專題06一元二次方程

課標要求考點考向

考向一一元二次方程的相關概

1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系

念

數(shù)的一元二次方程;解一元

考向二解一元二次方程

2.會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩二次方

個實根是否相等;程考向三一元二次方程根的判別

3.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系列出方程，體會方程是刻畫式

現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型;

4.能利用一元二次方程解決實際應用問題，并根據(jù)具體問題考向一增長率問題

的實際意義，檢驗方程的解是否合理.一元二

次方程考向二與圖形有關的問題

的應用

考向三營銷問題

?考向一一元二次方程的相關概念

1．（2024·江蘇宿遷·中考真題）規(guī)定：對于任意實數(shù)a、b、c，有【a，b】★cacb，其中等式右面是通

常的乘法和加法運算，如【2，3】★12135．若關于x的方程【x,x1】★mx0有兩個不相等的實數(shù)

根，則m的取值范圍為（）

1111

A．mB．mC．m且m0D．m且m0

4444

【答案】D

【分析】此題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，根據(jù)題意得到mx2x10，再由有兩個不相等

的實數(shù)根得到124m10，且m0，即可得到答案.

【詳解】解：∵【x,x1】★mx0，【a，b】★cacb

∴xmxx10，即mx2x10，

∵關于x的方程【x,x1】★mx0有兩個不相等的實數(shù)根，

∴124m10，且m0，

1

解得m且m0，

4

故選：D．

2．（2024·四川涼山·中考真題）若關于x的一元二次方程a2x2xa240的一個根是x0，則a的

值為（）

1

A．2B．2C．2或2D．

2

【答案】A

【分析】本題考查一元二次方程的定義和一元二次方程的解，二次項系數(shù)不為0．由一元二次方程的定義，

22

可知a20；一根是0，代入a2xxa40可得a240，即可求答案．

【詳解】解：a2x2xa240是關于x的一元二次方程，

a20，即a2①

由一個根x0，代入a2x2xa240，

可得a240，解之得a2；②

由①②得a2；

故選A

3．（2024·廣東深圳·中考真題）已知一元二次方程x23xm0的一個根為1，則m．

【答案】2

【分析】本題考查了一元二次方程解的定義，根據(jù)一元二次方程的解的定義，將代入原方程，列出關

于m的方程，然后解方程即可．?=1

【詳解】解：關于x的一元二次方程x23xm0的一個根為1，

x1滿足一元二次方程x23xm0，

13m0，

解得，m2．

故答案為：2．

?考向二解一元二次方程

?考查角度一因式分解法

4．（2024·內蒙古赤峰·中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程x210x210的兩個根，則這個三角形

的周長為（）

A．17或13B．13或21C．17D．13

【答案】C

【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關系及周長，由方程可得x13，

x27，根據(jù)三角形的三邊關系可得等腰三角形的底邊長為3，腰長為7，進而即可求出三角形的周長，掌

握等腰三角形的定義及三角形的三邊關系是解題的關鍵．

2

【詳解】解：由方程x10x210得，x13，x27，

∵337，

∴等腰三角形的底邊長為3，腰長為7，

∴這個三角形的周長為37717，

故選：C．

5．（2024·貴州·中考真題）一元二次方程x22x0的解是（）

A．x13，x21B．x12，x20C．x13，x22D．x12，x21

【答案】B

【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．

【詳解】解∶x22x0，

∴xx20，

∴x0或x20，

∴x12，x20，

故選∶B．

?考查角度二直接開方法

a2b,a0,

6．（2024·廣東廣州·中考真題）定義新運算：ab例如：24(2)240，

ab,a0,

3

23231．若x1，則x的值為．

4

17

【答案】或

24

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，一元一次方程的應用，解題的關鍵是明確新運算的定義．根據(jù)

