第四章三角形一、選擇題(每小題3分,共30分)1.a,b,c是三角形的三邊,其中a,b兩邊滿足|a-3|+(b-2)2=0,那么這個三角形的第三邊可以是(B)A.1 B.3 C.5 D.72.如圖,工人師傅砌門時,常用木條EF固定矩形門框ABCD,使其不變形,這種做法的根據是(D)A.兩點之間線段最短 B.矩形的對稱性C.矩形的四個角都是直角 D.三角形具有穩定性3.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶6,則△ABC的形狀是(D)A.直角三角形 B.等腰三角形 C.銳角三角形 D.鈍角三角形4.如圖,CM是△ABC的中線,△BCM的周長比△ACM的周長大3cm,BC=8cm,則AC的長為(C)A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm5.如圖,AD是△ABC的高,BE是△ABC的角平分線,BE,AD相交于點F,已知∠BAD=42°,則∠BFD等于(D)A.45° B.54° C.56° D.66°6.物理實驗中,小明研究一個小木塊從斜坡上滑下時的運動狀態,如圖,斜坡為Rt△ABC,∠C=90°,∠B=13°,小木塊△DEF在斜坡AB上,且DE∥BC,EF∥AC,則∠DFE的度數為(B)A.13° B.77° C.87° D.63°7.如圖,點B,F,C,E共線,∠B=∠E,BF=EC,添加一個條件,不能判定△ABC≌△DEF的是(C)A.AB=DE B.∠A=∠DC.AC=DF D.AC∥FD8.如圖,為了測量點B與河對面的目標A之間的距離,在點B同側選擇一點C,測得∠ABC=75°,∠ACB=35°,然后在M處立了標桿,使∠MBC=75°,∠MCB=35°,此時測得MB的長就是A,B兩點間的距離,那么△MBC≌△ABC的理由是(A)A.ASA B.SASC.SSS D.AAS9.如圖,已知∠A=65°,∠B=40°,∠C=25°,則∠D+∠E等于(C)A.25° B.40° C.50° D.65°10.如圖,AC∥BD,點E是線段BC的中點,連接AE,AE恰好平分∠CAD,下列說法不正確的是(C)A.∠CBD=∠C B.線段AE是△ABC的中線C.AC=AB D.AC=AD+BD二、填空題(每小題4分,共16分)11.如圖,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分別為點D,點E,AD與BE交于點F,要使△BDF≌△ADC,還需添加一個條件,這個條件可以是AD=BD(答案不唯一)(只需填寫一個)。

12.已知AD,AE分別是△ABC的高和中線,若BD=2,CD=1,則DE的長為0.5或1.5。

13.如圖,在△ABC中,∠B=40°,∠BAC和∠ACB的平分線交于點D,則∠ADC的度數為110°。

14.小明與爸媽在公園里蕩秋千。如圖,小明坐在秋千的起始位置A處(A為地面上一點),OA與地面垂直,兩腳在地面上用力一蹬,媽媽在距地面1m高的B處接住他后用力一推,爸爸在C處接住他。若媽媽與爸爸到OA的水平距離BD,CE分別為1.5m和2.0m,∠BOC=90°。爸爸在C處接住小明時,小明距離地面的高度是1.5m。

三、解答題(共54分)15.(6分)已知:∠1和線段a,如圖。求作:△ABC,使∠B=∠C=∠1,BC=a。(不寫作法,保留作圖痕跡)解:如圖,△ABC就是所求作的三角形。16.(8分)如圖,已知AB∥CD,BE∥DF,E,F是AC上兩點且AF=CE。(1)試說明:△ABE≌△CDF;(2)連接BC,若∠CFD=105°,∠BCE=25°,求∠CBE的度數。解:(1)因為AB∥CD,所以∠A=∠DCF。因為BE∥DF,所以∠BEF=∠DFE,所以∠BEA=∠DFC。因為AF=CE,即AE+EF=CF+EF,所以AE=CF,所以△ABE≌△CDF(ASA)。(2)因為△ABE≌△CDF,所以∠AEB=∠CFD=105°,所以∠BEC=180°-105°=75°,所以∠CBE=180°-75°-25°=80°。17.(8分)如圖,已知點B,F,C,E在同一直線上,AB=EF,AC=DF。從①∠A=∠DFE;②∠ACB=∠D;③BC=DE中選取一個作為已知條件,使得△ABC≌△FED。你選擇的已知條件是什么?利用你選擇的條件能推出AB∥DE嗎?請說明理由。解:選擇的已知條件是①或③,能推出AB∥DE。理由如下:當選擇已知條件①時:在△ABC和△FED中,AB=所以△ABC≌△FED(SAS),所以∠B=∠E,所以AB∥DE。當選擇已知條件③時:在△ABC和△FED中,AB所以△ABC≌△FED(SSS),所以∠B=∠E,所以AB∥DE。18.(8分)如圖,AD,AF分別為△ABC的中線、高,點E為AD的中點。(1)若∠ABD=40°,∠BAD=35°,求∠DAF的度數;(2)若△BDE的面積為15,BD=5,求AF的長。解:(1)因為∠ABD=40°,∠BAD=35°,所以∠ADB=180°—(∠ABD+∠BAD)=105°。所以∠ADF=180°—∠ADB=75°。因為AF為△ABC的高,所以∠AFD=90°,所以∠DAF=90°-∠ADF=90°-75°=15°。(2)因為AD為△ABC的中線,所以S△ABD=12S△ABC因為點E為AD的中點,所以S△BDE=12S△ABD=14S△ABC=15。所以S因為BD=5,所以BC=2BD=10,所以S△ABC=12BC·AF=12所以AF=12。19.(10分)數學興趣小組想在不用涉水的情況下測量某段河流的寬度(該段河流兩岸是平行的),在數學老師的帶領下他們是這樣做的:①在河流的一側岸邊B點,選對岸正對的一棵樹A為參照點;②沿河岸直走15m有一棵樹C,繼續前行15m到達D處;③從D處沿與河岸垂直的方向行走,當到達A樹正好被C樹遮擋住的E處時停止行走;④測得DE的長為6.5m。(1)河流的寬度為m;

(2)請你說明他們做法的正確性。解:(1)6.5(2)因為AB⊥BD,ED⊥BD,所以∠ABC=∠EDC=90°。在△ABC和△EDC中,∠所以△ABC≌△EDC(ASA),所以AB=ED=6.5m,所以他們的做法是正確的。20.(14分)【綜合與探究】某數學興趣小組在探究全等三角形的相關題型時,老師提出了這樣一個問題:如圖①,在△ABC中,AB=6,AC=8,D是BC的中點,求BC邊上的中線AD的取值范圍。小組內成員經過合作交流,得到了如下的解決方法:延長AD到E,使DE=AD……①②(1)請補充完整證明“△ABD≌△ECD”的推理過程。證明:延長AD到點E,使DE=AD,在△ABD和△ECD中,因為AD所以△ABD≌△ECD(③)。

①填:;

②填:;

③填:。

(2)由(1)的結論,根據AD與AE之間的關系,請探究AD的取值范圍。(3)【感悟】解題時,條件中若出現“中點”“中線”等字樣,可以考慮延長中線構造全等三角形,把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中。【問題解決】如圖②,△ABC中,∠B=90°,AB=2,AD是△ABC的中線,CE⊥BC,CE=4,且∠ADE=90°,求AE的長。解:(1)①∠ADB=∠EDC②DB=DC③SAS(2)由(1),得△ABD≌△ECD,且AB=6,AC=8,所以CE=AB=6。在△ACE中,8-6<AE<8+6,所以1<AD