專題3-4導數技巧：多元變量（多參）

目錄

【題型一】多元（多參）：放縮型.........................................................1

【題型二】多元（多參）：方程與函數.....................................................2

【題型三】多元（多參：極值點偏移型....................................................2

【題型四】多元（多參）：零點多項式.....................................................3

【題型五】多元（多參）：凸凹翻轉型.....................................................4

【題型六】多元（多參）：討論最值型.....................................................5

【題型七】多元（多參）：換元型（比值換元）............................................5

【題型八】多元（多參）：切線放縮......................................................6

【題型九】多元（多參）：絕對值型max{min}或min{max}...................................6

二、真題再現...........................................................................7

三、模擬檢測...........................................................................8

熱點題型歸納

【題型一】多元（多參）：放縮型

【典例分析】

A-1

（2022?全國通二專題練習）設左，beR,若關于1的不等式1）+%〈近+b在（L+00）上恒成立，則~；--

k-1

的最小值是（）

A.—e1B.-----C.—不D.—e—1

e+1e

【提分秘籍】

基本規律

本題型最早源于新課標2012年導數壓軸大題，處理有兩個關鍵步驟

1.含參式子求最值

2.二次構造時，不完全是“恒成立”型，而是“存在型”

【變式演練】

1.（2022?全國?高三專題練習）已知函數""'5"+苫，若xeR時，恒有r（x）之3_?+6+6,則"+"

的最大值為

A.&B.,C.|D.e

2.（2022.全國?高三專題練習）已知函數/（x）=ln%g（x）=（a-e）x+b.若不等式/（x）Wg（x）對

A

也￡（0,+8）恒成立，則士的最小值是（）

a

A.-----B.—C.—eD.e

2ee

（2019?湖北模擬）已知不等式x-31nx+Gmlnx+n（m,n^R,且n#-3）對任意實數x恒成立，則m+3

的最大值為

A、-21n2B、-ln2C、l-ln2D、2-ln2

【題型二】多元（多參）：方程與函數

【典例分析】

（2022?全國?高三專題練習）已知。，6分別滿足“eJe?,Z?（ln/?-l）=e3,則。b=

【提分秘籍】

基本規律

利用方程或者不等式，進行“二次構造”求導求最值

【變式演練】

1.若關于X的不等式」竺二＞2"一在［1,+8）上恒成立，則-的最大值為__________.

1+lnx2m

2.（2022?湖北?孝昌縣第一高級中學三模）若對于任意的尤，。?0,舟）.不等式*+.2a、恒成立，貝Ub

的取值范圍為.

f（x）—YYUCH-（YYI〉0M〉0）

3.（2022.天津津衡高級中學有限公司高三階段練習）已知函數依’的定義域為

m2+1n2+1

（0,+oo）,若X=1時，“X）取得最小值，則/+2+〃f+2的取值范圍是.

【題型三】多元（多參：極值點偏移型

【典例分析】

（2022.全國?高三專題練習）已知方程?.*=1有兩個不同的實數根%，巧（占<多），則下列不等式不成

立的是（）

211

A.玉,%>eB.%]+%2>2eC.玉一k<eT—D.x?—k>e——

【提分秘籍】

基本規律

1.極值點偏移小題是屬于“大題”題型。

2.如果只是做小題，可以考慮畫出草圖，粗略的可以判斷真假.

一般思路

1.求出函數人無）的極值點與；

2.構造一元差函數"（X）=f（x0+x）-f（x0-x）；

3.確定函數尸（%）的單調性；

4.結合尸（°）=°,判斷尸（X）的符號，從而確定了（/+x）、/低。一的的大小關系

【變式演練】

1.（2019?遼寧?高三期中（文））已知函數〃“）=”一依有兩個零點*4，占<%,則下面說法不E項的

是（）

A.芯+%>2B.西龍2v1

C.a<eD.有極小值點%,且玉+%<2苫0

2.（2022?全國?高三專題練習）已知/（無）=尤"*（無€氏），若x產電，且/（%）=/（尤2）,則王+%與2的關系

為

A.Xj+x2>2B.%!+x2>2C.玉+9<2D.大小不確定

3.（2022?全國?高三專題練習）若f（x）=lnx-依有兩個不同零點冷三，且"〔Vx?，貝M的取值范圍是

.（其中In2名0.69」。0.36）

e

【題型四】多元（多參）：零點多項式

【典例分析】

（2021?全國?模擬預測）已知函數/?=—^7,g（x）=--2x-a,若方程/（x）=g（x）有4個不同的實根引，

I%—11—1

巧，％3，乂（不〈九2<曰<九4），則。（%+%4一w）的取值范圍是.

