專題07線段中的四類動態模型

線段中的動態模型一直都是一大難點和常考點，它經常以壓軸題的形式出現。考查樣式也是很豐富，

和平時所學的內容結合在一起考。本專題就線段中的動態模型（與中點、和差倍分結合的動點問題；定值

問題；存在性（探究性）問題；閱讀理解（新定義）等）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

目錄導航］

例題講模型］

-------------------------1........................................................................................................................................................1

模型1.線段中點、和差倍分關系中的動態模型.................................................1

模型2.線段上動點問題中的定值模型..........................................................5

模型3.線段上動點問題中的存在性（探究性）模型.............................................8

模型4.閱讀理解型（新定義）模型...........................................................12

習題練模型］

.......................................................................................................................................................17

例題講模型］

模型1.線段中點、和差倍分關系中的動態模型

模型解讀

1、在與線段長度有關的問題中，常會涉及線段較多且關系較復雜的問題，而且題中的數據無法直接利用,

常設未知數列方程。

2、線段的動態模型解題步驟：

1）設入未知量r表示動點運動的距離；2）利用和差（倍分）關系表示所需的線段；

3）根據題設條件建立方程求解；4）觀察運動位置可能的情況去計算其他結果。

模型運用

例1.（23-24七年級上.陜西西安?期末）如圖，已知線段AB=20cm,點尸以每秒1cm的速度從A點沿A8向

8點運動，經過1秒后點。以每秒2cm的速度從3點沿54向A點運動，當點。到達點A時，P、。同時停

止運動，設點尸運動的時間為，秒.

,產弋______,

APQB

1I

AB

備用圖1

A備用圖2B

⑴當f=4時，求線段PQ的長度；（2）當f為何值時，線段尸。的長為4cm?

（3）當f為何值時，使得點Q恰好是A、B、尸中兩點為端點的線段的中點？

【答案】（l）PQ=10cm⑵當/為6或g時，線段PQ的長4cm；

（3）當/為6,口或1時，使得點。恰好是A、B、尸中兩點為端點的線段的中點.

【分析】本題考查的是線段的和差運算，一元一次方程的應用，理解題意，清晰的分類討論是解本題關鍵.

（1）先求解當f=4時，AP=4cm,BQ=6cm,再利用線段的和差運算即可得到答案；⑵利用線段的和

差關系建立方程求解即可；（3）分三種情況：當點。為A8的中點時，當點。為尸3的中點時，當點。為好

的中點時，建立方程求解即可.

【詳解】（1）解：當t=4時，AP=4cm,8。=（4一l）x2=6（cm）,

PQ=AB-AP-BQ=20-4-6=10（cm）.

（2）由題意AP=r,BQ=2（t—l^,

當點尸在點。左側時，PQ=AB-AP-BQ=20-t-2（t-i）=4,解得r=6；

當點P在點。右側時，PQ=AP+BQ-AB=t+2（t-^-20=4,解得仁g.

綜上所述，當，為6或,時，線段PQ的長4cm.

（3）當點。為AB的中點時，Be=2（r-l）=1AB=1x20=10,解得t=6；

11194

當點。為尸2的中點時，BQ=2（r-l）=-BP=-（AB-AP）=-（20-r）,解得/=彳；

當點。為AP的中點時，AP=t=2AQ=2（AB-BQ）=2\_20-2（t-l^,解得

綜上所述，當t為6,胃或子時，使得點。恰好是A、B、P中兩點為端點的線段的中點.

例2.（24-25七年級上?河北衡水?期中）如圖，已知數軸上A,8兩點所表示的數分別為-2和8.

___III?

AOB

（1）若點A,B分別以每秒1和3個單位長度的速度向左移動，直接寫出移動多少秒時，A,B兩點的距離恰

好為8?（2）若尸為射線54上的一點（點尸不與A,B兩點重合），M為叢的中點，N為依的中點，當點尸

在射線54上運動時，線段的長度是否發生改變？若不變，請你畫出圖形，并求出線段的長；若改

變，請說明理由.（3）在第（2）問的條件下，點P所表示的數是多少時，PN=3PM1

【答案】（1）當移動1秒或9秒時，A,8兩點的距離恰好為8

（2）線段的長度不發生變化，其值為5,理由見詳解（3）點尸所表示的數為;或-7,PN=3PM

【分析】（1）設A、B兩點移動的時間為看，然后根據題意可分當點2在點A的右側和左側進行分類求解即

可；（2）此題可分兩種情況討論，即分=和=兩種情況求得的長即可得到答

案；（3）分當點尸在A、3兩點之間運動和點尸在點A的左側運動兩種情況求得AP的長，從而求得點尸所

表示的數.

