=回,則6=￥（岔一b）,

解得。=匕3

2

團CD=二史，

2

綜上所述，CD的長為四或與8或土三，

故答案為：血或犯詼或心后.

22

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質和解直角三角形，全面分類、熟練掌握三角函數的知識是解題

的關鍵.

11.（2023?江西南昌?二模）如圖所示，。的直徑AB=4,弦AC=2,點E是直線AB上的一動點，直線CE

【答案】1或1+省或6-1

【知識點】等腰三角形的性質和判定、等邊三角形的判定