第7.6節(jié)培優(yōu)提升應用萬有引力定律解決“三個”熱點問題學習目標1.理解衛(wèi)星發(fā)射、變軌和對接過程，會分析變軌過程中各物理量的變化。2.理解天體運動中的追及與相遇問題。3.掌握雙星和多星模型的特點，會分析相關(guān)問題。提升1衛(wèi)星的發(fā)射、變軌和對接1.變軌運行分析如圖是飛船從地球上發(fā)射到繞月球運動的飛行示意圖。(1)從繞地球運動的軌道上進入奔月軌道，飛船應采取什么措施？為什么？(2)從奔月軌道進入月球軌道，又應采取什么措施？為什么？2.衛(wèi)星的變軌發(fā)射問題(1)衛(wèi)星的發(fā)射過程如圖所示，首先，利用第一級火箭將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，當?shù)竭_赤道上空時，第二、三級火箭在Q點點火，衛(wèi)星進入位于赤道平面內(nèi)的橢圓轉(zhuǎn)移軌道2，當?shù)竭_遠地點P時，衛(wèi)星啟動發(fā)動機，然后進入圓軌道3做圓周運動。(2)變軌運行各量間的關(guān)系衛(wèi)星在軌道1上運動到Q點的速度vQ1與在軌道2上運動到Q點的速度vQ2相比vQ2>vQ1；而衛(wèi)星在軌道2上運行到P點的速度vP2與軌道3上運動到P點的速度vP3相比vP3>vP2；在圓軌道1上與圓軌道3上有vQ1>vP3，所以有vQ2>vQ1>vP3>vP2；在Q、P點的加速度有aQ1＝aQ2，aP3＝aP2，因為衛(wèi)星在不同軌道上的相切點處所受萬有引力是相同的。3.對接問題(1)低軌道飛船與高軌道空間站對接：如圖甲所示，低軌道飛船通過合理加速，沿橢圓軌道(做離心運動)追上高軌道空間站與其完成對接。(2)同一軌道飛船與空間站對接：如圖乙所示，后面的飛船先減速降低高度，再加速提升高度，通過適當控制，使飛船追上空間站完成對接。例1(2024·北京市第十五中學南口學校期中)如圖為飛船運動過程的示意圖。飛船先進入圓軌道1做勻速圓周運動，再經(jīng)橢圓軌道2，最終進入圓軌道3完成對接任務(wù)。橢圓軌道2分別與軌道1、軌道3相切于A點、B點。則飛船()A.在軌道1的運行周期大于在軌道3的運行周期B.在軌道2運動過程中，經(jīng)過A點時的速率比B點大C.在軌道2運動過程中，經(jīng)過A點時的加速度比B點小D.從軌道2進入軌道3時需要在B點處減速判斷衛(wèi)星變軌時速度、加速度變化情況的思路(1)判斷衛(wèi)星在不同圓軌道的運行速度大小時，可根據(jù)“越遠越慢”的規(guī)律判斷。(2)判斷衛(wèi)星在同一橢圓軌道上不同點的速度大小時，可根據(jù)開普勒第二定律判斷，即離中心天體越遠，速度越小。(3)判斷衛(wèi)星為實現(xiàn)變軌在某點需要加速還是減速時，可根據(jù)離心運動或近心運動的條件進行分析。(4)判斷衛(wèi)星的加速度大小時，可根據(jù)a＝eq\f(F萬,m)＝Geq\f(M,r2)判斷。訓練1(2024·湖北卷，4)太空碎片會對航天器帶來危害。設(shè)空間站在地球附近沿逆時針方向做勻速圓周運動，如圖中實線所示。為了避開碎片，空間站在P點向圖中箭頭所指徑向方向極短時間噴射氣體，使空間站獲得一定的反沖速度，從而實現(xiàn)變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示，其半長軸大于原軌道半徑。則()A.空間站變軌前、后在P點的加速度相同B.空間站變軌后的運動周期比變軌前的小C.空間站變軌后在P點的速度比變軌前的小D.空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的大訓練2據(jù)中國國家航天局探月與航天工程中心消息，中國探月工程四期嫦娥七號任務(wù)將實現(xiàn)在月球南極著陸，開展極區(qū)環(huán)境與資源勘查。若嫦娥七號探測器由地面發(fā)射后，經(jīng)地月轉(zhuǎn)移軌道，在A點變軌后進入繞月圓形軌道Ⅰ，在B點變軌后進入環(huán)月橢圓軌道Ⅱ，軌道Ⅱ可視為與月面相切于C點。則嫦娥七號（）A．在地月轉(zhuǎn)移軌道上運行的最大速度大于11.2km/sB．在地月轉(zhuǎn)移軌道上經(jīng)過A點需要點火加速才能完成變軌C．在軌道Ⅱ上經(jīng)過B點時的速度比經(jīng)過C點時的小D．