【詳解】（1）解:設A、8兩點移動的時間為fs,由題意可知自后點在數軸上所表示的數分別為-2-/,8-3乙

當點8在點A的右側時，貝U有8—3r-（—2-。=8,解得：?=1；

當點8在點A的左側時，則有-2-/-（8-3。=8,解得：『=9；

綜上所述：當移動1秒或9秒時，A,8兩點的距離恰好為8；

（2）解：線段"N的長度不發生變化，其值為5.

;加為久的中點，N為PB的中點，：,MP=-AP,NP=-BP,

22

分下面兩種情況：①當點P在A、B兩點之間運動時（如圖）.

-AOM_P_N_B>

111

MN=MP+NP=-AP+-BP=-AB=5；

222

②當點尸在點A的左側運動時（如圖）.

PMAONB

111

MN=NP—MP=-BP——AP=-AB=5.

222

綜上所述，線段"N的長度不發生變化，其值為5.

（3）解：當點尸在A、B兩點之間運動時RV=3PM,

VMP=-AP,NP=-BP,/.AP=-BP,

223

X-.-AP+BP=10,解得：AP=-AB=I-,此時點尸所表示的數為L

422

當點尸在點A的左側運動時PN=3PM,同理得：AP=^BP,

BP-AP^10,解得：AP=-AB=5.此時點尸所表示的數為—7.

2

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用及數軸的知識，由于引進了數軸，我們把數和點對應起來，也就

是把“數，，和“形，，結合起來，二者互相補充，相輔相成，把很多復雜的問題轉化為簡單的問題，在學習中要注

意培養數形結合的數學思想.

例3.（23-24七年級上.天津和平?期末）已知：如圖1,M是定長線段48上一定點，C、。兩點分別從

5出發以lcm/s、3cm/s的速度沿直線向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段AM上，。在線段3”上）

?<——

?1???

ACMDB

圖1

AMB

圖2

（1）若AB=llcm,當點C、D運動了1s,求AC+MD的值；（2）若點C、D運動時，總有MD=3AC,求AM:3M

2MN

的值；（3）在（2）的條件下，N是直線AB上一點，&AN—BN=MN,直接寫出三二的值.

3AB

19

【答案】（l）7cm（2）l:3（3）§或w

【分析】本題主要考查了線段的和差問題和兩點間的距離的計算，（1）計算出CM和3。的長，進而可得出

答案；（2）由AC=A〃-CM,MD=8M-5r>,MD=3AC結合（1）問便可解答；

（3）由AN>3N,分兩種情況討論：①點N在線段A3上時，②點N在的延長線上時；結合圖形計算

出線段的長度關系即可求解；

【詳解】（1）解：當點C、D運動了1s時，CM=1cm,BD=3cm,

AB=11cm,CM=lcm,BD=3cm,AC+MD=AB-CM-BD=ll-l-3=lcm.

（2）解：設運動時間為r,則CM=t,3￡>=3f,?/AC=AM-1,MD=BM-3t,

又2WD=3AC,:.BM-3t=3AM-3t,BM=3AM,：.AM:BM^1:3；

(3)解：由(2)可得：BM=3AM,VBM^AB-AM,AB-AM=3AM,:.AM=AB,

點N在線段AB上時，如圖，

IIII

AMNB

VAN-BN=MN,AN-AM=MN,：.BN=AM=-ABf:.MN=-AB,即^^=」.

423AB3

當點N在線段A5的延長線上時，如圖，

????

AMBN

MN2MN2

VAN-BN=MN,AN-AM=MN,.,.MN=AB,A—=1,即34=工

AB3AB3

綜上所述，筌2MN的值為1:或2;.

