浙教版中考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)講義

第三單元函數(shù)及其圖象

《第10講一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)》

【知識(shí)梳理】

1.一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)7=履十仇左，6都是常數(shù)，且厚0）叫做一次函數(shù).當(dāng)6=0時(shí),丁=h+6就成

為y=kx,叫做正比例函數(shù),常數(shù)左叫做比例『教.

2.一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

（1）一次函數(shù)的圖象:一次函數(shù)丁=日+伙片0）的圖象是經(jīng)過點(diǎn)（0,b燈點(diǎn)（J,0）的一

條直線.正比例函數(shù)y=fcc（厚0）的圖象是經(jīng)過點(diǎn)（0,0）和點(diǎn)（1,k）的一條直線.

（2）一次函數(shù)的性質(zhì)：

函數(shù)常數(shù)取值大致圖象經(jīng)過的象限性質(zhì)

iy隨x的增

k>0第一、三象F艮

y—kx大而增大

（摩0）y隨x的增

k<0第二、四象F艮

大而減小

k>0,

第一、二、三象F艮

b>0dy隨x的增

k>0,大而增大

第一、三、四象F艮

y=kx+bb<0J

（厚0）k<0,

第一、二、四象F艮

b>0y隨x的增

k<0,大而減小

第二、三、四象F艮

b<0b

（3）拓展:已知直線h:y=kix-\-bi,Ir.y=k2x-\-b2,若k\=kr/^）且b\^bi,則兩直線平行;若ki,ki

=-L則兩直線垂直.

3.一次函數(shù)與一次方程（組）、一次不等式（組）

（1）方程kx+b=G的解是直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

⑵方程組[，=七"十瓦'的解是直線y=kix+bi與y=kvc+bi的交點(diǎn)的坐標(biāo).

{y=k2x+b2

（3）一元一次不等式（組）的解可由一次函數(shù)的圖象觀察得出.

【考題探究】

類型一一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【例1][2023?臨沂]對(duì)于某個(gè)一次函數(shù)丁=履+僅厚0）,根據(jù)兩位同學(xué)的對(duì)話得出的結(jié)論,

錯(cuò)誤的是（C

例1圖

A.k>0B.kb<0

C.k+b>0D.左=一戈

【解析】?.,一次函數(shù)/到0）的圖象不經(jīng)過第二象F艮,

fc>0.

?.?曲教圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,0）,：.0=2k+b,

：.k=~-2b,b<0,

：.kb<0,左+8=，>V0.故選C.

變式1—1[2024?山西]已知點(diǎn)A（xi,州），Bg竺）都在正比例函數(shù)y=3x的圖象上，若xi

<X2,則yi與>2的大小關(guān)系是（B）

A.yi>>2B.ji<y2

C.yi=yiD.yiN”

變式1—2[2024?自貢]一次函數(shù)y=（3根+l）x—2的值隨x的增大而增大，請(qǐng)寫出一個(gè)滿足

條件的m的值1（答嗓不唯一）.

【解析】?.,y=（3?i+l）x—2的值隨x的增大而增大,

1

/.3zn+l>0,工ni可以為1.

變式1一3［2024,通遼］如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與y=左2%+歷(其

中左次iRO,ki,k2,bi,歷為常數(shù))的圖象分別為直線/1,/2.下列結(jié)論正確的是(A)

變式1—3圖

A.Z?I+Z?2>0B力也>0

C.左1+左2VoD.kik2<0

【解析】由圖象可得，仇=2,岳=—L怎>0,近>0,

??.歷+。2>0,bib2V0,1+42>0,左次2>0.

類型二用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式

【例2］［一題多解］［2023?杭州］在“探索一次函數(shù)丁=履+6的系數(shù)匕6與圖象的關(guān)系”的

活動(dòng)中，老師給出了直角坐標(biāo)系中的三個(gè)點(diǎn):A(0,2),BQ,3),C(3,1).同學(xué)們畫出了經(jīng)過這

三個(gè)點(diǎn)中每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象，并得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)i=kix+bi,y2=kix+b2,

y3=fcu+Z?3.分別計(jì)算上i+bi,ki+bi,依+63的值，其中最大的值等于5.

iC

I

例2圖

【解析】方法一:設(shè)直線A5的函數(shù)表達(dá)式為》=怎*+仇，將點(diǎn)4(0，2),B(2,3)代人,

(瓦=2,k=-,

得斛得12

(2/q+瓦=3,(瓦=2,

.?.依+岳=|.