在軌道Ⅰ上的運行周期比在軌道Ⅱ上的小提升2衛(wèi)星的追及與相遇對于衛(wèi)星的追及、相遇問題一般存在下列兩種情況(1)衛(wèi)星對接，最常見的是由低軌道向高軌道運行的衛(wèi)星對接。(2)繞行方向相同的兩衛(wèi)星和天體的連線在同一直線上，處于內(nèi)軌道的衛(wèi)星周期T1小，處于外軌道的衛(wèi)星周期T2大。①當兩衛(wèi)星在天體同側(cè)時，那么當t滿足下列關(guān)系時兩衛(wèi)星相距最近：eq\f(2π,T1)t－eq\f(2π,T2)t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。②當兩衛(wèi)星在天體異側(cè)時，那么當t滿足下列關(guān)系時兩衛(wèi)星相距最近：eq\f(2π,T1)t－eq\f(2π,T2)t＝π＋2nπ(n＝0，1，2，3，…)。例2設(shè)地球的自轉(zhuǎn)角速度為ω0，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，某人造地球衛(wèi)星在赤道上空做勻速圓周運動，軌道半徑為r，且r<5R，飛行方向與地球的自轉(zhuǎn)方向相同。在某時刻，該人造地球衛(wèi)星通過赤道上某建筑物的正上方，則到它下一次通過該建筑物正上方所需要的時間為(地球同步衛(wèi)星軌道半徑約為6.6R)()A.2πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(gR2,r3))－ω0)) B.eq\f(2π,\r(\f(gR2,r3))＋ω0)C.2πeq\r(\f(r3,gR2)) D.eq\f(2π,\r(\f(gR2,r3))－ω0)天體追及問題的解題技巧處理天體追及問題時，首先判斷誰的角速度大，然后根據(jù)兩星追上或相距最近時滿足兩星運行的角度差等于2π的整數(shù)倍、相距最遠時兩星運行的角度差等于π的奇數(shù)倍求解。訓練1如圖甲所示，A、B兩顆衛(wèi)星在同一平面內(nèi)圍繞中心天體做勻速圓周運動，且繞行方向相同，圖乙是兩顆衛(wèi)星的間距Δr隨時間t的變化圖像，t＝0時刻A、B兩顆衛(wèi)星相距最近。已知衛(wèi)星A的周期TA＝eq\f(7,8)t0，則A、B兩顆衛(wèi)星運行軌道半徑之比為()A.1∶2 B.1∶4C.1∶7 D.1∶8訓練2我國北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)（BDS）已經(jīng)為全球提供定位、導航、授時、5G傳輸?shù)确?wù)。如題圖所示，A、B為北斗系統(tǒng)中軌道在同一平面內(nèi)，均沿順時針方向繞行的兩顆工作衛(wèi)星。某時刻兩衛(wèi)星的連線與A衛(wèi)星的軌道相切，已知A、B衛(wèi)星的運行周期分別為、，A、B衛(wèi)星的運行半徑分別為r、2r。則兩衛(wèi)星從圖示時刻到兩衛(wèi)星間距離最大需要的最短時間為（）A． B． C． D．提升3“雙星”和“多星”模型1.“雙星”模型(1)如圖所示，宇宙中有相距較近、質(zhì)量相差不大的兩個星球，它們離其他星球都較遠，其他星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽略不計。在這種情況下，它們將圍繞其連線上的某一固定點做周期相同的勻速圓周運動，通常，我們把這樣的兩個星球稱為“雙星”。(2)處理方法：雙星間的萬有引力提供了它們做圓周運動的向心力，即Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1，Geq\f(m1m2,L2)＝m2ω2r2可得m1r1＝m2r2。(3)特點①兩星圍繞它們之間連線上的某一點做勻速圓周運動，兩星的運行周期、角速度相同。②兩星所需的向心力大小相等，由它們間的萬有引力提供。③兩星的軌道半徑之和等于兩星之間的距離，即r1＋r2＝L，軌道半徑與兩星質(zhì)量成反比。2.“多星”模型三星模型四星模型(1)運動特點轉(zhuǎn)動方向、周期、角速度、線速度大小均相同。(2)受力特點圓周運動半徑都相等，各星所受萬有引力的合力提供做圓周運動所需的向心力。例3(2024·天津南開高一期末)“雙星系統(tǒng)”是由相距較近的兩顆恒星組成，每個恒星的半徑遠小于兩個恒星之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠離其他天體，它們在相互間的萬有引力作用下，繞其連線上的某一點做勻速圓周運動。