第5.5節培優提升一小船渡河與關聯速度問題學習目標1.能運用運動的合成與分解的知識，分析小船渡河問題，會求渡河的最短時間和最短位移。2.會分析實際運動中的關聯速度問題，建立常見的繩關聯模型和桿關聯模型。提升1小船渡河問題1.小船渡河情景如圖所示，一條寬為d的大河，小船從碼頭A出發，到對岸的碼頭B。已知河水流速為v水，小船在靜水中的航速為v船。2.處理方法(1)小船渡河時實際上參與了兩個方向的分運動，即隨水流的運動(水沖船的運動)和船相對水的運動(船在靜水中的運動，運動方向為船頭朝向的方向)，船的實際運動是合運動。(2)由于河的寬度是確定的，所以首先應確定渡河的速度，然后計算渡河的時間，再根據等時性分別研究兩個分運動或合運動。3.小船渡河問題的三種常見情況情況圖示說明渡河時間最短若要使小船渡河時間最短，只要使小船在垂直于河岸方向上的分速度最大，即船頭垂直于河岸，最短時間為tmin＝eq\f(d,v船)，此時渡河位移x＝eq\f(d,sinθ)渡河位移最短當v水<v船時，如果滿足v水－v船cosθ＝0，合速度垂直于河岸，小船渡河位移最短，xmin＝d，此時渡河時間t＝eq\f(d,v船sinθ)當v水>v船時，如果船頭方向(v船方向)與合速度方向垂直，小船渡河位移最短。由圖知sinθ＝eq\f(v船,v水)，最短渡河位移為xmin＝eq\f(d,sinθ)＝eq\f(dv水,v船)【思考】1.小船渡河問題需要明確哪些速度？2.小船渡河時間是否與水流速度有關？怎么求解小船渡河過程所用的時間及最短時間？例1如圖所示，在某一段平直的河道中，一游客劃船由M點出發沿直線到達對岸N點，直線MN與河岸夾角成60°。已知M、N兩點間距離為30m，河中水流的速度大小為3m/s，游客劃船在靜水中的速度大小也為3m/s，則下列說法正確的是()A.過河的時間為5sB.過河的時間為10sC.若劃船過程中保持劃船速度大小和方向不變，水流速度增大，則航程會減小D.若劃船過程中保持劃船速度大小和方向不變，水流速度減小，則渡河時間減小(1)求解小船渡河問題，首先要明確水流速度、船在靜水中的速度、合速度，根據題意可以用合成法作平行四邊形，再根據運動的等時性求解問題。(2)當船速不變時，求解渡河時間問題：①可以應用正交分解法，垂直河岸的分速度不變，河寬不變，渡河時間不變；②水速變化時，根據運動的獨立性和等時性，河寬不變，渡河時間不變。訓練1如圖所示，經常年觀察發現某河道水速大小為3~5m/s，在距離河邊120m處的A點極易發生安全事故，現打算在河邊修建一救援站，要求從救援站駕駛船只勻速直線行駛，在30秒黃金救援時間內能夠到達事故現場。救援船只航行速度為，求河邊可建造救援站的長度范圍（

）A．420米 B．480米 C．540米 D．660米訓練2截至目前，巴以沖突已導致雙方超1.73萬人死亡，為了避免沖突，我國進一步加強軍事演練，假設在演練時士兵駕駛坦克向東的速度大小為v1，坦克靜止時射出的炮彈速度大小為v2（v2>v1），且出膛方向沿水平面內可調整，坦克軌跡距離目標最近為d，忽略炮彈受到的空氣阻力和炮彈豎直方向的下落，且不計炮彈發射對坦克速度的影響，下列說法正確的是（