新定義運算法則列出方程求解即可．

a2b,a0,

【詳解】解：∵ab

ab,a0,

3

而x1，

4

3

∴①當x0時，則有x21，

4

1

解得，x；

2

3

②當x0時，x1，

4

7

解得，x

4

17

綜上所述，x的值是或，

24

17

故答案為：或．

24

?考查角度三配方法

7．（2024·山東德州·中考真題）把多項式x23x4進行配方，結果為（）

2

237

A．x35B．x

24

22

32537

C．xD．x

2424

【答案】B

【分析】本題主要考查完全平方公式，利用添項法，先加上一次項系數(shù)一半的平方使式子中出現(xiàn)完全平方

式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．

根據(jù)利用完全平方公式的特征求解即可；

【詳解】解：x23x4

33

x23x()2()24

22

2

37

x

24

故選B．

8．（2024·山東東營·中考真題）用配方法解一元二次方程x22x20230時，將它轉化為(xa)2b的形

式，則ab的值為（）

A．2024B．2024C．1D．1

【答案】D

【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程．熟練掌握配方法步驟，是解出本題的關鍵．

2

用配方法把x22x20230移項，配方，化為x12024，即可．

【詳解】解：∵x22x20230，

移項得，x22x2023，

配方得，x22x120231，

2

即x12024，

∴a1，b2024，

2024

∴ab11．

故選：D．

?考查角度四公式法

9．（2024·河北·中考真題）淇淇在計算正數(shù)a的平方時，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案小1，

則a（）

A．1B．21C．21D．1或21

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，解一元二次方程，熟練掌握知識點是解題的關鍵．

由題意得方程2a1a2，利用公式法求解即可．

【詳解】解：由題意得：2a1a2，

解得：a12或a12（舍）

故選：C．

2

10．（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線C1:yxmxm與x軸交于兩點A，B（A在B的左側），

2

拋物線C2:yxnxn(mn)與x軸交于兩點C，D（C在D的左側），且ABCD．下列四個結論：①C1

與C2交點為(1,1)；②mn4；③mn0；④A，D兩點關于(1,0)對稱．其中正確的結論是．（填

寫序號）

【答案】①②④

2

22mm4m

【分析】由題意得xmxmxnxn，根據(jù)mn可以判斷①；令y0求出x，

2

2

nn4n2

x，由ABCD可以判斷②；拋物線C1:yxmxm與x軸交于兩點A，B（A在B的左

2

2

側），拋物線C2:yxnxn(mn)與x軸交于兩點C，D（C在D的左側），根據(jù)根的判別式得出m0

或m4，n0或n4，可以判斷③，利用兩點間的距離可以判斷④．

【詳解】解：①由題意得x2mxmx2nxn，

∴mnxnm，

∵mn，

∴x1，

當x1時，y1，

∴C1與C2交點為(1,1)，故①正確，

mm24m

當y0時，x2mxm0，解得x，

2

mm24mmm24m

∴ABm24m，

22

nn24n

當y0時，x2nxn0，解得x，

2

nn24nnn24n

∴CDn24n，

22

∵ABCD，

∴m24mn24n，即m24mn24n，

∴m2n24m4n，則有：mnmn4mn，

∵mn，

∴mn4，故②正確；

22

③∵拋物線C1:yxmxm與x軸交于兩點A，B（A在B的左側），拋物線C2:yxnxn(mn)與

x軸交于兩點C，D（C在D的左側），

∴m24m0，n24n0，

解得：m0或m4，n0或n4，

由②得mn4，

∴m4n，

當m0時，n4，或當m4時，n0，

∴mn0，故③錯誤；

mm24m

④由①得：x2mxm0，解得x，

2

∵A在B的左側，C在D的左側，

mm24mmm24mnn24nnn24n

∴A,0B,0C,0D,0

，，，，

2222

∵m4n，

2

2

4n4n44n4nn4n

∴A,0，整理得：A,0，

22

4nn24nnn24n

∴2，

22

∴由對稱性可知：A，D兩點關于(1,0)對稱，故④正確；

綜上可知：①②④正確，

故答案為：①②④．

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，二次函數(shù)與一元二次方程的關系，解一元二次方程，根的判

