八平面向量的正交分解及坐標表示平面向量加、減運算的坐標表示(時間:45分鐘分值:90分)【基礎全面練】1.(5分)下列說法不正確的是()A.相等向量的坐標相同B.平面上一個向量對應于平面上唯一的坐標C.一個坐標對應于唯一的一個向量D.平面上一個點與以原點為始點、該點為終點的向量一一對應【解析】選C.由向量坐標的定義不難看出一個坐標可對應無數個相等的向量,故C說法不正確.2.(5分)(2024·忻州高一檢測)已知A(1,1),B(3,4),平面向量的坐標是()A.(2,3) B.(2,3)C.(2,3) D.(2,3)【解析】選D.由已知=(3,4)(1,1)=(2,3).3.(5分)(2024·盤錦高一檢測)已知向量=(1,5),=(2,1),則=()A.(4,6) B.(1,4)C.(2,4) D.(2,4)【解析】選B.=+=(1,4).4.(5分)(2024·嘉興高一檢測)已知向量a=(1,2),ab=(3,2),則b=()A.(2,0) B.(4,4) C.(2,0) D.(5,6)【解析】選A.因為b=a(ab)=(1,2)(3,2)=(2,0),所以b=(2,0).5.(5分)若向量a=(2x1,x2+3x3)與相等,且A(1,3),B(2,4),則x的值為()A.1 B.1或4 C.0 D.4【解析】選A.由已知得,=(21,43)=(1,1),因為a=(2x1,x2+3x3)與相等,所以2x?1=1,x2+3x【補償訓練】對于向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),定義m?n=(x1x2,y1y2).已知a=(2,4),且a+b=a?b,那么向量b等于()A.2,45 B.2,45C.2,45 D.2,45【解析】選A.設b=(x,y),由新定義及a+b=a?b,可得(2+x,y4)=(2x,4y),所以2+x=2x,y4=4y,解得x=2,y=45,所以向量b=2,45.6.(5分)(多選)(2024·合肥高一檢測)在平面直角坐標系中,若點A(2,3),B(3,4),如圖所示,x軸、y軸同方向上的兩個單位向量分別為i和j,則下列說法正確的是()A.=2i+3j B.=3i+4jC.=5i+j D.=5i+j【解析】選AC.由題圖知,=2i+3j,=3i+4j,故A正確,B不正確;==5i+j,==5ij,故C正確,D不正確.7.(5分)在平面直角坐標系內,已知i,j分別是x軸與y軸正方向上的單位向量,若a=2i3j,則a的坐標為__________.

答案:(2,3)【解析】由題意可得a=2i3j,則a的坐標為(2,3).8.(5分)已知=(2x)i+(1x)j,且的坐標所表示的點在第四象限,則x的取值范圍是________.

答案:(1,2)【解析】由題可得=(2x,1x),因為的坐標所表示的點在第四象限,所以2?x>01?x<09.(5分)設A,B,C,D為平面內的四點,已知A(3,1),B(2,2),且=.若C點坐標為(1,4),則D點坐標為__________.

答案:(6,5)【解析】由題設,=(5,1),若D(x,y),則=(x+1,y4),則有(5,1)=(x+1,y4),即x+1=?5y?4=1,可得x=?6y=510.(10分)(2023·周口高一檢測)若A,B,C三點的坐標分別為(2,4),(0,6),(8,10),求+,的坐標.【解析】因為A,B,C三點的坐標分別為(2,4),(0,6),(8,10),所以=(2,10),=(8,4),=(10,14),所以+=(10,14),=(2,10).【綜合應用練】11.(5分)(2024·天津高一檢測)已知向量與a=(6,8)的夾角為π,且||=|a|,若點A的坐標為(1,2),則點B的坐標為()A.(7,10) B.(7,10)C.(5,6) D.(5,6)【解析】選A.由已知得,與a的長度相等,方向相反,所以=a=(6,8),又因為點A的坐標為(1,2),設B(x,y),則=(x+1,y2)=(6,8),所以x+1=?6y?2=8,解得x=?7y=1012.(5分)如果點P(1,3)按向量a平移后得到點Q(4,1),則點M(2,1)按向量a平移后得到點N的坐標為()A.(1,5) B.(5,1)C.(5,1) D.(1,5)【解析】選C.因為a===(4,1)(1,3)=(3,2),所以點N的坐標為(3,2)+(2,1)=(5,1).13.(5分)(2024·西安高一檢測)已知點A(2,7),向量繞原點O逆時針旋轉π2后等于,則點B的坐標為__________.

【分析】根據角的關系β=α+π2,再結合任意角三角函數定義sinα=yr,cosα=x答案:(7,2)【解析】設||=r,∠AOx=α,∠BOx=β,B(x0,y0),則rsinα=7,rcosα=2,β=α+π2x0=rcosβ=rcosα+π2=rsinα=7,y0=rsinβ=rsinα+π2=rcosα=2,即點B的坐標為(7,2).14.(10分)在平面直角坐標系xOy中,已知點A(1,1),B(2,3),C(3,2),(1)若=+,求點P的坐標;(2)若++=0,求的坐標.【解析】(1)因為=(1,2),=(2,1),所以=(1,2)+(2,1)=(3,3),即點P的坐標為(3,3).(2)設點P的坐標為(x,y),因為++=0,且++=(1x,1y)+(2x,3y)+(3x,2y)=(63x,63y),所以6?3解得x所以點P的坐標為(2,2),故=(2,2).15.(10分)以原點O及點A(23,2)為頂點作一個等邊△AOB,求點B的坐標及向量的坐標.【解析】因為△AOB為等邊三角形,且A(23,2),所以||=||=||=4.因為在0~2π內,以Ox為始邊,OA為終邊的角為11π6,當點B在OA的上方時,以OB為終邊的角為π6,=4cosπ6,4sinπ6=(23,2).所以==(2