）A．炮彈在水平方向上做的是曲線運動B．要想命中目標且炮彈在空中飛行時間最短，坦克發射處離目標的距離為C．炮彈命中目標最短時間為D．若到達距離目標最近處時再開炮，不管怎樣調整炮口方向，炮彈都無法射中目標例2小船要橫渡一條200m寬的河，水流速度為3m/s，船在靜水中的航速是5m/s，求(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)：(1)當小船的船頭始終正對對岸行駛時，它將在何時、何處到達對岸？(2)要使小船到達河的正對岸，應如何行駛？多長時間能到達對岸？(3)如果水流速度變為10m/s，要使小船航程最短，應如何航行？訓練12024年9月27日“運河爭輝”烏篷船馬拉松邀請賽在浙江紹興浙東運河越城區段舉行，水鄉紹興以這種特殊的活動方式慶祝中華人民共和國成立75周年，同時也紀念中國大運河申遺成功10周年。已知小船在靜水中的速度為，現讓船渡過某條河，若此河的兩岸是理想的平行線，河寬為，水流速度為，方向與河岸平行，求：(1)欲使小船以最短時間渡河，最短時間是多少？小船的位移多大？(2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用時間是多少？(3)若河水因漲水導致水流速度變為，小船在靜水中的速度為不變，此種情況下渡河最短位移及渡河時間分別為多少？訓練2端午賽龍舟是中華民族的傳統，若某龍舟在比賽前劃向比賽點的途中要渡過寬兩岸平直的河，龍舟在靜水中劃行的速率為，河水的流速，下列說法中正確的是（）A．該龍舟以最短時間渡河通過的位移為B．該龍舟渡河時船頭垂直河岸，若水速突然變大，則渡河時間會變長C．該龍船渡河所用時間最少為D．該龍舟不可能沿垂直河岸的航線抵達對岸提升2關聯速度問題如圖所示，岸上的小車A以速度v勻速向左運動，用繩跨過光滑輕質定滑輪和小船B相連，繩長不變。(1)小車A和小船B某一時刻的速度大小相等嗎？(2)小車A和小船B沿繩方向的速度大小相等嗎？(3)該圖中小車A和小船B的速度之間存在什么關系？繩(或桿)關聯模型：一般是指物拉繩(或桿)和繩(或桿)拉物的情況。高中階段研究的繩的伸長量都很小，桿的伸長量或壓縮量都很小，即認為繩或桿的長度不會改變。繩、桿等連接的兩個物體在運動過程中，其速度通常是不一樣的，但兩個物體沿繩或桿方向的速度大小相等，我們稱之為關聯速度。例3如圖所示，汽車用跨過光滑定滑輪的輕繩提升一質量為m的物塊，汽車以速度v0水平向右勻速運動，重力加速度為g，在物塊到達滑輪之前，下列說法正確的是()A.物塊向上做勻速運動B.當輕繩與水平方向的夾角為θ時，物塊上升的速度為eq\f(v0,cosθ)C.輕繩對物塊的拉力總是大于mgD.輕繩的拉力保持不變訓練1如圖所示，人在岸上拉動繩子，使小船以速度v沿水面勻速向河岸靠近，當繩子與水面的夾角時，，則下列關于傾斜部分繩子（滑輪與船之間部分）的中點M瞬時速度的大小、方向說法正確的是（）A．M點瞬時速度的方向與船速相同 B．M點瞬時速度的方向沿繩指向左上方C．M點瞬時速度的大小為 D．M點瞬時速度的大小為訓練2如圖所示，開始時A、B間的細繩呈水平狀態，現由計算機控制物體A的運動，使其恰好以速度v沿細繩豎直桿勻速下滑，經細繩通過定滑輪拉動物體B在水平面上運動，當右側細繩與水平方向夾角為時，B的速度為；該過程B的加速度（增大、不變、減小）。例4(多選)(2024·河北邢臺市高一下期中)甲、乙兩光滑小球(均可視為質點)用輕直桿連接，乙球處于粗糙水平地面上，甲球緊靠在粗糙的豎直墻壁上，初始時輕桿豎直，桿長為4m。施加微小的擾動使得乙球沿水平地面向右滑動，當乙球距離起點3m時，下列說法正確的是()A.甲、乙兩球的速度大小之比為eq\r(7)∶3B.甲、乙兩球的速度大小之比為3eq\r(7)∶7C.甲球即將落地時，乙球的速度與甲球的速度大小相等D.