別式，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．

k

11．（2024·福建·中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)y的圖象與O交于A,B兩

x

點，且點A,B都在第一象限．若A1,2，則點B的坐標為．

【答案】

【分析】本2,題1考查了反比例函數(shù)的性質以及勾股定理，完全平方公式的應用，先根據(jù)A1,2得出k2，設

2

Bn，m，則nmk2，結合完全平方公式的變形與應用得出m3，m23m2m1m20，

m

結合A1,2，則B2，1，即可作答．

【詳解】解：如圖：連接OA，OB

k

∵反比例函數(shù)y的圖象與O交于A,B兩點，且A1,2

x

k

∴2，k2

1

設Bn，m，則nmk2

∵OBOA22125

2

∴m2n255

2

則mnm2n22mn549

∵點B在第一象限

∴mn3

2

把nmk2代入得m3，m23m2m1m20

m

∴m11，m22

經檢驗：m11，m22都是原方程的解

∵A1,2

∴B2，1

故答案為：2，1

12．（2024·四川涼山·中考真題）已知y2x0，x23y2x30，則x的值為．

【答案】3

【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．

將y2x代入x23y2x30，轉化為解一元二次方程，y2x0，要進行舍解．

【詳解】解：∵y2x0，

∴y2x，

將y2x代入x23y2x30

得，x23xx30，

即：x22x30，

x3x10，

∴x3或x1，

∵y2x0，

∴x1舍，

∴x3，

故答案為：3．

13．（2024·山西·中考真題）一元二次方程x26x0的解是．

【答案】x10，x26

【分析】直接提取公因式求解即可．

【詳解】解：x26x0，

x（x-6）=0，

解得x1=0，x2=6，

故答案為：x1=0，x2=6．

【點睛】本題考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解題關鍵．

?考向三一元二次方程根的判別式

易錯易混提醒

一元二次方程根的情況與判別式的關系

1.當b2-4ac>0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數(shù)根;

2.當b2-4ac=0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有1個(兩個相等的)實數(shù)根;

3.當b2-4ac<0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒有實數(shù)根.

bc

一元二次方程ax2bxc0(a0)根與系數(shù)的關系：若方程的兩實數(shù)根為x,x，則xx,xx．

1212a12a

14．（2024·山東濟南·中考真題）若關于x的方程x2xm0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范

圍是（）

11

A．mB．mC．m4D．m4

44

【答案】B

2

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程axbxc0a0的根與b24ac有如

下關系：①0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，②0，方程有兩個相等的實數(shù)根，③0，方程沒

2

有實數(shù)根，由題意得出Δ141m0，計算即可得出答案．

【詳解】解：∵關于x的方程x2xm0有兩個不相等的實數(shù)根，

2

∴Δ141m0，

1

解得：m，

4

故選：B．

15．（2024·北京·中考真題）若關于x的一元二次方程x24xc0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)c的值為

（）

A．16B．4C．4D．16

【答案】C

2

【分析】根據(jù)方程的根的判別式Δb24ac441c0即可．本題考查了一元二次方程的根的判別

式，熟練掌握根的判別式是解題的關鍵．

【詳解】∵方程x24xc0有兩個相等的實數(shù)根，a1,b4,cc，

2

∴Δb24ac441c0，

∴4c=16，

解得c4．

故選C．

16．（2024·上海·中考真題）以下一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是（）

A．x26x0B．x2-9=0

C．x26x60D．x26x90

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程判別式判斷根的情況，解答本題的關鍵是熟練掌握一元二次方程