3AB33

【點睛】本題考查求線段長短的知識，關鍵是細心閱讀題目，根據條件理清線段的長度關系再解答.

模型2.線段上動點問題中的定值模型

模型運用

例1.(24-25七年級上?廣東?假期作業)在數軸上點A,B,C所表示的數分別是-2,6,x(x>-2).

(1)求AB的長；(2)若點。是的中點，用含x的代數式表示。的長；(3)若點A以每秒5個單位的速度向

左運動，同時，點B以每秒20個單位的速度向右運動，點C從原點開始以每秒1個單位的速度向右運動，

記03的中點為E,AC的中點為F，試通過計算說明絲產的結果是定值.

【答案】(1)8⑵當-2<xV2時，CD=2-x；當x>2時，CD=x-2.(3)是定值，理由見解析

【分析】本題考查列代數式及數軸，熟知數軸上兩點之間距離的計算公式是解題的關鍵.

(1)根據數軸上兩點之間距離的計算公式即可解決問題.

(2)對點C與點。的位置進行分類討論即可解決問題.

(3)設運動時間為用含有/的代數式分別表示出OC及所的長即可解決問題.

【詳解】(1)解：因為點A,3所表示的數分別是-2,6,所以43=6-(-2)=8.

(2)解：因為點。是A3的中點，所以音^=2,則點。表示的數是2.

當-2<xV2時，CD=2—x.當x>2時，CD=x-2.

(3)解：設運動的時間為/,則點C運動后對應點所表示的數為"點A運動后對應點所表示的數為-2-57,

點B運動后對應點所表示的數為6+20f,

因為的中點為E,所以點E所表示的數為3+10J

因為AC中點為尸，所以點尸所表示的數為-1-23

所以AB=6+20f_（-2-57）=8+25，，OC=t,EF=4+12t,所以="25—=2.

EF4+12?

例2.（23-24七年級上?湖北武漢?期末）如圖（1）所示，已知直線/上有E,/兩點，EF=15cm,有一根木

棒A8放在直線/上，將木棒沿直線/左右水平移動.當點8與尸重合時，點A剛好落在點8移動前的位置,

當點A與E重合時，點B剛好落在點A移動前的位置.

I（（D）（5）

~~EABFC_EAF

圖⑴圖⑵

（1）直接寫出木棒A3的長；（2）木棒AB在射線所上移動的過程中，當=時，求AE的長；

（3）另一根木棒C。長為3cm,A3和CD在直線/上的位置如圖（2）所示，其中點。與E重合，點8與尸重

合.木棒A5以3個單位長度/秒的速度向左移動，木棒。以2個單位長度/秒的速度向右移動，它們同時出

發，設運動時間為/秒，若式子AD+3C的值為定值，請直接寫出此時f的取值范圍，并寫出這個定值.

【答案】（^l）5cm；（2）8cm或/~cm；（3）2<?<—,定值為8cm.

【分析】（1）根據題意可得A3的長等于硬的三分之一，即可求解；

（2）設AE=xcm,分點B在點尸左側和右側兩種情況列方程求解即可；（3）由式子AD+3C的值為定值

可判斷出木棒CD和木棒AB重疊，分別求出點E與點A重合和點E與點尸重合的時間，即可求出/的取值范

圍，由木棒CD和木棒A8重疊可得AD+3C的值為定值即為AB+CD的值；本題考查了一元一次方程的應

用，根據題意，找到等量關系，并運用分類討論的方法分別列出方程是解題的關鍵.

【詳解】（1）解：由題意可得，AB=|￡F=|xl5=5cm；

（2）解：設AE=xcm,當點8在點尸左側時，的=15—x—5=10-x,

；AE=4BF,：.x=4（10-x）,解得x=8,AAE=8cm：

當點3在點下右側時，BF=5-（15-x）=x-10,

/、4040

*.*AE=4BF,x=10）,解得x=/.AE=-^-cm；

40

AE1的長為8cm或cm；

（3）解：由題意可得，當木棒8和木棒AB重疊時，式子AD+3c的值為定值,

定值即為AB+CD=5+3=8cm,

當點E與點A重合時，2r+3r=15-5,解得f=2；

當點E與點尸重合時，2r+3r=15+3,解得f=w；

.?.當24區不時，式子AD+3C的值為定值，定值為8cm.

