線性代數(shù)考試試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共20分）

1.下列矩陣中，不是方陣的是（）。

A.\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)

B.\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)

C.\(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)

D.\(\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}\)

2.若矩陣\(A\)的秩為2，那么\(A\)的行向量組的極大線性無關(guān)組中向量的個數(shù)為（）。

A.1

B.2

C.3

D.4

3.設(shè)\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，那么\(A^{-1}\)的特征值為（）。

A.\(\frac{1}{\lambda}\)

B.\(\lambda\)

C.\(\lambda^2\)

D.\(\lambda^{-1}\)

4.下列行列式中，值為0的是（）。

A.\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)

B.\(\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}\)

C.\(\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&2\\1&2&3\end{vmatrix}\)

D.\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)

5.設(shè)\(A\)是\(n\)階實對稱矩陣，那么\(A\)的特征值都是（）。

A.實數(shù)

B.虛數(shù)

C.正數(shù)

D.負數(shù)

二、填空題（每題5分，共25分）

1.若矩陣\(A\)的行列式值為0，則\(A\)是（）矩陣。

2.若矩陣\(A\)的秩為3，則\(A\)的列向量組的極大線性無關(guān)組中向量的個數(shù)為（）。

3.設(shè)\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，那么\(A^2\)的特征值為（）。

4.設(shè)\(A\)是\(n\)階實對稱矩陣，那么\(A\)的特征值都是（）。

5.若矩陣\(A\)的逆矩陣為\(A^{-1}\)，則\(A\cdotA^{-1}=\)（）。

三、計算題（每題10分，共30分）

1.計算矩陣\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)的行列式。

2.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)。

3.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)，求\(A\)的秩。

四、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：若矩陣\(A\)和\(B\)均為\(n\)階可逆矩陣，則\(AB\)也是\(n\)階可逆矩陣，并求\((AB)^{-1}\)。

2.證明：若矩陣\(A\)是\(n\)階實對稱矩陣，且\(A\)的特征值均為正數(shù)，則\(A\)是可逆矩陣。

五、應(yīng)用題（每題10分，共20分）

1.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，求\(A\)的特征值和特征向量。

2.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)，求\(A\)的特征多項式，并求出\(A\)的特征值。

六、綜合題（每題15分，共30分）

1.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)，求\(A\)的伴隨矩陣\(A^*\)。

2.設(shè)\(A\)是\(n\)階實對稱矩陣，且\(A\)的特征值分別為\(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\)，證明：\(A\)可以對角化為\(\begin{bmatrix}\lambda_1&0&\ldots&0\\0&\lambda_2&\ldots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\ldots&\lambda_n\end{bmatrix}\)。

試卷答案如下：

一、選擇題（每題5分，共20分）

1.答案：D

解析思路：方陣是指行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣，選項D中矩陣的行數(shù)和列數(shù)不相等，因此不是方陣。

2.答案：B

解析思路：矩陣的秩是指矩陣中線性無關(guān)的行或列的最大數(shù)目，由于矩陣\(A\)的秩為2，故其列向量組的極大線性無關(guān)組中向量的個數(shù)也是2。

3.答案：A

解析思路：可逆矩陣的逆矩陣的特征值是原矩陣特征值的倒數(shù)。

4.答案：C

解析思路：選項C中的行列式為\(1(1\cdot1-1\cdot2)-1(1\cdot1-2\cdot2)=0\)。

5.答案：A

解析思路：實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)。

二、填空題（每題5分，共25分）

1.答案：奇異

解析思路：行列式值為0的矩陣是奇異矩陣。

2.答案：3

解析思路：矩陣的秩等于其列向量組的極大線性無關(guān)組中向量的個數(shù)。

3.答案：\(\lambda^2\)

解析思路：可逆矩陣的平方的逆矩陣的特征值是原矩陣特征值的平方。

4.答案：實數(shù)

解析思路：實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)。

5.答案：單位矩陣

解析思路：矩陣與其逆矩陣相乘得到單位矩陣。

三、計算題（每題10分，共30分）

1.答案：2

解析思路：行列式的計算公式為\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\)，代入\(A\)的元素得到\(1\cdot4-2\cdot3=2\)。

2.答案：\(A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\)

解析思路：求逆矩陣的方法是使用公式\(A^{-1}=\frac{1}{\text{det}(A)}\text{adj}(A)\)，其中adj(A)是伴隨矩陣。

3.答案：秩為3

解析思路：通過初等行變換，將矩陣\(A\)化為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的數(shù)目即為矩陣的秩。

四、證明題（每題10分，共20分）

1.答案：\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)

解析思路：根據(jù)矩陣乘法的結(jié)合律和可逆矩陣的性質(zhì)，可得\((AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AA^{-1}=E\)，同理\((B^{-1}A^{-1})(AB)=E\)，因此\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)。

2.答案：正確

解析思路：實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)，且由于矩陣\(A\)是對稱的，故其特征向量也是實向量。可逆矩陣的特征值不為0，因此\(A\)是可逆矩陣。

五、應(yīng)用題（每題10分，共20分）

1.答案：特征值為1，2；特征向量分別為\(\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)，\(\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}\)

解析思路：通過計算特征多項式\(\text{det}(A-\lambdaI)=0\)得到特征值，然后求解相應(yīng)的特征向量。

2.答案：特征多項式為\(\lambda^3-15\lambda^2+65\lambda-91=0\)；特征值分別為1，7，13

解析思路：通過計算特征多項式\(\text{det}(A-\lambdaI)=0\)得到特征值。

六、綜合題（每題15分，共30分）

1.答案：\(A^*=\begin{bmatrix}2&-6&18\\-