2

axbxc0a0，當b24ac0時，方程有兩個不相等實數(shù)根；當b24ac0時，方程的兩個

相等的實數(shù)根；當b24ac0時，方程沒有實數(shù)根．分別計算出各選項中的根的判別式的值，即可判斷．

2

【詳解】解：A．Δ6410360，該方程有兩個不相等實數(shù)根，故A選項不符合題意；

B．Δ02419360，該方程有兩個不相等實數(shù)根，故B選項不符合題意；

2

C．Δ6416120，該方程有兩個不相等實數(shù)根，故C選項不符合題意；

2

D．Δ64190，該方程有兩個相等實數(shù)根，故D選項不符合題意；

故選：D．

11

2

17．（2024·四川樂山·中考真題）若關于x的一元二次方程x2xp0兩根為x1、x2，且3，則

x1x2

p的值為（）

22

A．B．C．6D．6

33

【答案】A

2

【分析】本題考查了一元二次方程axbxc0(a0)根與系數(shù)的關系：若方程的兩實數(shù)根為x1,x2，則

bc

xx,xx．

12a12a

2

根據(jù)一元二次方程ax2bxc0(a0)根與系數(shù)的關系得到xx2,xxp，然后通分，

12112

11xx2

12，從而得到關于p的方程，解方程即可．

x1x2x1x2p

2

【詳解】解：Qxx2,xxp，

12112

11xx2

12，

x1x2x1x2p

11

而3，

x1x2

2

3，

p

2

p，

3

故選：A．

18．（2024·山東德州·中考真題）已知a和b是方程x22024x40的兩個解，則a22023ab的值

為．

【答案】2028

【分析】本題考查一元二次方程的解和根與系數(shù)關系、代數(shù)式求值，先根據(jù)方程的解滿足方程以及根與系

數(shù)關系求得a22024a4，ab2024，再代值求解即可．

【詳解】解：∵a和b是方程x22024x40的兩個解，

∴a22024a40，ab2024，

∴a22024a4，

∴a22023ab

a22024aab

42024

42024

2028，

故答案為：2028．

19．（2024·山東·中考真題）若關于x的方程4x22xm0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為．

1

【答案】/0.25

4

【分析】本題考查了根的判別式，牢記“當0時，方程有兩個相等的實數(shù)根”是解題的關鍵．

根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式，即可得出b24ac2244m0，解之即可得出結論．

【詳解】解：∵關于x的方程4x22xm0有兩個相等的實數(shù)根，

∴b24ac2244m416m0，

1

解得：m．

4

1

故答案為：．

4

20．（2024·四川遂寧·中考真題）已知關于x的一元二次方程x2m2xm10．

(1)求證：無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；

22

(2)如果方程的兩個實數(shù)根為x1,x2，且x1x2x1x29，求m的值．

【答案】(1)證明見解析；

(2)m11或m22．

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關系，解一元二次方程，掌握一元二次方

程根的判別式是解題的關鍵．

（1）根據(jù)根的判別式證明0恒成立即可；

（2）由題意可得，x1x2m2，x1x2m1，進行變形后代入即可求解．

22

【詳解】（1）證明：Δm241m1m8，

∵無論m取何值，m280，恒成立，

∴無論m取何值，方程都有兩個不相等的實數(shù)根．

2

（2）解：∵x1,x2是方程xm2xm10的兩個實數(shù)根，

∴x1x2m2，x1x2m1，

2222

∴x1x2x1x2x1x23x1x2m23m19，

解得：m11或m22．

?考向一增長率問題

21．（2024·江蘇南通·中考真題）紅星村種的水稻2021年平均每公頃產7200kg，2023年平均每公頃產

8450kg．求水稻每公頃產量的年平均增長率．設水稻每公頃產量的年平均增長率為x．列方程為（）

2

A．72001x8450B．720012x8450

2

C．84501x7200D．845012x7200

【答案】A

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，設水稻每公頃產量的年平均增長率為x，則2022年平均每

2

公頃72001xkg，則2023年平均每公頃產72001xkg，根據(jù)題意列出一元二次方程即可．

【詳解】解：設水稻每公頃產量的年平均增長率為x，則2022年平均每公頃產72001xkg，

2

則2023年平均每公頃產72001xkg，

2

根據(jù)題意有：72001x8450，

故選：A．

22．（2024·云南·中考真題）兩年前生產1千克甲種藥品的成本為80元，隨著生產技術的進步，現(xiàn)在生產1

千克甲種藥品的成本為60元．設甲種藥品成本的年平均下降率為x，根據(jù)題意，下列方程正確的是（）

2

A．801x260B．801x60

C．801x60D．8012x60

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)甲種藥品成本的年平均下降率為x，利用現(xiàn)在生產1千克甲