如圖所示為某一雙星系統(tǒng)，A星球的質(zhì)量為m1，B星球的質(zhì)量為m2，它們中心之間的距離為L，引力常量為G。則下列說法正確的是()A.A、B兩星球做圓周運動的半徑之比為m1∶m2B.A、B兩星球做圓周運動的角速度之比為m1∶m2C.A星球的軌道半徑r1＝eq\f(m1,m1＋m2)LD.雙星運行的周期T＝2πLeq\r(\f(L,G（m1＋m2）))分析雙星問題時注意區(qū)分兩星的軌道半徑和兩星之間的距離，萬有引力提供向心力，萬有引力中的距離為兩星間距，向心力中的r為軌道半徑。訓練1(多選)(2024·重慶市楊家坪中學高一期末)中國科幻電影《流浪地球》講述了地球逃離太陽系的故事，假設(shè)人們在逃離過程中發(fā)現(xiàn)一種三星組成的孤立系統(tǒng)，三星的質(zhì)量相等、半徑均為R，穩(wěn)定分布在等邊三角形的三個頂點上，三角形的邊長為d，三星繞O點做周期為T的勻速圓周運動。已知引力常量為G，忽略星體的自轉(zhuǎn)，下列說法正確的是()A.勻速圓周運動的半徑為eq\f(\r(3),3)dB.每個星球的質(zhì)量為eq\f(4π2d,3GT2)C.每個星球表面的重力加速度大小為eq\f(π2d,T2)D.每個星球的第一宇宙速度大小為eq\f(2πd,T)eq\r(\f(d,3R))訓練2科學家發(fā)現(xiàn)，宇宙中有許多雙星系統(tǒng)。雙星系統(tǒng)是由兩個星體構(gòu)成，其中每個星體的線度（直徑）都遠小于兩星體間的距離，一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠，可以當作孤立系統(tǒng)處理。已知某雙星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量都是，兩者相距，它們正圍繞兩者連線的中點做勻速圓周運動，由以上條件可得該雙星系統(tǒng)的角速度大小為。科學家通過光學儀器觀測計算得到的角速度大小與角速度有些差異，為了解釋這個問題，目前有理論認為，在宇宙中可能存在一種觀測不到的暗物質(zhì)。其模型簡化為：在以這兩個星體連線為直徑的球體內(nèi)，均勻分布著密度為的暗物質(zhì)，不考慮其他星體影響，根據(jù)這一模型可以計算該雙星系統(tǒng)的角速度，則為（）A．1∶1 B． C． D．1∶5基礎(chǔ)練習1.(衛(wèi)星的發(fā)射與變軌)(多選)“嫦娥三號”衛(wèi)星從地球發(fā)射到月球過程的路線示意圖如圖所示。關(guān)于“嫦娥三號”的說法正確的是()A.在P點由a軌道轉(zhuǎn)變到b軌道時，速度必須變小B.在Q點由d軌道轉(zhuǎn)變到c軌道時，要加速才能實現(xiàn)(不計“嫦娥三號”的質(zhì)量變化)C.在b軌道上，衛(wèi)星在P點的速度比在R點的速度大D.“嫦娥三號”在a、b軌道上正常運行時，通過同一點P時，加速度相等2.(衛(wèi)星的對接)如圖所示，我國發(fā)射的“神舟十一號”飛船和“天宮二號”空間實驗室于2016年10月19日自動交會對接成功。假設(shè)對接前“天宮二號”與“神舟十一號”都圍繞地球做勻速圓周運動，為了實現(xiàn)飛船與空間實驗室的對接，下列措施可行的是()A.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后飛船加速追上空間實驗室實現(xiàn)對接B.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后空間實驗室減速等待飛船實現(xiàn)對接C.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上加速，加速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現(xiàn)對接D.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上減速，減速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現(xiàn)對接3.(雙星模型)(多選)如圖所示，兩個黑洞A、B組成的雙星系統(tǒng)繞其連線上的O點做勻速圓周運動，若A的軌道半徑大于B的軌道半徑，兩個黑洞的總質(zhì)量為m，距離為L，其運動周期為T。