例3.（2024七年級上?重慶?專題練習）如圖①，已知線段AB=〃z,CD=n,線段CO在射線AB上運動（點

A在點B的左側，點C在點。的左側），且|利-14|+（7-〃）2=0

AB~

圖①

ABCD~

圖②

（1）若BC=4,求的長.（2）當C。在線段的延長線上時，如圖②所示，若點MN分別是線段AD,BC

的中點，求的長.（3）當C。運動到某一時刻，使得點。與點2重合時，若點尸是線段45延長線上任意

一點，請判斷f是否為定值,并說明理由.

7

【答案】（1）17或25⑵萬⑶是，見解析

【分析】此題主要考查了線段中點的定義，線段的計算，理解線段中點的定義，熟練掌握線段的計算是解

決問題的關鍵.先根據非負數的性質求出加=14,〃=7,則AB=14,CD=T.

⑴若3C=4,則有以下兩種情況，①當點C在點B的左側時，則&）=CQ-BC=3,根據">=AB+8D可

得AD的長；②當點C在點8的右側時，根據AD=AB+3C+C￡>可得AD的長；

11

（2）設BC=a,貝UAD=AB+3C+CD=21+a,根據線段中點定義得，AM=-AD=-（21+a）,

BN=-BC=-a,JMH^BM=AM-AB=-（a-l）,由此可得M2V的長；

222V7

（3）設PB=t,根據點。與點2重合，點C在點。的左側得點C在線段鉆上，再根據點尸在線段A3的

延長線上畫出圖形，結合圖形得以=14+1,PC=7+心則R4+EB=2（7+t）,據此可得出結論.

【詳解】⑴解：，?1〃?T4|20,（7-n）2>0,|m-14|+（7-n）2=0,

.二機—14=0,7—〃=0,解得：m=14,〃=7,/.AB=m=14,CD=〃=7,

若5c=4,則有以下兩種情況，①當點C在點3的左側時，如圖1①所示:

AC~B^

圖1-?

?.?AB=14,CD=7,BC=4,BD=CD-BC=7-4=3,..AD=AB+BD=14+3=17；

②當點C在點B的右側時，如圖1②所示：

AB~CD~

圖1-@

vAB=14,CD=7,3C=4,..AD=AB+3C+CD=14+4+7=25；

綜上所述：線段AO的長為17或25.

(2)解：設BC=a,如圖2所示：

ABMNCD~

圖2

:.AD=AB+BC+CD=\4+a+l=21+a,:點M,N分別是線段A￡),BC的中點，

:.AM=-AD=-(2\+a),BN=-BC=-a,：.BM=AM-AB=-(21+?)-14=-(fl-7),

222222

ii7

：.MN=BN-BM=-a——(a-7]=~；

22VJ2

pA_i_PR

(3)解：pg為定值，理由如下：設尸3=乙

???點。與點B重合，點C在點。的左側，.?.點C在線段AB上，

又?.?點P在線段的延長線上，如圖3所示：

ACB(D)P~

圖3

?.PA=AB+PD=14+t,PC=CD+PB=l+t,：.PA+PB=14+t+t=2(l+t),

PA+PBPA+PB

-----------=2.為定值.

PCPC

模型3.線段上動點問題中的存在性（探究性）模型

模型運用

例1.（2023?江蘇南通?七年級月考）如圖,數軸上點A,C對應的實數分別為-4和4,線段AC=8cm,AB=2cm,

CD=4cm,若線段AB以3cm/秒的速度向右勻速運動，同時線段8以1cm/秒的速度向左勻速運動.

111■?

AB0CD

（1）問運動多少秒時BC=2cm?（2）線段AB與線段8從開始相遇到完全離開共經過多長時間?

（3）尸是線段AB上一點，當B點運動到線段。上時，是否存在關系式如-AP=3PC.若存在，求線段尸￡（

的長；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）1秒或2秒；（2）1.5秒；（3）存在，3.5或5.