種藥品的成本兩年前生產1千克甲種藥品的成本年（1平均下降率）2，即可得出關于的一元二次方程．

【詳解】解：甲種藥品成本的年平均下降率為x，

2

根據(jù)題意可得801x60，

故選：B．

23．（2024·重慶·中考真題）隨著經濟復蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，

2023年繳稅48.4萬元，該公司這兩年繳稅的年平均增長率是．

【答案】10%

【分析】本題主要考查一元二次方程的應用．設平均增長率為x，然后根據(jù)題意可列方程進行求解．

【詳解】解：設平均增長率為x，由題意得：

2

401x48.4，

解得：x10.110%，x22.1（不符合題意，舍去）；

故答案為：10%．

24．（2024·重慶·中考真題）重慶在低空經濟領域實現(xiàn)了新的突破．今年第一季度低空飛行航線安全運行了

200架次，預計第三季度低空飛行航線安全運行將達到401架次．設第二、第三兩個季度安全運行架次的平

均增長率為x，根據(jù)題意，可列方程為．

2

【答案】2001x401

【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，設第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為x，

2

則第二季度低空飛行航線安全運行了2001x架次，第三季度低空飛行航線安全運行了2001x架次，

據(jù)此列出方程即可．

【詳解】解：設第二、第三兩個季度安全運行架次的平均增長率為x，

2

由題意得，2001x401，

2

故答案為：2001x401．

25．（2024·西藏·中考真題）列方程（組）解應用題

某商場響應國家消費品以舊換新的號召，開展了家電惠民補貼活動．四月份投入資金20萬元，六月份投入

資金24.2萬元，現(xiàn)假定每月投入資金的增長率相同．

(1)求該商場投入資金的月平均增長率；

(2)按照這個增長率，預計該商場七月份投入資金將達到多少萬元？

【答案】(1)該商場投入資金的月平均增長率10%

(2)預計該商場七月份投入資金將達到26.62萬元

【分析】本題考查了一元二次方程的應用、有理數(shù)的混合運算的應用，理解題意，找準等量關系，正確列

出一元二次方程是解此題的關鍵．

（1）設該商場投入資金的月平均增長率為x，根據(jù)“四月份投入資金20萬元，六月份投入資金24.2萬元”

列出一元二次方程，解方程即可得出答案；

（2）根據(jù)（1）中求得的增長率，即可求得七月份投入資金．

【詳解】（1）解：設該商場投入資金的月平均增長率為x，

2

由題意得：201x24.2，

解得：x10.110%，x22.1（不符合題意，舍去），

∴該商場投入資金的月平均增長率10%；

（2）解：24.2110%26.62（萬元），

∴預計該商場七月份投入資金將達到26.62萬元．

?考向二與圖形有關的問題

26．（2024·內蒙古通遼·中考真題）如圖，小程的爸爸用一段10m長的鐵絲網圍成一個一邊靠墻（墻長5.5m）

的矩形鴨舍，其面積為15m2，在鴨舍側面中間位置留一個1m寬的門（由其它材料制成），則BC長為（）

A．5m或6mB．2.5m或3mC．5mD．3m

【答案】C

【分析】本題考查了列一元二次方程解實際問題的運用，矩形的面積公式的運用，正確尋找題目的等量關

系是解題的關鍵．設矩形場地垂直于墻一邊長為xm，可以得出平行于墻的一邊的長為(102x1)m．根據(jù)

矩形的面積公式建立方程即可．

【詳解】解：設矩形場地垂直于墻一邊長為xm，

則平行于墻的一邊的長為(102x1)m，

由題意得x(102x1)15，

5

解得：x3，x，

122

當x3時，平行于墻的一邊的長為1023155.5；

55

當x時，平行于墻的一邊的長為102165.5，不符合題意；

22

∴該矩形場地BC長為5米，

故選C．

51

27．（2024·四川德陽·中考真題）寬與長的比是的矩形叫黃金矩形，黃金矩形給我們以協(xié)調的美感，

2

世界各國許多著名建筑為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計．已知四邊形ABCD是黃金矩

形．(ABBC)，點P是邊AD上一點，則滿足PBPC的點P的個數(shù)為（）

A．3B．2C．1D．0

【答案】D

【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，一元二次方程的解，熟練掌握勾股定理，利用判別式判斷一