則()A.A的質(zhì)量一定小于B的質(zhì)量B.A的線速度一定小于B的線速度C.L一定，m越大，T越小D.m一定，L越大，T越小4.2024年4月21日7時45分，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心使用長征二號丁運載火箭，成功將遙感四十二號02星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進入預定軌道。若遙感四十二號02星發(fā)射過程示意圖如圖所示，先進入近地圓形軌道I（可認為軌道半徑等于地球半徑）上做勻速圓周運動，到P點時實施瞬間點火變軌進入橢圓軌道Ⅱ，沿軌道Ⅱ運動到Q時再次實施變軌，進入軌道Ⅲ繞地球做勻速圓周運動。已知地球的半徑為R，軌道Ⅲ的半徑為3R，衛(wèi)星在軌道Ⅲ上時運行周期為T，引力常量為G，下列說法正確的是（）A．衛(wèi)星在軌道Ⅱ上，從P點到Q點，機械能逐漸增大B．衛(wèi)星在軌道Ⅱ上，從P點到Q點的最短時間為C．衛(wèi)星從軌道Ⅱ變到軌道Ⅲ，需在Q處點火減速D．地球的平均密度為5．我國太空探索走向深空。假設(shè)發(fā)射的一顆衛(wèi)星在地球赤道上方距地面高處繞地球做圓周運動，衛(wèi)星的環(huán)繞方向與地球自轉(zhuǎn)方向相反，如圖所示。已知地球的半徑，地球表面重力加速度取，則在赤道上的某觀測站不能直接接收到衛(wèi)星信號的時間間隔約為（

）A．1.1小時 B．2.3小時 C．4小時 D．12小時6．宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用。設(shè)四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為a的正方形的四個頂點上。已知引力常量為G。關(guān)于四星系統(tǒng)，下列說法錯誤的是（）A．四顆星圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動B．四顆星的軌道半徑均為C．四顆星表面的重力加速度均為GD．四顆星的周期均為對點題組練題組一衛(wèi)星的發(fā)射、變軌和對接1.嫦娥五號是中國首個實施月面無人取樣返回的月球探測器，為中國探月工程的收官之戰(zhàn)。2020年11月29日，嫦娥五號探測器從橢圓環(huán)月軌道1上的P點實施變軌進入近月圓形圓軌道2，開始進行動力下降后成功落月，如圖所示。下列說法正確的是()A.嫦娥五號的發(fā)射速度大于11.2km/sB.沿軌道1運動至P時，需減速才能進入軌道2C.沿軌道1運行的周期小于沿軌道2運行的周期D.探測器在軌道2上經(jīng)過P點的加速度小于在軌道1上經(jīng)過P點的加速度2.(2021·天津卷)2021年5月15日，天問一號探測器著陸火星取得成功，邁出了我國星際探測征程的重要一步，在火星上首次留下國人的印跡。天問一號探測器成功發(fā)射后，順利被火星捕獲，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星。經(jīng)過軌道調(diào)整，探測器先沿橢圓軌道Ⅰ運行，之后進入稱為火星停泊軌道的橢圓軌道Ⅱ運行，如圖所示，兩軌道相切于近火點P，則天問一號探測器()A.在軌道Ⅱ上處于受力平衡狀態(tài)B.在軌道Ⅰ運行周期比在Ⅱ時短C.從軌道Ⅰ進入Ⅱ在P處要加速D.沿軌道Ⅰ向P飛近時速度增大3.(多選)“嫦娥四號”月球探測器首次在月球背面軟著陸，如圖所示，“嫦娥四號”從環(huán)月圓形軌道Ⅰ上的P點實施變軌，進入環(huán)月橢圓形軌道Ⅱ，由近月點Q落月，關(guān)于“嫦娥四號”，下列說法正確的是()A.沿軌道Ⅰ運行至P點時，需加速才能進入軌道ⅡB.沿軌道Ⅱ運行的周期小于沿軌道Ⅰ運行的周期C.沿軌道Ⅱ運行經(jīng)P點時的加速度等于沿軌道Ⅰ運行經(jīng)P點時的加速度D.若已知“嫦娥四號”繞軌道Ⅰ的半徑、運動周期和引力常量，可算出月球的密度題組二衛(wèi)星的追及與相遇4.太陽系各行星幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動。當?shù)厍蚯『眠\行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線時，天文學稱這種現(xiàn)象為“行星沖日”。已知2020年7月21日土星沖日，土星繞太陽運動的軌道半徑約為地球繞太陽運動的軌道半徑的9.5倍，則下一次土星沖日的時間約為()A.2021年8月 B.2022年7月C.2023年8月 D.2024年7月5.