【提分秘籍】

基本規律

數形結合，利用導數畫圖時，要注意水平漸線與豎直漸近線

【變式演練】

e2x,x<Q

1.（2021?全國?高三專題練習（文））已知/'（%）=%3+2尤，g（尤）=<1,若函數y=/（g（x））+機（機

lnx+—,x>0

I2

為實數）有兩個不同的零點巧，且可<當，則X2-X］的最小值為.

2

2.(2021.江蘇.高三開學考試)己知函數/■(x)=x+ln(x-l),g(x)=xlnx,若/(%)=1+21nf,g(x2)=t,

則(占尤2-尤2乂型的最小值為.

x-a,x<0,

3.（2022.浙江?高三專題練習）設函數〃x）=已知占<%,且/（占）=〃%），若馬-%的最小值

Inx,x>0,

為L則。的值為.

e

【題型五】多元（多參）：凸凹翻轉型

【典例分析】

（2023?江蘇?南京市中華中學高三階段練習）已知實數%,）滿足ln（4x+3y-6）-*尸2?3x+2y-6,則

尤+>的值為

A.2B.1C.0D.-1

【提分秘籍】

基本規律

凸凹翻轉型常見思路，如下圖

轉化為兩個函數的最值問題是關鍵，是難題

【變式演練】

1.已知函數/（x）=e*（|lnx|-〃z）-x有兩個零點，則機的取值范圍為（）

A.（一e,+oo）B.（-i,+oo）C.D.（0,+<?）

e

安徽省六安市第一中學、合肥八中、阜陽一中三校2019-2020學年高三上學期10月聯考數學（文）試題

2.已知實數x,y滿足ln(4x+3y—6)-ef-223x+2y-6,貝！|x+y的值為

A.2B.1C.0D.-1

3.已知大于1的正數,，6滿足則正整數”的最大值為（）

A.7B.8C.9D.11

【題型六】多元（多參）：討論最值型

【典例分析】

（2021?浙江?麗水外國語實驗學校高三期末）已知〃，beR,滿足於+=之2/-〃對任意xeR恒成立,

e

當2a+b取到最小值時，儲+5=.

【提分秘籍】

基本規律

較復雜的分類討論

【變式演練】

f（x\=--—（ae/?）,xe（0,+oo）

1.（2020.安徽省渦陽第一中學高三階段練習（文））已知函數''"x'若存在實

數"獷使得“X）對的解集恰為E”］，則。的取值范圍是.

2.（2021?四川省高縣中學校高三階段練習（文））若不等式（加+法+1卜，＜1對一切xeR恒成立，其中

為自然對數的底數，則a+6的取值范圍是.

方Clh

3.設a,〃是正實數，函數〃x）=xliw,g（%）=-§+L.若存在尤0e-,b,使/'（動"人）成立，則，

的取值范圍為.

浙江省金華市浙江師大附屬東陽花園外國語學校2020-2021學年高三上學期期中數學試題

【題型七】多元（多參）：換元型（比值換元）

【典例分析】

已知函數F（x）=21n尤-2-ax有兩個不同的零點為玉，馬，若ln?匹”加恒成立，則實數加的最大值為

【提分秘籍】

基本規律

1.主要是比值代換。

2.整體代換。

【變式演練】

1.（2022?全國?高三專題練習）已知存在占，3€（0,+8）,若要使等式2為=4（尤2-2%）（111占-111工2）成立

（e=2.71828…），則實數4的可能的取值是（）

A.—B.-C.—D.0

2eee

b

2.（2023?全國?高三專題練習）已知函數/（x）=lnx-依2+fct,當x>0,f（x）4O恒成立，則一的最大值

為.