【分析】（1）分點8在點C的左邊和點8在點C的右邊兩種情況討論；

（2）所走路程為這兩條線段的和，用路程，速度，時間之間的關系可求解；

（3）隨著點8的運動，分別討論當點2和點C重合、點C在點A和3之間及點A與點C重合時的情況.

【詳解】（1）設運動f秒時2c為2單位長度，

①當點8在點C的左邊時，由題意得：3t+2+t=6,解得：7=1；

②當點B在點C的右邊時，由題意得：3t—2+t=6,解得：t=2.

綜合①②得：當運動1秒或2秒時BC=2；

（2）?；AB=2,點A在數軸上表示的數是7,點C在數軸上表示的數是4,

BC=6,而6+（3+1）=1.5（秒），，線段A3與線段CZ）運動1.5秒后相遇，

又AB+CD=2+4=6,6+（3+1）=1.5（秒），

線段A3與線段C。從開始相遇到完全離開共經過L5秒長時間；

（3）存在3O-AP=3PC,設運動時間為f秒，

①當，=（4+2）+（3+1）=1.5時，點8和點C重合，BD=CD=4,

???點P在線段A8上，0<PC<2,APA+3PC^PA+PB+2PC^AB+2PC^2+2PC,

.,.當PC=1時，BD=AP+3PC,BPBD-AP=3PC；此時PD=5,

②當1.5<f<2.5時，點C在點A和點B之間，0<PC<2,

當點P在線段BC上時，

BD=CD-BC=4-BC,AP+3PC=AC+4PC=AB-BC+4PC=2-BC+4PC,

；.4—BC=2-BC+4PC,PC=0.5,BD=AP+3PC,故PD=3.5時，BD—AP=3PC,

③當f=2.5時，點A與點C重合，0<PCV2,

BD=CD-AB=2,AP+3PC=4PC,■-4PC=2,■-PC=0.5,

BD=AP+3PC,故3D—AP=3PC,此時正￡>=3.5,

綜上，線段尸。的長為3.5或5.

【點睛】本題以線段和差為題考查了一次方程的應用；讀懂題意，分類列方程解決問題是解題的關鍵.

例2.（23-24七年級上?江蘇泰州?期末）【背景知識】數軸是重要的數學學習工具，利用數軸可以將數與形完

美結合.已知結論：數軸上點43表示的數分別為久b,則43兩點之間的距離AB=|a-W；線段A3的

中點表示的數為管.

【知識運用】（1）點A3表示的數分別為久b,若。與-"互為倒數，，與-7互為相反數.則A、2兩點

之間的距離為；線段A3的中點表示的數為.

【拓展遷移】（2）在（1）的條件下，動點尸從點A出發以每秒3個單位的速度沿數軸向左運動，動點。從

點B出發以每秒5個單位的速度沿數軸向左運動，點M是線段尸。的中點.

①點"表示的數是（用含/的代數式表示）；

②在運動過程中，點A、P、。中恰有一點是另外兩點連接所得線段的中點，求運動時間入

③線段尸Q、3的長度隨時間/的變化而變化，當點。在點尸左側時，是否存在常數機，使〃zPQ+AM為定

值？若存在，求常數加及該定值；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴12；1；（2）①1-4於②1.5或亍；③存在，加=-2,此時定值加PQ+A〃=18.

【分析】（1）根據題意，求出。、6,再根據結論解答即可求解；

（2）①根據題意，表示出/秒后點P、。表示的數，再根據線段中點計算公式求解即可；

②根據線段中點計算公式分三種情況解答即可求解；

③根據兩點之間的距離公式求出PQ、AM,得到根PQ+A〃=（2%+4"-12"-6,當2m+4=0時即可求出

常數加的值，進而求出定值.