設(shè)直線AC的函數(shù)表達(dá)式為［2=后x+歷，將點(diǎn)4(0,2),C(3,1)代人,

歷=2,k2=一［，

得

3k2+匕2=1，力2=2,

：.k2+bi=^.

設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為］3=左設(shè)+方3,

將點(diǎn)5(2,3),C(3,1)代人,

2k3+63=3,&=一2,

得解得

3/c3+b3=l,力3=7,

?.依+岳=5,

'.ki+bi，依+歷，43+分3的值中最大的值等于5.

方法二:在圖中分別作出直線A5,BC,AC和直線x=L易知直線5c與直線x=l的交點(diǎn)(1,

5)位置最高，故島+岳，42+歷，43+九的值中最大的值等于5.

變式2—1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(0,2),點(diǎn)A(4,2).以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心,

把點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°,得點(diǎn)B.在M(—y,0),A/2(-V3,—1),〃3(1,4),M4(2

葭)四個(gè)點(diǎn)中，直線P3經(jīng)過的點(diǎn)是(B)

A.MiB.M2

C.M3DM

【解析】VAA(4,2),1(0,2),

軸，PA=4.

由旋轉(zhuǎn)，得NAP6=60。，PB=PA=4.

如答圖，過點(diǎn)5作BC±y軸于點(diǎn)、C,則ZBPC=3Q°,

變式2—1答圖

：.BC=2,PC=2V3,AAB(2,2+2V3).

由點(diǎn)尸，5的士標(biāo)得，直線P5的函數(shù)表達(dá)式為y="\/Wx+2.

當(dāng)*=一子時(shí)，y=-1+2=1,

AAM1(-y,0)不在直線尸5上；

當(dāng)x=_B時(shí)，y=-3+2=-1,

AAM2(-V3,—1)在直線Pb上；

當(dāng)x-1時(shí)，y=V^+2,

/.AM3(l,4)不在直線上；

當(dāng)x=2時(shí)，y=2V^+2,

二點(diǎn)網(wǎng)2,芳)不在直線尸5上.

綜上所述，直線尸5經(jīng)過的點(diǎn)是腔.

變式2—2[2024?蘇州]直線/i：y=x—1與x軸相交于點(diǎn)A,將直線/i繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°,

得到直線/2,則直線辦對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為尸島一百.

【解析】如答圖，將x=0代入y=x-19得y=-1,

???點(diǎn)6(0,-1).

變式2—2答圖

將y=0代-y=x—1,得x=L

Z.AA(l,0),：.OA=OB=1,

：.NOBA=NOA5=45。.

由旋轉(zhuǎn)可知，ZBAC=15°,

:.ZOAC=450+15°=60°.

nr

在中，

Rt^AOCtanZOAC^—OA,

：.OC=y/3,

則點(diǎn)C的金標(biāo)為(0,-V3).

設(shè)直線，2的曲數(shù)表達(dá)式為y=kx~\~b,

(k-\-b=0,f/c=V3,

則《「解得廣

lb=—V3,kb=—>/3,

直線，2的四數(shù)表達(dá)式為j=V3x—V3.

類型三一次函數(shù)與一次方程(組)、一次不等式(組)

【例3】已知一次函數(shù)y=3x—1與丁=履(左是常數(shù)，片0)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),則方程

(口

組3x—7y=l,的-解“是_(x=l,

{.kx—y=0ly=2

變式3[2024?廣東]已知不等式乙+6<0的解是x<2,則一次函數(shù)丁=履+》的圖象可以是

類型四一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸所圍圖形的面積問題

【例4][2024?涼山州]如圖，一次函數(shù)丁=區(qū)+優(yōu)原0)的圖象經(jīng)過A(3,6),B(0,3)兩點(diǎn),

交x軸于點(diǎn)C,

【解析】:一次函數(shù))=履+辦的圖象經(jīng)過4(3,6),B(0,3)兩點(diǎn),

3/c+b=6,k=l,

解得

力=3,b=3,

?二一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x+3.

當(dāng)y=0時(shí)，x=-3,

???點(diǎn)。(-3,0),

???S/kAoc=￡X3X6=9.

變式4直線丁=丘+6經(jīng)過點(diǎn)A(—5,0),B(—l,4).

(1)求直線A3的函數(shù)表達(dá)式.

(2)求直線CE-.y=-2x—4與直線AB及y軸所圍圖形的面積.

解:(1)把點(diǎn)A(—5,0),6(—1,4)的生標(biāo)分別代入y=fcr+Z>,

f—5/c+￡>=0,(k=l,

得解得

1―/c+i>=4,(5=5,

直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=x+5.