元二次方程解的情況是解題的關鍵．設AB=a，BCb，假設存在點P，且APx，則PDbx，利用勾

股定理得到BP2AB2AP2a2x2，PC2PD2CD2(bx)2a2，BC2BP2PC2，可得到方程

ABa51

x2bxa20，結合，然后根據(jù)判別式的符號即可確定有幾個解，由此得解．

BCb2

AB51

【詳解】解：如圖所示，四邊形ABCD是黃金矩形，ABBC，，

BC2

設AB=a，BCb，假設存在點P，且APx，則PDbx，

在RtABP中，BP2AB2AP2a2x2，

在RtPDC中，PC2PD2CD2(bx)2a2，

PBPC，

BC2BP2PC2，即b2a2x2(bx)2a2，

整理得x2bxa20，

ABa5151

b24acb24a2，又，即ab，

BCb22

(51)2

b24acb24a2b24b2(255)b2，

4

2550，b20，

b24a2(255)b20，

方程無解，即點P不存在．

故選：D．

28．（2024·湖北·中考真題）學校要建一個矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成．已知墻長42m，

籬笆長80m．設垂直于墻的邊AB長為x米，平行于墻的邊BC為y米，圍成的矩形面積為Sm2．

(1)求y與x,s與x的關系式．

(2)圍成的矩形花圃面積能否為750m2，若能，求出x的值．

(3)圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時x的值．

【答案】(1)y802x19x40；s2x280x

(2)能，x25

(3)s的最大值為800，此時x=20

【分析】本題主要考查一元二次方程的應用和二次函數(shù)的實際應用：

（1）根據(jù)ABBCCD80可求出y與x之間的關系，根據(jù)墻的長度可確定x的范圍；根據(jù)面積公式可確

立二次函數(shù)關系式；

（2）令s750，得一元二次方程，判斷此方程有解，再解方程即可；

（3）根據(jù)自變量的取值范圍和二次函數(shù)的性質確定函數(shù)的最大值即可．

【詳解】（1）解：∵籬笆長80m，

∴ABBCCD80，

∵ABCDx,BCy,

∴xyx80,

∴y802x

∵墻長42m，

∴0802x42，

解得，19x40，

∴y802x19x40；

又矩形面積sBCAB

yx

802xx

2x280x；

（2）解：令s750，則2x280x750，

整理得：x240x3750，

2

此時，Δb24ac404375160015001000，

所以，一元二次方程x240x3750有兩個不相等的實數(shù)根，

∴圍成的矩形花圃面積能為750m2；

40100

∴x,

2

∴x125,x215,

∵19x40，

∴x25；

2

（3）解：s2x280x2x20800

∵-2<0,

∴s有最大值，

又19x40，

∴當x=20時，s取得最大值，此時s800，

即當x=20時，s的最大值為800

?考向三營銷問題

29．（2024·遼寧·中考真題）某商場出售一種商品，經市場調查發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（件）與每件售價x（元）

滿足一次函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如下表所示：

每件售價x/元455565

日銷售量y/件554535

(1)求y與x之間的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；

(2)該商品日銷售額能否達到2600元？如果能，求出每件售價：如果不能，請說明理由．

【答案】(1)yx100；

(2)該商品日銷售額不能達到2600元，理由見解析。

【分析】本題考查了一次函數(shù)的應用以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出

y與x之間的函數(shù)表達式；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程．

（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法即可求出y與x之間的函數(shù)表達式；

（2）利用銷售額每件售價銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系求解即可．

【詳解】（1）解：設y與x之間的函數(shù)表達式為ykx（bk0），

將45,55，55,45代入ykxb得

45kb55

，

55kb45

k1

解得，

b100

y與x之間的函數(shù)表達式為yx100；

（2）解：該商品日銷售額不能達到2600元，理由如下：

依題意得xx1002600，

整理得x2100x26000，

2

∴Δb24ac1004126004000，

∴該商品日銷售額不能達到2600元．

30．（2024·山東煙臺·中考真題）每年5月的第三個星期日為全國助殘日，今年的主題是“科技助殘，共享

美好生活”，康寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅計劃在該月銷售，根據(jù)市場調查，每輛輪椅盈利200元時，