甲球即將落地時，乙球的速度為零總結提升1.常見的速度分解模型情景圖示定量結論v＝v∥＝v物cosθvB＝v∥＝vAcosθv∥＝v∥′即vAcosθ＝vBsinθv∥＝v∥′即vBcosα＝vAcosβ2.三步法求解繩(桿)連接體的速度問題訓練1汽車發動機的曲柄連桿機構其結構示意圖如圖所示。曲軸可繞固定的O點自由轉動，連桿兩端分別連接曲軸上的A點和活塞上的B點，若曲軸繞O點做勻速圓周運動，速率12m/s，，。下列說法正確的是（）A．活塞在水平方向上做勻速直線運動B．當OA豎直時，活塞的速度為8m/sC．當OA與AB共線時，活塞的速度為12m/sD．當OA與AB垂直時，活塞的速度為15m/s訓練2如圖所示.半徑均為r的兩光滑圓柱體A、B疊放在墻角，若用力推動水平地面上的圓柱體A向右運動，圓柱體B會沿豎直墻面向上運動。當圓柱體A的中心軸與豎直墻面的距離為時.圓柱體A的速度大小為v，此時圓柱體B的速度大小為（

）A．v B． C． D．基礎練習1.(小船渡河問題)小船在靜水中的速度為3m/s，它在一條流速為4m/s、河寬為150m的河流中渡河，則()A.小船不可能垂直到達河對岸B.小船渡河的時間可能為40sC.小船渡河的時間至少為30sD.小船若在50s內渡河，到達河對岸時被沖向下游150m2.(繩關聯問題)如圖所示，質量為m的物體P置于傾角為θ1的固定光滑斜面上，輕細繩跨過光滑定滑輪分別連接著P與小車，P與滑輪間的細繩平行于斜面，小車以速率v水平向右做勻速直線運動。當小車與滑輪間的細繩和水平方向成夾角θ2時，下列判斷正確的是(重力加速度為g)()A.P的速率為vB.P的速率為vcosθ2C.繩的拉力等于mgsinθ1D.繩的拉力小于mgsinθ13.如圖所示，寬度為d的一條小河水速恒定，運動員甲在靜水中的速度大小為v，甲從河岸的A點以最短的時間來渡河，最后運動到河對岸的B點，甲從A點出發的同時，運動員乙從河對岸的C點沿著河岸向下游游動，結果甲、乙在B點相遇。已知C、B兩點間的距離也為d，乙在靜水中的速度大小為，下列說法正確的是（

）A．乙從C點運動到B點的時間為 B．水速為C．A、B兩點間的距離為 D．A、C兩點間的距離為4.如圖所示，穿在豎直桿上的物塊與放在水平桌面上的物塊用跨過光滑定滑輪的不可伸長的細繩相連，為定滑輪，物塊由圖示水平位置以勻速下滑，當繩與水平方向的夾角為30°時（

）A． B．C．該過程中物塊做勻速運動 D．該過程中物塊做加速運動對點題組練題組一小船渡河問題1.(多選)下列圖中實線為河岸，河水的流動方向如圖中v的箭頭所示，虛線為小船從河岸M駛向對岸N的實際航線。則其中可能正確的是()2.(多選)在寬度為d的河中，水流速度為v2，船在靜水中速度為v1(且v1>v2)，方向可以選擇，現讓該船開始渡河，則該船()A.可能的最短渡河時間為eq\f(d,v2)B.可能的最短渡河位移為dC.只有當船頭垂直河岸渡河時，渡河時間才和水速無關D.不管船頭與河岸夾角是多少，渡河時間和水速均無關3.(多選)(2024·湖南長沙高一聯考)一艘船的船頭始終正對河岸方向行駛，如圖所示。已知船在靜水中行駛的速度為v1，水流速度為v2，河寬為d。則下列說法正確的是()A.船渡河時間為eq\f(d,v1)B.船渡河時間為eq\f(d,\r(veq\o\al(2,1)＋veq\o\al(2,2)))C.船渡河過程被沖到下游的距離為eq\f(v2,v1)dD.船渡河過程被沖到下游的距離為eq\f(v2,\r(veq\o\al(2,1)＋veq\o\al(2,2)))d4.