(2)對(duì)于四數(shù)y=x+5,取x=0,得y=5,得到點(diǎn)(0,5);

對(duì)于四教y=-2x—4,取x=0,得y=-4,得到點(diǎn)(0,-4).

fy=x+5,f%=-3,

嵌立《解得

iy=-2x—4,ly=2,

直線A5與直線CE的交點(diǎn)生標(biāo)為(一3,2),

直線CE與直線A5及)軸所圉圖形是以(0,5),(0,-4),(一3,2)為頂點(diǎn)的三角形，其面

爾*X[5-(-4)]X|-3|=y.

類型五一次函數(shù)的綜合

[例5][2023?溫州]如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,m)在直線y=2x-|±,過點(diǎn)A

的直線交y軸于點(diǎn)3(0,3).

(1)求m的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式.

⑵若點(diǎn)P。，券)在線段A3上，點(diǎn)QQ—1,*)在直線尸2L|上，求yi—*的最大值.

解:⑴把點(diǎn)4(2,而)代入y=2x—|,得zn=|.

設(shè)直線A5的函數(shù)表達(dá)式為y=Ax+Z>,把點(diǎn)A(2,g),5(0,3)代入，得

2/c+b=-,k=—~,

2解得4

b=3,Z)=3,

-2

/.直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=--x+3.

4

⑵?.?點(diǎn)P(t,以)在線段A5上，點(diǎn)Q(t~1,戶)在直線j=2x-j±,

,2CQ

.?.yi=—/+3(0W/W2),y2=2(t—l)—-=2t—-,

4NN

J2=—|z+3—(2t—0=

?.,一1<0,.'.yi-)2的值隨/的增大而減小,

1c.

，當(dāng)，=0時(shí)，以一［2取最大值萬.

變式5［2024?北京］在平面直角坐標(biāo)系x°y中，函數(shù)丁=履+。(后0)與y=—日+3的圖象相

交于點(diǎn)(2,1).

(1)求左，6的值.

(2)當(dāng)x>2時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)的值既大于函數(shù)丁=依+》的值，也大于

函數(shù)y=—h+3的值，請(qǐng)直接寫出冽的取值范圍.

解:(1)二?直線y=一依：+3過點(diǎn)(2,1),

：.-2k+3=l,斛得左=1.

將點(diǎn)(2,1)代入y=x+〃，<2+6=1,

將得b=~l.

(2)如答圖，

變式5答圖

【課后作業(yè)】

1.[2023?新疆]一次函數(shù)y=x+l的圖象不經(jīng)過（D）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.[2023?上海]下列函數(shù)中，函數(shù)值y隨x的增大而減小的是（B）

A.y=6xB.y=~6x

C.y=-D.L?

X

3.[2024?德陽]正比例函數(shù)丁=日（后0）的圖象如圖所示，則左的值可能是（A）

2

C.-1D--

3

4.如圖，直角坐標(biāo)系中有矩形A03C,其中點(diǎn)A（—2,0）,3（0,1）,。是原點(diǎn).若正比例函數(shù)y

=履（厚0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C,則左的值為（A）

力卜

Cl---------------B

A0x

第4題圖

1cl

AA.1-B.-

22

C.-2D.2

5.[2023?陜西]在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=以和為常數(shù)，。＜0）的圖象可

能是（D）

B

6.[2024?上海]若正比例函數(shù)y=Ax(?0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(7,—13),則y的值隨x的增大而」

小(填“增大”或“減小”).

7.[2024?揚(yáng)州]如圖，已知一次函數(shù)>=履+。(*0)的圖象分別與x軸、y軸相交于A,3兩點(diǎn).

若。4=2,OB=1,則關(guān)于x的方程」+力=0的解為x=-2

8.在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線y=—x+4與y=2x+機(jī)相交于點(diǎn)P(3,n),則關(guān)于x,y的

x+y-4=0,…力生x=3,

方程組的解為.

.2%—y+m=0y=i

9.[2023?蘇州]已知一次函數(shù)丁=履+6的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3),(-1,2),則0=一6.

3=k+b,

【解析】將點(diǎn)(1,3),(-1,2)代入y=fcc+上得

2=-k-\-b,

：.k2-b2=(k+b^k-b)=-(k+b)(-k+b)=-3X2=-6.

10已知一次函數(shù)(際0)的圖象經(jīng)過(0,2),(1,3)兩點(diǎn).

(1)求左,6的值.

(2)若該函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A(a,0),求a的值.

解:(1)把點(diǎn)(0,2),(1,3)的金標(biāo)代入

2=b,k=l,

得解得

3=k.-\-b,,b=2.