【詳解】解：（1）與-（互為倒數，6與-7互為相反數，

a--5,6=7,AB=|-5-7|=12；

線段48的中點表示的數為三吆=1；故答案為：12；1；

（2）①f秒后，點P表示的數為-5-3入點。表示的數為7-5/,

?.?點M是線段PQ的中點，...點M表示的數是；〃=1-今,故答案為：1-書；

②當點P為4Q中點時，則2（-5-3。=7-5-5,解得/=-12,不合，舍去；

當點A為尸、。中點時，則2x（—5）=—5—3t+7—5t,解得r=L5；

當點。為尸、A中點時，貝42x（7—5。=一5—3/5,解得，=今；...運動時間I的值為1.5或一：

③當點。在點尸左側時，尸。=-5-3/-（7-5。=2/-12,⑷W=-5-（l-4。=4/一6,

/.mPQ+AM=m（2r-12）+4r-6=（27〃+4）r-12〃?-6,

當2〃z+4=0時，/.m=-2,止匕時，定值”?PQ+AM=-12x(-2)—6=18.

【點睛】本題考查了數軸上兩點間的距離計算公式，線段中點計算公式，掌握兩點間的距離計算公式和線

段中點計算公式是解題的關鍵.

例3.(2024?廣西桂林?七年級期末)如圖，在直線A8上，線段AB=24,動點P從A出發，以每秒2個單

位長度的速度在直線上運動.M為AP的中點，N為8尸的中點，設點尸的運動時間為f秒.

AMPNB

-AB

(1)若點P在線段AB上的運動，當正知=10時，PN=；(2)若點尸在射線A2上的運動，當PM=2PN

時，求點尸的運動時間f的值；(3)當點尸在線段A8的反向延長線上運動時，線段48、PM、PN有怎樣的

數量關系？請寫出你的結論，并說明你的理由.

【答案】(1)PN=2(2)8或24(3)PN-PM=：A3,見解析

【分析】(1)根據題中條件直接計算即可求解；

(2)分點尸在線段43上運動和線段A3的延長線上運動進行討論，從而求解；

(3)先將尸m和PN表示出來，再求出線段A3、PM、PN之間的數量關系.

(1)解：：M為AP的中點，PM=10,：.AP=20,

?..線段AB=24,N為8尸的中點，；.PN=(24-20)+2=2.故答案是：2；

(2)解：①當點P在線段A8上，PM=2PN時，如圖，

~~AMP_NB

?：PM^AM=^AP^t,PN=BN=；BP=g(AB—AP)=12—t,：.t=2(12-t),解得：r=8.

②當點尸在線段48的延長線上，PM=2PN時，如圖，

~AMBNP

,：PM=AM=^AP=t,PN=BN=3BP=；(AP-AB)=t-12,.?"=2?—12),解得：r=24.

綜上所述，當尸加時，點尸的運動時間r的值為8或24.

(3)解：當點P在線段A8的反向延長線上時，PN-PM=-AB,

2

PM__ANB-

PM^AM=-AP,PN^BN^-BP=-(AP+AB)^-AP+-AB,

22222

/.PN-PM=-AP+-AB--AP=-AB.

2222

【點睛】本題主要考查了點的運動和線段之間的關系，熟練掌握幾何的基礎知識是解答本題的關鍵.

模型4.閱讀理解型(新定義)模型

模型運用

例1.(24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習)【新知理解】如圖①，點C在線段48上，圖中共有三條線

段AB、AC和3C,若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段A3的“巧點”.

(1)線段的中點這條線段的“巧點”(填“是”或“不是”)；

(2)若AB=12cm,點C是線段的巧點，則AC最長為cm；

【解決問題】(3)如圖②，已知AB=12cm,動點尸從點A出發，以2cm/s的速度沿A8向點B勻速移動；

點。從點8出發，以lcm/s的速度沿54向點A勻速移動，點尸、。同時出發，當其中一點到達終點時，運動

停止，設移動的時間為〃s).當/為何值時，尸為A、。的巧點？說明理由.

AcB

圖①

?__?

AB

圖②

?__?

AB

圖②備用圖

?_____?

AB

圖②備用圖

【答案】(1)是；(2)8；(3)當/為3s或了s或ys時，尸為A、。的巧點

【分析】本題考查了線段的相關計算，與線段有關的動點問題，一元一次方程的應用.

(1)根據“巧點”的定義解答即可；

2

(2)點C為線段AB的巧點，則AC最長時，滿足AC=23C,即AC=]AB,即可求解;

⑶根據“巧點”的定義，分為”=2P。或尸0=24尸或AP=PQ,三種情況，分別計算即可求解.