每天可售出60輛；單價每降低10元，每天可多售出4輛．公司決定在成本不變的情況下降價銷售，但每

輛輪椅的利潤不低于180元，設每輛輪椅降價x元，每天的銷售利潤為y元．

(1)求y與x的函數(shù)關系式；每輛輪椅降價多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤為多少元？

(2)全國助殘日當天，公司共獲得銷售利潤12160元，請問這天售出了多少輛輪椅？

2

【答案】(1)yx220x12000，每輛輪椅降價20元時，每天的利潤最大，為12240元

5

(2)這天售出了64輛輪椅

【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應用，正確的列出函數(shù)關系式，是解題的關鍵：

（1）根據(jù)總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出二次函數(shù)關系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質求最值即可；

（2）令y12160，得到關于x的一元二次方程，進行求解即可．

x22

【詳解】（1）解：由題意，得：y200x604x20x12000；

105

∵每輛輪椅的利潤不低于180元，

∴200x180，

∴x20，

222

∵yx220x12000x2512250，

55

∴當x25時，y隨x的增大而增大，

22

∴當x=20時，每天的利潤最大，為20251225012240元；

5

答：每輛輪椅降價20元時，每天的利潤最大，為12240元；

一、單選題

1．（2024·湖南郴州·模擬預測）下列方程中是一元二次方程的是（）

21

2x2

A．2xx10B．2xy0C．3x10D．x

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．

根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程叫一元二次方程，逐一

判斷即可解答．

【詳解】解：A、2x2x10符合一元二次方程的定義，是一元二次方程，故此選項符合題意；

B、2x2y0含有兩個未知數(shù)，是二元二次方程，故此選項不符合題意；

C、3x10是一元一次方程，故此選項不符合題意；

1

x2

D、x不是整式方程，故此選項不符合題意；

故選：A．

2．（2024·湖北·模擬預測）某銀行經過最近的兩次降息，使一年期存款年利率由2.25%降至1.98%，設平均

每次降息的百分率是x，則可列方程為（）

2

A．2.25%1x1.98%B．2.25%2.25%2x1.98%

2

C．2.25%x21.98%D．2.25%1x1.98%

【答案】A

【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關

鍵．根據(jù)一年期存款的原年利率及經過兩次降息后的年利率，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．

2

【詳解】解：依題意得：2.25%1x1.98%．

故選：A．

3．（2024·湖北·模擬預測）某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主

干、支干和小分支的總數(shù)是73，設每個支干長出x個小分支，則可列方程為（）

2

A．1xx273B．1x73

2

C．xx273D．11x1x73

【答案】A

【分析】本題考查的是一元二次方程的應用，熟練的表示支干與小分支的數(shù)量是解本題的關鍵.

設每個支干長出x個小分支，則主干生出x個小分支，而x個小分支每個又生出x個小分支，所以一共有

1xx2個，從而可得答案.

【詳解】解：設每個支干長出x個小分支，則

1xx273,

故選：A．

4．（2024·山西·模擬預測）下列一元二次方程中，沒有實數(shù)根的是（）

A．x25x60B．x2x10

C．x22x50D．x26x9

【答案】C

【分析】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式，熟記根的判別式是解題的關鍵．

直接利用一元二次方程根的判別式對每個方程逐一計算即可求解．

【詳解】A、5241610，故選項A有兩個不相等的實數(shù)根，不合題意；

B、1241150，故選項B有兩個不相等的實數(shù)根，不合題意；

2

C、2415160，故選項C沒有實數(shù)根，符合題意；

2

D、方程化為x26x90，64190，故選項D有兩個相等的實數(shù)根，不合題意．

故選C．

5．（2024·湖北·模擬預測）解一元二次方程x26x10，配方后正確的是（）

2222

A．x38B．x637C．x310D．x635

【答案】C

【分析】本題考查了配方法解方程，注意配方時先把常數(shù)項移到右邊，然后把二次項系數(shù)化為1，最后等號

兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．根據(jù)配方法即可求出答案．

【詳解】解：∵x26x10，

∴x26x1，

∴x26x910，

2

∴x310，

故選：C．

6．（2024·天津·三模）方程x24x5的根是（）

5

A．xx5B．xx4C．xxD．xx4

1212124