如圖所示，A、B為地球的兩個軌道共面的人造衛(wèi)星，運行方向相同，A為地球同步衛(wèi)星，A、B衛(wèi)星的軌道半徑的比值為k，地球自轉(zhuǎn)周期為T0，某時刻A、B兩衛(wèi)星距離達到最近，從該時刻起到A、B間距離最遠時所經(jīng)歷的最短時間為()A.eq\f(T0,2（\r(k3)＋1）) B.eq\f(T0,\r(k3)－1)C.eq\f(T0,2（\r(k3)－1）) D.eq\f(T0,\r(k3)＋1)題組三“雙星”和“多星”模型6.雙星是兩顆相距較近的天體，在相互間的萬有引力作用下，繞其連線上的某點做勻速圓周運動。對于兩顆質(zhì)量不等的天體構(gòu)成的雙星系統(tǒng)，下列說法中正確的是()A.質(zhì)量大的天體做勻速圓周運動的向心力較大B.質(zhì)量大的天體做勻速圓周運動的向心加速度較大C.質(zhì)量大的天體做勻速圓周運動的角速度較大D.質(zhì)量大的天體做勻速圓周運動的線速度較小7.中國科學家利用“慧眼”太空望遠鏡觀測到了銀河系的MAXIJ1820＋070是一個由黑洞和恒星組成的雙星系統(tǒng)，距離地球約10000光年。根據(jù)觀測，此雙星系統(tǒng)中的黑洞質(zhì)量大約是恒星質(zhì)量的16倍，不考慮其他天體的影響，可推斷該黑洞與恒星的()A.向心力大小之比為16∶1B.周期之比為16∶1C.角速度大小之比為1∶1D.加速度大小之比為1∶1綜合提升練8.(多選)(2024·山師大附中高一月考)三顆人造衛(wèi)星A、B、C都在赤道正上方同方向繞地球做勻速圓周運動，A、C為地球同步衛(wèi)星，某時刻A、B相距最近，如圖所示。已知地球自轉(zhuǎn)周期為T1，B的運行周期為T2，則下列說法正確的是()A.C加速可追上同一軌道上的AB.經(jīng)過時間eq\f(T1T2,2（T1－T2）)，A、B首次相距最遠C.A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度D.在相同時間內(nèi)，C與地心連線掃過的面積等于B與地心連線掃過的面積9.太空中存在一些離其他恒星較遠的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于邊長為L的等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。設(shè)這三個星體的質(zhì)量均為M，并設(shè)兩種系統(tǒng)的運動周期相同，引力常量為G，則()A.直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度相同B.直線三星系統(tǒng)的運動周期為4πReq\r(\f(R,5GM))C.三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離為L＝eq\r(3)RD.三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為eq\f(1,2)eq\r(\f(5GM,R))10.（多選）“雙星系統(tǒng)”是指在相互間萬有引力的作用下，繞連線上某點做勻速圓周運動的兩個孤立星球組成的系統(tǒng)。假設(shè)在太空中有星球A、B組成的雙星系統(tǒng)繞點做順時針勻速圓周運動，如圖所示，兩星球的間距為，公轉(zhuǎn)周期為。為探索該雙星系統(tǒng)，向星球B發(fā)射一顆人造衛(wèi)星C，C繞B運行的周期為，軌道半徑為，忽略C的引力對雙星系統(tǒng)的影響，萬有引力常量為。則以下說法正確的是（）A．星球A、B的質(zhì)量之和為B．星球A做圓周運動的半徑為C．星球B做圓周運動的半徑為D．若A也有一顆周期為的衛(wèi)星，則其軌道半徑一定大于11．如圖所示，衛(wèi)星a、b沿圓形軌道繞地球運行，a是極地軌道衛(wèi)星，衛(wèi)星b軌道平面與地球赤道平面重合，此時兩衛(wèi)星恰好經(jīng)過地球赤道上P點的正上方。已知地球自轉(zhuǎn)周期為T，衛(wèi)星a、b繞地心做勻速圓周運動的周期分別為、，則（）A．衛(wèi)星a、b的線速度之比為B．衛(wèi)星a、b的向心加速度之比為C．同一物體在衛(wèi)星a、b中對支持物的壓力之比為D．衛(wèi)星a、b下一次