【詳解】（1）解：???點C在線段A8上，點C為線段的中點，

，AB=2AC,.?.點C是線段AB的的“巧點”，故答案為：是.

（2）解：點C在線段AB上，點C為線段A3的巧點，.?.則AC最長時，滿足AC=23C,

2

BPAC=—AB,AC=8cm,故答案為:8.

（3）解：f秒后，AP=2t>=12—t,PQ=AQ—AP=12—t—2t=12—3t,

,:P為A、。的巧點；.AP=2PQ或尸Q=2AP,或AP=PQ,

當AP=2PQ時，2?=2（12-3/）,解得：t=3,

12

當尸0=2"時，12-3r=2x2/,解得：t若,

12

當AP=P。時，12-3f=2f,解得：t=—,

...當f為3s或112s或12時，p為A、。的巧點.

AT

例2.（23-24七年級上.江蘇泰州?期末）【概念學習】點C在線段A8上，若警=%則稱〃是點C在線段A3

AB

上的“分點值”，記作（A-8）c=a.例如，如圖1,若嬰=：，則點C在線段上的“分點值”是。，記作

AB33

（A^B）c=|；若器=g，則嘿=|，故點O在線段48上的“分點值”是|，記作（Af町

I-------1----------1---------------1illII

ACDBACPDB

圖1圖2

【理解與應用】（1）已知點C在線段48上.若AB=9,AC=4.5,貝。；

2

若3C=6,（A^B）c=-,則AB=.

（2）如圖2,線段AB=24cm,尸是線段AB上一點，C、。兩點分別從點P、8出發以lcm/s,2cm/s的速

度同時向點A運動，運動的時間為犯，當其中一點到達點A時，兩點都停止運動.

①若點。在尸3上運動時，總有PD=2AC,求出（A->3）p的值；

17

②若（A-則當/為何值時，（A-P）c+（Pf

③若/=7s時，CD=1cm,則（AfB）p=.

1i?3

【答案】⑴萬；18（2）①§；②/=3s；③］或1

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，線段的數量關系，解題關鍵在于理解新定義，根據新定義列出

方程即可.（1）根據新定義，列出式子即可.（2）①設PC=7,BD=2t,表示出AC,列式子求解.

②根據定義，（A-P）c+（P-2）。=不+=，表示出AC，尸。即可求解.③分兩種情況進行討論，一個

cuAPPB

是當C在。的左側時，一個當C在。的右側時，根據新定義列出式子，進行求解.

451

【詳解】（1）解：若AB=9,AC=4.5,貝=嚓=三=

'/cAB92

7AC?

若3C=6,（A-8）C=4,貝U（A-B）C=菽=4，

JAoJ

VBC=6,AC+BC=AB：.AB-AC=6.

,：2AB=3AC：.AB=18.故答案為：-；18；

2

(2)①尸C=f,BD=2t.VPD=2AC,：.AC+PC+PD+BD=AC+t+2AC+2t=24.

APAC+PC8—/+?1

：.AC=8-/..

AB24243

Ap1

AP=6,則尸B=AB-AP=24-6=18.

AC=6-t,PD=PB—BD=18—2t,

A_C_________P__]D__________7_____.ACPD6-t18-2/1.c

?.?(AfP)c+(Pf5)。一?一=,故/=3s；

APPB6APPB6186

③,.r=7.APC=7,BD=14.分兩種情況:

當c在。的左側時,

ACDPB

VCD=1,：.PD=6.：.BP=BD-PD=8.

A尸2

可知，AP=AB-BP=\6,貝l](A-8]=7=彳；

AB3

當c在。的右側時，

IIIII

ADCPB

AD=AB-BD=24-14=10.AP=AD+DC+PC=W+1+7=18,

Apa7T.23

則（4.3）,=笠=J；綜上所述，或:；故答案為：!■或

例3.（23-24七年級上.江蘇無錫.階段練習）如圖1,數軸上48兩點表示的數分別是-1和3,將這兩點在

數軸上以相同的速度同時相向運動，若A,8分別到達M,N兩點（我們用表示以點A、點2為端點的

線段的長，MN、加2代表示的含義以此類推），且滿足=（左為正整數），我們稱AB兩點完成了一

次“準相向運動”.如圖2若它們按照原來的速度和方向繼續運動，分別到達加2，%兩點，且滿足

MN=kM2N2（左為正整數）我們稱48兩點完成了二次“準相向運動”….