(2024·四川眉山高一期末)如圖所示，一條小船從位置A過河，小船在靜水中的速度為v，船頭指向始終與河岸垂直(沿AA′方向)。當水流速度為v1時，小船運動到河對岸的位置B靠岸，AB與河岸的夾角為α＝60°。當水流速度為v2時，小船運動到河對岸的位置C靠岸，AC與河岸的夾角為β＝30°。下列說法正確的是()A.小船沿AB、AC過河的時間相等B.小船沿AC過河的時間更長C.v1∶v2＝1∶2D.當水流速度為v1時，要使小船到達碼頭A′，船頭應指向河的上游且與河岸夾角為60°5.如圖所示，一條小船位于200m寬的河中央A點處，離A點距離為100eq\r(3)m的下游處有一危險區，水流速度為4m/s，為使小船避開危險區沿直線到達對岸，小船在靜水中的速度至少為()A.eq\f(4\r(3),3)m/s B.eq\f(8\r(3),3)m/sC.2m/s D.4m/s題組二關聯速度問題6.(多選)如圖所示，不可伸長的輕繩，繞過光滑定滑輪C，與質量為m的物體A連接，A放在傾角為θ的光滑斜面上，繩的另一端和套在固定豎直桿上的物體B連接，連接物體B的繩最初水平。從當前位置開始，使物體B以速度v沿桿勻速向下運動，設繩的拉力為FT，在此后的運動過程中，下列說法正確的是()A.物體A做加速運動 B.物體A做勻速運動C.FT小于mgsinθ D.FT大于mgsinθ7.如圖所示，水平面上固定一個與水平面夾角為θ的斜桿A，另一豎直桿B以速度v水平向左做勻速直線運動，則從兩桿開始相交到最后分離的過程中，兩桿交點P的速度方向和大小分別為()A.水平向左，大小為vB.豎直向上，大小為vtanθC.沿桿A斜向上，大小為eq\f(v,cosθ)D.沿桿A斜向上，大小為vcosθ8.發動機活塞連桿組如圖甲所示，圖乙為連桿組的結構簡圖，連桿組在豎直平面內，且OA正好在豎直方向上，連桿一端連接活塞A，另一端與曲柄上B點相連，活塞A沿OA直線往復運動并帶動連桿使B點繞圓心O順時針方向做圓周運動。某時刻圓心O與B點的連線剛好水平，∠OAB＝θ，活塞A的速度大小為vA，曲柄上B點的速度大小為vB，方向豎直向下，則此時()A.vAcosθ＝vB B.vBcosθ＝vAC.vA＝vB D.vAsinθ＝vB綜合提升練9.一個半徑為R的半圓柱體沿水平方向向右以速度v0勻速運動，在半圓柱體上放置一根豎直桿，此桿只能沿豎直方向運動。如圖所示，當桿與半圓柱體接觸點與柱心的連線與豎直方向的夾角為θ時，豎直桿運動的速度v1的大小為()A.v0sinθ B.v0tanθC.v0cosθ D.eq\f(v0,tanθ)10.(多選)(2024·河南焦作高一期末)如圖所示，物體P套在光滑的細桿上，P和Q通過輕質細繩跨過定滑輪連接，一水平力F拉著物體Q在水平面上向左運動。在某一小段時間內，P沿細桿勻速向上運動通過AB段的過程中，下列說法正確的是()A.Q做加速直線運動B.Q做減速直線運動C.細繩對P的拉力在增大D.桿對P的彈力在減小11.如圖所示，河流寬度d＝80m，各處水流速度大小均為v水＝5m/s。若小船在靜水中的速度大小為v船＝4m/s，小船從A碼頭出發過河。下列說法正確的是()A.小船渡河的最短時間為25sB.小船渡河的最小位移為80mC.小船可以到達對岸B點的上游D.小船以最小位移的方式到達對岸所需時間為eq\f(100,3)s12.如圖所示，船頭始終保持與河岸成θ角渡河，已知船在靜水中的速度為v，水流速度平行于河岸，大小為u，河寬為d，則()A.船渡河的時間為eq\f(d,