(2)由(1),得y=x+2.

令y=0,得x=—2,：.a=-2.

11.已知(XI,yi),(X2,丁2),(X3,中)為直線y=-2x+3上的三個(gè)點(diǎn)，且X1<X2<X3,則下列判

斷中，正確的是(D)

A.若xiX2>0,則yiys>0

B.若xiX3<0,貝！J丁1”〉0

C.若X2X3>0,則丁1丁3>0

D.若X2X3<0,則yiy2>0

【解析】在y=-2x+3中，y隨X的增大而城小，當(dāng)y=0時(shí)，x=1.5.

V（xi，yi）,（X2，?2），。3，）3）為直線y=-2x+3上的三個(gè)點(diǎn)，且

?二若％1X2>O，則%1，%2同號(hào)，但不能確定的正負(fù)，A不符合題意.

若X1X3VO，則X1V0,%3>0，但不能確定力32的正負(fù)，B不符合題意.

若22X3>0，則X2,23同號(hào)，但不能確定”y3的正負(fù)，C不符合題意.

若X2X3<0,則Xl<X2<0,X3>0,Ajl>j2>0,

*??D符合題意.

12.[2023?南充]如圖，直線y=丘一2左+3（%為常數(shù)，左V0）與％,y軸分別相交于點(diǎn)A,B,則

總+總的值是.

第12題圖

【解析】在y=H-24+3中,

2"—?

令x=0,則y=-2左+3;令y=0,則x=1—,

K,

.?.點(diǎn)A的金標(biāo)為（片，0）,點(diǎn)5的金標(biāo)為（0,—2左+3）,

：?OA=^AOB=-2k+3,

k

.2_|_3_2_|_3

?.04丁082k—3-2fc+3

k

2k_3

2k—32k—3

2/c—3

2k—3

=1.

13.如圖，將八個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形擺放在平面直角坐標(biāo)系中.若過原點(diǎn)的直線/將圖形分成

面積相等的兩部分，則直線/的函數(shù)表達(dá)式為上總

【解析】設(shè)直線，與圖形上邊界的交點(diǎn)生標(biāo)為(a,3),

1in

則由題意，得了?3—1=4,解得。=石.

設(shè)直線，的函數(shù)表達(dá)式為y=kx,

109

則3=左?云，斛得左=而，

9

???直線/的曲教表達(dá)式為y=-x.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)。為圓心，3為半徑作圓，直線y=mx—機(jī)+2與。。

相交于A,3兩點(diǎn)，則43的最小長(zhǎng)度是4.

【解析】?.,直線y=?zx—?z+2=7〃(x—1)+2,

,直線必過點(diǎn)C(L2),

二最短的弦AB是過點(diǎn)。且與OC垂直的弦.

如答圖，連結(jié)。C,過點(diǎn)C(L2)^AB±OC,文。。于點(diǎn)A,B,連結(jié)。5,則A5=25C.

第14題答圖

VAC(l,2),；.OC=花.

TO。的半徑為3,：.OB=3,

：.BC=32-(V5)2=2,：.AB=2BC=4,

即AB的最小長(zhǎng)度為4.

15.如圖所示為一個(gè)“函數(shù)求值機(jī)”的示意圖，其中y是x的函數(shù).下面表格中的數(shù)據(jù)是通過該

函數(shù)求值機(jī)”得到的幾組x與y的對(duì)應(yīng)值.

輸入X一6-4-202???

輸出y…一6-22616???

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)當(dāng)輸入的x值為1時(shí)，輸出的y值為8.

(2)求比6的值.

(3)當(dāng)輸出的y值為0時(shí)，求輸入的x值.

/輸Ax/

/輸出y/

第15題圖

解:(2)把點(diǎn)(一2,2),(0,6)的生標(biāo)分別代入

(2=—2k+b,(k=2,

得斛得

(6=5,(,b=6.

(3)令y=0,由y=8x,得0=8x,

，x=0Vl(舍去).

由y=2x+6,得0=2x+6,.,.x=-3V1,???當(dāng)輸出的y值為0時(shí)，輸入的x值為-3.

16.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,附在直線y=2x—3上，過點(diǎn)A的直線交y軸于點(diǎn)3(0,

3).

(1)求m的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式.

⑵若點(diǎn)P(f,yi)在線段A3上，點(diǎn)0(7+1,券)在直線y=2x—3上，判斷2刀十”的值是否隨/

的變化而變化，若不變，求出這個(gè)值;若變化，求出它的取值范圍.