2

l-x

3.（2022?全國?高三專題練習）已知x>0,y>0,x3+y3=x-y,則一二的最小值是.

y

【題型八】多元（多參）：切線放縮

【典例分析】

（2022?全國?高三專題練習）已知若關于％的不等式2%-aln尤+a-Z?N0恒成立，則成的最大值

為.

【提分秘籍】

基本規律

一般能切線放縮的，多是簡單的凸函數或者凹函數

【變式演練】

1.（2020?四川?二模（理））若關于x的不等式InxV工尤,一及+1恒成立，則ab的最大值是.

a

b

2.（018?江蘇南京?高三期中）存在左>0,6>。使質-2A+》21nx對任意的x>0恒成立，則丁的最小值為

[n丫+]h

3.（2020?全國?高三專題練習（文））若關于x的不等式上依恒成立，則巴的最小值是.

xa

【題型九】多元（多參）：絕對值型max{min}或min{max}

【典例分析】

（2020?浙江杭州三模）已知函數〃x）+|3x-6|（a,6eR）.當xe[0,2],/（x）的最大值為M（a,b）,

則M（a,A）的最小值為

【變式演練】

1.（2020?江蘇?揚州中學高三階段練習）設函數/（刈=卜3-辦-目，xe[-l,l],其中a,6eR.若/（尤）4加恒

成立，則當/取得最小值時，的值為.

2.（2018?浙江?高三階段練習）設函數/。）=:+辦+6,若對任意的實數。和實數6,總存在%e[L3],

使得fM>m,則實數機的最大值是

3.（2022?全國?高三專題練習）已知函數/（犬）=工尤2+%-。（犬+111幻，1<—<x<—,記為

222

g（x）="（尤）-6]的最大值，則M（a,b）的最小值為.

期小真題再現

1.（全國?高考真題（文））已知函數f（x）=》3+辦2+法+0,下列結論中錯誤的是

A.3%eR,f（Xo）=O

B.函數y=f（x）的圖像是中心對稱圖形

C.若看是f（x）的極小值點，則f（x）在區間（-00,%）單調遞減

D.若看是f（x）的極值點,則廣（%）=0

2.（2021.全國?高考真題（理））設OHO,若x=a為函數〃》）=°@-a）2（了-6）的極大值點，則（）

A.a<bB.a>bC.abv/D.abxi2

3.（安徽?高考真題（文））函數/（X）=依3+法2+泣+1的圖象如圖所示，則下列結論成立的是（)

a>0,b<0,c<0,d>0

4>0,/?>0,c>0,d<0

4.（福建?高考真題（文））若a>0,b>0,且函數f（x）=4x3-ax?-2bx+2在x=l處有極值，則ab的最

大值等于

A.2B.3C.6D.9

5.(天津?高考真題(文))設函數/(刈=/+%—2,g(x)=lnx+Y—3若實數〃為滿足/(。)=0,g3)=0則

A.g(a)<0<f(b)B./3)<0<g(〃)

C.0<g(a)</(/?)D./3)<g(a)<0

6.(安徽?高考真題(理))函數/(%)=火力(1-x)”在區間(0,1)上的圖像如圖所示，則m,n的值可能是

A.m=l,n=lB.m=l,n=2

C.m=2,n=lD.m=3,n=1

b

7.(2022?全國?高考真題(理))當九=1時，函數/(x)=〃lnx+—取得最大值—2,則/⑵二()

x

A.—1B.—C.—D.1

22

工模媽檢測，

6-3

1.(2020?浙江?臺州市新橋中學高三階段練習)已知不等式小。-1)-(0+2?工3-2恒成立，則——的最

(7+2

小值為.

h27

2.(2022.全國?高三專題練習)已知logb-31oga=m(m為常數)，二的最大值為二，則加=

abee

3.已知函數/'(了)=二/,,若/(菁)=/(尤2),且占<三,關于下列命題：

(f)；(2)〃龍2)>〃-x)；(3)/(占)>/(-芭)；(4)/(%2)>/(-無2)?正確的個數為

A.1個B.2個C.3個D.4個

黑龍江省大慶市大慶實驗中學2018屆高三上學期期初考試數學(文)試題

乙無<°