,,，士4f，T，%，十」,%N>

-5-4-3-2-1012345-5-4-3-2-101234567

圖1圖2

⑴若A,2兩點完成了一次“準相向運動”.①當人=2時，M,N兩點表示的數分別為、；

②當上為任意正整數時，求M,N兩點表示的數；（2）如圖2所示，若A,B兩點完成了兩次“準相向運動”，

并分別到達加2，乂兩點，若左不變，求M?，M兩點所表示的數（用含左的式子表示）；

（3）若A,8兩點完成了〃次“準相向運動”，并分別到達兩點，當左=2時是否存在點加“，使其表示的

數為65?如果存在，求完成的次數〃和此時點M所表示的數；如果不存在，說明理由.

【答案】（1）①5,-3；②M點為2A+1,N點、為l-2k

（2）M為（1一2嚴），％為（1+2%2）（3）存在，〃為5,2為一63

【分析】（1）①由題意可得AM=3N,從而得到4V=,再由MV=2AB,可得MN=2義4=8,N4==2,

即可求解；②根據ACV=fc4B,可得MN=4k,NA=BM=k-l,即可.

（2）由（1）中②可得兩點的值，再進行一次“準相向運動”計算，根據點和N?也關于4B中點1對

稱，且左值不變即可求解.⑶根據題意可得MN=2MTN.T=2（2M_2N"_2）=-2"AB=2"X4=2"+2,根

據4V=3”,可得點加"，2到AB的中點的距離相等，從而表達出對應M"和N”的值，從特殊取值過程

中，研究w和點以及乂點的關系，總結出一般規律進行解題.

【詳解】（1）解：①「A點和2點的速度相同，時間也相同，那么運動路程也相同，

/.AM=BN.：.AM-AB=BN-AB.：.AN=BM.

?..數軸上A,2兩點表示的數分別是-1和3,二AB=4,

又,：MN=2AB,MN=2x4=8,NA=BM=（8-4）^2=2,

.??M點為5,N點為-3,故答案為：5,-3.

②；A點和3點的速度相同，時間也相同，那么運動路程也相同，

AM=BN.：.AM-AB=BN-AB.：.AN=BM.

???數軸上A,2兩點表示的數分別是-1和3,

AB=4,且力B中點所對應的數為1,

又?.?4V=3M,中點所對應的數也為1,

,:MN=kAB,:.MN=4k,NA=BM=（4k-4）^2=k-l,

?，?A/點為（％—l）x2+3,即2k+1,N點為—1—（左—1）x2,即1-2左;

（2）解：由（1）中②可得M點為（2左+1）,N點為（1-2左），心點和生也關于腦V中點1對稱，

2

[MV]=（2左+1）—（1—2左）=4左.|Af2A^2|=kx.4k=4k,

22

：.\^A=2k.：.M2^j（l-2k）,M為（1+2/）.

（3）解：存在，理由：：左=2,A,8兩點完成了〃次“準相向運動”，

；?MA=2盟1TM-=2（2%％）=…2?AB=2?X4="

?..數軸上A,8兩點表示的數分別是-1和3,A3的中點所表示的數為1,

點和B點的速度相同，時間也相同，那么運動路程也相同，

:.AM=BN.：.AM-AB=BN-AB.：.AN=BM,：.懸M”,到A3的中點的距離相等，

當〃為1時，根據（1）得：此時監點為5,做為一3,

當〃為2時，場為—3-4=一7,M為5+4=9,

當”為3時，％為5+4+8=17,%為—3-4—8=—15,

當"為4時，加4為一3—4-8—16=—31,為5+4++8+16=33,

以此類推發現w為奇數時，為正數，而正數的規律是5+22+23+24+.........+2”，

45+22+23+24+---+2"=5,?*.2S=23+24+……+2"包，

/.2S-S=S=2"+1-22,AM?=2n+1-22+5=2"+1+l..

當M“表示的數為65時，2向+1=65,解得：〃=5.

又：用5和N,關